1. 개요
중·고등학교 수학과 교육과정에서 다루는 다항함수의 범위는 상수함수, 일차함수, 이차함수, 삼차함수, 사차함수[1]인데, 이와 관련하여 교육과정에서 직접적으로 다루지는 않는 유용한 팁들을 기재하는 문서이다.[2] 이러한 팁들을 사용하면 한국교육과정평가원이 실시하는 시험(수능, 임용고시[3], 수능 모의평가 등)에서 나오는 고난도 문항[4]에서 다항함수의 차수, 그래프의 개형 및 위치를 추론하기 편해진다. 현 교육과정(2015 개정 교육과정)에서는 수학Ⅱ의 '미분적분학' 파트[5]와 연계도가 짙으며, 2022 수능부터 공통 출제 범위이다.[6] 이 문서를 읽기에 앞선 배경 지식은 상수함수, 일차함수, 이차함수, 삼차함수, 사차함수를 참고하라. 또한, 해당 내용과 관련된 평가원이나 교육청의 고교 수능형 기출 문제를 예제로 실었다.
2. 추론
이 문단에서는 다항함수의 차수나 개형을 추론하게 해주는 단서를 소개한다.
2.1. 개형
2.1.1. 점대칭(홀함수)
임의의 실수 [math(t)], [math(a)], [math(b)]에 대하여 다음이 성립한다.
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일차함수 [math(f(x))]와 임의의 실수 [math(a)]에 대하여 다음이 성립한다.
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이를 증명하여 보자. [math(f(x)=px+q)]라고 하면,
[math(begin{aligned} p(x-a)+q+p(x+a)+q&=2px+2q \ &=2(px+q) \&=2f(x) end{aligned})]
해석기하학적으로는, 일차함수의 그래프는 그래프 위의 임의의 점에 대하여 점대칭이라는 의미가 된다. 다른 홀함수와는 달리, 일차함수의 그래프는 양쪽으로 한없이 뻗어나가는 직선이므로, 어느 점을 잡아도 그 점에 대하여 점대칭이 될 수밖에 없다.
[math(begin{aligned} p(x-a)+q+p(x+a)+q&=2px+2q \ &=2(px+q) \&=2f(x) end{aligned})]
해석기하학적으로는, 일차함수의 그래프는 그래프 위의 임의의 점에 대하여 점대칭이라는 의미가 된다. 다른 홀함수와는 달리, 일차함수의 그래프는 양쪽으로 한없이 뻗어나가는 직선이므로, 어느 점을 잡아도 그 점에 대하여 점대칭이 될 수밖에 없다.
2.1.2. 좌우 대칭(짝함수)
임의의 실수 [math(a)]에 대하여 다음이 성립한다.
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2.1.3. 일대일대응
접선의 기울기가 0인 점이 존재하지 않아야만 일대일대응인 것은 아님에 유의해야 한다. 접선의 기울기가 0인 점이라고 해서 꼭 감소하다가 증가하거나 증가하다가 감소하는 것이 아니기 때문이다. 예를 들어 [math(y=x^3)]은 [math(x=0)]에서의 접선의 기울기가 0이지만 틀림없이 증가함수이며, 따라서 일대일대응이다. 대신 이 경우 역함수의 도함수는 해당 점이 특이점이 된다.(즉, 기울기가 발산한다) [math(y=x^3)]의 역함수의 도함수
그러나 미분가능한 함수의 그래프에 접선의 기울기가 0인 점이 존재하지 않으면 무조건 일대일대응이다. 우선, 일대일대응이 되지 않으려면 증가하다가 감소하거나, 감소하다가 증가해야 한다. 그러기 위해서 함수 [math(f(x))]의 그래프는 증가하다가 감소하거나 감소하다가 증가하는 부분에서 접선의 기울기가 어느 한 순간 반드시 0이 되어야만 한다. 그런데 어떤 함수의 그래프에 접선의 기울기가 0인 점이 존재하지 않으면 그 함수는 증가하다가 감소하거나 감소하다가 증가할 여지 자체가 없어지고, 이는 곧 함수 [math(f(x))]가 일대일대응이 될 수밖에 없다는 뜻이다.
결국 '접선의 기울기가 0인 점이 존재하지 않는다'는 '일대일대응이다'의 충분조건일 뿐이지, 결코 필요충분조건은 아니다. 다시 말해서 이 두 진술을 완전히 같은 의미로 받아들여 서로 치환할 수는 없는 노릇이다.
2.1.4. 오목·볼록
닫힌 구간 [math([a,,b])]에서 연속인 함수 [math(f(x))]에 대하여 두 양수인 상수 [math(m)], [math(n)]에 대하여 다음이 성립한다.
특히 [math(m=n=1)]일 경우
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각 수식의 의미를 먼저 파악해보자.
[math(displaystyle frac{mb+na}{m+n} )]
의 경우 [math(x)]축 위의 두 점 [math((a,,0))], [math((b,,0))]을 [math(m:n)]으로 내분하는 점의 [math(x)]좌표이다. 즉,
[math(displaystyle f biggl( frac{mb+na}{m+n} biggr) )]
는 해당 내분점의 [math(x)]좌표에 대한 [math(f(x))]의 함숫값이다.
이번에는 두 점 [math((a,,f(a)))], [math((b,,f(b)))]를 연결하는 직선 [math(l)]을 생각한다. 위에서 구한 내분점의 [math(x)]좌표에 대한 직선 위의 점은 곧 두 점 [math((a,,f(a)))], [math((b,,f(b)))]를 [math(m:n)]으로 내분하는 점이다.[16]을 직선 [math(l)]의 방정식 [math(y=dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a))]에 대입하여 구해봐도 되지만 닮음에 의하여 [math(m:n)]으로 내분하는 점임이 명백하다.] 따라서 해당 점의 [math(y)]좌표는
[math(displaystyle frac{mf(b)+nf(a)}{m+n} )]
가 된다. 위 결과는 곧
- [math(x)]축 위의 내분점의 [math(x)]좌표에 대한 직선 [math(l)] 위의 함숫값 [math(dfrac{mf(b)+nf(a)}{m+n})]
- [math(x)]축 위의 내분점의 [math(x)]좌표에 대한 [math(f(x))]의 함숫값 [math(displaystyle f biggl( frac{mb+na}{m+n} biggr))]
의 대소를 비교하는 것으로 이르게 된다.
곡선의 오목·볼록의 정의에 따라 구간 내에서 아래로 볼록한 함수의 함숫값은 직선 [math(l)]보다 밑에 있게 되어 2는 1보다 항상 아래에 있으므로
[math(displaystyle frac{mf(b)+nf(a)}{m+n}>f biggl( frac{mb+na}{m+n} biggr) )]
반대로 구간 내에서 위로 볼록한 함수의 함숫값은 직선 [math(l)]보다 밑에 있게 되어 2는 1보다 항상 위에 있으므로
[math(displaystyle frac{mf(b)+nf(a)}{m+n}<f biggl( frac{mb+na}{m+n} biggr) )]
위 내용을 좌표평면상에서 시각화해보면 아래와 같다. [math((rm a))], [math((rm b))]는 각각 [math(f(x))]가 구간에서 아래로 볼록한 경우, 위로 볼록한 경우이다.
파일:namu_곡선_오목_볼록_2_NEW.svg
닫힌 구간 [math([a,,b])]에서 연속인 함수 [math(f(x))]에 대하여 다음이 성립한다.
|
이를 쉽게 생각하기 위해서 [math(f(x) geq 0)]이라는 제약을 걸고 분석을 해보자. 우선 수식
[math(dfrac{b-a}{2}{f(a)+f(b)}=S)]
의 의미를 파악해보자. 이는 구간 [math([a,,b])]에서 높이가 [math(b-a)]이고, 윗변과 아랫변의 길이가 각각 [math(f(a))], [math(f(b))]인 사다리꼴의 넓이가 된다.[17]와 [math(f(b))] 중 하나가 0이면 직각삼각형의 넓이가 됨에 유의하자.] 이 사다리꼴은 [math(x)]축, [math(x=a)], [math(x=b)], [math((a,,f(a)))], [math((b,,f(b)))]를 지나는 직선 [math(l)] 이렇게 네 직선으로 둘러싸인 도형이다.
또한 수식
[math(displaystyle int_{a}^{b}f(x),{rm d}x=T)]
는 [math(x)]축, [math(x=a)], [math(x=b)], [math(f(x))]의 그래프로 둘러싸인 영역의 넓이를 의미한다.
함수가 아래로 볼록할 경우 구간 [math([a,,b])]의 함숫값은 직선 [math(l)]보다 아래에 위치하므로 [math(S < T)], 위로 볼록할 경우 위에 위치하므로 [math(S>T)]인 것이다.
단, [math(f(x) leq 0)]인 경우에는 [math(S)], [math(T)]를 영역의 넓이에 음의 부호를 붙인 것임에 유의하자. 이 경우에도 위 수식은 성립한다.
모든 경우가 포함된 경우에도 위 수식은 성립하며, 한 영역을 [math(f(x) geq 0)] 혹은 [math(f(x) leq 0)]인 구간으로 나누고 적용한 결과를 종합하면 이를 증명할 수 있다.
[math(f(x) geq 0)]일 때 [math((rm a))]의 아래로 볼록한 경우와 [math((rm b))]의 위로 볼록한 경우에 대한 위 내용을 좌표평면상에서 시각화해보면 아래와 같다.
파일:namu_다항함수추론_오목볼록.svg
한편 오목·볼록을 판별할 수 없는 함수도 있다. 다항함수의 경우는 상수함수가 그 예이며[18]이다.], 이외에는 디리클레 함수 같은 완전 불연속함수나 바이어슈트라스 함수 같은 병리적 연속함수가 또 다른 예이다.
2.2. 차수
2.2.1. 상수함수
임의의 실수 [math(a)], [math(b)] ([math(a<b)])에 대하여 다음이 성립한다.
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상수함수의 함숫값은 일정하여 [math(f(a)=f(b))]인바 위의 두 표현은 결국 같은 말이다. 위의 표현은 일차함수에도 해당되는 표현인 반면 아래의 표현은 상수함수에만 해당된다. 다만 반례가 있기 때문에 함수열을 잘 확인해야 한다.
이를 증명하여 보자. [math(f(x)=k)]로 놓으면 [math(f(a)=f(b)=k)]이므로
[math(begin{aligned} frac{(b-a)}{2}{f(a)+f(b)}&=(b-a)dfrac{2k}{2}\&=k(b-a) end{aligned})]
한편, [math(f(x))]의 역도함수는 [math(F(x)=kx)]이므로
[math(displaystyle begin{aligned} int_a^b f(x) ,mathrm{d}x&=F(b)-F(a)\&=kb-ka\&=k(b-a) \ \ thereforedisplaystyle frac{(b-a)}{2}{f(a)+f(b)}&=displaystyle int_a^b f(x) ,mathrm{d}xend{aligned} )]
[1] [math(f(x)>0)]인 경우
이 경우 정적분은 가로의 길이가 [math(b-a)]이고, 높이가 [math(f(a)=f(b))]인 직사각형의 넓이와 같으므로 다음이 성립한다.
