문서:다항함수/추론 및 공식

[[분류:대학수학능력시험]][[분류:대수학]][[분류:해석학(수학)]][[분류:초등함수]][[분류:나무위키 수학 프로젝트]]
[include(틀:상위 문서, top1=다항함수)]
[include(틀:해석학·미적분학)]
[include(틀:초등함수의 목록)]
[목차]
== 개요 ==
중·고등학교 수학과 교육과정에서 다루는 [[다항함수]]의 범위는 [[상수함수]], [[일차함수]], [[이차함수]], [[삼차함수]], [[사차함수]][* 5차부터는 [[브링 근호]] 같은 [[특수함수]]를 이용해야 한다.]인데, 이와 관련하여 교육과정에서 직접적으로 다루지는 않는 유용한 팁들을 기재하는 문서이다.[* 이러한 팁들은 교과서는 물론이고 수능 연계 교재에도 잘 언급되지 않는 내용인데, [[EBSi]] 모의고사 해설 강의에서는 그나마 알려주기는 한다.] 이러한 팁들을 사용하면 [[한국교육과정평가원]]이 실시하는 시험([[수능]], [[임용고시]][* 트렌드는 조금 다르다.], [[수능 모의평가]] 등)에서 나오는 고난도 문항[* [[한국교육과정평가원]]의 경향을 반영하는 사설 모의고사 또는 학교 시험에서도 출제될 수 있다.]에서 다항함수의 차수, 그래프의 개형 및 위치를 추론하기 편해진다. 현 교육과정([[2015 개정 교육과정]])에서는 [[수학Ⅱ(2015)|수학Ⅱ]]의 '[[미분적분학]]' 파트[* 2단원 미분 단원 중 도함수의 활용 부분이다.]와 연계도가 짙으며, [[2022학년도 대학수학능력시험|2022 수능]]부터 공통 출제 범위이다.[* [[2017학년도 대학수학능력시험|2017 수능]] ~ [[2021학년도 대학수학능력시험|2021 수능]] 시기에서는 문과(수학 나형)만의 직접 출제 범위였으며, 이과(수학 가형)은 간접 출제 범위에 그쳤다. 하지만 2021년에 실시되는 2022 수능부터는 문·이과 공통 범위가 되었으므로 수능을 치를 고등학생이라면 누구도 소홀히 해서는 안 될 것이다.] 이 문서를 읽기에 앞선 배경 지식은 [[상수함수]], [[일차함수]], [[이차함수]], [[삼차함수]], [[사차함수]]를 참고하라. 또한, 해당 내용과 관련된 평가원이나 교육청의 고교 수능형 기출 문제를 예제로 실었다.
== 추론 ==
이 문단에서는 다항함수의 차수나 개형을 추론하게 해주는 단서를 소개한다.
=== 개형 ===
==== 점대칭([[홀함수]]) ====
임의의 실수 [math(t)], [math(a)], [math(b)]에 대하여 다음이 성립한다.
||<table width=100%>
 * 함수 [math(f(x))]의 그래프가 점 [math((a,\, b))]에 대하여 점대칭이면 
  * [math(f(a-x)+f(a+x)=2b)]
  * [math(\displaystyle \int_{a-t}^{a+t} \{f(x)-b\} \,\mathrm{d}x = 0)]
 * 대칭점이 [math(x)]축 위에 있으면, 곧 [math(b=0)]이면 
  * [math(f(a-x)+f(a+x)=0)]
  * [math(\displaystyle \int_{a-t}^{a+t} f(x) \,\mathrm{d}x = 0)]
 * 대칭점이 [math(y)]축 위에 있으면, 곧 [math(a=0)]이면 
  * [math(f(-x)+f(x)=2b)]
  * [math(\displaystyle \int_{-t}^t \{f(x)-b\} \,\mathrm{d}x = 0)]
 * 원점 대칭([[홀함수]])이면, 곧 [math(a=b=0)]이면 
  * [math(f(-x)+f(x)=0)]
  * [math(\displaystyle \int_{-a}^a f(x) \,\mathrm{d}x = 0)][* 다루는 함수의 범위를 다항함수로 한정하지 않으면 점대칭이 아닌데도 대칭구간의 적분값이 0인 경우가 있는데, [[집합 판별 함수|[math(y={\bold 1}_{\mathbb Q}(x))]]]가 그 예이다.]||

일차함수 [math(f(x))]와 임의의 실수 [math(a)]에 대하여 다음이 성립한다.
||<table width=100%>
  * [math(f(x-a)+f(x+a)=2f(x))] ||
이를 증명하여 보자. [math(f(x)=px+q)]라고 하면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\begin{aligned} p(x-a)+q+p(x+a)+q&=2px+2q \\ &=2(px+q) \\&=2f(x) \end{aligned})]}}}
[[해석기하학]]적으로는, '''일차함수의 그래프는 그래프 위의 임의의 점에 대하여 점대칭'''이라는 의미가 된다. 다른 홀함수와는 달리, 일차함수의 그래프는 양쪽으로 한없이 뻗어나가는 직선이므로, '''어느 점을 잡아도''' 그 점에 대하여 점대칭이 될 수밖에 없다.
==== 좌우 대칭([[짝함수]]) ====
임의의 실수 [math(a)]에 대하여 다음이 성립한다.
||<table width=100%>
 * 함수 [math(f(x))]의 그래프가 직선 [math(x=a)]에 대하여 대칭이면 
  * [math(f(a-x)=f(a+x))]
  * [math(\displaystyle \int_{a-t}^a f(x) \,\mathrm{d}x = \int_a^{a+t} f(x) \,\mathrm{d}x)]||

==== 일대일대응 ====
모든 일차함수와, 일부 삼차함수[* [[삼차함수]] 문서의 개형 ②, ③, ⑤, ⑥]는 일대일대응이며, 상수함수, 이차함수, 사차함수는 일대일대응이 될 수 없다.

||<table width=100%>
 * [math(f(x))]는 일대일대응이다.
  * [math(f(x))]의 [[역함수]]가 존재한다.
  * 임의의 서로 다른 두 실수 [math(a)], [math(b)]에 대하여
   * [math(a<b)]이면 [math(f(a)<f(b))]이다. ([math(f(x))]는 증가함수이다.)
   * [math(a<b)]이면 [math(f(a)>f(b))]이다. ([math(f(x))]는 감소함수이다.)
  * 실수 전체의 집합에서 [math(f(x))]의 최솟값과 최댓값이 존재하지 않는다.
  * 실수 전체의 집합에서 [math(f(x))]의 극값이 존재하지 않는다.[* '실수 전체의 집합에서'라는 단서를 달아야만 한다. 그렇지 않으면 그 어떤 함수에서도 [[최솟값]], [[최댓값]], [[극값]]이 존재하도록 하는 [[유계|유한한 범위]]를 얼마든지 정할 수 있기 때문이다.]||

[[접선]]의 기울기가 0인 점이 존재하지 않아야만 일대일대응인 것은 아님에 유의해야 한다. 접선의 기울기가 0인 점이라고 해서 꼭 감소하다가 증가하거나 증가하다가 감소하는 것이 아니기 때문이다. 예를 들어 [[https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3Dx%5E3|[math(y=x^3)]]]은 [math(x=0)]에서의 접선의 기울기가 0이지만 틀림없이 증가함수이며, 따라서 일대일대응이다. 대신 이 경우 [[역함수]]의 [[도함수]]는 해당 점이 [[특이점#s-2.1]]이 된다.(즉, 기울기가 발산한다) [[https://www.wolframalpha.com/input/?i=d%2Fdx+x%5E%281%2F3%29|[math(y=x^3)]의 역함수의 도함수]]

그러나 미분가능한 함수의 그래프에 접선의 기울기가 0인 점이 존재하지 않으면 무조건 일대일대응이다. 우선, 일대일대응이 되지 않으려면 증가하다가 감소하거나, 감소하다가 증가해야 한다. 그러기 위해서 함수 [math(f(x))]의 그래프는 증가하다가 감소하거나 감소하다가 증가하는 부분에서 접선의 기울기가 어느 한 순간 반드시 0이 되어야만 한다. 그런데 어떤 함수의 그래프에 접선의 기울기가 0인 점이 존재하지 않으면 그 함수는 증가하다가 감소하거나 감소하다가 증가할 여지 자체가 없어지고, 이는 곧 함수 [math(f(x))]가 일대일대응이 될 수밖에 없다는 뜻이다.

결국 '접선의 기울기가 0인 점이 존재하지 않는다'는 '일대일대응이다'의 [[충분조건]]일 뿐이지, 결코 [[필요충분조건]]은 아니다. 다시 말해서 이 두 진술을 완전히 같은 의미로 받아들여 서로 치환할 수는 없는 노릇이다.

