문서:주대각합

역사 raw
대문 랜덤 문서 최근 토론
분류


Trace
1. 개요2. 성질
2.1. 기본적인 성질2.2. 파생되는 성질2.3. 다른 개념들과의 관계
3. 같이 보기

1. 개요

정사각행렬([math(ntimes n)] 행렬)의 주대각성분들을 다 더한 값으로, 행렬 [math(A)]의 주대각합은 [math(mathrm{tr}(A))]로 표기한다. 행렬식(determinant)과 깊은 연관이 있다.
[math(A= begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & cdots & a_{1,n} \ a_{2,1} & a_{2,2} & cdots & a_{2,n} \ vdots & vdots & ddots & vdots \ a_{n,1} & a_{n,2} & cdots & a_{n,n} end{pmatrix})]
이라고 하면, [math(mathrm{tr}(A) = a_{1,1} + a_{2,2} + cdots + a_{n,n})]이다.

2. 성질

2.1. 기본적인 성질

[math(A)]가 [math(m times n)]행렬이고, [math(B)]는 [math(ntimes m)]행렬일 때,
[math( mathrm{tr}(AB)=mathrm{tr}(BA))]
이 때, A, B는 정사각행렬이 아니어도 된다.

이외에도 특수한 행렬에 대해서 다음이 성립한다.
  • 영행렬 [math(O)]에 대해서 [math(mathrm{tr}(O) = 0)]이다.
  • [math(n)]차 단위행렬 [math(I_n)]에 대해서 [math(mathrm{tr}(I_n) = n)]이다.

2.2. 파생되는 성질

아래 성질들은 모두 determinant 또한 만족하는데, 이는 det의 기본 성질인 [math( det(AB) = det(A) det(B) )][1]에서 비롯된다.
  • 상사인 두 행렬 A, B에 대해 [math( mathrm{tr}(A)=mathrm{tr}(B))]. det도 마찬가지.
  • 이는 A를 대각화한 행렬 D, 삼각화한 행렬 T에 대해서도 당연히 성립. det도 마찬가지.
  • 따라서 determinant는 고윳값들의 곱이고, trace는 고윳값들의 합이다. D, T의 주대각성분은 고윳값들로 이루어져있기 때문이다. 복소수 범위에서 대각화 또는 삼각화는 항상 가능하기 때문에, 이 성질도 마찬가지로 항상 성립한다.[3]

2.3. 다른 개념들과의 관계

위 성질들 때문에 determinant와 관련된 성질이 굉장히 많아진다.
  • [math(ntimes n)] 행렬 [math(A)]의 특성 다항식의 n-1차항 계수는 [math( - mathrm{tr}(A))]이다.
    <math>det(xI-A)=displaystylesum_{sigmain S_{n}}mathrm{sgn}(sigma)prod_{i=1}^{n}(xdelta_{isigma(i)}-a_{isigma(i)})</math>
    에서, <math>mathrm{sgn}(sigma)prod_{i=1}^{n}(xdelta_{isigma(i)}-a_{isigma(i)})</math>가 n-1차 이상일 때만, <math>det(xI-A)</math>의 n-1차 항의 계수에 영향을 주는데, 그러한 경우는 <math>sigma(i)=i</math>인 경우 밖에 없음을 쉽게 확인할 수 있다.
  • [math( det(e^A)=e^{mathrm{tr}(A)} )]. 이때 [math(displaystyle e^A= sum_{i=0}^{infty} frac{1}{i!} A^i )]이다. 테일러 급수 참고.
  • 두 벡터 [math(mathbf{a}, mathbf{b})]에 대해서 [math(mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathrm{tr}(mathbf{a} otimes mathbf{b}))]가 성립한다.

3. 같이 보기


[1] A, B는 정사각행렬[2] 이 성질은 스칼라 체가 너무 후져서 대각화 또는 삼각화가 안되는 경우에도 특성다항식의 계수와 주대각합의 관계로 대신해서 생각해볼 수 있다. 이에 대해선 아래에 후술.[3] 이 성질은 스칼라 체가 너무 후져서 대각화 또는 삼각화가 안되는 경우에도 특성다항식의 계수와 주대각합의 관계로 대신해서 생각해볼 수 있다. 이에 대해선 아래에 후술.