[[분류:다각형]][[분류:수학 용어]][[분류:한자어]][[분류:나무위키 수학 프로젝트]] [include(틀:사각형)] [include(틀:정다각형)] [[파일:external/upload.wikimedia.org/Square_%28polygon%29.png|width=160&align=right]] [목차] [clearfix] == 정의 == 네 [[변#s-3]]의 길이와 네 [[각]]이 모두 같은 [[사각형]]. 따라서 정사각형은 [[볼록다각형]]이다. == 성질 == * 두 쌍의 [[대변#s-5]]이 각각 [[평행]] * 두 [[대각선]]이 중점에서 교차 * 두 대각선의 길이가 같음 * 두 대각선이 서로를 이등분 * 두 대각선이 수직 * 한 대각선이 도형을 이등분, 이등분된 도형들은 [[합동]]인 [[직각삼각형]] * 두 대각선이 도형을 사등분, 사등분된 도형들은 합동인 [[직각삼각형]] * 합동인 두 도형으로 등분하는 방법이 무수히 많음 * 내접원과 외접원이 모두 존재 * 두 원의 중심은 모두 정사각형의 두 대각선의 교점 * 모든 정사각형은 서로 닮음 * [[쌍대다면체|쌍대]]는 닮음 관계의 자기 자신 * [[2차원]] 이상의 도형 중 유일하게 [[초입방체]]이자 [[정축체]][* [[3차원]]으로 올라가기만 해도 초입방체는 [[정육면체]], 정축체는 [[정팔면체]]로 갈라진다.] == 다른 도형과의 관계 == === [[사각형]] === 정사각형은 네 각이 모두 같으므로 [[직사각형]]이다. 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 [[사다리꼴]]이며, [[평행사변형]]이다. 또한 대각선의 길이까지 같으므로 [[등변 사다리꼴]]이며, 네 변의 길이가 모두 같으므로 [[마름모]]이다. 정사각형만이 직사각형인 동시에 마름모이다. === [[정팔각형]] === 정사각형의 네 꼭짓점으로부터 [[직각삼각형]]을 적당히 깎아내면 [[정팔각형]]을 만들 수 있다. == 공식 == * [math(\textsf{\footnotesize{(넓이)}}=\textsf{\footnotesize{(한 변)}}^2)] * [math(\textsf{\footnotesize{(둘레)}}=\textsf{\footnotesize{(한 변)}}\times 4)] * 모든 각이 직각이므로 [[피타고라스 정리]]에 의하여 [math(\textsf{\footnotesize{(대각선)}}=\sqrt{\textsf{\footnotesize{(한 변)}}^2\times 2}=\textsf{\footnotesize{(한 변)}}\times\sqrt 2)] == [[복소평면]] == [[1의 거듭제곱근|1의 네제곱근]]인 1, -1, [[허수|[math(i)], [math(-i)]]]를 선으로 이으면 한 변의 길이가 [math(\sqrt2)]인 정사각형이 된다. == [[행렬]] == 행의 개수와 열의 개수가 같아서 정사각형 모양으로 나타나는 행렬을 '''정사각행렬''' 또는 '''정방행렬'''이라고 한다. == [[프랙탈 이론]] == [[시어핀스키 사각형]]은 정사각형에서 출발하는 프랙탈 도형이다. == 언어별 명칭 == * [[한국어]]: 정사각형([[正]][[四]][[角]][[形]]), 정방형(正[[方]]形), 바른네모(꼴) * [[중국어]]: 正四边形[zhèngsìbiānxíng], 正方形[zhèngfāngxíng] * [[일본어]]: 正四角形(せいしかくけい), 正方形(せいほうけい) * [[영어]]: square [[한자문화권]]에서는 '정방형(正方形)'이라는 단어가 공통적으로 나타난다. 차이점은 한국어와 일본어에서는 '정사각형(正四角形)'이라고 하지만 중국어에서는 '정사변형(正四邊形/正四边形)이라고 한다는 것이다. 한국어에서는 '정방형'보다 '정사각형'을 쓰는 것이 일반적인데, 정사각형 모양의 [[행렬(수학)|행렬]]을 '[[정사각행렬]]'뿐만 아니라 '[[정방행렬]]'로도 일컫는 데에서 비교적 널리 쓰이는 예시를 찾을 수 있다. 또한, '바른네모', '바른네모꼴'이라는 [[순우리말]]도 있으나 '정사각형'을 사용하는 세력이 압도적으로 세어 거의 쓰이지 않는다. 영어에서는 그저 square라고 한다. 정사각형의 넓이는 한 변의 제곱이라는 점에서, square에는 '제곱', '제곱하다'라는 뜻도 있다.