==== [[볼록#s-2.1|오목·볼록]] ====
닫힌 구간 [math([a,\,b])]에서 연속인 함수 [math(f(x))]에 대하여 두 양수인 상수 [math(m)], [math(n)]에 대하여 다음이 성립한다.
||<table width=100%>
 * [math(f(x))]가 아래로 볼록(위로 오목)
  * [math(\displaystyle \frac{mf(b)+nf(a)}{m+n}>f \biggl( \frac{mb+na}{m+n} \biggr) )]
 * [math(f(x))]가 위로 볼록(아래로 오목)
  * [math(\displaystyle \frac{mf(b)+nf(a)}{m+n}<f \biggl( \frac{mb+na}{m+n} \biggr) )]

특히 [math(m=n=1)]일 경우
 * [math(f(x))]가 아래로 볼록(위로 오목)
  * [math(\displaystyle \frac{f(a)+f(b)}{2}>f \biggl( \frac{a+b}{2} \biggr) )]
 * [math(f(x))]가 위로 볼록(아래로 오목)
  * [math(\displaystyle \frac{f(a)+f(b)}{2}<f \biggl( \frac{a+b}{2} \biggr) )] ||

각 수식의 의미를 먼저 파악해보자. 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \frac{mb+na}{m+n} )]}}}
의 경우 [math(x)]축 위의 두 점 [math((a,\,0))], [math((b,\,0))]을 [math(m:n)]으로 내분하는 점의 [math(x)]좌표이다. 즉,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle f \biggl( \frac{mb+na}{m+n} \biggr) )]}}}
는 해당 내분점의 [math(x)]좌표에 대한 [math(f(x))]의 함숫값이다.

이번에는 두 점 [math((a,\,f(a)))], [math((b,\,f(b)))]를 연결하는 직선 [math(l)]을 생각한다. 위에서 구한 내분점의 [math(x)]좌표에 대한 직선 위의 점은 곧 두 점 [math((a,\,f(a)))], [math((b,\,f(b)))]를 [math(m:n)]으로 내분하는 점이다.[* 직접 [math(\biggl( \dfrac{mb+na}{m+n},\,0 \biggr))]을 직선 [math(l)]의 방정식 [math(y=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a))]에 대입하여 구해봐도 되지만 닮음에 의하여 [math(m:n)]으로 내분하는 점임이 명백하다.] 따라서 해당 점의 [math(y)]좌표는 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \frac{mf(b)+nf(a)}{m+n} )]}}}
가 된다. 위 결과는 곧 
 1. [math(x)]축 위의 내분점의 [math(x)]좌표에 대한 직선 [math(l)] 위의 함숫값 [math(\dfrac{mf(b)+nf(a)}{m+n})]
 1. [math(x)]축 위의 내분점의 [math(x)]좌표에 대한 [math(f(x))]의 함숫값 [math(\displaystyle f \biggl( \frac{mb+na}{m+n} \biggr))]

의 대소를 비교하는 것으로 이르게 된다.

곡선의 오목·볼록의 정의에 따라 구간 내에서 아래로 볼록한 함수의 함숫값은 직선 [math(l)]보다 밑에 있게 되어 2는 1보다 항상 아래에 있으므로  
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \frac{mf(b)+nf(a)}{m+n}>f \biggl( \frac{mb+na}{m+n} \biggr) )]}}}
반대로 구간 내에서 위로 볼록한 함수의 함숫값은 직선 [math(l)]보다 밑에 있게 되어 2는 1보다 항상 위에 있으므로
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \frac{mf(b)+nf(a)}{m+n}<f \biggl( \frac{mb+na}{m+n} \biggr) )]}}}

위 내용을 좌표평면상에서 시각화해보면 아래와 같다. [math((\rm a))], [math((\rm b))]는 각각 [math(f(x))]가 구간에서 아래로 볼록한 경우, 위로 볼록한 경우이다.

[[파일:namu_곡선_오목_볼록_2_NEW.svg|width=250&align=center]]

닫힌 구간 [math([a,\,b])]에서 연속인 함수 [math(f(x))]에 대하여 다음이 성립한다.
||<table width=100%>
 * [math(f(x))]가 아래로 볼록(위로 오목)
  * [math(\displaystyle\int_a^b f(x)\,{\rm d}x < \dfrac{b-a}{2}\{f(a)+f(b)\})]
 * [math(f(x))]가 위로 볼록(아래로 오목)
  * [math(\displaystyle\int_a^b f(x)\,{\rm d}x > \dfrac{b-a}{2}\{f(a)+f(b)\})] ||

이를 쉽게 생각하기 위해서 [math(f(x) \geq 0)]이라는 제약을 걸고 분석을 해보자. 우선 수식
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\dfrac{b-a}{2}\{f(a)+f(b)\}=S)]}}}
의 의미를 파악해보자. 이는 구간 [math([a,\,b])]에서 높이가 [math(b-a)]이고, 윗변과 아랫변의 길이가 각각 [math(f(a))], [math(f(b))]인 [[사다리꼴]]의 넓이가 된다.[* 단, [math(f(a))]와 [math(f(b))] 중 하나가 0이면 [[직각삼각형]]의 넓이가 됨에 유의하자.] 이 사다리꼴은 [math(x)]축, [math(x=a)], [math(x=b)], [math((a,\,f(a)))], [math((b,\,f(b)))]를 지나는 직선 [math(l)] 이렇게 네 직선으로 둘러싸인 도형이다.

또한 수식
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,{\rm d}x=T)]}}}
는 [math(x)]축, [math(x=a)], [math(x=b)], [math(f(x))]의 그래프로 둘러싸인 영역의 넓이를 의미한다.

함수가 아래로 볼록할 경우 구간 [math([a,\,b])]의 함숫값은 직선 [math(l)]보다 아래에 위치하므로 [math(S < T)], 위로 볼록할 경우 위에 위치하므로 [math(S>T)]인 것이다.

단, [math(f(x) \leq 0)]인 경우에는 [math(S)], [math(T)]를 영역의 넓이에 '''음의 부호'''를 붙인 것임에 유의하자. 이 경우에도 위 수식은 성립한다.

모든 경우가 포함된 경우에도 위 수식은 성립하며, 한 영역을 [math(f(x) \geq 0)] 혹은 [math(f(x) \leq 0)]인 구간으로 나누고 적용한 결과를 종합하면 이를 증명할 수 있다.

[math(f(x) \geq 0)]일 때 [math((\rm a))]의 아래로 볼록한 경우와 [math((\rm b))]의 위로 볼록한 경우에 대한 위 내용을 좌표평면상에서 시각화해보면 아래와 같다.

[[파일:namu_다항함수추론_오목볼록.svg|width=400&align=center]]


한편 오목·볼록을 판별할 수 없는 함수도 있다. 다항함수의 경우는 [[상수함수]]가 그 예이며[* 상수함수는 실수 전체의 집합에서 함숫값이 일정하므로 [math(\displaystyle \frac{f(a)+f(b)}{2} \boldsymbol{=} f \biggl( \frac{a+b}{2} \biggr) )]이다.], 이외에는 [[집합 판별 함수#s-2|디리클레 함수]] 같은 완전 불연속함수나 [[바이어슈트라스 함수]] 같은 병리적 연속함수가 또 다른 예이다.
=== 차수 ===
==== 상수함수 ====
임의의 실수 [math(a)], [math(b)] ([math(a<b)])에 대하여 다음이 성립한다.
||<table width=100%>
 * [math(\displaystyle \frac{(b-a)}{2}\{f(a)+f(b)\}=\displaystyle \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x)]
 * [math((b-a)f(a)=(b-a)f(b)=\displaystyle \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x)] ||
상수함수의 함숫값은 일정하여 [math(f(a)=f(b))]인바 위의 두 표현은 결국 같은 말이다. 위의 표현은 일차함수에도 해당되는 표현인 반면 아래의 표현은 상수함수에만 해당된다. 다만 [[다항함수/추론 및 공식#s-2.3|반례]]가 있기 때문에 함수열을 잘 확인해야 한다.

이를 증명하여 보자. [math(f(x)=k)]로 놓으면 [math(f(a)=f(b)=k)]이므로
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\begin{aligned} \frac{(b-a)}{2}\{f(a)+f(b)\}&=(b-a)\dfrac{2k}{2}\\&=k(b-a) \end{aligned})]}}}
한편, [math(f(x))]의 [[역도함수]]는 [math(F(x)=kx)]이므로
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned}  \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x&=F(b)-F(a)\\&=kb-ka\\&=k(b-a) \\ \\ \therefore\displaystyle \frac{(b-a)}{2}\{f(a)+f(b)\}&=\displaystyle \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x\end{aligned} )]}}}
{{{#!folding [좌표평면상에서 분석해보기]
-----
'''[1]''' [math(f(x)>0)]인 경우
이 경우 [[정적분]]은 가로의 길이가 [math(b-a)]이고, 높이가 [math(f(a)=f(b))]인 [[직사각형]]의 넓이와 같으므로 다음이 성립한다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\begin{aligned} \int_{a}^{b}=(b-a)f(a)=(b-a)f(b) \end{aligned})]}}}
'''[2]''' [math(f(x)=0)]인 경우
이 경우 정적분은 0이 되며, 이것은 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\begin{aligned} \int_{a}^{b}=(b-a)f(a)=(b-a)f(b) \end{aligned})]}}}
에 [math(f(a)=f(b)=0)]을 대입한 결과와 같다.

