챔퍼나운 상수

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1. 개요2. 상세3. 연분수 전개

1. 개요[편집]

Champernowne constant · Champernowne 常數

소수 전개가 1부터 시작하여 연속적인 정수를 쭉 이어 만든 실수이다. 규칙이 분명히 있긴 하지만, 소수점 아래의 자릿수가 반복되는 규칙이 아니다. 엄연한 무리수이며, 초월수이기도 하다.[1]

그 값은 10진수 기준 0.123456789101112131415161718192021...으로 알려져있다.

10진수 외에도 각 진법에 대응하는 챔퍼나운 상수가 있으며, 이들 역시 초월수이다.

2. 상세[편집]

챔퍼나운 수는 다음과 같은 무한급수로 정확하게 나타낼 수 있다.

C10=∑n=1∞∑k=10n−110n−1k10n(k−10n−1+1)+9∑l=1n−110l−1l\displaystyle C_{10}=\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=10^{n-1}}^{10^n-1}\frac k{10^{n(k-10^{n-1}+1)+9\sum_{l=1}^{n-1}10^{l-1}l}}

3. 연분수 전개[편집]

챔퍼노운 상수를 연분수로 전개하여, 근사치가 되는 유리수를 얻을 수 있다.

60499999499490050000000=0.123456789101112…96979900010203040506070809‾\dfrac{60499999499}{490050000000}=0.123456789\overline{101112\ldots96979900010203040506070809}
[1] 챔퍼나운 상수가 초월수라는 사실은 커트 멜러가 증명했다.