[math(begin{aligned} int_{a}^{b}=(b-a)f(a)=(b-a)f(b) end{aligned})]
[2] [math(f(x)=0)]인 경우
이 경우 정적분은 0이 되며, 이것은
[math(begin{aligned} int_{a}^{b}=(b-a)f(a)=(b-a)f(b) end{aligned})]
에 [math(f(a)=f(b)=0)]을 대입한 결과와 같다.
[3] [math(f(x)<0)]인 경우
이 경우 정적분은 가로의 길이가 [math(b-a)]이고, 높이가 [math(-f(a)=-f(b))]인 직사각형의 넓이에 음을 붙인 것과 같으므로
[math(begin{aligned} int_{a}^{b}=-(b-a){-f(a)}=-(b-a){-f(b)} end{aligned})]
음의 부호는 상쇄되므로 이 경우에도 식이 성립한다.
파일:namu_상수함수_특성_NEW.svg
이를 증명하여 보자. [math(f(x)=k)]로 놓으면 [math(f(a)=f(b)=k)]이므로
[math(begin{aligned} frac{(b-a)}{2}{f(a)+f(b)}&=(b-a)dfrac{2k}{2}\&=k(b-a) end{aligned})]
한편, [math(f(x))]의 역도함수는 [math(F(x)=kx)]이므로
[math(displaystyle begin{aligned} int_a^b f(x) ,mathrm{d}x&=F(b)-F(a)\&=kb-ka\&=k(b-a) \ \ thereforedisplaystyle frac{(b-a)}{2}{f(a)+f(b)}&=displaystyle int_a^b f(x) ,mathrm{d}xend{aligned} )]
[좌표평면상에서 분석해보기]
[1] [math(f(x)>0)]인 경우
이 경우 정적분은 가로의 길이가 [math(b-a)]이고, 높이가 [math(f(a)=f(b))]인 직사각형의 넓이와 같으므로 다음이 성립한다.
[math(begin{aligned} int_{a}^{b}=(b-a)f(a)=(b-a)f(b) end{aligned})]
[2] [math(f(x)=0)]인 경우
이 경우 정적분은 0이 되며, 이것은
[math(begin{aligned} int_{a}^{b}=(b-a)f(a)=(b-a)f(b) end{aligned})]
에 [math(f(a)=f(b)=0)]을 대입한 결과와 같다.
[3] [math(f(x)<0)]인 경우
이 경우 정적분은 가로의 길이가 [math(b-a)]이고, 높이가 [math(-f(a)=-f(b))]인 직사각형의 넓이에 음을 붙인 것과 같으므로
[math(begin{aligned} int_{a}^{b}=-(b-a){-f(a)}=-(b-a){-f(b)} end{aligned})]
음의 부호는 상쇄되므로 이 경우에도 식이 성립한다.
파일:namu_상수함수_특성_NEW.svg
[math(qquad qquad qquad qquad vdots)] |
상수함수의 함숫값은 일정하므로 무조건 [math(f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=cdots)]이기 때문이다.
2.2.2. 일차함수
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다항함수 중에서 이를 만족시키는 함수는 일차함수밖에 없다. 이 식의 증명과 의미는 앞서 밝혔으므로 생략한다.
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이를 증명하여 보자. [math(f(x)=px+q)]라고 하면 [math(f(x))]의 역도함수는 [math(F(x)=px^2/2+qx)]이다. 따라서
[math(displaystyle begin{aligned} int_a^b f(x) ,mathrm{d}x&=F(b)-F(a) \&=displaystyle left(frac{1}{2}pb^2+qb right)-left(frac{1}{2}pa^2+qa right) \&=left{dfrac{1}{2}p(b^2-a^2)right}+{q(b-a)} \&= displaystylefrac{b-a}{2}{p(a+b)+2q} \&=frac{b-a}{2}(pa+q+pb+q) \&=frac{b-a}{2}{f(a)+f(b)} end{aligned} )]
[1] [math(f'(x)>0)]이고, 구간 [math([a,,b])]에서 [math(f(a)>0)], [math(f(b)>0)]인 경우
이 경우 정적분은 높이가 [math(b-a)]이고, 밑변과 윗변의 길이가 [math(f(a))], [math(f(b))]인 사다리꼴의 넓이와 같으므로
[math(displaystyle int_a^b f(x),mathrm{d}x=frac{b-a}{2}{f(a)+f(b)} )]
[2] [math(f'(x)<0)]이고, 구간 [math([a,,b])]에서 [math(f(a)<0)], [math(f(b)<0)]인 경우
이 경우 정적분은 높이가 [math(b-a)]이고, 밑변과 윗변의 길이가 [math(-f(a))], [math(-f(b))]인 사다리꼴의 넓이에 음의 값을 붙인 것과 같으므로
[math(displaystylebegin{aligned} int_a^b f(x),mathrm{d}x&=-frac{b-a}{2}{-f(a)-f(b)}\&=frac{b-a}{2}{f(a)+f(b)} end{aligned})]
[3] [math(f'(x)>0)]이고, 구간 [math([a,,b])]에서 [math(f(a)=0)], [math(f(b)>0)]인 경우
이 경우 정적분은 높이가 [math(b-a)]이고, 밑변과 윗변의 길이가 [math(f(b))]인 직각삼각형의 넓이와 같으므로
[math(displaystyle int_a^b f(x),mathrm{d}x=frac{b-a}{2}f(b))]
인데 이는 위 공식에서 [math(f(a)=0)]을 대입한 것과 같은 결과이다.
[4] [math(f'(x)>0)]이고, 구간 [math([a,,b])]에서 [math(f(a)<0)], [math(f(b)=0)]인 경우
이 경우 정적분은 높이가 [math(b-a)]이고, 밑변과 윗변의 길이가 [math(-f(a))]인 직각삼각형의 넓이에 음을 붙인 것과 같으므로
[math(displaystyle int_a^b f(x),mathrm{d}x=left(-frac{b-a}{2} right){-f(a)}=frac{b-a}{2}f(a))]
인데 이는 위 공식에서 [math(f(b)=0)]을 대입한 것과 같은 결과이다.
[5] [math(f'(x)<0)]이고, 구간 [math([a,,b])]에서 [math(f(a)=0)], [math(f(b)<0)]인 경우
이 경우 정적분은 높이가 [math(b-a)]이고, 밑변과 윗변의 길이가 [math(f(b))]인 직각삼각형의 넓이에 음을 붙인 것과 같으므로
[math(displaystyle int_a^b f(x),mathrm{d}x=left(-frac{b-a}{2} right){-f(b)}=frac{b-a}{2}f(b))]
인데 이는 위 공식에서 [math(f(a)=0)]을 대입한 것과 같은 결과이다.
[6] [math(f'(x)<0)]이고, 구간 [math([a,,b])]에서 [math(f(a)>0)], [math(f(b)=0)]인 경우
이 경우 정적분은 높이가 [math(b-a)]이고, 밑변과 윗변의 길이가 [math(f(a))]인 직각삼각형의 넓이와 같으므로
[math(displaystyle int_a^b f(x),mathrm{d}x=frac{b-a}{2}f(a))]
인데 이는 위 공식에서 [math(f(b)=0)]을 대입한 것과 같은 결과이다.
[7] [math(f'(x)>0)]이고, 구간 [math([a,,b])]에서 [math(f(a)<0)], [math(f(b)>0)]인 경우
[math(f(c)=0)]이라 하면, 정적분은 [math([a,, c])] 구간의 직각삼각형의 넓이에 음을 붙인 것과 [math([c,, b])] 구간의 직각삼각형 넓이의 합과 같다. [3]~[6]의 결과를 사용하면,
[math(displaystyle int_a^b f(x),mathrm{d}x=frac{c-a}{2}f(a)+frac{b-c}{2}f(b))]
한편, [math(f(x)=px+q)]로 놓으면,
[8] [math(f'(x)<0)]이고, 구간 [math([a,,b])]에서 [math(f(a)>0)], [math(f(b)<0)]인 경우
[7]과 비슷한 논법으로 확인할 수 있다.
파일:namu_일차함수_특성_01_08.svg
이 내용은 2020 EBS 수능특강에 등장하여 2020 수능 나형 28번에 연계 출제되었다.
파일:namu_2020_수능_수학나_28번.png
수능특강에 [math(a)]와 [math(b)]로 나왔던 것이 수능에서는 각각 [math(1)]과 [math(x)]로 바뀌어 나왔다. (가)를 통해 [math(f(x))]의 차수를 추론할 수 있다. (가)의 양변을 미분하면
[math(f(x)=dfrac{1}{2}{f(x)+f(1)}+dfrac{x-1}{2}f'(x))]
양변에 [math(2)]를 곱하여 정리하면
[math(,f(x)=f(1)+(x-1)f'(x) )]
여기에서 [math(f(x))]가 일차함수임을 알아내는 방법은 두 가지이다.
[1] 계수비교법
좌변의 [math(f(x))]의 최고차항을 [math(ax^n)]이라고 하자. 그러면 우변의 [math(f'(x))]의 최고차항은 [math(nax^{n-1})]이며 [math((x-1)f'(x))]의 최고차항은 [math(nax^n)]이다. 따라서 [math(ax^n=nax^n)]이어야 하므로 계수비교법에 의하여 [math(n=1)]이며, [math(f(x))]는 일차함수이다.
[2] 직선의 기울기
위의 식을 적당히 변형하고 [math(x)]를 [math(t)]로 치환하면
[math(dfrac{f(t)-f(1)}{t-1}=f'(1))]
그러면 좌변의 식은 [math(f(x))]의 그래프 위의 점 [math((1,,f(1)))]과 [math((t,,f(t)))]를 지나는 직선의 기울기를 뜻하며, [math(f'(1))]은 [math(f(x))]의 [math(x=1)]에서의 접선의 기울기를 뜻한다. 우변의 [math(f'(1))]은 상수로서, 일정한 값이다. [math(x)]를 [math(1)]이 아닌 어떤 값으로 잡더라도 항상 직선의 기울기가 같다는 것은 곧 [math(f(x))] 자체의 그래프의 기울기가 일정하다는 뜻이며, [math(f(x))]는 그래프가 직선으로 그려지는 상수함수이거나 일차함수라는 뜻이다. 따라서 이 방법으로는 (가)만으로 [math(f(x))]의 차수를 결정할 수 없는데, 다음으로 (나)를 보자.
[math(f(x))]를 상수함수로 가정하여, [math(f(x)=a)]라 하고 (나)를 계산하면
[math(begin{aligned}displaystyleint_0^2 a;{rm d}x&=5aint_{-1}^1 x;{rm d}x\ 2a&=0\therefore f(x)&=a=0end{aligned})]
이는 문제에서 제시된 조건 [math(f(0)=1)]과 모순이다. 따라서 [math(f(x))]는 상수함수가 아니며, 일차함수이다.