'''[3]''' [math(f(x)<0)]인 경우
이 경우 정적분은 가로의 길이가 [math(b-a)]이고, 높이가 [math(-f(a)=-f(b))]인 직사각형의 넓이에 음을 붙인 것과 같으므로
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\begin{aligned} \int_{a}^{b}=-(b-a)\{-f(a)\}=-(b-a)\{-f(b)\} \end{aligned})]}}}
음의 부호는 상쇄되므로 이 경우에도 식이 성립한다.

[[파일:namu_상수함수_특성_NEW.svg|width=480&align=center]]
----
}}}

||<tablewidth=100%>
 * 임의의 세 실수 [math(a)], [math(b)], [math(c)]에 대하여
  * [math(f(a)+f(b)=2f(c))]
 * 임의의 네 실수 [math(a)], [math(b)], [math(c)], [math(d)]에 대하여
  * [math(f(a)+f(b)+f(c)=3f(d))]
{{{#!wiki style="text-align: left"
[math(\qquad \qquad \qquad \qquad \vdots)]}}}||
상수함수의 함숫값은 일정하므로 무조건 [math(f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=\cdots)]이기 때문이다.
==== 일차함수 ====
||<table width=100%>
 * 임의의 실수 [math(a)]에 대하여
  * [math(f(x-a)+f(x+a)=2f(x))] ||
다항함수 중에서 이를 만족시키는 함수는 '''일차함수밖에 없다.''' 이 식의 증명과 의미는 앞서 밝혔으므로 생략한다.


||<table width=100%>
 * 임의의 실수 [math(a)], [math(b)] ([math(a\leq b)])[* 사실 꼭 [math(a\leq b)]이어야 할 필요는 없으나, 앞으로의 설명을 돕기 위한 그래프에서 [math(a\leq b)]로 상정할 필요가 있어 이러한 단서를 달아놓는다.]에 대하여 
  * [math(\displaystyle\frac{b-a}{2}\{f(a)+f(b)\}=\displaystyle \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x)] ||
이를 증명하여 보자. [math(f(x)=px+q)]라고 하면 [math(f(x))]의 [[역도함수]]는 [math(F(x)=px^2/2+qx)]이다. 따라서
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x&=F(b)-F(a) \\&=\displaystyle \left(\frac{1}{2}pb^2+qb \right)-\left(\frac{1}{2}pa^2+qa \right) \\&=\left\{\dfrac{1}{2}p(b^2-a^2)\right\}+\{q(b-a)\} \\&= \displaystyle\frac{b-a}{2}\{p(a+b)+2q\} \\&=\frac{b-a}{2}(pa+q+pb+q) \\&=\frac{b-a}{2}\{f(a)+f(b)\} \end{aligned} )]}}}
{{{#!folding [좌표평면상에서 분석해보기]
-----
'''[1]''' [math(f'(x)>0)]이고, 구간 [math([a,\,b])]에서 [math(f(a)>0)], [math(f(b)>0)]인 경우
이 경우 [[정적분]]은 높이가 [math(b-a)]이고, 밑변과 윗변의 길이가 [math(f(a))], [math(f(b))]인 '''[[사다리꼴]]'''의 넓이와 같으므로
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\frac{b-a}{2}\{f(a)+f(b)\} )]}}}
'''[2]''' [math(f'(x)<0)]이고, 구간 [math([a,\,b])]에서 [math(f(a)<0)], [math(f(b)<0)]인 경우
이 경우 정적분은 높이가 [math(b-a)]이고, 밑변과 윗변의 길이가 [math(-f(a))], [math(-f(b))]인 사다리꼴의 넓이에 음의 값을 붙인 것과 같으므로
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle\begin{aligned} \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x&=-\frac{b-a}{2}\{-f(a)-f(b)\}\\&=\frac{b-a}{2}\{f(a)+f(b)\} \end{aligned})]}}}
'''[3]''' [math(f'(x)>0)]이고, 구간 [math([a,\,b])]에서 [math(f(a)=0)], [math(f(b)>0)]인 경우
이 경우 정적분은 높이가 [math(b-a)]이고, 밑변과 윗변의 길이가 [math(f(b))]인 '''[[직각삼각형]]'''의 넓이와 같으므로
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\frac{b-a}{2}f(b))]}}}
인데 이는 위 공식에서 [math(f(a)=0)]을 대입한 것과 같은 결과이다.

'''[4]''' [math(f'(x)>0)]이고, 구간 [math([a,\,b])]에서 [math(f(a)<0)], [math(f(b)=0)]인 경우
이 경우 정적분은 높이가 [math(b-a)]이고, 밑변과 윗변의 길이가 [math(-f(a))]인 직각삼각형의 넓이에 음을 붙인 것과 같으므로
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\left(-\frac{b-a}{2} \right)\{-f(a)\}=\frac{b-a}{2}f(a))]}}}
인데 이는 위 공식에서 [math(f(b)=0)]을 대입한 것과 같은 결과이다.

'''[5]''' [math(f'(x)<0)]이고, 구간 [math([a,\,b])]에서 [math(f(a)=0)], [math(f(b)<0)]인 경우
이 경우 정적분은 높이가 [math(b-a)]이고, 밑변과 윗변의 길이가 [math(f(b))]인 직각삼각형의 넓이에 음을 붙인 것과 같으므로
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\left(-\frac{b-a}{2} \right)\{-f(b)\}=\frac{b-a}{2}f(b))]}}}
인데 이는 위 공식에서 [math(f(a)=0)]을 대입한 것과 같은 결과이다.

'''[6]''' [math(f'(x)<0)]이고, 구간 [math([a,\,b])]에서 [math(f(a)>0)], [math(f(b)=0)]인 경우
이 경우 정적분은 높이가 [math(b-a)]이고, 밑변과 윗변의 길이가 [math(f(a))]인 직각삼각형의 넓이와 같으므로
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\frac{b-a}{2}f(a))]}}}
인데 이는 위 공식에서 [math(f(b)=0)]을 대입한 것과 같은 결과이다.

'''[7]''' [math(f'(x)>0)]이고, 구간 [math([a,\,b])]에서 [math(f(a)<0)], [math(f(b)>0)]인 경우
[math(f(c)=0)]이라 하면, 정적분은 [math([a,\, c])] 구간의 직각삼각형의 넓이에 음을 붙인 것과 [math([c,\, b])] 구간의 직각삼각형 넓이의 합과 같다. '''[3]'''~'''[6]'''의 결과를 사용하면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\frac{c-a}{2}f(a)+\frac{b-c}{2}f(b))]}}}
한편, [math(f(x)=px+q)]로 놓으면,
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:> [math(\displaystyle \begin{aligned} \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x&=\frac{(c-a)(pa+q)}{2}+\frac{(b-c)(pb+q)}{2} \\&=\frac{1}{2}[ b(bp+q)-a(ap+q)+pc(a-b)+pab-pab ]  \\&=\frac{1}{2}[ b(bp+q)-a(ap+q)+q(b-a)+pab-pab ] \quad (\because pc+q=0)   \\&=\frac{1}{2}[ b(bp+q)-a(ap+q)-a(pb+q)+b(pa+q) ] \\&=\frac{1}{2}[ b\{ f(a)+f(b)\}-a\{ f(a)+f(b) \} ] \\&=\frac{b-a}{2}\{f(a)+f(b) \}  \end{aligned})] ||
'''[8]''' [math(f'(x)<0)]이고, 구간 [math([a,\,b])]에서 [math(f(a)>0)], [math(f(b)<0)]인 경우
'''[7]'''과 비슷한 논법으로 확인할 수 있다.

[[파일:namu_일차함수_특성_01_08.svg|width=400&align=center]]
----
}}}

{{{#!folding [관련 예제]
----
이 내용은 '''2020 EBS 수능특강'''에 등장하여 '''2020 수능 나형 28번'''에 연계 출제되었다.

