문서:역함수

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1. 개요2. 성질3. 도출
3.1. 예 13.2. 예 2
4. 역함수의 예5. 역함수의 [[미분]]6. 역함수의 [[적분]]7. 기타


파일:namu_역함수_예시.png
대표적인 역함수 관계인 [math(boldsymbol{a^x})]와 [math(boldsymbol{log_a{x}})]

1. 개요

inverse function · 逆函數

함수 [math(f:Xto Y)]가 전단사(일대일대응)이면 그 역함수

[math(f^{-1} :Yto X)]

를 생각할 수 있는데, 이는 [math(Y)]의 원소 [math(y)]에 대해 [math(fleft(xright)=y)]인 유일하게 존재하는 [math(x)]를 대응시키는 것이다. 즉,

[math(fleft(xright)=yLeftrightarrow f^{-1}left(yright)=x)]

이고, 함수의 정의 때문에 이는 [math(f)]가 전단사일 때밖에 생각할 수 없다. 전단사가 아닌 함수는 조각적 정의나 해석적 확장[1]의 역함수인 [math(arcsin)]의 경우 [math(|x|>1)]인 실수 영역에서는 [math(picdot{rm sgn}(x)/2 boldsymbol{,+,ik})](단, [math(k in {mathbb Rbackslash{0}})])꼴로 함숫값을 표현한다.] 등을 사용해야 한다.

파일:namu_역함수_개념도.png

2. 성질

역함수가 존재하는 함수 [math(f: X to Y)]와 그 역함수 [math(f^{-1}: Yto X)]를 고려하자.
  • 본 함수와 역함수의 합성
    • [math(f circ f^{-1})]는 [math(Y)]에서의 항등함수이다.
    • [math(f^{-1} circ f)]는 [math(X)]에서의 항등함수이다.
      • [math(f)]의 정의역과 치역이 실수 전체 집합이면, [math(f circ f^{-1}=f circ f^{-1}=I)] (단, [math(I)]는 항등함수)
  • 역함수의 그래프 [math(boldsymbol{y=f^{-1}(x)})]의 그래프는 본 함수 [math(boldsymbol{y=f(x)})]와 [math(boldsymbol{y=x})]에 대하여 대칭이다.
    • 이는 본 함수의 그래프가 [math((x,,f(x)))]를 지나면, 역함수는 정의에 의하여 [math((f(x),,x))]를 지나기 때문이다.
    • 본 함수가 미분 가능한 함수이고 그 도함수의 함숫값이 0인 점이 있을 경우, 역함수의 도함수에서 대응점은 특이점이 된다.
  • 연속함수의 그래프와 그 역함수의 그래프의 교점
    • 증가하는 연속함수의 그래프와 그 역함수의 그래프의 교점은 [math(y=x)] 위에 있다.[4]보다 큰 지수함수와 로그함수는 증가하는 연속함수임에도 [math(y=x)]와의 교점이 없다.]
    • 감소하는 연속함수의 그래프와 그 역함수의 그래프의 교점의 개수는 홀수이며, 항상 [math(y=x)] 위의 교점을 1개 갖는다.

3. 도출

역함수는 [math(y=x)]에 대칭이기 때문에, 다음과 같은 방법으로 역함수를 도출할 수 있다.

  1. 본 함수의 [math(x)], [math(y)]의 자리를 바꾼다.
  2. 1의 식에서 다시 [math(y)]를 [math(x)]에 대한 식으로 표현함으로써 역함수를 얻는다.

3.1. 예 1

[math(y=3x+1)]

  1. 본 함수의 [math(x)], [math(y)]의 자리를 바꾼다.

    [math(x=3y+1)]

  2. 1의 식에서 다시 [math(y)]를 [math(x)]에 대한 식으로 표현함으로써 역함수를 얻는다.

    [math(3y=x-1 ;to ; boldsymbol{ y=dfrac{x}{3}-dfrac{1}{3} })]


3.2. 예 2

[math(y=e^{x-4})] (단, [math(e)]는 자연로그의 밑)

  1. 본 함수의 [math(x)], [math(y)]의 자리를 바꾼다.

    [math(x=e^{y-4})]

  2. 1의 식에서 다시 [math(y)]를 [math(x)]에 대한 식으로 표현함으로써 역함수를 얻는다.

    [math( begin{aligned} ln{x}&=ln{e^{y-4}} \ &=y-4 ; to ; boldsymbol{y=ln{x}+4} end{aligned})]


4. 역함수의 예


5. 역함수의 미분



6. 역함수의 적분

원본 함수 대비해서 비교가 되지 않는 난도를 자랑한다. 가령 이차함수의 역함수인 제곱근 함수는 삼각치환을 동원해야 하며, 삼각함수와 지수함수는 부분적분에서 LIATE 법칙의 오른쪽(적분 우선)에 속하는 반면 그 역함수인 역삼각함수와 로그함수는 왼쪽(미분 우선)이다. 심지어 람베르트 [math(W)] 함수 같은 경우 LIATE 밖의 함수답게 로그함수 적분을 따위로 만들 정도의 까다로움을 자랑한다.

정적분의 경우는 해석기하학적 방법을 이용할 수도 있다.

7. 기타

  • 북한에서는 역함수를 '거꿀함수'라고 한다.

[1] 가령 [math(sin)[2] 반례로, 밑이 [math(e^{1/e})[3] 반례로, 밑이 [math(e^{1/e})[4] 반례로, 밑이 [math(e^{1/e})[5] 범'함수'로서의 역함수 관계. 이는 따로 견인(Pullback)이라고 칭한다.[6] 범'함수'로서의 역함수 관계. 이는 따로 견인(Pullback)이라고 칭한다.