다항함수/추론 및 공식

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이 문서의 상위 문서: 다항함수
1. 개요2. 추론
2.1. 개형
2.1.1. 점대칭(홀함수)2.1.2. 좌우 대칭(짝함수)2.1.3. 일대일대응2.1.4. 오목·볼록
2.2. 차수
2.2.1. 상수함수2.2.2. 일차함수2.2.3. 이차함수2.2.4. 삼차함수2.2.5. 사차함수
2.3. 반례
3. 공식
3.1. 길이·거리
3.1.1. 일차함수3.1.2. 이차함수3.1.3. 삼차함수3.1.4. 사차함수
3.1.4.1. 개형 13.1.4.2. 개형 2
3.2. 넓이
3.2.1. 이차함수3.2.2. 삼차함수3.2.3. 사차함수3.2.4. 여러 차수
3.3. 길이와 넓이의 관계
3.3.1. 이차함수·삼차함수3.3.2. 삼차함수·사차함수
4. 관련 문서

1. 개요[편집]

중·고등학교 수학과 교육과정에서 다루는 다항함수의 범위는 상수함수, 일차함수, 이차함수, 삼차함수, 사차함수[1]인데, 이와 관련하여 교육과정에서 직접적으로 다루지는 않는 유용한 팁들을 기재하는 문서이다.[2] 이러한 팁들을 사용하면 한국교육과정평가원이 실시하는 시험(수능, 임용고시[3], 수능 모의평가 등)에서 나오는 고난도 문항[4]에서 다항함수의 차수, 그래프의 개형 및 위치를 추론하기 편해진다. 현 교육과정(2015 개정 교육과정)에서는 수학Ⅱ의 '미분적분학' 파트[5]와 연계도가 짙으며, 2022 수능부터 공통 출제 범위이다.[6] 이 문서를 읽기에 앞선 배경 지식은 상수함수, 일차함수, 이차함수, 삼차함수, 사차함수를 참고하라. 또한, 해당 내용과 관련된 평가원이나 교육청의 고교 수능형 기출 문제를 예제로 실었다.

2. 추론[편집]

이 문단에서는 다항함수의 차수나 개형을 추론하게 해주는 단서를 소개한다.

2.1. 개형[편집]

2.1.1. 점대칭(홀함수)[편집]

임의의 실수 tt, aa, bb에 대하여 다음이 성립한다.
  • 함수 f(x)f(x)의 그래프가 점 (a, b)(a,\, b)에 대하여 점대칭이면
    • f(a−x)+f(a+x)=2bf(a-x)+f(a+x)=2b
    • ∫a−ta+t{f(x)−b} dx=0\displaystyle \int_{a-t}^{a+t} \{f(x)-b\} \,\mathrm{d}x = 0
  • 대칭점이 xx축 위에 있으면, 곧 b=0b=0이면
    • f(a−x)+f(a+x)=0f(a-x)+f(a+x)=0
    • ∫a−ta+tf(x) dx=0\displaystyle \int_{a-t}^{a+t} f(x) \,\mathrm{d}x = 0
  • 대칭점이 yy축 위에 있으면, 곧 a=0a=0이면
    • f(−x)+f(x)=2bf(-x)+f(x)=2b
    • ∫−tt{f(x)−b} dx=0\displaystyle \int_{-t}^t \{f(x)-b\} \,\mathrm{d}x = 0
  • 원점 대칭(홀함수)이면, 곧 a=b=0a=b=0이면
    • f(−x)+f(x)=0f(-x)+f(x)=0
    • ∫−aaf(x) dx=0\displaystyle \int_{-a}^a f(x) \,\mathrm{d}x = 0[7]가 그 예이다.]

일차함수 f(x)f(x)와 임의의 실수 aa에 대하여 다음이 성립한다.
  • f(x−a)+f(x+a)=2f(x)f(x-a)+f(x+a)=2f(x)
이를 증명하여 보자. f(x)=px+qf(x)=px+q라고 하면,

p(x−a)+q+p(x+a)+q=2px+2q=2(px+q)=2f(x)\begin{aligned} p(x-a)+q+p(x+a)+q&=2px+2q \\ &=2(px+q) \\&=2f(x) \end{aligned}

해석기하학적으로는, 일차함수의 그래프는 그래프 위의 임의의 점에 대하여 점대칭이라는 의미가 된다. 다른 홀함수와는 달리, 일차함수의 그래프는 양쪽으로 한없이 뻗어나가는 직선이므로, 어느 점을 잡아도 그 점에 대하여 점대칭이 될 수밖에 없다.