[[파일:namu_2020_수능_수학나_28번.png|width=380&align=center]]
수능특강에 [math(a)]와 [math(b)]로 나왔던 것이 수능에서는 각각 [math(1)]과 [math(x)]로 바뀌어 나왔다. (가)를 통해 [math(f(x))]의 차수를 추론할 수 있다. (가)의 양변을 미분하면
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(f(x)=\dfrac{1}{2}\{f(x)+f(1)\}+\dfrac{x-1}{2}f'(x))]}}}
양변에 [math(2)]를 곱하여 정리하면
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\,f(x)=f(1)+(x-1)f'(x) )]}}}
여기에서 [math(f(x))]가 일차함수임을 알아내는 방법은 두 가지이다.

'''[1]''' 계수비교법
좌변의 [math(f(x))]의 최고차항을 [math(ax^n)]이라고 하자. 그러면 우변의 [math(f'(x))]의 최고차항은 [math(nax^{n-1})]이며 [math((x-1)f'(x))]의 최고차항은 [math(nax^n)]이다. 따라서 [math(ax^n=nax^n)]이어야 하므로 계수비교법에 의하여 [math(n=1)]이며, [math(f(x))]는 일차함수이다.

'''[2]''' 직선의 기울기
위의 식을 적당히 변형하고 [math(x)]를 [math(t)]로 치환하면
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\dfrac{f(t)-f(1)}{t-1}=f'(1))]}}}
그러면 좌변의 식은 [math(f(x))]의 그래프 위의 점 [math((1,\,f(1)))]과 [math((t,\,f(t)))]를 지나는 직선의 기울기를 뜻하며, [math(f'(1))]은 [math(f(x))]의 [math(x=1)]에서의 접선의 기울기를 뜻한다. 우변의 [math(f'(1))]은 상수로서, 일정한 값이다. [math(x)]를 [math(1)]이 아닌 어떤 값으로 잡더라도 항상 직선의 기울기가 같다는 것은 곧 [math(f(x))] 자체의 그래프의 기울기가 일정하다는 뜻이며, [math(f(x))]는 그래프가 직선으로 그려지는 상수함수이거나 일차함수라는 뜻이다. 따라서 이 방법으로는 (가)만으로 [math(f(x))]의 차수를 결정할 수 없는데, 다음으로 (나)를 보자.

[math(f(x))]를 상수함수로 가정하여, [math(f(x)=a)]라 하고 (나)를 계산하면
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\begin{aligned}\displaystyle\int_0^2 a\;{\rm d}x&=5a\int_{-1}^1 x\;{\rm d}x\\ 2a&=0\\\therefore f(x)&=a=0\end{aligned})]}}}
이는 문제에서 제시된 조건 [math(f(0)=1)]과 모순이다. 따라서 [math(f(x))]는 상수함수가 아니며, 일차함수이다.}}}
==== 이차함수 ====
||<table width=100%>
 * 꼭짓점의 [math(x)]좌표가 [math(a)]이면(대칭축이 [math(x=a)]이면)
  * [math(f(a-x)=f(a+x))]
  * [math(\displaystyle \int_{a-t}^a f(x) \,\mathrm{d}x = \int_a^{a+t} f(x) \,\mathrm{d}x)]||

모든 이차함수는 대칭축에 대해 대칭이기 때문에 그렇다. 그러나 모든 좌우 대칭 함수가 이차함수인 것이 아니기에, 이 단서만 보고 이차함수로 단정해서는 안 된다. 예를 들어 사차함수 중에서도 좌우 대칭인 경우가 있다.([[https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3Dx%5E4|예시 1]], [[https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D%28x-2%29%5E2%28x%2B2%29%5E2|예시 2]]) 고등학교에서는 오차 이상의 다항함수, 짝함수인 [[특수함수]]는 다루지 않으므로, 고등학교 과정의 문제에서 찾고자 하는 함수가 다항함수라고 명시되어 있다면[* 이게 없으면 다항함수가 아닌 초등함수([math(\cos x)], [math(\sin x/x)], [math(e^{-x^2})] 등)로 함정을 팔 수 있다.] 이차함수 혹은 사차함수일 확률이 매우 높다.
==== 삼차함수 ====
모든 삼차함수는 변곡점에 대하여 점대칭이므로 다음이 성립한다.
||<table width=100%>
 * [[변곡점]]의 좌표가 [math((a,b))]이면 
  * [math(f(a-x)+f(a+x)=2b)]
  * [math(\displaystyle \int_{a-t}^{a+t} \{f(x)-b\} \,\mathrm{d}x = 0)]
 * 변곡점이 [math(x)]축 위에 있으면, 곧 [math(b=0)]이면 
  * [math(f(a-x)+f(a+x)=0)]
  * [math(\displaystyle \int_{a-t}^{a+t} f(x) \,\mathrm{d}x = 0)]
 * 변곡점이 [math(y)]축 위에 있으면, 곧 [math(a=0)]이면
  * [math(f(-x)+f(x)=2b)]
  * [math(\displaystyle \int_{-t}^t \{f(x)-b\} \,\mathrm{d}x = 0)]
 * 변곡점이 원점이면('''[[홀함수]]'''), 곧 [math(a=b=0)]이면 
  *[math(f(-x)+f(x)=0)]
  * [math(\displaystyle \int_{-a}^a f(x) \,\mathrm{d}x = 0)]||

한편,  삼차함수 [math(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d)]에 대하여 다음이 성립한다.
||<table width=100%>
 * 삼차방정식 [math(f(x)=0)]의 근의 합([[근과 계수의 관계]]에 의하여 [math(-b/a)])은, [math(f(x))]의 그래프의 변곡점의 [math(x)]좌표([math(-b/3a)])의 3배와 같다.||
근과 계수의 관계는 [math(n)]중근을 '''값이 같은 근 [math(\boldsymbol n)]개'''로 간주하여 계산하는 것임에 유의해야 한다. 예를 들어 [math(f(x)=0)]이 삼중근 [math(x=k)]를 가지면, 근의 합은 [math(3k)]가 된다.
==== 사차함수 ====
[[https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3Dx%5E4|예시 1]], [[https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D-%28x-2%29%5E2%28x%2B2%29%5E2|예시 2]], [[https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D%28x-2%29%5E2%28x%2B2%29%5E2|예시 3]], [[https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D-x%5E4|예시 4]]처럼 좌우 대칭인 개형의 사차함수는 임의의 실수 [math(a)]에 대하여 다음을 만족시킨다.
||<table width=100%>
 * 대칭축이 [math(x=a)]이면 
  * [math(f(a-x)=f(a+x))]
  * [math(\displaystyle \int_{a-t}^a f(x) \,\mathrm{d}x = \int_a^{a+t} f(x) \,\mathrm{d}x)] ||
사차함수 [math(f(x))]가 예시 1, 예시 2와 같은 개형이면 [math(f(a))]는 극솟값, 예시 3, 예시 4와 같은 개형이면 [math(f(a))]는 극댓값이다. 그러나 모든 좌우 대칭 함수가 사차함수인 것이 아니기에, 이 단서만 보고 사차함수로 단정해서는 안 된다.

=== 반례 ===
[include(틀:관련 문서, top1=닮은꼴 함수, top2=병리적 함수)]

위 단서의 일부 혹은 전부가 다항함수가 아닌 다른 함수의 특성을 띠는 반례가 존재한다. 다시 말해서 다항함수로 단정하기에는 너무 조건이 약하다.[* 당장 삼차함수 추론 공식에 [math(y=\tan x)]를 넣어 보자. 탄젠트함수가 삼차함수가 되는 기적이 벌어진다.] 이런 반례는 주로 [[실해석학]]에서 다룬다.
 * '''상수함수''': [[계단(동음이의어)#s-6|계단함수]]([[부호 함수|[math({\rm sgn}(x))]]], [[소수 계량 함수|[math(\pi(x))]]], [[헤비사이드 계단 함수|[math(u(x))]]] 등)가 있다. 적분열 일부가 상수함수와 일치한다. 계단함수는 아니지만 [[디리클레 함수]] [math({\bold 1}_{\mathbb Q}(x))]는 두 끝점이 [[무리수]]라는 조건 하에 위의 상수함수의 공식이 성립한다.
 * '''일차함수''': 일차함수가 아닌 선형함수([[절댓값|[math(|x|)]]], [[톱니파|[math(x - \lfloor x \rfloor)]]], [[헤비사이드 계단 함수|[math(xu(x))]]] 등)가 있다.
 * '''삼차함수''': 삼차함수 중 일부 개형과 닮은꼴인 함수([[쌍곡선 함수|[math(\sinh x)]]], [[쌍곡선 함수#s-3.3|[math({\rm artanh}\, x)]]], [[오차함수#s-2.3|[math({\rm erfi}(x))]]], [[구데르만 함수|[math({\rm igd}(x))]]], [[쌍곡선 적분 함수|[math({\rm Shi}(x))]]] 등)가 있다. 홀함수라는 점만 본다면 다항함수가 아닌 홀함수([[부호 함수|[math({\rm sgn}(x))]]], [[삼각함수|[math(\sin x)]]], [[오차함수|[math({\rm erf}(x))]]], [[삼각 적분 함수|[math({\rm Si}(x))]]], [[프레넬 적분 함수|[math(S(x))], [math(C(x))]]] 등)도 있다.[* 참고로 다항함수가 아닌 홀함수는 [[테일러 급수|다항함수인 홀함수의 무한합으로 근사할 수 있다]].]
 * '''이차함수, 사차함수''': 다항함수가 아닌 짝함수([[절댓값|[math(|x|)]]], [[삼각함수|[math(\cos x)]]], [[쌍곡선 함수|[math(\cosh x)]]], [[정규 분포|[math(e^{-x^2})]]] 등)가 있다.[* 참고로 다항함수가 아닌 짝함수는 [[테일러 급수|다항함수인 짝함수의 무한합으로 근사할 수 있다]].] 특히 [math(\cos x)]의 경우는 일부분만 그리는 경우가 많아[* 사실 [math(\cos x)]는 '''끝이 없는 주기함수'''여서 공간이 얼마나 있든 그래프를 전부 그릴 수는 없다.] 개형만 보면 차수 많은 다항함수로 오해하기 딱 좋다. [math(\cosh x)] 역시 이차함수와 그래프의 개형이 닮았기 때문에[*비교 [br][[파일:namu_이차함수_현수선_비교.png|height=190]]] 혼동이 잦다.