[math(displaystyle begin{aligned} int_a^b f(x) ,mathrm{d}x&=F(b)-F(a) \&=displaystyle left(frac{1}{2}pb^2+qb right)-left(frac{1}{2}pa^2+qa right) \&=left{dfrac{1}{2}p(b^2-a^2)right}+{q(b-a)} \&= displaystylefrac{b-a}{2}{p(a+b)+2q} \&=frac{b-a}{2}(pa+q+pb+q) \&=frac{b-a}{2}{f(a)+f(b)} end{aligned} )]
[좌표평면상에서 분석해보기]
[1] [math(f'(x)>0)]이고, 구간 [math([a,,b])]에서 [math(f(a)>0)], [math(f(b)>0)]인 경우
이 경우 정적분은 높이가 [math(b-a)]이고, 밑변과 윗변의 길이가 [math(f(a))], [math(f(b))]인 사다리꼴의 넓이와 같으므로
[math(displaystyle int_a^b f(x),mathrm{d}x=frac{b-a}{2}{f(a)+f(b)} )]
[2] [math(f'(x)<0)]이고, 구간 [math([a,,b])]에서 [math(f(a)<0)], [math(f(b)<0)]인 경우
이 경우 정적분은 높이가 [math(b-a)]이고, 밑변과 윗변의 길이가 [math(-f(a))], [math(-f(b))]인 사다리꼴의 넓이에 음의 값을 붙인 것과 같으므로
[math(displaystylebegin{aligned} int_a^b f(x),mathrm{d}x&=-frac{b-a}{2}{-f(a)-f(b)}\&=frac{b-a}{2}{f(a)+f(b)} end{aligned})]
[3] [math(f'(x)>0)]이고, 구간 [math([a,,b])]에서 [math(f(a)=0)], [math(f(b)>0)]인 경우
이 경우 정적분은 높이가 [math(b-a)]이고, 밑변과 윗변의 길이가 [math(f(b))]인 직각삼각형의 넓이와 같으므로
[math(displaystyle int_a^b f(x),mathrm{d}x=frac{b-a}{2}f(b))]
인데 이는 위 공식에서 [math(f(a)=0)]을 대입한 것과 같은 결과이다.
[4] [math(f'(x)>0)]이고, 구간 [math([a,,b])]에서 [math(f(a)<0)], [math(f(b)=0)]인 경우
이 경우 정적분은 높이가 [math(b-a)]이고, 밑변과 윗변의 길이가 [math(-f(a))]인 직각삼각형의 넓이에 음을 붙인 것과 같으므로
[math(displaystyle int_a^b f(x),mathrm{d}x=left(-frac{b-a}{2} right){-f(a)}=frac{b-a}{2}f(a))]
인데 이는 위 공식에서 [math(f(b)=0)]을 대입한 것과 같은 결과이다.
[5] [math(f'(x)<0)]이고, 구간 [math([a,,b])]에서 [math(f(a)=0)], [math(f(b)<0)]인 경우
이 경우 정적분은 높이가 [math(b-a)]이고, 밑변과 윗변의 길이가 [math(f(b))]인 직각삼각형의 넓이에 음을 붙인 것과 같으므로
[math(displaystyle int_a^b f(x),mathrm{d}x=left(-frac{b-a}{2} right){-f(b)}=frac{b-a}{2}f(b))]
인데 이는 위 공식에서 [math(f(a)=0)]을 대입한 것과 같은 결과이다.
[6] [math(f'(x)<0)]이고, 구간 [math([a,,b])]에서 [math(f(a)>0)], [math(f(b)=0)]인 경우
이 경우 정적분은 높이가 [math(b-a)]이고, 밑변과 윗변의 길이가 [math(f(a))]인 직각삼각형의 넓이와 같으므로
[math(displaystyle int_a^b f(x),mathrm{d}x=frac{b-a}{2}f(a))]
인데 이는 위 공식에서 [math(f(b)=0)]을 대입한 것과 같은 결과이다.
[7] [math(f'(x)>0)]이고, 구간 [math([a,,b])]에서 [math(f(a)<0)], [math(f(b)>0)]인 경우
[math(f(c)=0)]이라 하면, 정적분은 [math([a,, c])] 구간의 직각삼각형의 넓이에 음을 붙인 것과 [math([c,, b])] 구간의 직각삼각형 넓이의 합과 같다. [3]~[6]의 결과를 사용하면,
[math(displaystyle int_a^b f(x),mathrm{d}x=frac{c-a}{2}f(a)+frac{b-c}{2}f(b))]
한편, [math(f(x)=px+q)]로 놓으면,
| [math(displaystyle begin{aligned} int_a^b f(x),mathrm{d}x&=frac{(c-a)(pa+q)}{2}+frac{(b-c)(pb+q)}{2} \&=frac{1}{2}[ b(bp+q)-a(ap+q)+pc(a-b)+pab-pab ] \&=frac{1}{2}[ b(bp+q)-a(ap+q)+q(b-a)+pab-pab ] quad (because pc+q=0) \&=frac{1}{2}[ b(bp+q)-a(ap+q)-a(pb+q)+b(pa+q) ] \&=frac{1}{2}[ b{ f(a)+f(b)}-a{ f(a)+f(b) } ] \&=frac{b-a}{2}{f(a)+f(b) } end{aligned})] |
[7]과 비슷한 논법으로 확인할 수 있다.
파일:namu_일차함수_특성_01_08.svg
[관련 예제]
이 내용은 2020 EBS 수능특강에 등장하여 2020 수능 나형 28번에 연계 출제되었다.
파일:namu_2020_수능_수학나_28번.png
수능특강에 [math(a)]와 [math(b)]로 나왔던 것이 수능에서는 각각 [math(1)]과 [math(x)]로 바뀌어 나왔다. (가)를 통해 [math(f(x))]의 차수를 추론할 수 있다. (가)의 양변을 미분하면
[math(f(x)=dfrac{1}{2}{f(x)+f(1)}+dfrac{x-1}{2}f'(x))]
양변에 [math(2)]를 곱하여 정리하면
[math(,f(x)=f(1)+(x-1)f'(x) )]
여기에서 [math(f(x))]가 일차함수임을 알아내는 방법은 두 가지이다.
[1] 계수비교법
좌변의 [math(f(x))]의 최고차항을 [math(ax^n)]이라고 하자. 그러면 우변의 [math(f'(x))]의 최고차항은 [math(nax^{n-1})]이며 [math((x-1)f'(x))]의 최고차항은 [math(nax^n)]이다. 따라서 [math(ax^n=nax^n)]이어야 하므로 계수비교법에 의하여 [math(n=1)]이며, [math(f(x))]는 일차함수이다.
[2] 직선의 기울기
위의 식을 적당히 변형하고 [math(x)]를 [math(t)]로 치환하면
[math(dfrac{f(t)-f(1)}{t-1}=f'(1))]
그러면 좌변의 식은 [math(f(x))]의 그래프 위의 점 [math((1,,f(1)))]과 [math((t,,f(t)))]를 지나는 직선의 기울기를 뜻하며, [math(f'(1))]은 [math(f(x))]의 [math(x=1)]에서의 접선의 기울기를 뜻한다. 우변의 [math(f'(1))]은 상수로서, 일정한 값이다. [math(x)]를 [math(1)]이 아닌 어떤 값으로 잡더라도 항상 직선의 기울기가 같다는 것은 곧 [math(f(x))] 자체의 그래프의 기울기가 일정하다는 뜻이며, [math(f(x))]는 그래프가 직선으로 그려지는 상수함수이거나 일차함수라는 뜻이다. 따라서 이 방법으로는 (가)만으로 [math(f(x))]의 차수를 결정할 수 없는데, 다음으로 (나)를 보자.
[math(f(x))]를 상수함수로 가정하여, [math(f(x)=a)]라 하고 (나)를 계산하면
[math(begin{aligned}displaystyleint_0^2 a;{rm d}x&=5aint_{-1}^1 x;{rm d}x\ 2a&=0\therefore f(x)&=a=0end{aligned})]
이는 문제에서 제시된 조건 [math(f(0)=1)]과 모순이다. 따라서 [math(f(x))]는 상수함수가 아니며, 일차함수이다.
2.2.3. 이차함수
|
2.2.4. 삼차함수
모든 삼차함수는 변곡점에 대하여 점대칭이므로 다음이 성립한다.
|
한편, 삼차함수 [math(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d)]에 대하여 다음이 성립한다.
|
근과 계수의 관계는 [math(n)]중근을 값이 같은 근 [math(boldsymbol n)]개로 간주하여 계산하는 것임에 유의해야 한다. 예를 들어 [math(f(x)=0)]이 삼중근 [math(x=k)]를 가지면, 근의 합은 [math(3k)]가 된다.
2.2.5. 사차함수
|
사차함수 [math(f(x))]가 예시 1, 예시 2와 같은 개형이면 [math(f(a))]는 극솟값, 예시 3, 예시 4와 같은 개형이면 [math(f(a))]는 극댓값이다. 그러나 모든 좌우 대칭 함수가 사차함수인 것이 아니기에, 이 단서만 보고 사차함수로 단정해서는 안 된다.
2.3. 반례
위 단서의 일부 혹은 전부가 다항함수가 아닌 다른 함수의 특성을 띠는 반례가 존재한다. 다시 말해서 다항함수로 단정하기에는 너무 조건이 약하다.[23]를 넣어 보자. 탄젠트함수가 삼차함수가 되는 기적이 벌어진다.] 이런 반례는 주로 실해석학에서 다룬다.
- 상수함수: 계단함수([math({rm sgn}(x))], [math(pi(x))], [math(u(x))] 등)가 있다. 적분열 일부가 상수함수와 일치한다. 계단함수는 아니지만 디리클레 함수 [math({bold 1}_{mathbb Q}(x))]는 두 끝점이 무리수라는 조건 하에 위의 상수함수의 공식이 성립한다.
- 삼차함수: 삼차함수 중 일부 개형과 닮은꼴인 함수([math(sinh x)], [math({rm artanh}, x)], [math({rm erfi}(x))], [math({rm igd}(x))], [math({rm Shi}(x))] 등)가 있다. 홀함수라는 점만 본다면 다항함수가 아닌 홀함수([math({rm sgn}(x))], [math(sin x)], [math({rm erf}(x))], [math({rm Si}(x))], [math(S(x))], [math(C(x))] 등)도 있다.[28]
- 이차함수, 사차함수: 다항함수가 아닌 짝함수([math(|x|)], [math(cos x)], [math(cosh x)], [math(e^{-x^2})] 등)가 있다.[29] 특히 [math(cos x)]의 경우는 일부분만 그리는 경우가 많아[30]는 끝이 없는 주기함수여서 공간이 얼마나 있든 그래프를 전부 그릴 수는 없다.] 개형만 보면 차수 많은 다항함수로 오해하기 딱 좋다. [math(cosh x)] 역시 이차함수와 그래프의 개형이 닮았기 때문에[비교] 혼동이 잦다.
