0과 1 사이의 수

역사 raw
대문 랜덤 문서 최근 토론
분류
1. 개요
1.1. 성질
2. 이용3. 목록4. 관련 문서

1. 개요[편집]

the real numbers greater than 0 and less than 1

x∈R,0<x<1x \in \mathbb{R}, 0<x<1로 정의되며 구간으로 표시하면 (0,1)(0,1)로 나타내어진다.이 수를 특칭할 만한 용어는 아직까지 없다. 참고로 진분수(proper fraction)는 무리수를 포함하고 있지 않기 때문에 충분 조건에 지나지 않으며[1] 그 자체가 이 용어를 대변하기엔 좁은 개념이다. '확률값' 역시 0과 1을 포함(x∈R,0≤x≤1x \in \mathbb{R}, 0 \le x \le 1)하고 있으므로 이 용어를 대변할 수 없으며, 말그대로 확률값으로 해석될 때가 아니고선 오히려 혼란을 줄 여지가 있다. 단위구간(unit interval)은 보통 0과 1을 포함하여 그 사이의 수로 이루어진 닫힌 구간이므로, '열린 단위구간(open unit interval)'을 이용하여 지칭할 수 있다.

사실 해당 용어가 없는 이유는 굳이 이름 붙일 필요가 없기 때문이다. 가령 "0과 1 사이의 임의의 수 xx에 대해 명제 P(x)P(x)가 성립한다"는 명제는 다음과 같이 적을 것이다.
  • 임의의 x∈(0,1)x\in(0, 1)에 대해 P(x)P(x)가 성립한다.
  • P(x)P(x) holds for an arbitrary x∈(0,1)x\in(0, 1).
이와 같이 구간 표현이라는 간명하고 널리 공유되는 표기 대신 굳이 새로운 이름을 붙이는 게 불필요한 것이다. 입말로도 '0과 1 사이의 수'나 'a number between 0 and 1'은 다소 길긴 하지만, 이들이 이미 널리 쓰이는 중에 새로운 용어가 만들어진다고 하더라도 대다수의 사람들에게 새 용어가 퍼져 통용될 가능성은 거의 없다.

1.1. 성질[편집]

0과 1 사이의 수 ψ\psi의 성질은 다음과 같다.
  • ⌊ψ⌋=0\lfloor \psi \rfloor = 0
    • {ψ}=ψ−⌊ψ⌋=ψ\{\psi\} = \psi - \lfloor \psi \rfloor = \psi
  • ⌈ψ⌉=1\lceil \psi \rceil = 1
  • lim⁡n→∞ψn=0\displaystyle \lim_{n \to \infty} \psi^n = 0
  • lim⁡n→−∞ψn=∞\displaystyle \lim_{n \to -\infty} \psi^n = \infty
  • 1N(ψ)=0,1Z(ψ)=0,1R(ψ)=1\bold{1}_{\mathbb{N}}(\psi) = 0, \bold{1}_{\mathbb{Z}}(\psi) = 0, \bold{1}_{\mathbb{R}}(\psi) = 1[2]
  • lim⁡n→∞ψ↑↑n=−W(−ln⁡ψ)ln⁡ψ\displaystyle \lim_{n \to \infty} \psi \uparrow \uparrow n= -\frac{W(-\ln \psi)}{\ln \psi}[3]

2. 이용[편집]

지수함수, 로그함수에서 '밑'의 정의역으로 쓰인다. 지수함수에서는 밑이 '1보다 큰 수'인가, '0보다 크고 1보다 작은 수'인가, 0보다 작은가[4]에 따라 그래프의 개형이 달라지기 때문이다. 다만 이 두 함수는 밑이 1보다 큰 경우에도 정의될 수 있다. 지수함수의 경우 1인 경우는 y=1과 똑같고, 로그함수는 로그의 정의상 밑이 1이 될 수 없다.

비표준 해석학에서는 '무한소'라고 불리는, 0에 가장 가까우면서도 0보다는 큰 가상의 수를 정의해서 사용한다.

3. 목록[편집]

0과 1 사이의 수의 개수는 무한하며 이 중 따로 이름이 붙여진 것들을 서술한다. 구체적인 값은 소수점 7번째 자리에서 반올림한다.[출처]

항목을 보면 알겠지만 대부분이 무한급수 연구의 부산물인 경우가 많다.[6][7] 하지만 이름이 붙을 정도로 중요성은 매우 높은데, 위의 오일러-마스케로니 상수만 봐도 감마 함수와 상당히 연관되어 있고, 카탈랑 상수와 가우스-쿠즈민-비어징 상수는 정수론의 끝판왕인 리만 가설의 중요한 떡밥 중 하나이다. 1보다 작은 수라고 결코 무시할 게 아닌 셈.

이외에도 이름은 없지만 iii^i(약 0.207880)[8] 같은 특수한 꼴로 유도되는 수가 존재한다.

4. 관련 문서[편집]

[1] 즉, 진분수면 0과 1사이에 포함되나 그 역은 성립하지 않는다.[2] 1Q(ψ),1I(ψ)\bold{1}_{\mathbb{Q}}(\psi), \bold{1}_{\mathbb{I}}(\psi)의 값은 해당 수의 유리수 여부에 따라 다르다. 가령 12\dfrac{1}{2}는 유리수이므로 1Q(12)=1,1I(12)=0\bold{1}_{\mathbb{Q}}\left(\dfrac{1}{2}\right) = 1, \bold{1}_{\mathbb{I}}\left(\dfrac{1}{2}\right) = 0이지만, 오메가 상수 Ω\Omega는 무리수이므로 1Q(Ω)=0,1I(Ω)=1\bold{1}_{\mathbb{Q}}\left(\Omega\right) = 0, \bold{1}_{\mathbb{I}}\left(\Omega\right) = 1이다. 다만 오일러-마스케로니 상수 같은 경우 유리수/무리수 여부가 아직 밝혀지지 않았으므로 현 시점에서는 '부정'이다.[3] ↑↑\uparrow \uparrow는 4차 연산자, WW는 람베르트 W 함수이다. 이 함수는 실수 범위에서 0과 1 사이의 수를 비롯해서 (1,ee   ⁣]\left(1, \sqrt[e]{e}\;\!\right]인 경우에만 수렴한다.[4] 이 경우 복소평면에서만 나타낼 수 있다.[출처] https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_constant를 참고함.[6] 위 항목의 수를 보면 알겠지만 아예 초월수로 인정을 받았거나, 무리수임이 확실시되는 수들이다. 다만 오일러-마스케로니 상수, 브룬 상수, 카탈랑 상수는 유리수인지 무리수인지 알려져 있지 않다.[7] 위 목록 중 무한급수와 관계 없어 보이는 녀석들이 몇 있지만 챔퍼나운 상수, 코플랜드-에르되시 상수는 무한급수 점화식을 세울 수 있으며, 이상적분으로 정의된 2학년의 꿈 상수도 이리저리 풀다 보면 무한급수(∑n=0∞xnln⁡nxn!\displaystyle \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^n \ln^n x}{n!})가 튀어나온다. 그리고 오메가 상수를 정의하는 람베르트 W 함수가 무한급수(∑n=1∞(−1)n−1nn−2Γ(n)xn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} n^{n-2}}{\Gamma(n)} x^n)로 정의된다.[8] ii=e−(π2+2kπ)i^i = e^{-\left( \frac{\pi}2 + 2k\pi \right)}(k∈Zk \in \mathbb{Z})에서 k=0k=0으로 지정했을 경우. 보통 θ∈(−π,π]\theta \in (-\pi,\pi]로 두고 계산할 때가 많다.