정사각형

분류

파일:external/upload.wikimedia.org/Square_%28polygon%29.png

1. 정의2. 성질3. 다른 도형과의 관계

3.1. [[사각형]]3.2. [[정팔각형]]

4. 공식5. [[복소평면]]6. [[행렬]]7. [[프랙탈 이론]]8. 언어별 명칭

1. 정의

네 변의 길이와 네 각이 모두 같은 사각형. 따라서 정사각형은 볼록다각형이다.

2. 성질

두 쌍의 대변이 각각 평행
두 대각선이 중점에서 교차
두 대각선의 길이가 같음
두 대각선이 서로를 이등분
두 대각선이 수직
한 대각선이 도형을 이등분, 이등분된 도형들은 합동인 직각삼각형
두 대각선이 도형을 사등분, 사등분된 도형들은 합동인 직각삼각형
합동인 두 도형으로 등분하는 방법이 무수히 많음
내접원과 외접원이 모두 존재
- 두 원의 중심은 모두 정사각형의 두 대각선의 교점
모든 정사각형은 서로 닮음
쌍대는 닮음 관계의 자기 자신
2차원 이상의 도형 중 유일하게 초입방체이자 정축체 [2]

3. 다른 도형과의 관계

3.1. 사각형

정사각형은 네 각이 모두 같으므로 직사각형이다. 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 사다리꼴이며, 평행사변형이다. 또한 대각선의 길이까지 같으므로 등변 사다리꼴이며, 네 변의 길이가 모두 같으므로 마름모이다. 정사각형만이 직사각형인 동시에 마름모이다.

3.2. 정팔각형

정사각형의 네 꼭짓점으로부터 직각삼각형을 적당히 깎아내면 정팔각형을 만들 수 있다.

4. 공식

[math(textsf{footnotesize{(넓이)}}=textsf{footnotesize{(한 변)}}^2)]
[math(textsf{footnotesize{(둘레)}}=textsf{footnotesize{(한 변)}}times 4)]
모든 각이 직각이므로 피타고라스 정리에 의하여 [math(textsf{footnotesize{(대각선)}}=sqrt{textsf{footnotesize{(한 변)}}^2times 2}=textsf{footnotesize{(한 변)}}timessqrt 2)]

5. 복소평면

1의 네제곱근인 1, -1, [math(i)], [math(-i)]를 선으로 이으면 한 변의 길이가 [math(sqrt2)]인 정사각형이 된다.

6. 행렬

행의 개수와 열의 개수가 같아서 정사각형 모양으로 나타나는 행렬을 정사각행렬 또는 정방행렬이라고 한다.

8. 언어별 명칭

한국어: 정사각형(正四角形), 정방형(正方形), 바른네모(꼴)
중국어: 正四边形[zhèngsìbiānxíng], 正方形[zhèngfāngxíng]
일본어: 正四角形(せいしかくけい), 正方形(せいほうけい)
영어: square

한자문화권에서는 '정방형(正方形)'이라는 단어가 공통적으로 나타난다. 차이점은 한국어와 일본어에서는 '정사각형(正四角形)'이라고 하지만 중국어에서는 '정사변형(正四邊形/正四边形)이라고 한다는 것이다. 한국어에서는 '정방형'보다 '정사각형'을 쓰는 것이 일반적인데, 정사각형 모양의 행렬을 '정사각행렬'뿐만 아니라 '정방행렬'로도 일컫는 데에서 비교적 널리 쓰이는 예시를 찾을 수 있다. 또한, '바른네모', '바른네모꼴'이라는 순우리말도 있으나 '정사각형'을 사용하는 세력이 압도적으로 세어 거의 쓰이지 않는다.

영어에서는 그저 square라고 한다. 정사각형의 넓이는 한 변의 제곱이라는 점에서, square에는 '제곱', '제곱하다'라는 뜻도 있다.

[1] 3차원으로 올라가기만 해도 초입방체는 정육면체, 정축체는 정팔면체로 갈라진다.[2] 3차원으로 올라가기만 해도 초입방체는 정육면체, 정축체는 정팔면체로 갈라진다.