감이 잘 안 온다면 예시를 보자. 아래는 다항함수가 아닌 [math(y)]축 대칭함수(짝함수)의 예 중 하나인 정규분포 [math(y=e^{-x^2})]를 나타낸 것이다. 이 함수를 이차함수, 사차함수 추론 공식에 넣으면 이차함수 혹은 사차함수로 판정되는 모순이 발생하게 된다.[32]이니, [math(f(-x)=f(x))]이고 임의의 실수 [math(t)]에 대해서 [math(int_{-t}^0 f(x) ,mathrm{d}x = int_0^{t} f(x) ,mathrm{d}x)]이므로.] 이 때문에 추론에 곁들여 다항함수 외의 함수인지 실마리[33]이 있는데, 이차·사차함수에는 [math(x)]축에 평행한 점근선이 없다는 것만 알면 이 함수가 이차함수나 사차함수가 아님을 쉽게 알 수 있다.]를 찾아볼 필요가 있다.
파일:namu_가우스적분_개요.svg
3. 공식
이 문단에서는 위 내용과 달리 이미 다항함수의 차수나 그래프의 개형이 알려져 있을 때 적용할 수 있는 공식을 소개한다. 경우에 따라 적용할 수 있는 공식이 다르다.
3.1. 길이·거리
3.1.1. 일차함수
우선 피타고라스 정리에 따라 다음이 성립한다.
[math(a^2 + b^2 = h^2)]
여기에 [math(a)]에 [math(x)]값의 차를, [math(b)]에 함숫값의 차를 대입하면 다음과 같다.
[math(h = sqrt{(x_2 - x_1)^2 + [ f(x_2) - f(x_1) ]^2})]
이 [math(h)]를 유클리드 노름(Euclidean norm)[34] 노름이라고도 한다.]이라 하고, 위 표현을
[math(h = d({bold x},, {bold y}))]
로 바꿀 수 있다. 단, [math({bold x} = [ x_1 quad f(x_1) ]^T)], [math({bold y} = [ x_2 quad f(x_2) ]^T)][35]는 전치를 취한다는 뜻이다. 즉 [math([ x_1 quad f(x_1) ]^T = begin{bmatrix} x_1 \ f(x_1) end{bmatrix})]이다.]이다. 이는 다시 아래와 같이 내적으로 표현할 수 있다.
[math(begin{aligned} h &= sqrt{ left< ({bold y}-{bold x}),, ({bold y}-{bold x}) right>} \ &= sqrt{ det(({bold y}-{bold x})^{ast} ({bold y}-{bold x})) } \ &= sqrt{ det((overline{bold y}-overline{bold x})^{T} ({bold y}-{bold x})) } \ &= sqrt{ {rm tr}(({bold y}-{bold x}) otimes ({bold y}-{bold x})) } end{aligned} )]
[math(det)]은 행렬식, [math(ast)]은 수반 연산자[36]로 표기하기도 한다.], [math(rm tr)]는 주대각합, [math(otimes)]는 텐서곱, [math(overline{bold x})]는 [math(bold x)]의 켤레이다.
3.1.2. 이차함수
이차함수의 거리를 알기 위해서는 그래프의 초점(focus)과 준선(directrix)이라는 보조선이 필요하다.
이차함수 [math(y=ax^2 + bx + c)]의 그래프의 초점과 준선은 다음과 같다.
- 초점: [math(left(-dfrac{b}{2a},, dfrac{4ac-b^2+1}{4a} right))]
- 준선: [math(y = dfrac{4ac-b^2-1}{4a} )]
이를 나타낸 그림은 다음과 같다.
파일:나무_이차함수_포물선.png
위 식에서 볼 수 있듯 이차함수의 그래프의 꼭짓점과 초점의 거리는 이차함수의 꼭짓점과 준선의 거리와 동일하며, 그 값은 [math((4|a|)^{-1})]이다.[37]
특기할 만한 점은, 초점과 이차함수 그래프의 임의의 점을 이은 선분을 그리고, 해당 점에서 준선에 수선의 발을 내리면 두 선의 길이는 동일하다는 것이다. 즉 [math(overline{mathrm{FP}}=overline{mathrm{PH}})]이다. 이런 성질을 띠는 곡선을 포물선(parabola)이라고 한다.
심화 내용은 포물선 문서를 참고하라.
3.1.3. 삼차함수
파일:나무_삼차함수_비율관계_1.png
위 그림과 같은 개형의 삼차함수 [math(y=f(x))]의 그래프에서, 변곡점을 [math(rm P)], 두 극점을 왼쪽부터 [math(rm Q)], [math(rm R)]이라 하자.
위 그림과 같은 개형의 삼차함수 [math(y=f(x))]의 그래프에서, 변곡점을 [math(rm P)], 두 극점을 왼쪽부터 [math(rm Q)], [math(rm R)]이라 하자.
- 점 [math(rm D)], [math(rm E)]는 각각 [math(y=f(x))]의 그래프가 [math(rm Q)], [math(rm R)]에서의 접선과 만나는 점이다.
- 점 [math(rm A)]는 점 [math(rm E)]에서 직선 [math(overline{rm DQ})]에 내린 수선의 발이고, 점 [math(rm H)]는 점 [math(rm D)]에서 직선 [math(overline{rm ER})]에 내린 수선의 발이다.
- 점 [math(rm F)]는 점 [math(rm Q)]에서 직선 [math(overline{rm ER})]에 내린 수선의 발이고, 점 [math(rm C)]는 점 [math(rm R)]에서 직선 [math(overline{rm DQ})]에 내린 수선의 발이다.
- 점 [math(rm B)], [math(rm G)]는 각각 점 [math(rm P)]에서 직선 [math(overline{rm DQ})], [math(overline{rm ER})]에 내린 수선의 발이다.
이때, 위 그림과 같이 [math(overline{rm AQ})], [math(overline{rm QB})], [math(overline{rm BC})], [math(overline{rm CD})], [math(overline{rm EF})], [math(overline{rm FG})], [math(overline{rm GR})], [math(overline{rm RH})]의 길이는 서로 같다.
이에 따라 아래와 같은 비율 관계가 유도된다. 이는 삼차함수의 극점의 좌표 또는 극값을 알아낼 때 긴요하게 쓰인다.
[math( begin{aligned} overline{rm AQ}: overline{rm QC}: overline{rm CD}&=overline{rm EF}: overline{rm FR}: overline{rm RH}=1:2:1 end{aligned} )]
파일:namu_삼차함수_비율관계_2_수정.png
마찬가지로, 위 그림과 같은 개형의 삼차함수 [math(y=f(x))]의 그래프에서, 변곡점을 [math(rm P)], 접선의 기울기가 같은 임의의 두 점을 왼쪽부터 [math(rm Q)]와 [math(rm R)], [math(y=f(x))]의 그래프와 [math(rm Q)]와 [math(rm R)]에서의 접선의 교점을 각각 [math(rm B)], [math(rm A)]라 하자. 이렇게 정의된 다섯 개의 점 [math(rm A)], [math(rm Q)], [math(rm P)], [math(rm R)], [math(rm B)]에서 [math(x)]축에 내린 수선의 발을 각각 [math(rm E)], [math(rm F)], [math(rm G)], [math(rm H)], [math(rm I)]라 하면 다음이 성립한다.
[math(begin{aligned}overline{rm EF}:overline{rm FG}: overline{rm GH}: overline{rm HI}=&1:1:1:1\thereforeoverline{rm EF}: overline{rm FH}: overline{rm HI}=&1:2:1end{aligned})]
파일:나무_삼차함수_비율관계_4_수정.png
위 그림과 같은 개형의 삼차함수 [math(f(x))]의 그래프의 두 극점을 왼쪽부터 [math(rm Q)], [math(rm R)]이라 하고, 변곡점을 [math(rm P)]라 하자. [math(rm P)]를 지나면서 [math(x)]축과 평행한 직선에 [math(rm Q)]와 [math(rm R)]에서 내린 수선의 발을 각각 [math(rm B)], [math(rm C)]라 하자. 또, [math(overline{rm BC})]와 [math(y=f(x))]의 그래프의 교점을 왼쪽부터 [math(rm A)], [math(rm D)]라 하자. 이때, 아래와 같은 비율 관계가 성립한다.
[math(begin{aligned} overline{rm BQ}: overline{rm CR}&=1:1 \ overline{rm PB}: overline{rm PA}&=overline{rm PC}: overline{rm PD}=1:sqrt{3} end{aligned})]
파일:나무_삼차함수_비율관계_5.png
나아가 위와 같이 접선의 기울기가 같은 임의의 두 점을 왼쪽부터 [math(rm Q)], [math(rm R)]이라 하고, 해당 접선과 평행하고 변곡점을 지나는 직선과 삼차함수의 그래프의 양 끝의 교점을 왼쪽부터 [math(rm A)], [math(rm B)]라 할 경우에도 위와 같은 비율 관계가 성립한다.
파일:나무_삼차함수_비율관계_3.png
최고차항의 계수가 [math(a)]인 위 그림과 같은 개형의 삼차함수 [math(y=f(x))]에 대하여 [math(f'(beta)=f'(gamma)=0)]이라 하면 [math(l)]의 길이, 곧 극댓값과 극솟값의 차는 다음과 같다.
[math(l=dfrac{|a|}{2}(beta-gamma)^{3} )]
한편 앞서 밝힌 비율 관계에 의하여 높이는 아래와 같다.
[math(beta-gamma =dfrac{2}{3}(beta-alpha) ; to ; l=dfrac{|4a|}{27}(beta-alpha)^{3})]
3.1.4. 사차함수
3.1.4.1. 개형 1
파일:namu_사차함수_비율관계_1.png
위 그림과 같은 개형의 사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프 위의 접선의 기울기가 0인 두 점을 왼쪽부터 [math(rm P)], [math(rm Q)]라 하자. 이때, 점 [math(rm Q)]에서 점 [math(rm P)]의 접선에 내린 수선의 발을 [math(rm H)], [math(rmoverline {PH})]와 [math(y=f(x))]의 교점 중 [math(rm P)]가 아닌 것을 [math(rm R)]이라 하면, 다음의 비율 관계가 성립한다.
[math( begin{aligned} overline{rm PH}: overline{rm HR}=3:1 end{aligned} )]
나아가 아래와 같이 접선의 기울기가 같은 사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프 위의 점 [math(rm P)], [math(rm Q)]에 대해서도 아래와 같은 비율 관계가 성립한다. 여기에서 [math(rm P)]는 항상 변곡점이다.
