1. 개요
error function · 誤差函數
오차함수는 특수함수와 초월함수의 한 종류로, 아래와 같은 적분식으로 정의된다. 기호로는 [math(mathrm{erf}(x))]를 사용하며, 이는 영문명에서 따왔다.
[math(displaystyle mathrm{erf}(x)equivfrac{2}{sqrt{pi}}int_{0}^{x}e^{-t^{2}},mathrm{d}t )]
한편, 정의식 양변을 [math(x)]에 대해 미분하면
[math(displaystyle frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}left[frac{sqrt{pi}}{2}mathrm{erf}(x)right]=e^{-x^{2}} )]
가 된다. 따라서 다음을 얻는다.
[math(displaystyle int e^{-x^{2}},mathrm{d}x=frac{sqrt{pi}}{2}mathrm{erf}(x)+C )]
즉, 가우스 함수의 역도함수는 오차함수를 상수배한 것임을 알 수 있다.
아래의 그림은 오차함수의 그래프를 나타낸 것이다.
파일:namu_erf(x)_그래프.png
오차함수는 특수함수와 초월함수의 한 종류로, 아래와 같은 적분식으로 정의된다. 기호로는 [math(mathrm{erf}(x))]를 사용하며, 이는 영문명에서 따왔다.
[math(displaystyle mathrm{erf}(x)equivfrac{2}{sqrt{pi}}int_{0}^{x}e^{-t^{2}},mathrm{d}t )]
한편, 정의식 양변을 [math(x)]에 대해 미분하면
[math(displaystyle frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}left[frac{sqrt{pi}}{2}mathrm{erf}(x)right]=e^{-x^{2}} )]
가 된다. 따라서 다음을 얻는다.
[math(displaystyle int e^{-x^{2}},mathrm{d}x=frac{sqrt{pi}}{2}mathrm{erf}(x)+C )]
즉, 가우스 함수의 역도함수는 오차함수를 상수배한 것임을 알 수 있다.
아래의 그림은 오차함수의 그래프를 나타낸 것이다.
파일:namu_erf(x)_그래프.png
_%ea%b7%b8%eb%9e%98%ed%94%84.png){kind=link}
1.1. 특성
- [math(left|mathrm{erf}(x)right|<1)]을 만족한다.
- [math(displaystyle lim_{x to 0} mathrm{erf}(x)=0)], [math(displaystyle lim_{x to infty} mathrm{erf}(x)=1)] , [math(displaystyle lim_{x to -infty} mathrm{erf}(x)=-1)]이 성립한다.
- 모든 복소수 [math(z)]에 대하여 다음이 성립한다. (단, [math(z^{ast})]는 [math(z)]의 켤레 복소수이다.)
[math(displaystyle mathrm{erf}(z^{ast})=mathrm{erf}^{ast}(z) )] - 오차함수를 테일러 전개하면 아래와 같다.
[math(displaystyle mathrm{erf}(z)= frac{2}{sqrt{pi}}sum_{n=0}^inftyfrac{left(-1right)^n z^{2n+1}}{n! cdot(2n+1)} )]
2. 연관된 함수
2.1. 여오차함수
Complementary error function · 餘誤差函數
여오차함수는 [math(1)]에서 오차함수를 뺀 것으로 정의되는 함수로, 기호로는 [math(mathrm{erfc}(x))]로 쓴다.
[math(displaystyle mathrm{erfc}(x) equiv 1-mathrm{erf}(x) )]
식의 형태를 보면 오차함수를 [math(x)]축에 대칭 이동한 후 [math(y)]축 방향으로 [math(+1)]만큼 이동한 것임을 알 수 있다.
한편,
[math(displaystyle frac{2}{sqrt{pi}} int_{0}^{infty} e^{-t^{2}},mathrm{d}t=1 )]
임을 이용하면 아래와 같이 위 정의를 적분으로 표현할 수 있다.
[math(displaystyle begin{aligned}mathrm{erfc}(x)&=frac{2}{sqrt{pi}}int_{0}^{infty}e^{-t^{2}},mathrm{d}t-frac{2}{sqrt{pi}}int_{0}^{x}e^{-t^{2}},mathrm{d}t \&=frac{2}{sqrt{pi}}int_{0}^{infty}e^{-t^{2}},mathrm{d}t+frac{2}{sqrt{pi}}int_{x}^{0}e^{-t^{2}},mathrm{d}t \&=frac{2}{sqrt{pi}}int_{x}^{infty}e^{-t^{2}},mathrm{d}t end{aligned} )]
이상에서
[math(displaystyle begin{aligned}mathrm{erfc}(x)=frac{2}{sqrt{pi}}int_{x}^{infty}e^{-t^{2}},mathrm{d}t end{aligned} )]
임을 얻는다.
아래의 그림은 여오차함수의 그래프를 나타낸 것이다.
파일:namu_erfc(x)_그래프.png
여오차함수는 [math(1)]에서 오차함수를 뺀 것으로 정의되는 함수로, 기호로는 [math(mathrm{erfc}(x))]로 쓴다.
[math(displaystyle mathrm{erfc}(x) equiv 1-mathrm{erf}(x) )]
식의 형태를 보면 오차함수를 [math(x)]축에 대칭 이동한 후 [math(y)]축 방향으로 [math(+1)]만큼 이동한 것임을 알 수 있다.
한편,
[math(displaystyle frac{2}{sqrt{pi}} int_{0}^{infty} e^{-t^{2}},mathrm{d}t=1 )]
임을 이용하면 아래와 같이 위 정의를 적분으로 표현할 수 있다.