2.1.2. 좌우 대칭(짝함수)[편집]

임의의 실수 aa에 대하여 다음이 성립한다.
  • 함수 f(x)f(x)의 그래프가 직선 x=ax=a에 대하여 대칭이면
    • f(a−x)=f(a+x)f(a-x)=f(a+x)
    • ∫a−taf(x) dx=∫aa+tf(x) dx\displaystyle \int_{a-t}^a f(x) \,\mathrm{d}x = \int_a^{a+t} f(x) \,\mathrm{d}x

2.1.3. 일대일대응[편집]

모든 일차함수와, 일부 삼차함수[8]는 일대일대응이며, 상수함수, 이차함수, 사차함수는 일대일대응이 될 수 없다.
  • f(x)f(x)는 일대일대응이다.
    • f(x)f(x)의 역함수가 존재한다.
    • 임의의 서로 다른 두 실수 aa, bb에 대하여
      • a<ba<b이면 f(a)<f(b)f(a)<f(b)이다. (f(x)f(x)는 증가함수이다.)
      • a<ba<b이면 f(a)>f(b)f(a)>f(b)이다. (f(x)f(x)는 감소함수이다.)
    • 실수 전체의 집합에서 f(x)f(x)의 최솟값과 최댓값이 존재하지 않는다.
    • 실수 전체의 집합에서 f(x)f(x)의 극값이 존재하지 않는다.[9]

접선의 기울기가 0인 점이 존재하지 않아야만 일대일대응인 것은 아님에 유의해야 한다. 접선의 기울기가 0인 점이라고 해서 꼭 감소하다가 증가하거나 증가하다가 감소하는 것이 아니기 때문이다. 예를 들어 [math(y=x^3)]은 x=0x=0에서의 접선의 기울기가 0이지만 틀림없이 증가함수이며, 따라서 일대일대응이다. 대신 이 경우 역함수의 도함수는 해당 점이 특이점이 된다.(즉, 기울기가 발산한다) y=x3y=x^3의 역함수의 도함수

그러나 미분가능한 함수의 그래프에 접선의 기울기가 0인 점이 존재하지 않으면 무조건 일대일대응이다. 우선, 일대일대응이 되지 않으려면 증가하다가 감소하거나, 감소하다가 증가해야 한다. 그러기 위해서 함수 f(x)f(x)의 그래프는 증가하다가 감소하거나 감소하다가 증가하는 부분에서 접선의 기울기가 어느 한 순간 반드시 0이 되어야만 한다. 그런데 어떤 함수의 그래프에 접선의 기울기가 0인 점이 존재하지 않으면 그 함수는 증가하다가 감소하거나 감소하다가 증가할 여지 자체가 없어지고, 이는 곧 함수 f(x)f(x)가 일대일대응이 될 수밖에 없다는 뜻이다.

결국 '접선의 기울기가 0인 점이 존재하지 않는다'는 '일대일대응이다'의 충분조건일 뿐이지, 결코 필요충분조건은 아니다. 다시 말해서 이 두 진술을 완전히 같은 의미로 받아들여 서로 치환할 수는 없는 노릇이다.

2.1.4. 오목·볼록[편집]

닫힌 구간 [a, b][a,\,b]에서 연속인 함수 f(x)f(x)에 대하여 두 양수인 상수 mm, nn에 대하여 다음이 성립한다.
  • f(x)f(x)가 아래로 볼록(위로 오목)
    • mf(b)+nf(a)m+n>f(mb+nam+n)\displaystyle \frac{mf(b)+nf(a)}{m+n}>f \biggl( \frac{mb+na}{m+n} \biggr)
  • f(x)f(x)가 위로 볼록(아래로 오목)
    • mf(b)+nf(a)m+n<f(mb+nam+n)\displaystyle \frac{mf(b)+nf(a)}{m+n}<f \biggl( \frac{mb+na}{m+n} \biggr)

특히 m=n=1m=n=1일 경우
  • f(x)f(x)가 아래로 볼록(위로 오목)
    • f(a)+f(b)2>f(a+b2)\displaystyle \frac{f(a)+f(b)}{2}>f \biggl( \frac{a+b}{2} \biggr)
  • f(x)f(x)가 위로 볼록(아래로 오목)
    • f(a)+f(b)2<f(a+b2)\displaystyle \frac{f(a)+f(b)}{2}<f \biggl( \frac{a+b}{2} \biggr)

각 수식의 의미를 먼저 파악해보자.

mb+nam+n\displaystyle \frac{mb+na}{m+n}

의 경우 xx축 위의 두 점 (a, 0)(a,\,0), (b, 0)(b,\,0)을 m:nm:n으로 내분하는 점의 xx좌표이다. 즉,

f(mb+nam+n)\displaystyle f \biggl( \frac{mb+na}{m+n} \biggr)

는 해당 내분점의 xx좌표에 대한 f(x)f(x)의 함숫값이다.