파일:namu_사차함수_비율관계_2.png
파일:namu_사차함수_비율관계_7_수정.png
개형이 위 그림과 같고, 최고차항의 계수가 [math(a)]인 사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프가 [math((alpha,,0))]에서 접선의 기울기가 0이고, [math(x=beta)]에서 극솟값을 갖는다고 하자. 이때, [math(l)]의 길이는 아래와 같다.
[math(l=displaystylefrac{|a|}{3}(beta-alpha)^4 )]
위 그림과 같은 개형의 사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프 위의 접선의 기울기가 0인 두 점을 왼쪽부터 [math(rm P)], [math(rm Q)]라 하자. 이때, 점 [math(rm Q)]에서 점 [math(rm P)]의 접선에 내린 수선의 발을 [math(rm H)], [math(rmoverline {PH})]와 [math(y=f(x))]의 교점 중 [math(rm P)]가 아닌 것을 [math(rm R)]이라 하면, 다음의 비율 관계가 성립한다.
[math( begin{aligned} overline{rm PH}: overline{rm HR}=3:1 end{aligned} )]
나아가 아래와 같이 접선의 기울기가 같은 사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프 위의 점 [math(rm P)], [math(rm Q)]에 대해서도 아래와 같은 비율 관계가 성립한다. 여기에서 [math(rm P)]는 항상 변곡점이다.
파일:namu_사차함수_비율관계_2.png
파일:namu_사차함수_비율관계_7_수정.png
개형이 위 그림과 같고, 최고차항의 계수가 [math(a)]인 사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프가 [math((alpha,,0))]에서 접선의 기울기가 0이고, [math(x=beta)]에서 극솟값을 갖는다고 하자. 이때, [math(l)]의 길이는 아래와 같다.
[math(l=displaystylefrac{|a|}{3}(beta-alpha)^4 )]
3.1.4.2. 개형 2
파일:namu_사차함수_비율관계_3.png
위 그림과 같은 개형의 사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프의 극소점 두 개를 왼쪽부터 [math(rm P)], [math(rm Q)]라 하고, 극대점을 [math(rm R)]이라 하자. 또, [math(rm R)]에서 [math(rm P)]와 [math(rm Q)]의 공통 접선에 내린 수선의 발을 [math(rm H)]라 하면, 다음과 같은 비율 관계가 성립한다.
[math( begin{aligned} overline{rm PH}: overline{rm HQ}=1:1 end{aligned} )]
나아가 아래와 같이 [math(rm P)], [math(rm Q)]의 공통 접선의 기울기와 점 [math(rm R)]의 접선의 기울기가 같을 때도 위의 비율 관계가 성립한다.
파일:namu_사차함수_비율관계_4.png
파일:namu_사차함수_비율관계_5.png
위 그림과 같은 개형의 사차함수의 그래프 [math(f(x))]의 극소점 두 개를 왼쪽부터 [math(rm P)], [math(rm Q)]라 하고, 극대점을 [math(rm R)]이라 하자. 또, 점 [math(rm R)]의 접선이 [math(f(x))]의 그래프와 만나는 점을 왼쪽부터 [math(rm A)], [math(rm B)]라 하고, [math(rm P)], [math(rm Q)]에서 해당 접선에 내린 수선의 발을 왼쪽부터 [math(rm H)], [math(rm I)]라 하자. 이때, 아래와 같은 비율 관계가 성립한다.
[math(overline{rm RH}: overline{rm RA}=overline{rm RI}: overline{rm RB}=1:sqrt{2})]
나아가 아래와 같이 [math(rm P)], [math(rm Q)]의 공통 접선의 기울기와 점 [math(rm R)]의 접선의 기울기가 같을 때도 위의 비율 관계가 성립한다.
파일:namu_사차함수_비율관계_6.png
파일:namu_사차함수_비율관계_8.png
개형이 위 그림과 같고, 최고차항의 계수가 [math(a)]인 사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프가 [math(x=alpha)]에서 극솟값을, [math(x=beta)]에서 극댓값을 갖는다고 하자. 이때 [math(l)]의 길이, 곧 극댓값과 극솟값의 차는 아래와 같다.
[math(l=dfrac{|a|}{3}(beta-alpha)^4 )]
위 그림과 같은 개형의 사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프의 극소점 두 개를 왼쪽부터 [math(rm P)], [math(rm Q)]라 하고, 극대점을 [math(rm R)]이라 하자. 또, [math(rm R)]에서 [math(rm P)]와 [math(rm Q)]의 공통 접선에 내린 수선의 발을 [math(rm H)]라 하면, 다음과 같은 비율 관계가 성립한다.
[math( begin{aligned} overline{rm PH}: overline{rm HQ}=1:1 end{aligned} )]
나아가 아래와 같이 [math(rm P)], [math(rm Q)]의 공통 접선의 기울기와 점 [math(rm R)]의 접선의 기울기가 같을 때도 위의 비율 관계가 성립한다.
파일:namu_사차함수_비율관계_4.png
파일:namu_사차함수_비율관계_5.png
위 그림과 같은 개형의 사차함수의 그래프 [math(f(x))]의 극소점 두 개를 왼쪽부터 [math(rm P)], [math(rm Q)]라 하고, 극대점을 [math(rm R)]이라 하자. 또, 점 [math(rm R)]의 접선이 [math(f(x))]의 그래프와 만나는 점을 왼쪽부터 [math(rm A)], [math(rm B)]라 하고, [math(rm P)], [math(rm Q)]에서 해당 접선에 내린 수선의 발을 왼쪽부터 [math(rm H)], [math(rm I)]라 하자. 이때, 아래와 같은 비율 관계가 성립한다.
[math(overline{rm RH}: overline{rm RA}=overline{rm RI}: overline{rm RB}=1:sqrt{2})]
나아가 아래와 같이 [math(rm P)], [math(rm Q)]의 공통 접선의 기울기와 점 [math(rm R)]의 접선의 기울기가 같을 때도 위의 비율 관계가 성립한다.
파일:namu_사차함수_비율관계_6.png
파일:namu_사차함수_비율관계_8.png
개형이 위 그림과 같고, 최고차항의 계수가 [math(a)]인 사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프가 [math(x=alpha)]에서 극솟값을, [math(x=beta)]에서 극댓값을 갖는다고 하자. 이때 [math(l)]의 길이, 곧 극댓값과 극솟값의 차는 아래와 같다.
[math(l=dfrac{|a|}{3}(beta-alpha)^4 )]
3.2. 넓이
넓이 공식에서는 하나같이 [math((beta-alpha)^n)] 꼴의 식이 나오는데, [math(n)]차함수에 대한 넓이 공식에서는 [math((beta-alpha)^{n+1})]이 나온다는 규칙을 상기하면 암기하기 편하다.
3.2.1. 이차함수
파일:나무_이차함수_넓이관계_1.png
[math(a)]가 [math(f(x))]의 최고차항의 계수일 때, [math(rm (a))]의 색칠된 영역의 넓이는 아래와 같다.
[math(displaystyle left|{int_{alpha}^beta f(x) ,mathrm{d}x}right|=displaystylefrac{|a|}{2⋅3}(beta-alpha)^3)]
일차함수 [math(g(x))]에 대하여 [math(a)]가 [math(f(x)-g(x))]의 최고차항의 계수일 때, [math(rm (b))]의 색칠된 영역의 넓이는 아래와 같다.
[math(displaystyle left|{int_{alpha}^beta {f(x)-g(x)} ,mathrm{d}x}right|=displaystylefrac{|a|}{2⋅3}(beta-alpha)^3)]
파일:namu_이차함수_넓이_관계_3_수정.png
최고차항의 계수가 [math(a)]인 이차함수 [math(f(x))]의 그래프 위의 두 점 [math((alpha, , 0))]과 [math((beta, , 0))][38]축의 교점을 왼쪽부터 [math(alpha)]와 [math(beta)]로 놓았기에 [math(y)]좌표가 [math(0)]이 되지만, 꼭 [math(y)]좌표가 [math(0)]이어야 할 필요는 없으며 두 점의 [math(y)]좌표가 그저 같기만 하면 된다.]에서 각각 접하는 두 직선과 [math(x)]축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 [math(Sigma S)]라고 하면, 다음의 넓이 관계가 성립한다.
[math(displaystyle Sigma S :S_{1}:S_{2}=3:2:1)]
위의 내용을 종합하면,
[math(displaystyle begin{aligned} S_{1}&=frac{|a|}{6}(beta-alpha)^3 \ S_{2}&=frac{1}{2}S_{1}=frac13Sigma S\&=frac{|a|}{12}(beta-alpha)^3 \ Sigma S&=S_{1}+S_{2}\&=frac{3}{2}S_1=3S_2\&=frac{|a|}{4}(beta-alpha)^3end{aligned})]
한편 삼각형의 높이 [math(l)]은 아래와 같이 구할 수 있다.
[math(displaystyle frac{1}{2} l (beta-alpha) =frac{|a|}{4}(beta-alpha)^3 ; to ; l=frac{|a|}{2}(beta-alpha)^2)]
이런 모양의 그래프는 2020년 3월 고3 가형 10번에서 출제되었다.
파일:2020 가 3월 10.png
두 함수의 그래프는 좌우 대칭이므로, 점 [math(rm A)]와 점 [math(rm B)]의 [math(y)]좌표가 같아서 [math(overline{rm AB})]는 [math(x)]축에 평행하다. 따라서 복잡하게 계산할 것 없이 [math(trianglerm OAB)]의 넓이의 [math(1/3)]을 구하면 된다. 일련의 과정에 따라 값을 구하면 [math(a=1/2)]이고, [math(trianglerm OAB)]의 밑변 [math(overline{rm AB})]의 길이는 [math(4)], 높이는 [math(4)], [math(trianglerm OAB)]의 넓이는 [math(8)]이므로 색칠된 영역의 넓이는 그의 [math(1/3)]인 [math(8/3)]이다. 이처럼 공식을 쓰면 복잡한 정적분을 하지 않고도 값을 빨리 구할 수 있다.
[math(a)]가 [math(f(x))]의 최고차항의 계수일 때, [math(rm (a))]의 색칠된 영역의 넓이는 아래와 같다.
[math(displaystyle left|{int_{alpha}^beta f(x) ,mathrm{d}x}right|=displaystylefrac{|a|}{2⋅3}(beta-alpha)^3)]
일차함수 [math(g(x))]에 대하여 [math(a)]가 [math(f(x)-g(x))]의 최고차항의 계수일 때, [math(rm (b))]의 색칠된 영역의 넓이는 아래와 같다.