감이 잘 안 온다면 예시를 보자. 아래는 다항함수가 아닌 [math(y)]축 대칭함수(짝함수)의 예 중 하나인 [[정규분포]] [math(y=e^{-x^2})]를 나타낸 것이다. 이 함수를 이차함수, 사차함수 추론 공식에 넣으면 이차함수 혹은 사차함수로 판정되는 모순이 발생하게 된다.[* 대칭축이 [math(x=0)]이니, [math(f(-x)=f(x))]이고 임의의 실수 [math(t)]에 대해서 [math(\int_{-t}^0 f(x) \,\mathrm{d}x = \int_0^{t} f(x) \,\mathrm{d}x)]이므로.] 이 때문에 추론에 곁들여 다항함수 외의 함수인지 실마리[* 예시로 든 아래의 정규분포 함수의 경우 [[점근선]] [math(y=0)]이 있는데, __이차·사차함수에는 [math(x)]축에 평행한 점근선이 없다__는 것만 알면 이 함수가 이차함수나 사차함수가 아님을 쉽게 알 수 있다.]를 찾아볼 필요가 있다.

[[파일:namu_가우스적분_개요.svg|width=340&align=center]]
== 공식 ==
이 문단에서는 위 내용과 달리 이미 다항함수의 차수나 그래프의 개형이 알려져 있을 때 적용할 수 있는 공식을 소개한다. 경우에 따라 적용할 수 있는 공식이 다르다.
=== 길이·거리 ===
==== 일차함수 ====
[include(틀:관련 문서, top1=삼각부등식)]
우선 [[피타고라스 정리]]에 따라 다음이 성립한다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(a^2 + b^2 = h^2)]}}}
여기에 [math(a)]에 [math(x)]값의 차를, [math(b)]에 함숫값의 차를 대입하면 다음과 같다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(h = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + [ f(x_2) - f(x_1) ]^2})]}}}
이 [math(h)]를 [[노름(수학)#s-4.2.1|'''유클리드 노름'''(Euclidean norm)]][* 유클리드 거리함수(Euclidean metric) 혹은 [math(l^2)] 노름이라고도 한다.]이라 하고, 위 표현을 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(h = d({\bold x},\, {\bold y}))]}}}
로 바꿀 수 있다. 단, [math({\bold x} = [ x_1 \quad f(x_1) ]^T)], [math({\bold y} = [ x_2 \quad f(x_2) ]^T)][* [math(T)]는 [[행렬(수학)#s-2.1.4|전치]]를 취한다는 뜻이다. 즉 [math([ x_1 \quad f(x_1) ]^T = \begin{bmatrix} x_1 \\ f(x_1) \end{bmatrix})]이다.]이다. 이는 다시 아래와 같이 [[내적]]으로 표현할 수 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\begin{aligned} h &= \sqrt{ \left< ({\bold y}-{\bold x}),\, ({\bold y}-{\bold x}) \right>} \\  &= \sqrt{ \det(({\bold y}-{\bold x})^{\ast} ({\bold y}-{\bold x})) } \\ &= \sqrt{ \det((\overline{\bold y}-\overline{\bold x})^{T} ({\bold y}-{\bold x})) } \\ &= \sqrt{ {\rm tr}(({\bold y}-{\bold x}) \otimes ({\bold y}-{\bold x})) } \end{aligned} )]}}}
[math(\det)]은 [[행렬식]], [math(\ast)]은 [[수반 연산자]][* [[칼표|[math(\dag)]]]로 표기하기도 한다.], [math(\rm tr)]는 [[주대각합]], [math(\otimes)]는 [[텐서곱]], [math(\overline{\bold x})]는 [math(\bold x)]의 [[켤레복소수|켤레]]이다.
==== 이차함수 ====
[include(틀:관련 문서, top1=원뿔곡선)]
이차함수의 거리를 알기 위해서는 그래프의 '''초점'''(focus)과 '''준선'''(directrix)이라는 [[보조선]]이 필요하다.

이차함수 [math(y=ax^2 + bx + c)]의 그래프의 초점과 준선은 다음과 같다.
 * 초점: [math(\left(-\dfrac{b}{2a},\, \dfrac{4ac-b^2+1}{4a} \right))]
 * 준선: [math(y = \dfrac{4ac-b^2-1}{4a} )]

이를 나타낸 그림은 다음과 같다.

[[파일:나무_이차함수_포물선.png|width=220&align=center]]
위 식에서 볼 수 있듯 이차함수의 그래프의 꼭짓점과 초점의 거리는 이차함수의 꼭짓점과 준선의 거리와 동일하며, 그 값은 [math((4|a|)^{-1})]이다.[* 즉 최고차항의 계수의 [[절댓값]]이 클수록 초점과 준선이 꼭짓점에 가까워지고, 작을수록 멀어진다.]

특기할 만한 점은, 초점과 이차함수 그래프의 임의의 점을 이은 선분을 그리고, 해당 점에서 준선에 [[수선의 발]]을 내리면 '''두 선의 길이는 동일하다'''는 것이다. 즉 [math(\overline{\mathrm{FP}}=\overline{\mathrm{PH}})]이다. 이런 성질을 띠는 곡선을 [[포물선]](parabola)이라고 한다.

심화 내용은 [[포물선]] 문서를 참고하라.
==== 삼차함수 ====
[[파일:나무_삼차함수_비율관계_1.png|width=280&align=center]]
위 그림과 같은 개형의 삼차함수 [math(y=f(x))]의 그래프에서, 변곡점을 [math(\rm P)], 두 극점을 왼쪽부터 [math(\rm Q)], [math(\rm R)]이라 하자.
 * 점 [math(\rm D)], [math(\rm E)]는 각각 [math(y=f(x))]의 그래프가 [math(\rm Q)], [math(\rm R)]에서의 접선과 만나는 점이다.
 * 점 [math(\rm A)]는 점 [math(\rm E)]에서 직선 [math(\overline{\rm DQ})]에 내린 수선의 발이고, 점 [math(\rm H)]는 점 [math(\rm D)]에서 직선 [math(\overline{\rm ER})]에 내린 수선의 발이다.
 * 점 [math(\rm F)]는 점 [math(\rm Q)]에서 직선 [math(\overline{\rm ER})]에 내린 수선의 발이고, 점 [math(\rm C)]는 점 [math(\rm R)]에서 직선 [math(\overline{\rm DQ})]에 내린 수선의 발이다.
 * 점 [math(\rm B)], [math(\rm G)]는 각각 점 [math(\rm P)]에서 직선 [math(\overline{\rm DQ})], [math(\overline{\rm ER})]에 내린 수선의 발이다.

이때, 위 그림과 같이 [math(\overline{\rm AQ})], [math(\overline{\rm QB})], [math(\overline{\rm BC})], [math(\overline{\rm CD})], [math(\overline{\rm EF})], [math(\overline{\rm FG})], [math(\overline{\rm GR})], [math(\overline{\rm RH})]의 길이는 서로 같다. 

이에 따라 아래와 같은 비율 관계가 유도된다. 이는 삼차함수의 [[극점]]의 좌표 또는 [[극값]]을 알아낼 때 긴요하게 쓰인다.