이번에는 두 점 (a, f(a))(a,\,f(a)), (b, f(b))(b,\,f(b))를 연결하는 직선 ll을 생각한다. 위에서 구한 내분점의 xx좌표에 대한 직선 위의 점은 곧 두 점 (a, f(a))(a,\,f(a)), (b, f(b))(b,\,f(b))를 m:nm:n으로 내분하는 점이다.[10] 따라서 해당 점의 yy좌표는

mf(b)+nf(a)m+n\displaystyle \frac{mf(b)+nf(a)}{m+n}

가 된다. 위 결과는 곧
  1. xx축 위의 내분점의 xx좌표에 대한 직선 ll 위의 함숫값 mf(b)+nf(a)m+n\dfrac{mf(b)+nf(a)}{m+n}
  2. xx축 위의 내분점의 xx좌표에 대한 f(x)f(x)의 함숫값 f(mb+nam+n)\displaystyle f \biggl( \frac{mb+na}{m+n} \biggr)

의 대소를 비교하는 것으로 이르게 된다.

곡선의 오목·볼록의 정의에 따라 구간 내에서 아래로 볼록한 함수의 함숫값은 직선 ll보다 밑에 있게 되어 2는 1보다 항상 아래에 있으므로

mf(b)+nf(a)m+n>f(mb+nam+n)\displaystyle \frac{mf(b)+nf(a)}{m+n}>f \biggl( \frac{mb+na}{m+n} \biggr)

반대로 구간 내에서 위로 볼록한 함수의 함숫값은 직선 ll보다 밑에 있게 되어 2는 1보다 항상 위에 있으므로

mf(b)+nf(a)m+n<f(mb+nam+n)\displaystyle \frac{mf(b)+nf(a)}{m+n}<f \biggl( \frac{mb+na}{m+n} \biggr)


위 내용을 좌표평면상에서 시각화해보면 아래와 같다. (a)(\rm a), (b)(\rm b)는 각각 f(x)f(x)가 구간에서 아래로 볼록한 경우, 위로 볼록한 경우이다.

파일:namu_곡선_오목_볼록_2_NEW.svg

닫힌 구간 [a, b][a,\,b]에서 연속인 함수 f(x)f(x)에 대하여 다음이 성립한다.
  • f(x)f(x)가 아래로 볼록(위로 오목)
    • ∫abf(x) dx<b−a2{f(a)+f(b)}\displaystyle\int_a^b f(x)\,{\rm d}x < \dfrac{b-a}{2}\{f(a)+f(b)\}
  • f(x)f(x)가 위로 볼록(아래로 오목)
    • ∫abf(x) dx>b−a2{f(a)+f(b)}\displaystyle\int_a^b f(x)\,{\rm d}x > \dfrac{b-a}{2}\{f(a)+f(b)\}

이를 쉽게 생각하기 위해서 f(x)≥0f(x) \geq 0이라는 제약을 걸고 분석을 해보자. 우선 수식

b−a2{f(a)+f(b)}=S\dfrac{b-a}{2}\{f(a)+f(b)\}=S

의 의미를 파악해보자. 이는 구간 [a, b][a,\,b]에서 높이가 b−ab-a이고, 윗변과 아랫변의 길이가 각각 f(a)f(a), f(b)f(b)인 사다리꼴의 넓이가 된다.[11] 이 사다리꼴은 xx축, x=ax=a, x=bx=b, (a, f(a))(a,\,f(a)), (b, f(b))(b,\,f(b))를 지나는 직선 ll 이렇게 네 직선으로 둘러싸인 도형이다.

또한 수식

∫abf(x) dx=T\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,{\rm d}x=T

는 xx축, x=ax=a, x=bx=b, f(x)f(x)의 그래프로 둘러싸인 영역의 넓이를 의미한다.

함수가 아래로 볼록할 경우 구간 [a, b][a,\,b]의 함숫값은 직선 ll보다 아래에 위치하므로 S<TS < T, 위로 볼록할 경우 위에 위치하므로 S>TS>T인 것이다.

단, f(x)≤0f(x) \leq 0인 경우에는 SS, TT를 영역의 넓이에 음의 부호를 붙인 것임에 유의하자. 이 경우에도 위 수식은 성립한다.

모든 경우가 포함된 경우에도 위 수식은 성립하며, 한 영역을 f(x)≥0f(x) \geq 0 혹은 f(x)≤0f(x) \leq 0인 구간으로 나누고 적용한 결과를 종합하면 이를 증명할 수 있다.

f(x)≥0f(x) \geq 0일 때 (a)(\rm a)의 아래로 볼록한 경우와 (b)(\rm b)의 위로 볼록한 경우에 대한 위 내용을 좌표평면상에서 시각화해보면 아래와 같다.

파일:namu_다항함수추론_오목볼록.svg


한편 오목·볼록을 판별할 수 없는 함수도 있다. 다항함수의 경우는 상수함수가 그 예이며[12], 이외에는 디리클레 함수 같은 완전 불연속함수나 바이어슈트라스 함수 같은 병리적 연속함수가 또 다른 예이다.