[math(displaystyle left|{int_{alpha}^beta {f(x)-g(x)} ,mathrm{d}x}right|=displaystylefrac{|a|}{2⋅3}(beta-alpha)^3)]
파일:namu_이차함수_넓이_관계_3_수정.png
최고차항의 계수가 [math(a)]인 이차함수 [math(f(x))]의 그래프 위의 두 점 [math((alpha, , 0))]과 [math((beta, , 0))][38]축의 교점을 왼쪽부터 [math(alpha)]와 [math(beta)]로 놓았기에 [math(y)]좌표가 [math(0)]이 되지만, 꼭 [math(y)]좌표가 [math(0)]이어야 할 필요는 없으며 두 점의 [math(y)]좌표가 그저 같기만 하면 된다.]에서 각각 접하는 두 직선과 [math(x)]축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 [math(Sigma S)]라고 하면, 다음의 넓이 관계가 성립한다.
[math(displaystyle Sigma S :S_{1}:S_{2}=3:2:1)]
위의 내용을 종합하면,
[math(displaystyle begin{aligned} S_{1}&=frac{|a|}{6}(beta-alpha)^3 \ S_{2}&=frac{1}{2}S_{1}=frac13Sigma S\&=frac{|a|}{12}(beta-alpha)^3 \ Sigma S&=S_{1}+S_{2}\&=frac{3}{2}S_1=3S_2\&=frac{|a|}{4}(beta-alpha)^3end{aligned})]
한편 삼각형의 높이 [math(l)]은 아래와 같이 구할 수 있다.
[math(displaystyle frac{1}{2} l (beta-alpha) =frac{|a|}{4}(beta-alpha)^3 ; to ; l=frac{|a|}{2}(beta-alpha)^2)]
[관련 예제]
이런 모양의 그래프는 2020년 3월 고3 가형 10번에서 출제되었다.
파일:2020 가 3월 10.png
두 함수의 그래프는 좌우 대칭이므로, 점 [math(rm A)]와 점 [math(rm B)]의 [math(y)]좌표가 같아서 [math(overline{rm AB})]는 [math(x)]축에 평행하다. 따라서 복잡하게 계산할 것 없이 [math(trianglerm OAB)]의 넓이의 [math(1/3)]을 구하면 된다. 일련의 과정에 따라 값을 구하면 [math(a=1/2)]이고, [math(trianglerm OAB)]의 밑변 [math(overline{rm AB})]의 길이는 [math(4)], 높이는 [math(4)], [math(trianglerm OAB)]의 넓이는 [math(8)]이므로 색칠된 영역의 넓이는 그의 [math(1/3)]인 [math(8/3)]이다. 이처럼 공식을 쓰면 복잡한 정적분을 하지 않고도 값을 빨리 구할 수 있다.
3.2.2. 삼차함수
파일:namu_삼차함수_넓이관계_2.png
그래프의 개형이 위 그림과 같고 최고차항의 계수가 [math(a)]인 삼차함수 [math(y=f(x))]에 대하여, 색칠된 부분의 넓이는 아래와 같다.
[math(displaystyle left|{int_{alpha}^beta f(x) ,mathrm{d}x}right|=displaystylefrac{|a|}{3⋅4}(beta-alpha)^4 )]
파일:namu_삼차함수_넓이관계_3.png
나아가 그래프의 개형이 위 그림과 같은 삼차함수 [math(y=f(x))]와, 일차함수 [math(g(x))]에 대하여, [math(a)]를 [math(f(x)-g(x))]의 최고차항의 계수라 하면, 색칠된 부분의 넓이는 아래와 같다.
[math(displaystyle left|{int_{alpha}^beta {f(x)-g(x)} ,mathrm{d}x}right|=displaystylefrac{|a|}{3⋅4}(beta-alpha)^4)]
파일:namu_삼차함수_넓이관계_1.png
최고차항의 계수가 [math(a)]인 삼차함수 [math(y=f(x))]의 그래프의 개형이 [math((rm a))]와 같을 때, [math(y=f(x))]의 그래프의 [math(x)]절편을 왼쪽부터 [math(alpha)], [math(beta)], [math(gamma)]라 하면 다음이 성립한다.
[math(displaystyle begin{aligned} S_{1}&=left| int_{alpha}^{beta} f(x),{rm d}x right|=frac{|a|}{6}(beta-alpha)^{3} left( gamma-frac{alpha+beta}{2} right) \ S_{2}&=left| int_{beta}^{gamma} f(x),{rm d}x right|=frac{|a|}{6}(gamma-beta)^{3} left( frac{beta+gamma}{2}-alpha right) end{aligned} )]
나아가 [math((rm b))]와 같이 [math(y=f(x))]와 임의의 직선 [math(y=g(x))]의 교점을 왼쪽부터 [math(alpha)], [math(beta)], [math(gamma)]라 하고 [math(a)]를 [math(f(x)-g(x))]의 최고차항의 계수라 하면, 다음이 성립한다.
[math(displaystyle begin{aligned} S_{1}&=left| int_{alpha}^{beta} {f(x)-g(x)},{rm d}x right|\&=frac{|a|}{6}(beta-alpha)^{3} left( gamma-frac{alpha+beta}{2} right) \ S_{2}&=left| int_{beta}^{gamma} {f(x)-g(x)},{rm d}x right|\&=frac{|a|}{6}(gamma-beta)^{3} left( frac{beta+gamma}{2}-alpha right) end{aligned} )]
이 문단의 일부 공식은 틀림없이 수학적으로 옳긴 하나 계산이 오히려 복잡해지기 쉽다. 공식 자체도 복잡한 데다가 정적분의 구간은 [math([alpha,;beta])]인데 공식을 사용하자면 [math(gamma)]의 값까지 알아내야 하는 등 불편한 점이 많아서 곧이곧대로 미적분의 기본정리로 정적분을 계산하는 것이 더 편할 수도 있다.
그래프의 개형이 위 그림과 같고 최고차항의 계수가 [math(a)]인 삼차함수 [math(y=f(x))]에 대하여, 색칠된 부분의 넓이는 아래와 같다.
[math(displaystyle left|{int_{alpha}^beta f(x) ,mathrm{d}x}right|=displaystylefrac{|a|}{3⋅4}(beta-alpha)^4 )]
파일:namu_삼차함수_넓이관계_3.png
나아가 그래프의 개형이 위 그림과 같은 삼차함수 [math(y=f(x))]와, 일차함수 [math(g(x))]에 대하여, [math(a)]를 [math(f(x)-g(x))]의 최고차항의 계수라 하면, 색칠된 부분의 넓이는 아래와 같다.
[math(displaystyle left|{int_{alpha}^beta {f(x)-g(x)} ,mathrm{d}x}right|=displaystylefrac{|a|}{3⋅4}(beta-alpha)^4)]
파일:namu_삼차함수_넓이관계_1.png
최고차항의 계수가 [math(a)]인 삼차함수 [math(y=f(x))]의 그래프의 개형이 [math((rm a))]와 같을 때, [math(y=f(x))]의 그래프의 [math(x)]절편을 왼쪽부터 [math(alpha)], [math(beta)], [math(gamma)]라 하면 다음이 성립한다.
[math(displaystyle begin{aligned} S_{1}&=left| int_{alpha}^{beta} f(x),{rm d}x right|=frac{|a|}{6}(beta-alpha)^{3} left( gamma-frac{alpha+beta}{2} right) \ S_{2}&=left| int_{beta}^{gamma} f(x),{rm d}x right|=frac{|a|}{6}(gamma-beta)^{3} left( frac{beta+gamma}{2}-alpha right) end{aligned} )]
나아가 [math((rm b))]와 같이 [math(y=f(x))]와 임의의 직선 [math(y=g(x))]의 교점을 왼쪽부터 [math(alpha)], [math(beta)], [math(gamma)]라 하고 [math(a)]를 [math(f(x)-g(x))]의 최고차항의 계수라 하면, 다음이 성립한다.
[math(displaystyle begin{aligned} S_{1}&=left| int_{alpha}^{beta} {f(x)-g(x)},{rm d}x right|\&=frac{|a|}{6}(beta-alpha)^{3} left( gamma-frac{alpha+beta}{2} right) \ S_{2}&=left| int_{beta}^{gamma} {f(x)-g(x)},{rm d}x right|\&=frac{|a|}{6}(gamma-beta)^{3} left( frac{beta+gamma}{2}-alpha right) end{aligned} )]
이 문단의 일부 공식은 틀림없이 수학적으로 옳긴 하나 계산이 오히려 복잡해지기 쉽다. 공식 자체도 복잡한 데다가 정적분의 구간은 [math([alpha,;beta])]인데 공식을 사용하자면 [math(gamma)]의 값까지 알아내야 하는 등 불편한 점이 많아서 곧이곧대로 미적분의 기본정리로 정적분을 계산하는 것이 더 편할 수도 있다.
3.2.3. 사차함수
파일:namu_사차함수_그래프넓이_3.svg
위 그림의 [math(rm (a))]에서 최고차항의 계수가 [math(a)]인 [math(f(x))]의 그래프가 [math(x=alpha)]와 [math(x=beta)]에서 [math(x)]축과 만날 때, 색칠된 영역의 넓이는 아래와 같다.
나아가 일차함수 [math(g(x))]에 대하여 [math(a)]가 [math(f(x)-g(x))]의 최고차항의 계수일 때, [math(rm (b))]의 색칠된 영역의 넓이는 아래와 같다.
[math(displaystyle left|{int_{alpha}^beta {f(x)-g(x)} ,mathrm{d}x}right|=displaystylefrac{|a|}{4⋅5}(beta-alpha)^5)]
파일:namu_사차함수_넓이관계_개형1.png
위 그림의 [math(rm (a))]에서 최고차항의 계수가 [math(a)]인 [math(f(x))]의 그래프가 [math(x=alpha)]에서 [math(x)]축에 접할 때, 색칠된 영역의 넓이는 아래와 같다.
[math(displaystyle left|{int_{alpha}^beta f(x) ,mathrm{d}x}right|=displaystylefrac{|a|}{4⋅5}(beta-alpha)^5)]
나아가 [math(rm (b))]에서 일차함수 [math(g(x))]에 대하여 [math(a)]가 [math(f(x)-g(x))]의 최고차항의 계수이고 [math(f(x))]의 그래프가 변곡점 [math((alpha,f(alpha)))]에서 직선 [math(y=g(x))]에 접할 때, 색칠된 영역의 넓이는 아래와 같다.
[math(displaystyle left|{int_{alpha}^beta {f(x)-g(x)} ,mathrm{d}x}right|=displaystylefrac{|a|}{4⋅5}(beta-alpha)^5)]
파일:namu_사차함수_넓이관계_개형2.png
위 그림의 [math(rm (a))]와 같이 최고차항의 계수가 [math(a)]인 [math(f(x))]의 그래프가 [math(x=alpha)]와 [math(x=beta)]에서 [math(x)]축에 접할 때, 색칠된 영역의 넓이는 아래와 같다.
