1. 개요
초실수체 [math(mathbb{R}^{*})]란, 무한소를 포함하며, [math(mathbb{R})]에 대해 성립하는 모든 1차 논리 문장으로 적을수 있는 명제를 [math(mathbb{R}^{*})]에 대해서도 만족시키고, 거꾸로 [math(mathbb{R}^{*})]에서 1차논리 문장으로 적힌 명제가 참이면 [math(mathbb{R})]에서도 만족시키는 [math(mathbb{R})]의 확대 체(extension field)이다. Edwin Hewitt라는 미국인 수학자가 1948년에 최초로 도입하였다. 실수에서 하던 얘기 대부분[1][2]라고 쓸수 있지 않느냐고 반문할수도 있을텐데, [math(mathbb{N})]을 초실수체로 '전달'하면 [math(mathbb{N}^{*})]가 되어서, 자연수(=1을 유한번 더해서 얻은것) n이 더이상 자연수가 아닐수도 있게 된다. 그렇기 때문에 근본적으로 자연수 집합을 1차논리로 어떻게 표현해낼지가 문제가 된다.]을 무한소를 가지고서도 할 수 있기 때문에, 미적분학 역사 초기에 오일러, 뉴턴 등이 무한소를 도입하여 미적분을 설명했었던 논리가 아주 틀린건 아니라는 것을 밝힌데에 의의가 있다.
초실수를 이용해 전개하는 해석학을 비표준 해석학(nonstandard analysis)이라고 한다. 표준 해석학이 엡실론-델타 논법 위에서 전개되는 것에 대비해서 이렇게 표현한 것이다.
초실수를 이용해 전개하는 해석학을 비표준 해석학(nonstandard analysis)이라고 한다. 표준 해석학이 엡실론-델타 논법 위에서 전개되는 것에 대비해서 이렇게 표현한 것이다.
2. 정의
어떤 집합 [math(I)]에 대해서, [math(I)] 위의 필터(filter on [math(I)]) [math(Usubset mathcal{P}(I))]란 다음의 세가지 조건을 만족하는 [math(I)]의 부분집합으로 이루어진 집합을 말한다.
- 포함집합(superset)에 닫혀있다: [math(Xin U)] 이고 [math(Xsubset Y subset I)] 이면 [math(Yin U)]
- 유한 교집합에 닫혀있다: [math(X,Yin U)] 이면 [math(Xcap Y in U)]
- [math(Iin U)] 이고 [math(emptyset notin U)]
임의의 [math(Xsubset I)]에 대하여 [math(X)]와 [math(I-X)] 중에 어느 하나만이, 반드시, 필터 [math(U)]의 원소일 때, [math(U)]를 극대필터라고 한다.
극대필터 [math(U)]의 모든 원소가 무한집합이면 [math(U)]를 자유극대필터(free ultrafilter)라고 한다. 초른의 보조정리를 이용하면, 임의의 무한집합 [math(I)]에 대하여, [math(I)]위의 자유극대필터가 존재한다는 것을 증명할 수 있다.[3] 자유극대필터의 유일성은 보장되지 않는다.[4]
자연수 집합 [math(mathbb{N})]에 대하여 [math(mathbb{N})] 위의 자유 극대필터(free ultrafilter on [math(mathbb{N})]) [math(U)]가 주어졌을 때, 실수열의 집합 [math(mathbb{R}^{mathbb{N}})]에 대하여 다음과 같은 동치관계 [math(=_{U})]를 줄 수 있다.
[math(a=_{U} b)] if and only if [math({iin mathbb{N}|a_{i}=b_{i}}in U)]
이 관계가 동치관계인 이유는, 반사성은 전체집합 [math(mathbb{N})]이 필터의 원소가 되기 때문이고, 대칭성은 정의에 의해 자명하고, 추이성은 필터가 교집합과 포함집합에 닫혀있기 때문이다.
[math(a)]의 동치류를 [math(a_{U}={binmathbb{R}^{mathbb{N}}|a=_{U}b})]로 나타내자. 그러면, 초실수체 [math(mathbb{R}^{*})]는 [math(mathbb{R})] modulo [math(U)]의 초거듭제곱(ultrapower)이다.
[math(a)]의 동치류를 [math(a_{U}={binmathbb{R}^{mathbb{N}}|a=_{U}b})]로 나타내자. 그러면, 초실수체 [math(mathbb{R}^{*})]는 [math(mathbb{R})] modulo [math(U)]의 초거듭제곱(ultrapower)이다.
