브링 근호(Bring radical) 또는 초근호(Ultraradical)[1],테트레이션의 역함수)가 따로 있기 때문이다. 여기서 [math(W)]는 람베르트 [math(W)] 함수이다.]는 특수함수의 일종으로, [math(mathrm{BR}(x))]로 표기한다. 오차 방정식(Quintic equation)
[math(x^5+x+a=0 )]
의 실근을 [math(mathrm{BR}(a))]로 표기한다. [math(mathrm{BR}(x))]의 정의는 다음과 같다.
[math(mathrm{BR}(x) = -x cdot {}_4{F}_3 left(dfrac{1}{5},,dfrac{2}{5},,dfrac{3}{5},,dfrac{4}{5};,dfrac{1}{2},,dfrac{3}{4},,dfrac{5}{4};,-5left(dfrac{5x}{4}right)^4right))]
여기서 [math({}_4{F}_3)]은 초기하함수이다. 해당 함수의 그래프는 아래와 같다.
파일:브링근호_그래프_NeW.png
테일러 급수로 전개하면 다음과 같다.
[math(displaystyle mathrm{BR}(-x) = sum_{k=0}^{infty} dbinom{5k}{k}frac{(-1)^{k} x^{4k+1}}{4x+1})]
여기서 [math( binom{5k}{k})]는 조합이다.
원점 대칭인 홀함수[2]인 경우 [math(mathrm{BR}(x) < 0)], [math(x < 0)]인 경우 [math(mathrm{BR}(x) > 0)]이다.]로, 다음이 성립한다.
[math(mathrm{BR}(x) = -mathrm{BR}(-x))]
주 활용처는 5차 이상의 고차방정식의 풀이로, 닐스 헨리크 아벨이 5차 방정식의 일반해를 구할 수 없다고 증명한 이래 뭇 수학자들이 여러 연구를 통해 찾아낸 것이다.
울프럼알파에서는 [math(mathrm{BR})] 대신 5를 변형한 듯한 모양의 근호를 독자적으로 만들어 쓰는 듯하다.
도함수는 역함수의 미분법 또는 음함수의 미분법을 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.
[math(dfrac{rm d}{{rm d}x}mathrm{BR}(x) =- dfrac{1}{5[ mathrm{BR}(x) ]^4+1})]
[증명]해당 함수의 정의에 따라 [math(y^5 + y + x=0)]이다. 음함수의 미분법을 써 양변을 미분하면 [math(begin{aligned} 5y^4 dfrac{{rm d}y}{{rm d}x} + dfrac{{rm d}y}{{rm d}x} + 1&=0 \ (5y^4+1)dfrac{{rm d}y}{{rm d}x}&=-1 \ \ therefore dfrac{mathrm d}{mathrm {d} x}mathrm{BR}(x)&=-dfrac{1}{5y^4 +1}\&=-dfrac{1}{5[mathrm{BR}(x) ]^4+1} end{aligned})] [math()] [math()] |