[math(displaystyle begin{aligned}mathrm{erfc}(x)&=frac{2}{sqrt{pi}}int_{0}^{infty}e^{-t^{2}},mathrm{d}t-frac{2}{sqrt{pi}}int_{0}^{x}e^{-t^{2}},mathrm{d}t \&=frac{2}{sqrt{pi}}int_{0}^{infty}e^{-t^{2}},mathrm{d}t+frac{2}{sqrt{pi}}int_{x}^{0}e^{-t^{2}},mathrm{d}t \&=frac{2}{sqrt{pi}}int_{x}^{infty}e^{-t^{2}},mathrm{d}t end{aligned} )]
이상에서
[math(displaystyle begin{aligned}mathrm{erfc}(x)=frac{2}{sqrt{pi}}int_{x}^{infty}e^{-t^{2}},mathrm{d}t end{aligned} )]
임을 얻는다.
아래의 그림은 여오차함수의 그래프를 나타낸 것이다.
파일:namu_erfc(x)_그래프.png
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2.2. 정규 분포의 누적 분포 함수
2.3. 복소오차함수
Imaginary error function · 複素誤差函數
복소오차함수는 다음과 같이 정의되는 함수로, 기호로는 [math(mathrm{erfi}(x))]로 쓴다.
[math(displaystyle mathrm{erfi}(x) equiv -i,mathrm{erf}(ix)=-frac{2i}{sqrt{pi}} int_{0}^{ix} e^{-t^{2}},mathrm{d}t )]
이 때, 적절한 변수 치환을 위해 [math(iv equiv t)]라 놓으면 적분은
[math(displaystyle begin{aligned} mathrm{erfi}(x)&=frac{2}{sqrt{pi}}int_{0}^{x}e^{-(iv)^{2}},mathrm{d}v \&=frac{2}{sqrt{pi}}int_{0}^{x}e^{v^{2}},mathrm{d}vend{aligned} )]
로 쓸 수 있고, [math(t)], [math(v)]는 적분 연산 뒤 상쇄되는 더미 변수이므로 우리는 위 결과를
[math(displaystyle begin{aligned} mathrm{erfi}(x)=frac{2}{sqrt{pi}}int_{0}^{x} e^{t^{2}},mathrm{d}t end{aligned} )]
로 쓸 수 있다. 또한, 위 식의 양변을 [math(x)]에 대해 미분하면
[math(displaystyle begin{aligned}frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}left[frac{sqrt{pi}}{2}mathrm{erfi}(x)right]&=e^{x^{2}} \ int e^{x^{2}},mathrm{d}x&=frac{sqrt{pi}}{2}mathrm{erfi}(x)+C end{aligned} )]
임을 얻는다.
아래의 그림은 복소오차함수의 그래프를 나타낸 것이다.
파일:namu_erfi(x)_그래프.png
복소오차함수는 다음과 같이 정의되는 함수로, 기호로는 [math(mathrm{erfi}(x))]로 쓴다.
[math(displaystyle mathrm{erfi}(x) equiv -i,mathrm{erf}(ix)=-frac{2i}{sqrt{pi}} int_{0}^{ix} e^{-t^{2}},mathrm{d}t )]
이 때, 적절한 변수 치환을 위해 [math(iv equiv t)]라 놓으면 적분은
[math(displaystyle begin{aligned} mathrm{erfi}(x)&=frac{2}{sqrt{pi}}int_{0}^{x}e^{-(iv)^{2}},mathrm{d}v \&=frac{2}{sqrt{pi}}int_{0}^{x}e^{v^{2}},mathrm{d}vend{aligned} )]
로 쓸 수 있고, [math(t)], [math(v)]는 적분 연산 뒤 상쇄되는 더미 변수이므로 우리는 위 결과를
[math(displaystyle begin{aligned} mathrm{erfi}(x)=frac{2}{sqrt{pi}}int_{0}^{x} e^{t^{2}},mathrm{d}t end{aligned} )]
로 쓸 수 있다. 또한, 위 식의 양변을 [math(x)]에 대해 미분하면
[math(displaystyle begin{aligned}frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}left[frac{sqrt{pi}}{2}mathrm{erfi}(x)right]&=e^{x^{2}} \ int e^{x^{2}},mathrm{d}x&=frac{sqrt{pi}}{2}mathrm{erfi}(x)+C end{aligned} )]
임을 얻는다.
아래의 그림은 복소오차함수의 그래프를 나타낸 것이다.
파일:namu_erfi(x)_그래프.png
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2.4. 프레넬 적분 함수
3. 여담
- 위에서 봤던 것 처럼 [math(f(x)=e^{pm x^{2}})] 꼴의 함수는 역도함수가 초등함수로 표현되지 않기 때문에, 역도함수를 직접 그려보지 않는 이상은 그래프의 형태와 성질 모두 추론하기 어렵다. 이와 관련된 문제가 나오면 적분 연산 자체나 보기에서 주어진 식들을 응용하여 문제를 해결해야 할 수밖에 없다. 그렇기 때문에 수능에서 미적분 파트의 상위권 변별 문제에서 간간이 등장하는 함수이다.[2]
- 실제로 지식iN 같은 데서 미적분 관련 질문들 중 [math(f(x)=e^{pm x^{2}})] 꼴의 함수의 적분을 어떻게 하는지 물어보는 고등학생들의 질문이 간간이 보인다.