[math(mathbb{R}^{*}=displaystyleprod_{U} {mathbb{R}}={a_{U}|ain mathbb{R}^{mathbb{N}}})]
이렇게 구성하는 방법을 ultrapower construction이라 한다.
2.1. 자연스러운 확장(natural extension)
2.1.1. 부분 집합의 확장
실수집합의 부분집합 [math(Asubsetmathbb{R})]을 아래와 같이 초실수집합의 부분집합으로 확장할 수 있다.
[math(A^{*}={a_{U}|ain A^mathbb{N}})]
특히, 자연수 집합 [math(mathbb{N})], 정수 집합 [math(mathbb{Z})], 유리수 집합 [math(mathbb{Q})], 무리수 집합 [math(mathbb{I})]에 대하여, [math(mathbb{N}^{*})], [math(mathbb{Z}^{*})], [math(mathbb{Q}^{*})], [math(mathbb{I}^{*})] 등을 초자연수 집합, 초정수 집합, 초유리수 집합, 초무리수 집합이라고 한다.
2.1.2. 관계의 확장
아래 첨자의 남용을 막기 위하여 지금부터는 [math(X)]를 실수열의 n-tuple이라 하자. ([math(X_{1},X_{2},X_{3})] 등은 [math(X)]의 수열로서의 항이지, n-tuple의 성분을 나타내는 것이 아니다.) [math(X_{U})]는 [math(X)]의 성분의 동치류로 구성된 [math(mathbb{R}^{*})]의 n-tuple이다.
실수의 n항 관계 [math(R)]은, [math({X_{U}|Xinmathbb{R}^{mathbb{N}times n},{iinmathbb{N}|X_{i}in R}in U})]로 확장할 수 있다. 이를 이용하면 순서관계[math(<)]를 확장할 수 있다.
실수의 n항 관계 [math(R)]은, [math({X_{U}|Xinmathbb{R}^{mathbb{N}times n},{iinmathbb{N}|X_{i}in R}in U})]로 확장할 수 있다. 이를 이용하면 순서관계[math(<)]를 확장할 수 있다.
[math(a_{U}<^{*}b_{U} iff {iinmathbb{N}|a_{i}<b_{i}}in U)]
2.1.3. 함수와 연산의 확장
함수 [math(f:mathbb{R}^{n}to mathbb{R})]에 대하여 [math(f)]의 자연스러운 확장 [math(f^{*})]를 자연스럽게 정의할 수 있다.
[math(f^{*}(X_{U})=(f(X_{1}),f(X_{2}),f(X_{3}).cdots)_U)]
이렇게 정의해도 잘 정의되는 이유는 임의의 [math(Yin X_{U})]에 대하여, [math({iinmathbb{N}|X_{i}=Y_{i}}in U)] 이고, [math(U)]가 포함집합에 닫혀있어서
[math({iinmathbb{N}|X_{i}=Y_{i}}subset{iinmathbb{N}|f(X_{i})=f(Y_{i})}in U)]
가 성립하기 때문이다. 이를 이용하면 실수의 사칙연산 등을 초실수의 사칙연산으로 확장할 수 있다.
[math(a_{U}+^{*}b_{U}=(a+b)_{U}=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},a_{3}+b_{3}.cdots)_{U})]
[math(a_{U}times^{*}b_{U}=(a times b)_{U}=(a_{1}times b_{1},a_{2}times b_{2},a_{3}times b_{3}.cdots)_{U})]
[math(a_{U}times^{*}b_{U}=(a times b)_{U}=(a_{1}times b_{1},a_{2}times b_{2},a_{3}times b_{3}.cdots)_{U})]
집합 [math(Asubsetmathbb{R})]에 대한 지시 함수(indicator function) [math(bold{I}_{A}:mathbb{R}tomathbb{R})]는
[math(bold{I}_A(x) =begin{cases}1&xin A\0&xnotin Aend{cases})]
로 정의되는 함수이다. 이 때, 함수 [math(bold{I}_{A})]의 자연스러운 확장 [math(bold{I}_{A}^{*})]은, 집합 [math(A)]의 자연스러운 확장 [math(A^{*})]의 지시함수와 같다. 즉,
[math(bold{I}_{A}^{*}(x)=bold{I}_{A^{*}}(x)=begin{cases}1&xin A^{*}\0&xnotin A^{*}end{cases})]
이 성립한다.