2.2. 차수[편집]

2.2.1. 상수함수[편집]

임의의 실수 aa, bb (a<ba<b)에 대하여 다음이 성립한다.
  • (b−a)2{f(a)+f(b)}=∫abf(x) dx\displaystyle \frac{(b-a)}{2}\{f(a)+f(b)\}=\displaystyle \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x
  • (b−a)f(a)=(b−a)f(b)=∫abf(x) dx(b-a)f(a)=(b-a)f(b)=\displaystyle \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x
상수함수의 함숫값은 일정하여 f(a)=f(b)f(a)=f(b)인바 위의 두 표현은 결국 같은 말이다. 위의 표현은 일차함수에도 해당되는 표현인 반면 아래의 표현은 상수함수에만 해당된다. 다만 반례가 있기 때문에 함수열을 잘 확인해야 한다.

이를 증명하여 보자. f(x)=kf(x)=k로 놓으면 f(a)=f(b)=kf(a)=f(b)=k이므로

(b−a)2{f(a)+f(b)}=(b−a)2k2=k(b−a)\begin{aligned} \frac{(b-a)}{2}\{f(a)+f(b)\}&=(b-a)\dfrac{2k}{2}\\&=k(b-a) \end{aligned}

한편, f(x)f(x)의 역도함수는 F(x)=kxF(x)=kx이므로

∫abf(x) dx=F(b)−F(a)=kb−ka=k(b−a)∴(b−a)2{f(a)+f(b)}=∫abf(x) dx\displaystyle \begin{aligned} \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x&=F(b)-F(a)\\&=kb-ka\\&=k(b-a) \\ \\ \therefore\displaystyle \frac{(b-a)}{2}\{f(a)+f(b)\}&=\displaystyle \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x\end{aligned}

[좌표평면상에서 분석해보기]

[1] f(x)>0f(x)>0인 경우
이 경우 정적분은 가로의 길이가 b−ab-a이고, 높이가 f(a)=f(b)f(a)=f(b)인 직사각형의 넓이와 같으므로 다음이 성립한다.

∫ab=(b−a)f(a)=(b−a)f(b)\begin{aligned} \int_{a}^{b}=(b-a)f(a)=(b-a)f(b) \end{aligned}

[2] f(x)=0f(x)=0인 경우
이 경우 정적분은 0이 되며, 이것은

∫ab=(b−a)f(a)=(b−a)f(b)\begin{aligned} \int_{a}^{b}=(b-a)f(a)=(b-a)f(b) \end{aligned}

에 f(a)=f(b)=0f(a)=f(b)=0을 대입한 결과와 같다.

[3] f(x)<0f(x)<0인 경우
이 경우 정적분은 가로의 길이가 b−ab-a이고, 높이가 −f(a)=−f(b)-f(a)=-f(b)인 직사각형의 넓이에 음을 붙인 것과 같으므로

∫ab=−(b−a){−f(a)}=−(b−a){−f(b)}\begin{aligned} \int_{a}^{b}=-(b-a)\{-f(a)\}=-(b-a)\{-f(b)\} \end{aligned}

음의 부호는 상쇄되므로 이 경우에도 식이 성립한다.

파일:namu_상수함수_특성_NEW.svg

  • 임의의 세 실수 aa, bb, cc에 대하여
    • f(a)+f(b)=2f(c)f(a)+f(b)=2f(c)
  • 임의의 네 실수 aa, bb, cc, dd에 대하여
    • f(a)+f(b)+f(c)=3f(d)f(a)+f(b)+f(c)=3f(d)
⋮\qquad \qquad \qquad \qquad \vdots
상수함수의 함숫값은 일정하므로 무조건 f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=⋯f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=\cdots이기 때문이다.

2.2.2. 일차함수[편집]

  • 임의의 실수 aa에 대하여
    • f(x−a)+f(x+a)=2f(x)f(x-a)+f(x+a)=2f(x)
다항함수 중에서 이를 만족시키는 함수는 일차함수밖에 없다. 이 식의 증명과 의미는 앞서 밝혔으므로 생략한다.

  • 임의의 실수 aa, bb (a≤ba\leq b)[13]에 대하여
    • b−a2{f(a)+f(b)}=∫abf(x) dx\displaystyle\frac{b-a}{2}\{f(a)+f(b)\}=\displaystyle \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x
이를 증명하여 보자. f(x)=px+qf(x)=px+q라고 하면 f(x)f(x)의 역도함수는 F(x)=px2/2+qxF(x)=px^2/2+qx이다. 따라서

