무한 지수 탑 함수

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1. 개요2. 알려진 함숫값3. 도함수4. 역도함수

1. 개요[편집]

infinite power tower function ・ 無限 指數 塔 函數

y=xxxx... ⁣ ⁣ ⁣=x↑↑∞ y=x^{x^{x^{x^{.^{.^.}} }} }\!\!\!=x\uparrow\uparrow\infty

위와 같은 함수를 무한 지수 탑 함수라고 한다. xx를 밑으로 하여 무한히 xx제곱을 하는 함수로서, 지수함수이며 비초등함수이다. xx에 무한대의 테트레이션을 취한다고도 할 수 있으므로 무한 테트레이션이라고도 한다.

이 함수는 일반적인 방법으로 함숫값을 기술하기가 까다로우며, 해석적 확장[1][2]을 통해 다음과 같이 람베르트 W 함수와 복소로그함수로 표현해야 한다. 유도 과정 보기

y=−W(−Log⁡x)Log⁡xy=-\dfrac{W(-\operatorname{Log}{x})}{{\operatorname{Log}{x} }}

해석적 확장을 이용하기 때문에 이 함수는 모든 복소수에서 수렴하며, [math(Im(y)=0)]을 만족시키는 실수의 정의역은 x∈(0, 1)∪(1, ee   ⁣]x \in (0,\,1) \cup (1,\,\sqrt[e]{e}\;\!][3]이다.

2. 알려진 함숫값[편집]

x\boldsymbol x
y\boldsymbol y
비고
00
00
로피탈의 정리 필요[4], 가장 작은 실숫값, 해석적 확장
144\dfrac{1}{4^4}
14\dfrac{1}{4}
해석적 확장
1ππ\dfrac{1}{\pi^{\pi}}
1π\dfrac{1}{\pi}
해석적 확장
133\dfrac{1}{3^3}
13\dfrac{1}{3}
해석적 확장
1ee\dfrac{1}{e^e}
1e\dfrac{1}{e}
122\dfrac1{2^2}
12\dfrac12
1e\dfrac{1}{e}
[math(Omega)]
[math(Omega)]
eΩW(Ω)e^{\Omega}W(\Omega)[5]
11
11
로피탈의 정리 필요[6]
2\sqrt2
22
ee\sqrt[e]{e}
ee
가장 큰 실숫값
−1-1
W(−πi)πi\dfrac{W(-\pi i)}{\pi}i[7]
해석적 확장
ee
−W(−1)-W(-1)[8]
해석적 확장
eπ\sqrt{e^{\pi}}
−i-i
해석적 확장
ii
e−W(iπ/2)e^{-W(i\pi/2)}[9]

아래는 y:R↦Cy: {\mathbb R}\mapsto {\mathbb C}에 대응하는 그래프이다. 파란색은 ℜ(y)\Re(y), 보라색은 ℑ(y)\Im(y)이다.

파일:inf_pwr_twr_1.png

한편 위 표에서 보듯 특이한 성질이 있는데, 1/(x↑↑2)1/(x\uparrow\uparrow 2) 꼴의 수는 함숫값이 1/x1/x이 된다.

3. 도함수[편집]

우선, 본 함수는 xx제곱을 무한히 많이 취하는 함수이므로 다음과 같이 나타낼 수 있다.[10]

y={\color{red}x^{x^{x^{x^{.^{.^.}} }} }}\rightarrow\quad y=x^\color{red}{x^{x^{x^{.^{.^.}} }} }

이에 y=x^\color{red} y이고, 양변에 자연로그를 취하면

ln⁡y=ln⁡xy=yln⁡x\ln y=\ln{x^y}=y \ln{x}

양 끝의 식을 xx에 대하여 미분하면

1ydydx=y1x+ln⁡xdydx\begin{aligned} \dfrac1y \dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}&=y\dfrac1x+\ln{x}\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}\end{aligned}

계산의 편의를 위하여 양변에 xyxy를 곱하면

xdydx=y2+xyln⁡xdydx∴dydx=y2x−xyln⁡x(x≠xyln⁡x)\begin{aligned} x\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}&=y^2+xy\ln{x}\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}\\ \therefore \dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}&=\dfrac{y^2}{x-xy\ln x} \quad (x \neq xy\ln x) \end{aligned}


이 도함수는 상기했듯 복소함수로 나타낼 수 있으며, 매끄러운 함수이면서 테일러 전개가 가능한 정칙 함수임이 알려져 있다.

dydx=[W(−Log⁡x)]2xLog⁡2x[W(−Log⁡x)+1]\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=\dfrac{[W(-\operatorname{Log}{x}) ]^2}{ x \operatorname{Log}^{2}{x} [W(-\operatorname{Log}{x}) + 1 ] }

4. 역도함수[편집]

반면, 도함수와는 달리 역도함수는 현 시점에선 알려진 바가 없다. 고작 지수가 하나만 있는 y=xxy=x^x만 해도 2학년의 꿈이라는 특수해만 알 뿐 일반화된 해법이 없는 실정인데, 무한 지수 탑 함수에 대한 역도함수가 있을 리가 없다.

다만 병리적 함수는 아니므로 수치해석을 이용한 정적분은 가능하다. (0, ee   ⁣](0,\,\sqrt[e]{e}\;\!] 구간 정적분
[1] 쉽게 말하자면 실수에서 발산하는 부분을 복소수로 빙 돌아가서 값을 구하는 과정을 말하는데, 대표적인 예로 모든 자연수의 합을 −1/12-1/12로 계산하는 라마누잔합이 있다.[2] 해석적 확장을 쓰지 않고 정의역을 [1/ee, ee   ⁣][1/e^{e},\,\sqrt[e]{e}\;\!]로 제한해서 정의하는 방법도 있다.[3] 이 집합은 밑이 같은 지수함수와 로그함수가 교점을 갖는 밑의 집합이기도 하다.[4] 그대로 계산할 경우 ∞∞\dfrac{\infty}{\infty}의 부정형이 된다. 0의 0제곱 참고.[5] 약 0.680.68[6] 그대로 계산할 경우 00\dfrac00의 부정형이 된다.[7] 약 0.266⋯+0.2943⋯i0.266 \cdots +0.2943 \cdots i[8] 약 0.3181⋯−1.3372⋯i0.3181\cdots - 1.3372\cdots i[9] 약 0.4383⋯−0.3606⋯i0.4383\cdots - 0.3606\cdots i[10] 일명 힐베르트의 호텔.