{{{#!wiki style="text-align: center"
[math( \begin{aligned} \overline{\rm AQ}: \overline{\rm QC}: \overline{\rm CD}&=\overline{\rm EF}: \overline{\rm FR}: \overline{\rm RH}=1:2:1 \end{aligned} )] }}}
[[파일:namu_삼차함수_비율관계_2_수정.png|width=200&align=center]]
마찬가지로, 위 그림과 같은 개형의 삼차함수 [math(y=f(x))]의 그래프에서, 변곡점을 [math(\rm P)], 접선의 기울기가 같은 임의의 두 점을 왼쪽부터 [math(\rm Q)]와 [math(\rm R)], [math(y=f(x))]의 그래프와 [math(\rm Q)]와 [math(\rm R)]에서의 접선의 교점을 각각 [math(\rm B)], [math(\rm A)]라 하자. 이렇게 정의된 다섯 개의 점 [math(\rm A)], [math(\rm Q)], [math(\rm P)], [math(\rm R)], [math(\rm B)]에서 [math(x)]축에 내린 수선의 발을 각각 [math(\rm E)], [math(\rm F)], [math(\rm G)], [math(\rm H)], [math(\rm I)]라 하면 다음이 성립한다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\begin{aligned}\overline{\rm EF}:\overline{\rm FG}: \overline{\rm GH}: \overline{\rm HI}=&1:1:1:1\\\therefore\overline{\rm EF}: \overline{\rm FH}: \overline{\rm HI}=&1:2:1\end{aligned})] }}}

[[파일:나무_삼차함수_비율관계_4_수정.png|width=280&align=center]]
위 그림과 같은 개형의 삼차함수 [math(f(x))]의 그래프의 두 극점을 왼쪽부터 [math(\rm Q)], [math(\rm R)]이라 하고, 변곡점을 [math(\rm P)]라 하자. [math(\rm P)]를 지나면서 [math(x)]축과 평행한 직선에 [math(\rm Q)]와 [math(\rm R)]에서 내린 수선의 발을 각각 [math(\rm B)], [math(\rm C)]라 하자. 또, [math(\overline{\rm BC})]와 [math(y=f(x))]의 그래프의 교점을 왼쪽부터 [math(\rm A)], [math(\rm D)]라 하자. 이때, 아래와 같은 비율 관계가 성립한다.

{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\begin{aligned} \overline{\rm BQ}: \overline{\rm CR}&=1:1 \\ \overline{\rm PB}: \overline{\rm PA}&=\overline{\rm PC}: \overline{\rm PD}=1:\sqrt{3} \end{aligned})]}}}

[[파일:나무_삼차함수_비율관계_5.png|width=180&align=center]]
나아가 위와 같이 접선의 기울기가 같은 임의의 두 점을 왼쪽부터 [math(\rm Q)], [math(\rm R)]이라 하고, 해당 접선과 평행하고 변곡점을 지나는 직선과 삼차함수의 그래프의 양 끝의 교점을 왼쪽부터 [math(\rm A)], [math(\rm B)]라 할 경우에도 위와 같은 비율 관계가 성립한다.

[[파일:나무_삼차함수_비율관계_3.png|width=280&align=center]]
최고차항의 계수가 [math(a)]인 위 그림과 같은 개형의 삼차함수 [math(y=f(x))]에 대하여 [math(f'(\beta)=f'(\gamma)=0)]이라 하면 [math(l)]의 길이, 곧 극댓값과 극솟값의 차는 다음과 같다.

{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(l=\dfrac{|a|}{2}(\beta-\gamma)^{3} )] }}}
한편 앞서 밝힌 비율 관계에 의하여 높이는 아래와 같다.

{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\beta-\gamma =\dfrac{2}{3}(\beta-\alpha) \; \to \; l=\dfrac{|4a|}{27}(\beta-\alpha)^{3})]}}}
==== 사차함수 ====
===== 개형 1 =====
[[파일:namu_사차함수_비율관계_1.png|width=200&align=center]]
위 그림과 같은 개형의 사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프 위의 접선의 기울기가 0인 두 점을 왼쪽부터 [math(\rm P)], [math(\rm Q)]라 하자. 이때, 점 [math(\rm Q)]에서 점 [math(\rm P)]의 접선에 내린 수선의 발을 [math(\rm H)], [math(\rm\overline {PH})]와 [math(y=f(x))]의 교점 중 [math(\rm P)]가 아닌 것을 [math(\rm R)]이라 하면, 다음의 비율 관계가 성립한다. 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \begin{aligned} \overline{\rm PH}: \overline{\rm HR}=3:1  \end{aligned} )] }}}
나아가 아래와 같이 접선의 기울기가 같은 사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프 위의 점 [math(\rm P)], [math(\rm Q)]에 대해서도 아래와 같은 비율 관계가 성립한다. 여기에서 [math(\rm P)]는 항상 변곡점이다.

[[파일:namu_사차함수_비율관계_2.png|width=190&align=center]]
[[파일:namu_사차함수_비율관계_7_수정.png|width=200&align=center]]
개형이 위 그림과 같고, 최고차항의 계수가 [math(a)]인 사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프가 [math((\alpha,\,0))]에서 접선의 기울기가 0이고, [math(x=\beta)]에서 극솟값을 갖는다고 하자. 이때, [math(l)]의 길이는 아래와 같다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(l=\displaystyle\frac{|a|}{3}(\beta-\alpha)^4 )] }}}
===== 개형 2 =====
[[파일:namu_사차함수_비율관계_3.png|width=230&align=center]]
위 그림과 같은 개형의 사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프의 극소점 두 개를 왼쪽부터 [math(\rm P)], [math(\rm Q)]라 하고, 극대점을 [math(\rm R)]이라 하자. 또, [math(\rm R)]에서 [math(\rm P)]와 [math(\rm Q)]의 공통 접선에 내린 수선의 발을 [math(\rm H)]라 하면, 다음과 같은 비율 관계가 성립한다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \begin{aligned} \overline{\rm PH}: \overline{\rm HQ}=1:1  \end{aligned} )] }}}
나아가 아래와 같이 [math(\rm P)], [math(\rm Q)]의 공통 접선의 기울기와 점 [math(\rm R)]의 접선의 기울기가 같을 때도 위의 비율 관계가 성립한다.

[[파일:namu_사차함수_비율관계_4.png|width=200&align=center]]
[[파일:namu_사차함수_비율관계_5.png|width=230&align=center]]
위 그림과 같은 개형의 사차함수의 그래프 [math(f(x))]의 극소점 두 개를 왼쪽부터 [math(\rm P)], [math(\rm Q)]라 하고, 극대점을 [math(\rm R)]이라 하자. 또, 점 [math(\rm R)]의 접선이 [math(f(x))]의 그래프와 만나는 점을 왼쪽부터 [math(\rm A)], [math(\rm B)]라 하고, [math(\rm P)], [math(\rm Q)]에서 해당 접선에 내린 수선의 발을 왼쪽부터 [math(\rm H)], [math(\rm I)]라 하자. 이때, 아래와 같은 비율 관계가 성립한다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\overline{\rm RH}: \overline{\rm RA}=\overline{\rm RI}: \overline{\rm RB}=1:\sqrt{2})] }}}
나아가 아래와 같이 [math(\rm P)], [math(\rm Q)]의 공통 접선의 기울기와 점 [math(\rm R)]의 접선의 기울기가 같을 때도 위의 비율 관계가 성립한다.

[[파일:namu_사차함수_비율관계_6.png|width=200&align=center]]
[[파일:namu_사차함수_비율관계_8.png|width=230&align=center]]
개형이 위 그림과 같고, 최고차항의 계수가 [math(a)]인 사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프가 [math(x=\alpha)]에서 극솟값을, [math(x=\beta)]에서 극댓값을 갖는다고 하자. 이때 [math(l)]의 길이, 곧 극댓값과 극솟값의 차는 아래와 같다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(l=\dfrac{|a|}{3}(\beta-\alpha)^4 )] }}}
=== 넓이 ===
넓이 공식에서는 하나같이 [math((\beta-\alpha)^n)] 꼴의 식이 나오는데, [math(n)]차함수에 대한 넓이 공식에서는 [math((\beta-\alpha)^{n+1})]이 나온다는 규칙을 상기하면 암기하기 편하다.
==== 이차함수 ====
[[파일:나무_이차함수_넓이관계_1.png|width=300&align=center]]
[math(a)]가 [math(f(x))]의 최고차항의 계수일 때, [math(\rm (a))]의 색칠된 영역의 넓이는 아래와 같다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \left|{\int_{\alpha}^\beta f(x) \,\mathrm{d}x}\right|=\displaystyle\frac{|a|}{2⋅3}(\beta-\alpha)^3)]}}}
일차함수 [math(g(x))]에 대하여 [math(a)]가 [math(f(x)-g(x))]의 최고차항의 계수일 때, [math(\rm (b))]의 색칠된 영역의 넓이는 아래와 같다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \left|{\int_{\alpha}^\beta \{f(x)-g(x)\} \,\mathrm{d}x}\right|=\displaystyle\frac{|a|}{2⋅3}(\beta-\alpha)^3)]}}}