∫abf(x) dx=F(b)−F(a)=(12pb2+qb)−(12pa2+qa)={12p(b2−a2)}+{q(b−a)}=b−a2{p(a+b)+2q}=b−a2(pa+q+pb+q)=b−a2{f(a)+f(b)}\displaystyle \begin{aligned} \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x&=F(b)-F(a) \\&=\displaystyle \left(\frac{1}{2}pb^2+qb \right)-\left(\frac{1}{2}pa^2+qa \right) \\&=\left\{\dfrac{1}{2}p(b^2-a^2)\right\}+\{q(b-a)\} \\&= \displaystyle\frac{b-a}{2}\{p(a+b)+2q\} \\&=\frac{b-a}{2}(pa+q+pb+q) \\&=\frac{b-a}{2}\{f(a)+f(b)\} \end{aligned}

[좌표평면상에서 분석해보기]

[1] f′(x)>0f'(x)>0이고, 구간 [a, b][a,\,b]에서 f(a)>0f(a)>0, f(b)>0f(b)>0인 경우
이 경우 정적분은 높이가 b−ab-a이고, 밑변과 윗변의 길이가 f(a)f(a), f(b)f(b)인 사다리꼴의 넓이와 같으므로

∫abf(x) dx=b−a2{f(a)+f(b)}\displaystyle \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\frac{b-a}{2}\{f(a)+f(b)\}

[2] f′(x)<0f'(x)<0이고, 구간 [a, b][a,\,b]에서 f(a)<0f(a)<0, f(b)<0f(b)<0인 경우
이 경우 정적분은 높이가 b−ab-a이고, 밑변과 윗변의 길이가 −f(a)-f(a), −f(b)-f(b)인 사다리꼴의 넓이에 음의 값을 붙인 것과 같으므로

∫abf(x) dx=−b−a2{−f(a)−f(b)}=b−a2{f(a)+f(b)}\displaystyle\begin{aligned} \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x&=-\frac{b-a}{2}\{-f(a)-f(b)\}\\&=\frac{b-a}{2}\{f(a)+f(b)\} \end{aligned}

[3] f′(x)>0f'(x)>0이고, 구간 [a, b][a,\,b]에서 f(a)=0f(a)=0, f(b)>0f(b)>0인 경우
이 경우 정적분은 높이가 b−ab-a이고, 밑변과 윗변의 길이가 f(b)f(b)인 직각삼각형의 넓이와 같으므로

∫abf(x) dx=b−a2f(b)\displaystyle \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\frac{b-a}{2}f(b)

인데 이는 위 공식에서 f(a)=0f(a)=0을 대입한 것과 같은 결과이다.

[4] f′(x)>0f'(x)>0이고, 구간 [a, b][a,\,b]에서 f(a)<0f(a)<0, f(b)=0f(b)=0인 경우
이 경우 정적분은 높이가 b−ab-a이고, 밑변과 윗변의 길이가 −f(a)-f(a)인 직각삼각형의 넓이에 음을 붙인 것과 같으므로

∫abf(x) dx=(−b−a2){−f(a)}=b−a2f(a)\displaystyle \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\left(-\frac{b-a}{2} \right)\{-f(a)\}=\frac{b-a}{2}f(a)

인데 이는 위 공식에서 f(b)=0f(b)=0을 대입한 것과 같은 결과이다.

[5] f′(x)<0f'(x)<0이고, 구간 [a, b][a,\,b]에서 f(a)=0f(a)=0, f(b)<0f(b)<0인 경우
이 경우 정적분은 높이가 b−ab-a이고, 밑변과 윗변의 길이가 f(b)f(b)인 직각삼각형의 넓이에 음을 붙인 것과 같으므로

∫abf(x) dx=(−b−a2){−f(b)}=b−a2f(b)\displaystyle \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\left(-\frac{b-a}{2} \right)\{-f(b)\}=\frac{b-a}{2}f(b)

인데 이는 위 공식에서 f(a)=0f(a)=0을 대입한 것과 같은 결과이다.

[6] f′(x)<0f'(x)<0이고, 구간 [a, b][a,\,b]에서 f(a)>0f(a)>0, f(b)=0f(b)=0인 경우
이 경우 정적분은 높이가 b−ab-a이고, 밑변과 윗변의 길이가 f(a)f(a)인 직각삼각형의 넓이와 같으므로

∫abf(x) dx=b−a2f(a)\displaystyle \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\frac{b-a}{2}f(a)

인데 이는 위 공식에서 f(b)=0f(b)=0을 대입한 것과 같은 결과이다.