함수 [math(f)]가 [math(Asubset mathbb{R}^{n})]에서 정의되었을 때에는 [math(f^{*}:A^{*}tomathbb{R}^{*})]를
함수 [math(f)]가 [math(Asubset mathbb{R}^{n})]에서 정의되었을 때에는 [math(f^{*}:A^{*}tomathbb{R}^{*})]를
[math(f(X_{U})=(f(X_{1}),f(X_{2}),f(X_{3}).cdots)_U,quad forall Xin A^{mathbb{N}} )]
로 확장하자. 예를들어 [math(div)]는 [math(mathbb{R}timesleft(mathbb{R}-{0}right))]에서 정의되므로 위와 같은 방법으로 확장할 수 있다.
2.2. 순서체
[math((mathbb{R}^{*},+^{*},times^{*},<^{*}))]는 체공리와 순서공리를 만족시키는 순서체이다.
[math(mathbb{R}^{*})]는 아르키메데스 성질을 만족하지 않는다. 예를들어, 양의 무한대는 1을 유한번 더한 값 보다는 항상 크다.
실수 [math(rinmathbb{R})]에 대하여 [math(mathbb{R}^{*})]의 실수를 모든 항이 [math(r)]인 실수열의 동치류 [math((r,r,r,cdots)_{U})]로 자연스럽게 정의할 수 있다. 이 때, 함수 [math(f:rmapsto (r,r,r,cdots)_{U})]는 환동형사상이자 순서동형사상이다. 즉, [math({(r,r,r,cdots)_{U}|rin mathbb{R}} )]은 완비순서체이며, [math(mathbb{R}^{*})]의 부분체이다.
[math(mathbb{R}^{*})]는 아르키메데스 성질을 만족하지 않는다. 예를들어, 양의 무한대는 1을 유한번 더한 값 보다는 항상 크다.
실수 [math(rinmathbb{R})]에 대하여 [math(mathbb{R}^{*})]의 실수를 모든 항이 [math(r)]인 실수열의 동치류 [math((r,r,r,cdots)_{U})]로 자연스럽게 정의할 수 있다. 이 때, 함수 [math(f:rmapsto (r,r,r,cdots)_{U})]는 환동형사상이자 순서동형사상이다. 즉, [math({(r,r,r,cdots)_{U}|rin mathbb{R}} )]은 완비순서체이며, [math(mathbb{R}^{*})]의 부분체이다.
2.3. 전달 원리(transfer principle)
2.4. 무한소와 무한대
양의 무한소란, 임의의 양수보다 작고 0보다는 큰 초실수이다. 예를들면, 수열 [math(a_{n}=displaystylefrac{1}{n})]에 대하여 [math({a}_U)]는 무한소이다. 임의의 양의 실수 [math(r)]에 대하여, [math(displaystylefrac{1}{n}geq r)]을 만족하는 자연수 [math(n)]이 많아야 유한개라서, 자유극대필터의 정의에 의해
[math(left{ninmathbb{N}left|displaystylefrac{1}{n}< r right.right}in U)]
가 성립하기 때문이다. 비슷하게, 수열 [math(a_{n}=n)]에 대하여, [math({a}_{U})]는 양의 무한대이다.
재밌는점은, 수열 [math(a_{n}=e^{(-1)^{n}n})]에 대하여, [math({a}_{U})]는 무한소일 수 도 있고, 무한대일 수 도 있다. 자유극대필터의 선택에 의하여 달라지는데, 자유극대필터의 정의에 의해, 짝수집합과 홀수집합중 하나만 자유극대필터의 원소가 된다. 짝수 집합이 원소이면, [math({a}_{U})]는 무한대이고, 홀수집합이 원소이면, [math({a}_{U})]는 무한소이다.[5]
재밌는점은, 수열 [math(a_{n}=e^{(-1)^{n}n})]에 대하여, [math({a}_{U})]는 무한소일 수 도 있고, 무한대일 수 도 있다. 자유극대필터의 선택에 의하여 달라지는데, 자유극대필터의 정의에 의해, 짝수집합과 홀수집합중 하나만 자유극대필터의 원소가 된다. 짝수 집합이 원소이면, [math({a}_{U})]는 무한대이고, 홀수집합이 원소이면, [math({a}_{U})]는 무한소이다.[5]
3. 초실수의 분류
초실수체 [math(mathbb{R}^{*})]의 원소를 초실수라 한다. 비슷하게, [math(mathbb{N}^{*})], [math(mathbb{Z}^{*})], [math(mathbb{Q}^{*})], [math(mathbb{I}^{*})]의 원소를, 각각, 초자연수, 초정수, 초유리수, 초무리수라고 한다.