[math(displaystyle left|{int_{alpha}^beta f(x) ,mathrm{d}x}right|=displaystylefrac{|a|}{5⋅6}(beta-alpha)^5)]
나아가 [math(rm (b))]와 같이 일차함수 [math(g(x))]에 대하여 [math(a)]가 [math(f(x)-g(x))]의 최고차항의 계수이고 [math(f(x))]의 그래프가 [math(x=alpha)]와 [math(x=beta)]에서 직선 [math(y=g(x))]에 접할 때, 색칠된 영역의 넓이는 아래와 같다.
[math(displaystyle left|{int_{alpha}^beta {f(x)-g(x)} ,mathrm{d}x}right|=displaystylefrac{|a|}{5⋅6}(beta-alpha)^5)]
파일:namu_사차함수_넓이_4.svg
위 그림과 같이 사차함수 [math(f(x))]의 그래프가 [math(x=alpha)]와 [math(x=beta)]에서 [math(x)]축과 만나고, 이 두 교점에서 각각 접선을 그어 삼각형을 만들면, 다음의 넓이 관계가 성립한다. 단, [math(Sigma S=S_{1}+S_{2})]이다.
[math(Sigma S:S_1:S_2=5:2:3)]
위의 내용을 종합하면,
[math(displaystyle begin{aligned} S_{1}&=frac{|a|}{20}(beta-alpha)^5\ S_{2}&=frac32S_{1}=frac35Sigma S\&=frac{3|a|}{40}(beta-alpha)^5 \ Sigma S&=S_{1}+S_{2}\&=frac52S_1=frac53S_2\&=frac{|a|}{8}(beta-alpha)^5end{aligned})]
한편 삼각형의 높이 [math(l)]은 아래와 같이 구할 수 있다.
[math(displaystyle frac{1}{2} l (beta-alpha) =frac{|a|}{8}(beta-alpha)^5 ; to ; l=frac{|a|}{4}(beta-alpha)^4)]
위 그림의 [math(rm (a))]에서 최고차항의 계수가 [math(a)]인 [math(f(x))]의 그래프가 [math(x=alpha)]와 [math(x=beta)]에서 [math(x)]축과 만날 때, 색칠된 영역의 넓이는 아래와 같다.
[math(displaystyle left|{int_{alpha}^beta f(x) ,mathrm{d}x}right|=displaystylefrac{|a|}{4⋅5}(beta-alpha)^5)]
나아가 일차함수 [math(g(x))]에 대하여 [math(a)]가 [math(f(x)-g(x))]의 최고차항의 계수일 때, [math(rm (b))]의 색칠된 영역의 넓이는 아래와 같다.
[math(displaystyle left|{int_{alpha}^beta {f(x)-g(x)} ,mathrm{d}x}right|=displaystylefrac{|a|}{4⋅5}(beta-alpha)^5)]
파일:namu_사차함수_넓이관계_개형1.png
위 그림의 [math(rm (a))]에서 최고차항의 계수가 [math(a)]인 [math(f(x))]의 그래프가 [math(x=alpha)]에서 [math(x)]축에 접할 때, 색칠된 영역의 넓이는 아래와 같다.
[math(displaystyle left|{int_{alpha}^beta f(x) ,mathrm{d}x}right|=displaystylefrac{|a|}{4⋅5}(beta-alpha)^5)]
나아가 [math(rm (b))]에서 일차함수 [math(g(x))]에 대하여 [math(a)]가 [math(f(x)-g(x))]의 최고차항의 계수이고 [math(f(x))]의 그래프가 변곡점 [math((alpha,f(alpha)))]에서 직선 [math(y=g(x))]에 접할 때, 색칠된 영역의 넓이는 아래와 같다.
[math(displaystyle left|{int_{alpha}^beta {f(x)-g(x)} ,mathrm{d}x}right|=displaystylefrac{|a|}{4⋅5}(beta-alpha)^5)]
파일:namu_사차함수_넓이관계_개형2.png
위 그림의 [math(rm (a))]와 같이 최고차항의 계수가 [math(a)]인 [math(f(x))]의 그래프가 [math(x=alpha)]와 [math(x=beta)]에서 [math(x)]축에 접할 때, 색칠된 영역의 넓이는 아래와 같다.
[math(displaystyle left|{int_{alpha}^beta f(x) ,mathrm{d}x}right|=displaystylefrac{|a|}{5⋅6}(beta-alpha)^5)]
나아가 [math(rm (b))]와 같이 일차함수 [math(g(x))]에 대하여 [math(a)]가 [math(f(x)-g(x))]의 최고차항의 계수이고 [math(f(x))]의 그래프가 [math(x=alpha)]와 [math(x=beta)]에서 직선 [math(y=g(x))]에 접할 때, 색칠된 영역의 넓이는 아래와 같다.
[math(displaystyle left|{int_{alpha}^beta {f(x)-g(x)} ,mathrm{d}x}right|=displaystylefrac{|a|}{5⋅6}(beta-alpha)^5)]
파일:namu_사차함수_넓이_4.svg
위 그림과 같이 사차함수 [math(f(x))]의 그래프가 [math(x=alpha)]와 [math(x=beta)]에서 [math(x)]축과 만나고, 이 두 교점에서 각각 접선을 그어 삼각형을 만들면, 다음의 넓이 관계가 성립한다. 단, [math(Sigma S=S_{1}+S_{2})]이다.
[math(Sigma S:S_1:S_2=5:2:3)]
위의 내용을 종합하면,
[math(displaystyle begin{aligned} S_{1}&=frac{|a|}{20}(beta-alpha)^5\ S_{2}&=frac32S_{1}=frac35Sigma S\&=frac{3|a|}{40}(beta-alpha)^5 \ Sigma S&=S_{1}+S_{2}\&=frac52S_1=frac53S_2\&=frac{|a|}{8}(beta-alpha)^5end{aligned})]
한편 삼각형의 높이 [math(l)]은 아래와 같이 구할 수 있다.
[math(displaystyle frac{1}{2} l (beta-alpha) =frac{|a|}{8}(beta-alpha)^5 ; to ; l=frac{|a|}{4}(beta-alpha)^4)]
3.2.4. 여러 차수
파일:namu_여러차수_2png.png
위 그림과 같은 [math(n)]차함수 [math(f(x)=a(x-beta)^n)]의 그래프[39]이 짝수일 경우 왼쪽의 개형이, 홀수일 경우 오른쪽의 개형이 나온다.] [math(y=f(x))]에 대하여 색칠된 영역의 넓이는 다음과 같다.
[math(displaystyle begin{aligned} S_{1}&=left|{int_{alpha}^beta f(x) ,mathrm{d}x}right|=displaystylefrac{|a|}{n+1}(beta-alpha)^{n+1} \ S_{2}&=left|{int_{beta}^gamma f(x) ,mathrm{d}x}right|=displaystylefrac{|a|}{n+1}(gamma-beta)^{n+1} end{aligned})]
나아가 다른 모양에서도 위의 공식이 성립한다.
파일:namu_여러차수_3png.png
위 그림과 같은 개형의 짝수 차수 함수 [math(y=f(x))]의 그래프가 기울기가 0이 아닌 직선 [math(y=g(x))]와 [math((beta,,, f(beta)))]에서 접한다고 하자. [math(f(x)-g(x))]의 최고차항의 계수를 [math(a)]라 하면, 색칠된 영역의 넓이는 다음과 같다.
[math(displaystyle begin{aligned} S_{1}&=left|{int_{alpha}^beta { f(x)-g(x)} ,mathrm{d}x}right|=displaystylefrac{|a|}{3}(beta-alpha)^3 \ S_{2}&=left|{int_{beta}^gamma { f(x)-g(x)} ,mathrm{d}x}right|=displaystylefrac{|a|}{3}(gamma-beta)^3 end{aligned})]
파일:namu_그래프넓이관계_홀수차수_two_수정.png
위 그림과 같은 변곡점 [math((alpha,, f(alpha)))]를 기준으로 점대칭인 홀수 차수 함수 [math(f(x))]의 그래프와, 변곡점 [math((alpha,, f(alpha)))]를 지나는 임의의 직선 [math(g(x))]의 교점 중 오른쪽의 것을 [math((beta,, f(beta)))]라고 하자. [math(f(x)-g(x))]의 최고차항의 계수를 [math(a)]라 하면, 색칠된 영역의 넓이는 다음과 같다.
위 그림과 같은 [math(n)]차함수 [math(f(x)=a(x-beta)^n)]의 그래프[39]이 짝수일 경우 왼쪽의 개형이, 홀수일 경우 오른쪽의 개형이 나온다.] [math(y=f(x))]에 대하여 색칠된 영역의 넓이는 다음과 같다.
[math(displaystyle begin{aligned} S_{1}&=left|{int_{alpha}^beta f(x) ,mathrm{d}x}right|=displaystylefrac{|a|}{n+1}(beta-alpha)^{n+1} \ S_{2}&=left|{int_{beta}^gamma f(x) ,mathrm{d}x}right|=displaystylefrac{|a|}{n+1}(gamma-beta)^{n+1} end{aligned})]
나아가 다른 모양에서도 위의 공식이 성립한다.
파일:namu_여러차수_3png.png
위 그림과 같은 개형의 짝수 차수 함수 [math(y=f(x))]의 그래프가 기울기가 0이 아닌 직선 [math(y=g(x))]와 [math((beta,,, f(beta)))]에서 접한다고 하자. [math(f(x)-g(x))]의 최고차항의 계수를 [math(a)]라 하면, 색칠된 영역의 넓이는 다음과 같다.
[math(displaystyle begin{aligned} S_{1}&=left|{int_{alpha}^beta { f(x)-g(x)} ,mathrm{d}x}right|=displaystylefrac{|a|}{3}(beta-alpha)^3 \ S_{2}&=left|{int_{beta}^gamma { f(x)-g(x)} ,mathrm{d}x}right|=displaystylefrac{|a|}{3}(gamma-beta)^3 end{aligned})]
파일:namu_그래프넓이관계_홀수차수_two_수정.png
위 그림과 같은 변곡점 [math((alpha,, f(alpha)))]를 기준으로 점대칭인 홀수 차수 함수 [math(f(x))]의 그래프와, 변곡점 [math((alpha,, f(alpha)))]를 지나는 임의의 직선 [math(g(x))]의 교점 중 오른쪽의 것을 [math((beta,, f(beta)))]라고 하자. [math(f(x)-g(x))]의 최고차항의 계수를 [math(a)]라 하면, 색칠된 영역의 넓이는 다음과 같다.
[math(S_1=S_2=displaystyleint_{alpha}^{beta} |f(x)-g(x)|;{rm d}x=dfrac{|a|}{n+1}(beta-alpha)^{n+1})]
3.3. 길이와 넓이의 관계
이 문단에서는 위에서 설명한 길이 공식과 넓이 공식의 관계를 설명하므로 위 문단의 내용을 먼저 참고하라.