[7] f′(x)>0f'(x)>0이고, 구간 [a, b][a,\,b]에서 f(a)<0f(a)<0, f(b)>0f(b)>0인 경우
f(c)=0f(c)=0이라 하면, 정적분은 [a, c][a,\, c] 구간의 직각삼각형의 넓이에 음을 붙인 것과 [c, b][c,\, b] 구간의 직각삼각형 넓이의 합과 같다. [3]~[6]의 결과를 사용하면,

∫abf(x) dx=c−a2f(a)+b−c2f(b)\displaystyle \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\frac{c-a}{2}f(a)+\frac{b-c}{2}f(b)

한편, f(x)=px+qf(x)=px+q로 놓으면,
∫abf(x) dx=(c−a)(pa+q)2+(b−c)(pb+q)2=12[b(bp+q)−a(ap+q)+pc(a−b)+pab−pab]=12[b(bp+q)−a(ap+q)+q(b−a)+pab−pab](∵pc+q=0)=12[b(bp+q)−a(ap+q)−a(pb+q)+b(pa+q)]=12[b{f(a)+f(b)}−a{f(a)+f(b)}]=b−a2{f(a)+f(b)}\displaystyle \begin{aligned} \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x&=\frac{(c-a)(pa+q)}{2}+\frac{(b-c)(pb+q)}{2} \\&=\frac{1}{2}[ b(bp+q)-a(ap+q)+pc(a-b)+pab-pab ] \\&=\frac{1}{2}[ b(bp+q)-a(ap+q)+q(b-a)+pab-pab ] \quad (\because pc+q=0) \\&=\frac{1}{2}[ b(bp+q)-a(ap+q)-a(pb+q)+b(pa+q) ] \\&=\frac{1}{2}[ b\{ f(a)+f(b)\}-a\{ f(a)+f(b) \} ] \\&=\frac{b-a}{2}\{f(a)+f(b) \} \end{aligned}

[8] f′(x)<0f'(x)<0이고, 구간 [a, b][a,\,b]에서 f(a)>0f(a)>0, f(b)<0f(b)<0인 경우
[7]과 비슷한 논법으로 확인할 수 있다.

파일:namu_일차함수_특성_01_08.svg


[관련 예제]

이 내용은 2020 EBS 수능특강에 등장하여 2020 수능 나형 28번에 연계 출제되었다.

파일:namu_2020_수능_수학나_28번.png
수능특강에 aa와 bb로 나왔던 것이 수능에서는 각각 11과 xx로 바뀌어 나왔다. (가)를 통해 f(x)f(x)의 차수를 추론할 수 있다. (가)의 양변을 미분하면

f(x)=12{f(x)+f(1)}+x−12f′(x)f(x)=\dfrac{1}{2}\{f(x)+f(1)\}+\dfrac{x-1}{2}f'(x)

양변에 22를 곱하여 정리하면

 f(x)=f(1)+(x−1)f′(x)\,f(x)=f(1)+(x-1)f'(x)

여기에서 f(x)f(x)가 일차함수임을 알아내는 방법은 두 가지이다.

[1] 계수비교법
좌변의 f(x)f(x)의 최고차항을 axnax^n이라고 하자. 그러면 우변의 f′(x)f'(x)의 최고차항은 naxn−1nax^{n-1}이며 (x−1)f′(x)(x-1)f'(x)의 최고차항은 naxnnax^n이다. 따라서 axn=naxnax^n=nax^n이어야 하므로 계수비교법에 의하여 n=1n=1이며, f(x)f(x)는 일차함수이다.

[2] 직선의 기울기
위의 식을 적당히 변형하고 xx를 tt로 치환하면

f(t)−f(1)t−1=f′(1)\dfrac{f(t)-f(1)}{t-1}=f'(1)

그러면 좌변의 식은 f(x)f(x)의 그래프 위의 점 (1, f(1))(1,\,f(1))과 (t, f(t))(t,\,f(t))를 지나는 직선의 기울기를 뜻하며, f′(1)f'(1)은 f(x)f(x)의 x=1x=1에서의 접선의 기울기를 뜻한다. 우변의 f′(1)f'(1)은 상수로서, 일정한 값이다. xx를 11이 아닌 어떤 값으로 잡더라도 항상 직선의 기울기가 같다는 것은 곧 f(x)f(x) 자체의 그래프의 기울기가 일정하다는 뜻이며, f(x)f(x)는 그래프가 직선으로 그려지는 상수함수이거나 일차함수라는 뜻이다. 따라서 이 방법으로는 (가)만으로 f(x)f(x)의 차수를 결정할 수 없는데, 다음으로 (나)를 보자.

f(x)f(x)를 상수함수로 가정하여, f(x)=af(x)=a라 하고 (나)를 계산하면

∫02a  dx=5a∫−11x  dx2a=0∴f(x)=a=0\begin{aligned}\displaystyle\int_0^2 a\;{\rm d}x&=5a\int_{-1}^1 x\;{\rm d}x\\ 2a&=0\\\therefore f(x)&=a=0\end{aligned}

이는 문제에서 제시된 조건 f(0)=1f(0)=1과 모순이다. 따라서 f(x)f(x)는 상수함수가 아니며, 일차함수이다.