[[파일:namu_이차함수_넓이_관계_3_수정.png|width=200&align=center]]
최고차항의 계수가 [math(a)]인 이차함수 [math(f(x))]의 그래프 위의 두 점 [math((\alpha, \, 0))]과 [math((\beta, \, 0))][* 그림에서는 이차함수의 그래프와 [math(x)]축의 교점을 왼쪽부터 [math(\alpha)]와 [math(\beta)]로 놓았기에 [math(y)]좌표가 [math(0)]이 되지만, 꼭 [math(y)]좌표가 [math(0)]이어야 할 필요는 없으며 두 점의 [math(y)]좌표가 그저 같기만 하면 된다.]에서 각각 접하는 두 직선과 [math(x)]축으로 둘러싸인 [[삼각형]]의 넓이를 [math(\Sigma S)]라고 하면, 다음의 넓이 관계가 성립한다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \Sigma S :S_{1}:S_{2}=3:2:1)]}}}
위의 내용을 종합하면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned}  S_{1}&=\frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3 \\  S_{2}&=\frac{1}{2}S_{1}=\frac13\Sigma S\\&=\frac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^3 \\ \Sigma S&=S_{1}+S_{2}\\&=\frac{3}{2}S_1=3S_2\\&=\frac{|a|}{4}(\beta-\alpha)^3\end{aligned})]}}}
한편 삼각형의 높이 [math(l)]은 아래와 같이 구할 수 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \frac{1}{2} l (\beta-\alpha) =\frac{|a|}{4}(\beta-\alpha)^3 \; \to \; l=\frac{|a|}{2}(\beta-\alpha)^2)]}}}

{{{#!folding [관련 예제]
-------
이런 모양의 그래프는 '''2020년 3월 고3 가형 10번'''에서 출제되었다.

[[파일:2020 가 3월 10.png|width=400&align=center]]
두 함수의 그래프는 좌우 대칭이므로, 점 [math(\rm A)]와 점 [math(\rm B)]의 [math(y)]좌표가 같아서 [math(\overline{\rm AB})]는 [math(x)]축에 평행하다. 따라서 복잡하게 계산할 것 없이 [math(\triangle\rm OAB)]의 넓이의 [math(1/3)]을 구하면 된다. 일련의 과정에 따라 값을 구하면 [math(a=1/2)]이고, [math(\triangle\rm OAB)]의 밑변 [math(\overline{\rm AB})]의 길이는 [math(4)], 높이는 [math(4)], [math(\triangle\rm OAB)]의 넓이는 [math(8)]이므로 색칠된 영역의 넓이는 그의 [math(1/3)]인 [math(8/3)]이다. 이처럼 공식을 쓰면 복잡한 [[정적분]]을 하지 않고도 값을 빨리 구할 수 있다.
}}}
==== 삼차함수 ====
[[파일:namu_삼차함수_넓이관계_2.png|width=340&align=center]]
그래프의 개형이 위 그림과 같고 최고차항의 계수가 [math(a)]인 삼차함수 [math(y=f(x))]에 대하여, 색칠된 부분의 넓이는 아래와 같다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \left|{\int_{\alpha}^\beta f(x) \,\mathrm{d}x}\right|=\displaystyle\frac{|a|}{3⋅4}(\beta-\alpha)^4 )] }}}

[[파일:namu_삼차함수_넓이관계_3.png|width=340&align=center]]
나아가 그래프의 개형이 위 그림과 같은 삼차함수 [math(y=f(x))]와, 일차함수 [math(g(x))]에 대하여, [math(a)]를 [math(f(x)-g(x))]의 최고차항의 계수라 하면, 색칠된 부분의 넓이는 아래와 같다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \left|{\int_{\alpha}^\beta \{f(x)-g(x)\} \,\mathrm{d}x}\right|=\displaystyle\frac{|a|}{3⋅4}(\beta-\alpha)^4)] }}}

[[파일:namu_삼차함수_넓이관계_1.png|width=340&align=center]]
최고차항의 계수가 [math(a)]인 삼차함수 [math(y=f(x))]의 그래프의 개형이 [math((\rm a))]와 같을 때, [math(y=f(x))]의 그래프의 [math(x)]절편을 왼쪽부터 [math(\alpha)], [math(\beta)], [math(\gamma)]라 하면 다음이 성립한다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} S_{1}&=\left| \int_{\alpha}^{\beta} f(x)\,{\rm d}x \right|=\frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^{3} \left( \gamma-\frac{\alpha+\beta}{2} \right) \\ S_{2}&=\left| \int_{\beta}^{\gamma} f(x)\,{\rm d}x \right|=\frac{|a|}{6}(\gamma-\beta)^{3} \left( \frac{\beta+\gamma}{2}-\alpha \right) \end{aligned} )] }}}

나아가 [math((\rm b))]와 같이 [math(y=f(x))]와 임의의 직선 [math(y=g(x))]의 교점을 왼쪽부터 [math(\alpha)], [math(\beta)], [math(\gamma)]라 하고 [math(a)]를 [math(f(x)-g(x))]의 최고차항의 계수라 하면, 다음이 성립한다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} S_{1}&=\left| \int_{\alpha}^{\beta} \{f(x)-g(x)\}\,{\rm d}x \right|\\&=\frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^{3} \left( \gamma-\frac{\alpha+\beta}{2} \right) \\ S_{2}&=\left| \int_{\beta}^{\gamma} \{f(x)-g(x)\}\,{\rm d}x \right|\\&=\frac{|a|}{6}(\gamma-\beta)^{3} \left( \frac{\beta+\gamma}{2}-\alpha \right) \end{aligned} )] }}}
이 문단의 일부 공식은 틀림없이 수학적으로 옳긴 하나 계산이 오히려 복잡해지기 쉽다. 공식 자체도 복잡한 데다가 정적분의 구간은 [math([\alpha,\;\beta])]인데 공식을 사용하자면 [math(\gamma)]의 값까지 알아내야 하는 등 불편한 점이 많아서 곧이곧대로 미적분의 기본정리로 정적분을 계산하는 것이 더 편할 수도 있다.
==== 사차함수 ====
[[파일:namu_사차함수_그래프넓이_3.svg|width=405&align=center]]
위 그림의 [math(\rm (a))]에서 최고차항의 계수가 [math(a)]인 [math(f(x))]의 그래프가 [math(x=\alpha)]와 [math(x=\beta)]에서 [math(x)]축과 만날 때, 색칠된 영역의 넓이는 아래와 같다.

{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \left|{\int_{\alpha}^\beta f(x) \,\mathrm{d}x}\right|=\displaystyle\frac{|a|}{4⋅5}(\beta-\alpha)^5)]}}}
나아가 일차함수 [math(g(x))]에 대하여 [math(a)]가 [math(f(x)-g(x))]의 최고차항의 계수일 때, [math(\rm (b))]의 색칠된 영역의 넓이는 아래와 같다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \left|{\int_{\alpha}^\beta \{f(x)-g(x)\} \,\mathrm{d}x}\right|=\displaystyle\frac{|a|}{4⋅5}(\beta-\alpha)^5)]}}}

[[파일:namu_사차함수_넓이관계_개형1.png|width=375&align=center]]
위 그림의 [math(\rm (a))]에서 최고차항의 계수가 [math(a)]인 [math(f(x))]의 그래프가 [math(x=\alpha)]에서 [math(x)]축에 접할 때, 색칠된 영역의 넓이는 아래와 같다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \left|{\int_{\alpha}^\beta f(x) \,\mathrm{d}x}\right|=\displaystyle\frac{|a|}{4⋅5}(\beta-\alpha)^5)]}}}
나아가 [math(\rm (b))]에서 일차함수 [math(g(x))]에 대하여 [math(a)]가 [math(f(x)-g(x))]의 최고차항의 계수이고 [math(f(x))]의 그래프가 변곡점 [math((\alpha,f(\alpha)))]에서 직선 [math(y=g(x))]에 접할 때, 색칠된 영역의 넓이는 아래와 같다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \left|{\int_{\alpha}^\beta \{f(x)-g(x)\} \,\mathrm{d}x}\right|=\displaystyle\frac{|a|}{4⋅5}(\beta-\alpha)^5)]}}}