무한소란, 절댓값이 임의의 0이 아닌 실수보다 작은 초실수를 뜻한다. 무한소는 다음의 세 가지로 분류할 수 있다.
무한소란, 절댓값이 임의의 0이 아닌 실수보다 작은 초실수를 뜻한다. 무한소는 다음의 세 가지로 분류할 수 있다.
- 양의 무한소 : 임의의 양의 실수보다 작고 0보다는 큰 초실수
- 음의 무한소 : 임의의 음의 실수보다 크고 0보다는 작은 초실수
- 0
무한대란, 절댓값이 임의의 실수보다 큰 초실수를 뜻하며, 다음의 두가지 경우로 나뉘어진다.
- 양의 무한대: 임의의 실수보다 큰 초실수
- 음의 무한대: 임의의 실수보다 작은 초실수
유한 초실수는 무한대가 아닌 초실수를 뜻한다.
두 초실수 [math(a,b)]에 대하여, [math(a-b)]가 무한소이면, [math(a)]와 [math(b)]를 한없이 가깝다고 하고, [math(aapprox b)]라고 쓴다. 이 때, 관계 [math(approx)]는 동치관계가 되는데, 이 관계의 [math(a)]의 동치류
[math(text{monad}(a)={xinmathbb{R}^{*}|aapprox x})]
를 [math(a)]의 monad라고 한다. 비슷하게, 집합
[math(text{galaxy}(a)={xinmathbb{R}^{*}|a-xtext{는 유한 초실수}})]
은 [math(a)]의 galaxy 라고 한다.
4. 초실수의 연산
[math(epsilon,delta)]를 0이 아닌 무한소, [math(H,K)]를 양의 무한대, [math(a,b)]를 무한소가 아닌 유한 초실수라고 하자.
아래의 연산 결과는 모두 0이 아닌 무한소이다.
* [math(epsilon+delta)], [math(epsilondelta)], [math(displaystylefrac{epsilon}{H})], [math(epsilon a)]
* [math(epsilon+delta)], [math(epsilondelta)], [math(displaystylefrac{epsilon}{H})], [math(epsilon a)]
아래의 연산 결과는 모두 무한대이다.
* [math(H+K)], [math(HK)], [math(H+epsilon)], [math(H+a)], [math(aH)], [math(displaystylefrac{a}{epsilon})], [math(displaystylefrac{H}{epsilon})]
* [math(H+K)], [math(HK)], [math(H+epsilon)], [math(H+a)], [math(aH)], [math(displaystylefrac{a}{epsilon})], [math(displaystylefrac{H}{epsilon})]
아래의 연산 결과는 모두 유한 초실수이다.
* [math(a+b)], [math(atimes b)], [math(a+epsilon )]
* [math(a+b)], [math(atimes b)], [math(a+epsilon )]
5. 표준 부분 원리
임의의 유한초실수 [math(ain mathbb{R}^{*})]에 대하여, [math(a=a_{0}+epsilon)]을 만족하는 실수 [math(a_{0})]와 무한소 [math(epsilon)]이 유일하게 존재한다. 이 때 함수 [math(text{st}:amapsto a_{0})]을 표준 부분함수라고 한다.
즉, 임의의 양의 실수 [math(r)]에 대하여
즉, 임의의 양의 실수 [math(r)]에 대하여
[math(0leq|text{st}(a)-a|=|epsilon|<r)]
[1] 1차논리로 적을 수 있는 명제에 한한다. 아르키메데스 성질은 1차논리의 문장으로 표현할 수 없고, 실수체에서 아르키메데스 성질이 성립하지만, 초실수체에서는 성립하지 않는다.[2] 아르키메데스 성질을 1차논리의 문장으로 [math(forall yforall xexist n((nin mathbb{N} land x>0)to ntimes x> y) )[3] 선택공리를 배제하면, 즉, ZFC 공리계가 아닌 ZF 공리계에서는 존재성에 대해 증명할 방법이 없다고 한다. 그래서 Errett Bishop 같은 구성주의 수학자들은 초실수에 대해서 부정적으로 보았다.[4] 자유극대필터의 선택에 따라 다른 초실수체가 나올 수 있는데, 연속체 가설을 가정하면, 서로 다른 초실수체가 모두 동형이라고 한다.[5] 필터라는 네이밍이 참 괜찮은게, 짝수항과 홀수항 중 하나는 필터에 의해 걸러지고, 다른 하나는 필터를 그대로 통과해서 버려진다고 생각 할 수 있다.