2.2.3. 이차함수[편집]

  • 꼭짓점의 xx좌표가 aa이면(대칭축이 x=ax=a이면)
    • f(a−x)=f(a+x)f(a-x)=f(a+x)
    • ∫a−taf(x) dx=∫aa+tf(x) dx\displaystyle \int_{a-t}^a f(x) \,\mathrm{d}x = \int_a^{a+t} f(x) \,\mathrm{d}x

모든 이차함수는 대칭축에 대해 대칭이기 때문에 그렇다. 그러나 모든 좌우 대칭 함수가 이차함수인 것이 아니기에, 이 단서만 보고 이차함수로 단정해서는 안 된다. 예를 들어 사차함수 중에서도 좌우 대칭인 경우가 있다.(예시 1, 예시 2) 고등학교에서는 오차 이상의 다항함수, 짝함수인 특수함수는 다루지 않으므로, 고등학교 과정의 문제에서 찾고자 하는 함수가 다항함수라고 명시되어 있다면[14] 이차함수 혹은 사차함수일 확률이 매우 높다.

2.2.4. 삼차함수[편집]

모든 삼차함수는 변곡점에 대하여 점대칭이므로 다음이 성립한다.
  • 변곡점의 좌표가 (a,b)(a,b)이면
    • f(a−x)+f(a+x)=2bf(a-x)+f(a+x)=2b
    • ∫a−ta+t{f(x)−b} dx=0\displaystyle \int_{a-t}^{a+t} \{f(x)-b\} \,\mathrm{d}x = 0
  • 변곡점이 xx축 위에 있으면, 곧 b=0b=0이면
    • f(a−x)+f(a+x)=0f(a-x)+f(a+x)=0
    • ∫a−ta+tf(x) dx=0\displaystyle \int_{a-t}^{a+t} f(x) \,\mathrm{d}x = 0
  • 변곡점이 yy축 위에 있으면, 곧 a=0a=0이면
    • f(−x)+f(x)=2bf(-x)+f(x)=2b
    • ∫−tt{f(x)−b} dx=0\displaystyle \int_{-t}^t \{f(x)-b\} \,\mathrm{d}x = 0
  • 변곡점이 원점이면(홀함수), 곧 a=b=0a=b=0이면
    • f(−x)+f(x)=0f(-x)+f(x)=0
    • ∫−aaf(x) dx=0\displaystyle \int_{-a}^a f(x) \,\mathrm{d}x = 0

한편, 삼차함수 f(x)=ax3+bx2+cx+df(x)=ax^3+bx^2+cx+d에 대하여 다음이 성립한다.
  • 삼차방정식 f(x)=0f(x)=0의 근의 합(근과 계수의 관계에 의하여 −b/a-b/a)은, f(x)f(x)의 그래프의 변곡점의 xx좌표(−b/3a-b/3a)의 3배와 같다.
근과 계수의 관계는 nn중근을 값이 같은 근 n\boldsymbol n개로 간주하여 계산하는 것임에 유의해야 한다. 예를 들어 f(x)=0f(x)=0이 삼중근 x=kx=k를 가지면, 근의 합은 3k3k가 된다.

2.2.5. 사차함수[편집]

예시 1, 예시 2, 예시 3, 예시 4처럼 좌우 대칭인 개형의 사차함수는 임의의 실수 aa에 대하여 다음을 만족시킨다.
  • 대칭축이 x=ax=a이면
    • f(a−x)=f(a+x)f(a-x)=f(a+x)
    • ∫a−taf(x) dx=∫aa+tf(x) dx\displaystyle \int_{a-t}^a f(x) \,\mathrm{d}x = \int_a^{a+t} f(x) \,\mathrm{d}x
사차함수 f(x)f(x)가 예시 1, 예시 2와 같은 개형이면 f(a)f(a)는 극솟값, 예시 3, 예시 4와 같은 개형이면 f(a)f(a)는 극댓값이다. 그러나 모든 좌우 대칭 함수가 사차함수인 것이 아니기에, 이 단서만 보고 사차함수로 단정해서는 안 된다.

2.3. 반례[편집]


위 단서의 일부 혹은 전부가 다항함수가 아닌 다른 함수의 특성을 띠는 반례가 존재한다. 다시 말해서 다항함수로 단정하기에는 너무 조건이 약하다.[15] 이런 반례는 주로 실해석학에서 다룬다.

감이 잘 안 온다면 예시를 보자. 아래는 다항함수가 아닌 yy축 대칭함수(짝함수)의 예 중 하나인 정규분포 y=e−x2y=e^{-x^2}를 나타낸 것이다. 이 함수를 이차함수, 사차함수 추론 공식에 넣으면 이차함수 혹은 사차함수로 판정되는 모순이 발생하게 된다.[20] 이 때문에 추론에 곁들여 다항함수 외의 함수인지 실마리[21]를 찾아볼 필요가 있다.

