Beta function

특수함수의 일종. 다음과 같이 정의된다.

여기서 $p>0,\,q>0$이다.

베타 함수는 이항계수를 실수 범위로 확장한 것이라 할 수 있다.

$x$를 삼각함수로 치환하면 다음과 같은 꼴이 나온다.

즉, 삼각 함수의 적분을 유용하게 나타낼 수 있는 수단이 된다.

또한 다음과 같이 감마 함수를 이용하여 정의할 수도 있다.

이는 야코비안을 통해 유도할 수 있다.

【유도 과정】

$\displaystyle \Gamma(p)\Gamma(q) \\= \int_0^\infty x^{p-1} e^{-x}\,\mathrm{d}x \, \int_0^\infty y^{q-1} e^{-y} \mathrm{d}y \\= \int_0^\infty \int_0^\infty x^{p-1} y^{q-1} e^{-x-y}\,\mathrm{d}x \mathrm{d}y$
여기서 $x=uv,\,y=u \left( 1-v \right)$라 하면 $v \in [0,\,1],\, u \in [0,\,\infty),\, \left| J \right| = u$이므로
$\displaystyle = \int_0^1 \int_0^\infty \left( uv \right) ^{p-1} \left( u \left( 1-v \right) \right) ^{q-1} e^{-u} u \mathrm{d}u \mathrm{d}v \\= \int_0^1 \int_0^\infty v^{p-1} \left( 1-v \right) ^{q-1} u^{p+q-1} e^{-u}\,\mathrm{d}u \mathrm{d}v \\= \int_0^1 v^{p-1} \left( 1-v \right) ^{q-1}\,\mathrm{d}v \int_0^\infty u^{p+q-1} e^{-u}\,\mathrm{d}u = \Beta (p,\,q) \Gamma (p+q)$
【출처】 https://ghebook.blogspot.com/2011/12/beta-function.html

한편, 베타 함수의 두 변수끼리는 교환이 가능하다. 즉,

이 성립한다. 이는 베타 함수의 정의에서 $x$를 $1-x$로 치환하면 바로 나온다.

특수한 경우로 $p+q=1$을 만족한다면 아래와 같이 나온다.

이것은 베타 함수를 감마함수로만 바꾸면 금방 증명된다.

베타 함수는 정의식 중 적분의 위끝이 $1$이다. 이때 위끝을 $1$이 아닌 일반적인 상수로 정하게 되면 불완전 베타 함수가 된다. 즉, 불완전 베타 함수는 다음과 같이 정의된다.