3.3.1. 이차함수·삼차함수
파일:namu_삼차함수_이차함수_넓이_길이_수정.png
그래프의 개형이 위 그림과 같은 삼차함수 [math(y=f(x))]와 그 도함수 [math(y=f'(x))]에 대하여, 도함수의 그래프의 [math(x)]절편을 왼쪽부터 [math(alpha)], [math(beta)]라 하고, [math(f(x))]의 최고차항의 계수를 [math(a)]라 하면, [math(f'(x))]의 최고차항의 계수는 [math(3a)]이므로 색칠된 부분의 넓이 [math(S)]와 [math(y=f(x))]의 극댓값과 극솟값의 차 [math(l)]의 관계는 다음과 같다.
[math(displaystyle begin{aligned} S&=frac{|3a|}{2cdot 3}(beta-alpha)^{3}=frac{|a|}{2}(beta-alpha)^{3} \ l&=frac{|a|}{2}(beta-alpha)^{3}\ therefore S&=l end{aligned} )]
이 사실은 가장 근본적으로는 미적분의 기본정리 때문에 성립하는데, 위 그림의 색칠된 부분은 [math(x)]축보다 아래에 있으므로 다음이 성립한다.
[math(begin{aligned} S&=-displaystyleint_alpha^beta f'(x), {mathrm d}x\&=-{f(beta)-f(alpha)}\&=f(alpha)-f(beta)\&=l end{aligned})]
파일:namu_삼차이차관계_수정.png
개형이 위의 그림과 같은 삼차함수 [math(f(x))]의 그래프의 극점을 위쪽부터 [math(rm A)], [math(rm B)]라 하고, 이 두 점의 접선이 삼차함수의 그래프와 교차하는 점을 위쪽부터 [math(rm P)], [math(rm Q)]라 하면 위의 성질에 따라 다음이 성립한다.
[math(S_{1}=S_{2}=S_{3})]
그래프의 개형이 위 그림과 같은 삼차함수 [math(y=f(x))]와 그 도함수 [math(y=f'(x))]에 대하여, 도함수의 그래프의 [math(x)]절편을 왼쪽부터 [math(alpha)], [math(beta)]라 하고, [math(f(x))]의 최고차항의 계수를 [math(a)]라 하면, [math(f'(x))]의 최고차항의 계수는 [math(3a)]이므로 색칠된 부분의 넓이 [math(S)]와 [math(y=f(x))]의 극댓값과 극솟값의 차 [math(l)]의 관계는 다음과 같다.
[math(displaystyle begin{aligned} S&=frac{|3a|}{2cdot 3}(beta-alpha)^{3}=frac{|a|}{2}(beta-alpha)^{3} \ l&=frac{|a|}{2}(beta-alpha)^{3}\ therefore S&=l end{aligned} )]
이 사실은 가장 근본적으로는 미적분의 기본정리 때문에 성립하는데, 위 그림의 색칠된 부분은 [math(x)]축보다 아래에 있으므로 다음이 성립한다.
[math(begin{aligned} S&=-displaystyleint_alpha^beta f'(x), {mathrm d}x\&=-{f(beta)-f(alpha)}\&=f(alpha)-f(beta)\&=l end{aligned})]
파일:namu_삼차이차관계_수정.png
개형이 위의 그림과 같은 삼차함수 [math(f(x))]의 그래프의 극점을 위쪽부터 [math(rm A)], [math(rm B)]라 하고, 이 두 점의 접선이 삼차함수의 그래프와 교차하는 점을 위쪽부터 [math(rm P)], [math(rm Q)]라 하면 위의 성질에 따라 다음이 성립한다.
[math(S_{1}=S_{2}=S_{3})]
3.3.2. 삼차함수·사차함수
파일:나무_삼차함수_사차함수_넓이_길이_관계.png
그래프의 개형이 위 그림과 같은 사차함수 [math(f(x))]와 도함수 [math(f'(x))]에 대하여, 도함수의 그래프의 [math(x)]절편을 왼쪽부터 [math(alpha)], [math(beta)]라 하자. 한편 [math(f(x))]의 최고차항의 계수를 [math(a)]라 하면 [math(f'(x))]의 최고차항의 계수는 [math(4a)]이므로, 색칠된 부분의 넓이 [math(S)]와 접선의 기울기가 0인 [math(f(x))]의 그래프 위의 점들의 [math(y)]좌표 간 거리 [math(l)]의 관계는 다음과 같다.
[math(displaystyle begin{aligned} S&=frac{|4a|}{3cdot 4}(beta-alpha)^{4}=frac{|a|}{3}(beta-alpha)^{4} \ l&=frac{|a|}{3}(beta-alpha)^{4}\ therefore S&=l end{aligned} )]
이 사실은 가장 근본적으로는 미적분의 기본정리 때문에 성립하는데, 위 그림의 색칠된 부분은 [math(x)]축보다 아래에 있으므로 다음이 성립한다.
[math(begin{aligned} S&=-displaystyleint_alpha^beta f'(x), {mathrm d}x\&=-{f(beta)-f(alpha)}\&=f(alpha)-f(beta)\&=l end{aligned})]
그래프의 개형이 위 그림과 같은 사차함수 [math(f(x))]와 도함수 [math(f'(x))]에 대하여, 도함수의 그래프의 [math(x)]절편을 왼쪽부터 [math(alpha)], [math(beta)]라 하자. 한편 [math(f(x))]의 최고차항의 계수를 [math(a)]라 하면 [math(f'(x))]의 최고차항의 계수는 [math(4a)]이므로, 색칠된 부분의 넓이 [math(S)]와 접선의 기울기가 0인 [math(f(x))]의 그래프 위의 점들의 [math(y)]좌표 간 거리 [math(l)]의 관계는 다음과 같다.
[math(displaystyle begin{aligned} S&=frac{|4a|}{3cdot 4}(beta-alpha)^{4}=frac{|a|}{3}(beta-alpha)^{4} \ l&=frac{|a|}{3}(beta-alpha)^{4}\ therefore S&=l end{aligned} )]
이 사실은 가장 근본적으로는 미적분의 기본정리 때문에 성립하는데, 위 그림의 색칠된 부분은 [math(x)]축보다 아래에 있으므로 다음이 성립한다.
[math(begin{aligned} S&=-displaystyleint_alpha^beta f'(x), {mathrm d}x\&=-{f(beta)-f(alpha)}\&=f(alpha)-f(beta)\&=l end{aligned})]
4. 관련 문서
[1] 5차부터는 브링 근호 같은 특수함수를 이용해야 한다.[2] 이러한 팁들은 교과서는 물론이고 수능 연계 교재에도 잘 언급되지 않는 내용인데, EBSi 모의고사 해설 강의에서는 그나마 알려주기는 한다.[3] 트렌드는 조금 다르다.[4] 한국교육과정평가원의 경향을 반영하는 사설 모의고사 또는 학교 시험에서도 출제될 수 있다.[5] 2단원 미분 단원 중 도함수의 활용 부분이다.[6] 2017 수능 ~ 2021 수능 시기에서는 문과(수학 나형)만의 직접 출제 범위였으며, 이과(수학 가형)은 간접 출제 범위에 그쳤다. 하지만 2021년에 실시되는 2022 수능부터는 문·이과 공통 범위가 되었으므로 수능을 치를 고등학생이라면 누구도 소홀히 해서는 안 될 것이다.[7] 다루는 함수의 범위를 다항함수로 한정하지 않으면 점대칭이 아닌데도 대칭구간의 적분값이 0인 경우가 있는데, [math(y={bold 1}_{mathbb Q}(x))[8] 다루는 함수의 범위를 다항함수로 한정하지 않으면 점대칭이 아닌데도 대칭구간의 적분값이 0인 경우가 있는데, [math(y={bold 1}_{mathbb Q}(x))[9] 다루는 함수의 범위를 다항함수로 한정하지 않으면 점대칭이 아닌데도 대칭구간의 적분값이 0인 경우가 있는데, [math(y={bold 1}_{mathbb Q}(x))[10] 다루는 함수의 범위를 다항함수로 한정하지 않으면 점대칭이 아닌데도 대칭구간의 적분값이 0인 경우가 있는데, [math(y={bold 1}_{mathbb Q}(x))[11] 삼차함수 문서의 개형 ②, ③, ⑤, ⑥[12] '실수 전체의 집합에서'라는 단서를 달아야만 한다. 그렇지 않으면 그 어떤 함수에서도 최솟값, 최댓값, 극값이 존재하도록 하는 유한한 범위를 얼마든지 정할 수 있기 때문이다.[13] '실수 전체의 집합에서'라는 단서를 달아야만 한다. 그렇지 않으면 그 어떤 함수에서도 최솟값, 최댓값, 극값이 존재하도록 하는 유한한 범위를 얼마든지 정할 수 있기 때문이다.[14] '실수 전체의 집합에서'라는 단서를 달아야만 한다. 그렇지 않으면 그 어떤 함수에서도 최솟값, 최댓값, 극값이 존재하도록 하는 유한한 범위를 얼마든지 정할 수 있기 때문이다.[15] '실수 전체의 집합에서'라는 단서를 달아야만 한다. 그렇지 않으면 그 어떤 함수에서도 최솟값, 최댓값, 극값이 존재하도록 하는 유한한 범위를 얼마든지 정할 수 있기 때문이다.[16] 직접 [math(biggl( dfrac{mb+na}{m+n},,0 biggr))[17] 단, [math(f(a))[18] 상수함수는 실수 전체의 집합에서 함숫값이 일정하므로 [math(displaystyle frac{f(a)+f(b)}{2} boldsymbol{=} f biggl( frac{a+b}{2} biggr) )[19] 사실 꼭 [math(aleq b)[20] 사실 꼭 [math(aleq b)[21] 사실 꼭 [math(aleq b)[22] 이게 없으면 다항함수가 아닌 초등함수([math(cos x)[23] 당장 삼차함수 추론 공식에 [math(y=tan x)[24] 참고로 다항함수가 아닌 홀함수는 다항함수인 홀함수의 무한합으로 근사할 수 있다.[25] 참고로 다항함수가 아닌 짝함수는 다항함수인 짝함수의 무한합으로 근사할 수 있다.[26] 사실 [math(cos x)[비교] 27.1 27.2
![파일:namu_이차함수_현수선_비교.png]()
[28] 참고로 다항함수가 아닌 홀함수는 다항함수인 홀함수의 무한합으로 근사할 수 있다.[29] 참고로 다항함수가 아닌 짝함수는 다항함수인 짝함수의 무한합으로 근사할 수 있다.[30] 사실 [math(cos x)[32] 대칭축이 [math(x=0)[33] 예시로 든 아래의 정규분포 함수의 경우 점근선 [math(y=0)[34] 유클리드 거리함수(Euclidean metric) 혹은 [math(l^2)[35] [math(T)[36] [math(dag)[37] 즉 최고차항의 계수의 절댓값이 클수록 초점과 준선이 꼭짓점에 가까워지고, 작을수록 멀어진다.[38] 그림에서는 이차함수의 그래프와 [math(x)[39] [math(n)