1. 개요
시어핀스키 사각형의 모습
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시어핀스키 사각형은 폴란드의 수학자 바츨라프 시어핀스키(Waclaw Sierpinski, 1882~1969)가 창작한 프랙탈 도형이며, 그의 이름을 따 시어핀스키 사각형('시어핀스키 카펫'이라고도 한다.)이라고 한다.
멩거 스펀지의 2차원 버전이라고 할 수 있다. 멩거 스펀지의 한 면은 정확히 시어핀스키 사각형이다.
2. 상세
- 1단계: 한 변의 길이가 1인 정사각형을 가로, 세로를 3등분하여, 9등분하고, 가운데 한 등분을 지운다.
- 2단계: 남은 8등분의 정사각형에 대하여 1단계와 같이 행한다.
- 이후의 단계는 전 단계에 남은 정사각형에 대하여 1단계와 같이 행하면 된다.
2.1. 성질
아무런 조작을 하지 않은 처음의 정사각형을 0단계이라고 하자. 앞서 말한 조작을 한 번 하는 것을 하나의 '단계'로 하자. 그러면 다음과 같이 된다.
단계
| 해당 단계에서 제거되는 정사각형
| 해당 단계까지 제거되는
총 넓이 | |
한 개의 넓이
| 총 개수
| ||
[math(0)]
| [math(0)]
| [math(0)]
| [math(1)]
|
[math(1)]
| [math(displaystylefrac{1}{9})]
| [math(1)]
| [math(displaystyle{1-frac{8}{9}})]
|
[math(2)]
| [math(displaystyleleft(frac{1}{9}right)^2)]
| [math(8)]
| [math(displaystyle{1-left(frac{8}{9}right)^2})]
|
[math(3)]
| [math(displaystyleleft(frac{1}{9}right)^3)]
| [math(8^2)]
| [math(displaystyle{1-left(frac{8}{9}right)^3})]
|
[math(vdots)]
| |||
[math(n)]
| [math(displaystyleleft(frac{1}{9}right)^n)]
| [math(8^{n-1})]
| [math(displaystyle{1-left(frac{8}{9}right)^n})]
|
각 단계에서 제거되는 정사각형들은 모두 합동이므로, 정사각형 한 개의 넓이와 총 개수를 곱하면 총 넓이가 된다. 따라서, [math(n)]단계에서 제거되는 총 넓이는
[math( displaystyle left(frac{1}{9}right)^{n}·8^{n-1}=left(frac{8}{9}right)^{n}·frac{1}{8})]
이다. 이에 따라, 처음부터 [math(boldsymbol{n})]단계까지 제거되는 총 넓이 [math(Delta S_{n})]를 구할 수 있다. 이는
[math( displaystyle begin{aligned} Delta S_{n}&=sum_{k=1}^nleft[left(frac{8}{9}right)^{k}·frac{1}{8}right] \&=frac{1}{8}·frac{8}{9}·{cfrac{1-left( dfrac{8}{9} right)^{n}}{1-dfrac{8}{9} }} \& =1-left(frac{8}{9}right)^n end{aligned})]
따라서 0단계의 총 넓이 1에서 [math(Delta S_{n})]를 빼면, 단계 [math(n)]의 총 넓이
[math( displaystyle begin{aligned} S_{n}&=1-Delta S_{n}\&=left(frac{8}{9}right)^n end{aligned} )]
해당 단계를 무한히 반복하면,
[math( displaystyle lim_{n to infty}S_{n}=0 )]
이므로, 결국 시어핀스키의 사각형은 조작을 무한히 거듭한다면 넓이가 0에 수렴한다.