[[파일:namu_사차함수_넓이관계_개형2.png|width=375&align=center]]
위 그림의 [math(\rm (a))]와 같이 최고차항의 계수가 [math(a)]인 [math(f(x))]의 그래프가 [math(x=\alpha)]와 [math(x=\beta)]에서 [math(x)]축에 접할 때, 색칠된 영역의 넓이는 아래와 같다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \left|{\int_{\alpha}^\beta f(x) \,\mathrm{d}x}\right|=\displaystyle\frac{|a|}{5⋅6}(\beta-\alpha)^5)]}}}
나아가 [math(\rm (b))]와 같이 일차함수 [math(g(x))]에 대하여 [math(a)]가 [math(f(x)-g(x))]의 최고차항의 계수이고 [math(f(x))]의 그래프가 [math(x=\alpha)]와 [math(x=\beta)]에서 직선 [math(y=g(x))]에 접할 때, 색칠된 영역의 넓이는 아래와 같다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \left|{\int_{\alpha}^\beta \{f(x)-g(x)\} \,\mathrm{d}x}\right|=\displaystyle\frac{|a|}{5⋅6}(\beta-\alpha)^5)]}}}

[[파일:namu_사차함수_넓이_4.svg|width=150&align=center]]
위 그림과 같이 사차함수 [math(f(x))]의 그래프가 [math(x=\alpha)]와 [math(x=\beta)]에서 [math(x)]축과 만나고, 이 두 교점에서 각각 접선을 그어 [[삼각형]]을 만들면, 다음의 넓이 관계가 성립한다. 단, [math(\Sigma S=S_{1}+S_{2})]이다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\Sigma S:S_1:S_2=5:2:3)]}}}
위의 내용을 종합하면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned}  S_{1}&=\frac{|a|}{20}(\beta-\alpha)^5\\  S_{2}&=\frac32S_{1}=\frac35\Sigma S\\&=\frac{3|a|}{40}(\beta-\alpha)^5 \\ \Sigma S&=S_{1}+S_{2}\\&=\frac52S_1=\frac53S_2\\&=\frac{|a|}{8}(\beta-\alpha)^5\end{aligned})]}}}
한편 삼각형의 높이 [math(l)]은 아래와 같이 구할 수 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \frac{1}{2} l (\beta-\alpha) =\frac{|a|}{8}(\beta-\alpha)^5 \; \to \; l=\frac{|a|}{4}(\beta-\alpha)^4)]}}}
==== 여러 차수 ====
[[파일:namu_여러차수_2png.png|width=320&align=center]]
위 그림과 같은 [math(n)]차함수 [math(f(x)=a(x-\beta)^n)]의 그래프[* [math(n)]이 [[짝수]]일 경우 왼쪽의 개형이, [[홀수]]일 경우 오른쪽의 개형이 나온다.] [math(y=f(x))]에 대하여 색칠된 영역의 넓이는 다음과 같다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} S_{1}&=\left|{\int_{\alpha}^\beta f(x) \,\mathrm{d}x}\right|=\displaystyle\frac{|a|}{n+1}(\beta-\alpha)^{n+1} \\ S_{2}&=\left|{\int_{\beta}^\gamma f(x) \,\mathrm{d}x}\right|=\displaystyle\frac{|a|}{n+1}(\gamma-\beta)^{n+1} \end{aligned})] }}}
나아가 다른 모양에서도 위의 공식이 성립한다.

[[파일:namu_여러차수_3png.png|width=190&align=center]]
위 그림과 같은 개형의 짝수 차수 함수 [math(y=f(x))]의 그래프가 기울기가 0이 아닌 직선 [math(y=g(x))]와 [math((\beta,\,\, f(\beta)))]에서 접한다고 하자. [math(f(x)-g(x))]의 최고차항의 계수를 [math(a)]라 하면, 색칠된 영역의 넓이는 다음과 같다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} S_{1}&=\left|{\int_{\alpha}^\beta \{ f(x)-g(x)\} \,\mathrm{d}x}\right|=\displaystyle\frac{|a|}{3}(\beta-\alpha)^3 \\ S_{2}&=\left|{\int_{\beta}^\gamma \{ f(x)-g(x)\} \,\mathrm{d}x}\right|=\displaystyle\frac{|a|}{3}(\gamma-\beta)^3 \end{aligned})]}}}

[[파일:namu_그래프넓이관계_홀수차수_two_수정.png|width=190&align=center]]
위 그림과 같은 변곡점 [math((\alpha,\, f(\alpha)))]를 기준으로 점대칭인 홀수 차수 함수 [math(f(x))]의 그래프와, 변곡점 [math((\alpha,\, f(\alpha)))]를 지나는 임의의 직선 [math(g(x))]의 교점 중 오른쪽의 것을 [math((\beta,\, f(\beta)))]라고 하자. [math(f(x)-g(x))]의 최고차항의 계수를 [math(a)]라 하면, 색칠된 영역의 넓이는 다음과 같다.

{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(S_1=S_2=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} |f(x)-g(x)|\;{\rm d}x=\dfrac{|a|}{n+1}(\beta-\alpha)^{n+1})]}}}
=== 길이와 넓이의 관계 ===
이 문단에서는 위에서 설명한 길이 공식과 넓이 공식의 관계를 설명하므로 위 문단의 내용을 먼저 참고하라.
==== 이차함수·삼차함수 ====
[[파일:namu_삼차함수_이차함수_넓이_길이_수정.png|width=170&align=center]]
그래프의 개형이 위 그림과 같은 삼차함수 [math(y=f(x))]와 그 도함수 [math(y=f'(x))]에 대하여, 도함수의 그래프의 [math(x)]절편을 왼쪽부터 [math(\alpha)], [math(\beta)]라 하고, [math(f(x))]의 최고차항의 계수를 [math(a)]라 하면, [math(f'(x))]의 최고차항의 계수는 [math(3a)]이므로 색칠된 부분의 넓이 [math(S)]와 [math(y=f(x))]의 극댓값과 극솟값의 차 [math(l)]의 관계는 다음과 같다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} S&=\frac{|3a|}{2\cdot 3}(\beta-\alpha)^{3}=\frac{|a|}{2}(\beta-\alpha)^{3} \\ l&=\frac{|a|}{2}(\beta-\alpha)^{3}\\ \therefore S&=l \end{aligned} )] }}}
이 사실은 가장 근본적으로는 [[미적분의 기본정리]] 때문에 성립하는데, 위 그림의 색칠된 부분은 [math(x)]축보다 아래에 있으므로 다음이 성립한다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\begin{aligned} S&=-\displaystyle\int_\alpha^\beta f'(x)\, {\mathrm d}x\\&=-\{f(\beta)-f(\alpha)\}\\&=f(\alpha)-f(\beta)\\&=l \end{aligned})]}}}

[[파일:namu_삼차이차관계_수정.png|width=200&align=center]]
개형이 위의 그림과 같은 삼차함수 [math(f(x))]의 그래프의 극점을 위쪽부터 [math(\rm A)], [math(\rm B)]라 하고, 이 두 점의 접선이 삼차함수의 그래프와 교차하는 점을 위쪽부터 [math(\rm P)], [math(\rm Q)]라 하면 위의 성질에 따라 다음이 성립한다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(S_{1}=S_{2}=S_{3})]}}}
==== 삼차함수·사차함수 ====
[[파일:나무_삼차함수_사차함수_넓이_길이_관계.png|width=170&align=center]]
그래프의 개형이 위 그림과 같은 사차함수 [math(f(x))]와 도함수 [math(f'(x))]에 대하여, 도함수의 그래프의 [math(x)]절편을 왼쪽부터 [math(\alpha)], [math(\beta)]라 하자. 한편 [math(f(x))]의 최고차항의 계수를 [math(a)]라 하면 [math(f'(x))]의 최고차항의 계수는 [math(4a)]이므로, 색칠된 부분의 넓이 [math(S)]와 접선의 기울기가 0인 [math(f(x))]의 그래프 위의 점들의 [math(y)]좌표 간 거리 [math(l)]의 관계는 다음과 같다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} S&=\frac{|4a|}{3\cdot 4}(\beta-\alpha)^{4}=\frac{|a|}{3}(\beta-\alpha)^{4} \\ l&=\frac{|a|}{3}(\beta-\alpha)^{4}\\ \therefore S&=l \end{aligned} )] }}}
이 사실은 가장 근본적으로는 [[미적분의 기본정리]] 때문에 성립하는데, 위 그림의 색칠된 부분은 [math(x)]축보다 아래에 있으므로 다음이 성립한다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\begin{aligned} S&=-\displaystyle\int_\alpha^\beta f'(x)\, {\mathrm d}x\\&=-\{f(\beta)-f(\alpha)\}\\&=f(\alpha)-f(\beta)\\&=l \end{aligned})]}}}
== 관련 문서 ==
 * [[다항함수]]
  * [[상수함수]], [[일차함수]], [[이차함수]], [[삼차함수]], [[사차함수]]
 * [[극값]]
 * [[미적분의 기본정리]]
 * [[정적분]]