파일:namu_가우스적분_개요.svg

3. 공식[편집]

이 문단에서는 위 내용과 달리 이미 다항함수의 차수나 그래프의 개형이 알려져 있을 때 적용할 수 있는 공식을 소개한다. 경우에 따라 적용할 수 있는 공식이 다르다.

3.1. 길이·거리[편집]

3.1.1. 일차함수[편집]

우선 피타고라스 정리에 따라 다음이 성립한다.

a2+b2=h2a^2 + b^2 = h^2

여기에 aa에 xx값의 차를, bb에 함숫값의 차를 대입하면 다음과 같다.

h=(x2−x1)2+[f(x2)−f(x1)]2h = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + [ f(x_2) - f(x_1) ]^2}

이 hh를 유클리드 노름(Euclidean norm)[22]이라 하고, 위 표현을

h=d(x, y)h = d({\bold x},\, {\bold y})

로 바꿀 수 있다. 단, x=[x1f(x1)]T{\bold x} = [ x_1 \quad f(x_1) ]^T, y=[x2f(x2)]T{\bold y} = [ x_2 \quad f(x_2) ]^T[23]이다. 이는 다시 아래와 같이 내적으로 표현할 수 있다.

h=<(y−x), (y−x)>=det⁡((y−x)∗(y−x))=det⁡((y‾−x‾)T(y−x))=tr((y−x)⊗(y−x))\begin{aligned} h &= \sqrt{ \left< ({\bold y}-{\bold x}),\, ({\bold y}-{\bold x}) \right>} \\ &= \sqrt{ \det(({\bold y}-{\bold x})^{\ast} ({\bold y}-{\bold x})) } \\ &= \sqrt{ \det((\overline{\bold y}-\overline{\bold x})^{T} ({\bold y}-{\bold x})) } \\ &= \sqrt{ {\rm tr}(({\bold y}-{\bold x}) \otimes ({\bold y}-{\bold x})) } \end{aligned}

det⁡\det은 행렬식, ∗\ast은 수반 연산자[24]로 표기하기도 한다.], tr\rm tr는 주대각합, ⊗\otimes는 텐서곱, x‾\overline{\bold x}는 x\bold x의 켤레이다.

3.1.2. 이차함수[편집]

이차함수의 거리를 알기 위해서는 그래프의 초점(focus)과 준선(directrix)이라는 보조선이 필요하다.

이차함수 y=ax2+bx+cy=ax^2 + bx + c의 그래프의 초점과 준선은 다음과 같다.
  • 초점: (−b2a, 4ac−b2+14a)\left(-\dfrac{b}{2a},\, \dfrac{4ac-b^2+1}{4a} \right)
  • 준선: y=4ac−b2−14ay = \dfrac{4ac-b^2-1}{4a}

이를 나타낸 그림은 다음과 같다.

파일:나무_이차함수_포물선.png
위 식에서 볼 수 있듯 이차함수의 그래프의 꼭짓점과 초점의 거리는 이차함수의 꼭짓점과 준선의 거리와 동일하며, 그 값은 (4∣a∣)−1(4|a|)^{-1}이다.[25]

특기할 만한 점은, 초점과 이차함수 그래프의 임의의 점을 이은 선분을 그리고, 해당 점에서 준선에 수선의 발을 내리면 두 선의 길이는 동일하다는 것이다. 즉 FP‾=PH‾\overline{\mathrm{FP}}=\overline{\mathrm{PH}}이다. 이런 성질을 띠는 곡선을 포물선(parabola)이라고 한다.

심화 내용은 포물선 문서를 참고하라.

3.1.3. 삼차함수[편집]

파일:나무_삼차함수_비율관계_1.png
위 그림과 같은 개형의 삼차함수 y=f(x)y=f(x)의 그래프에서, 변곡점을 P\rm P, 두 극점을 왼쪽부터 Q\rm Q, R\rm R이라 하자.
  • 점 D\rm D, E\rm E는 각각 y=f(x)y=f(x)의 그래프가 Q\rm Q, R\rm R에서의 접선과 만나는 점이다.
  • 점 A\rm A는 점 E\rm E에서 직선 DQ‾\overline{\rm DQ}에 내린 수선의 발이고, 점 H\rm H는 점 D\rm D에서 직선 ER‾\overline{\rm ER}에 내린 수선의 발이다.
  • 점 F\rm F는 점 Q\rm Q에서 직선 ER‾\overline{\rm ER}에 내린 수선의 발이고, 점 C\rm C는 점 R\rm R에서 직선 DQ‾\overline{\rm DQ}에 내린 수선의 발이다.
  • 점 B\rm B, G\rm G는 각각 점 P\rm P에서 직선 DQ‾\overline{\rm DQ}, ER‾\overline{\rm ER}에 내린 수선의 발이다.

이때, 위 그림과 같이 AQ‾\overline{\rm AQ}, QB‾\overline{\rm QB}, BC‾\overline{\rm BC}, CD‾\overline{\rm CD}, EF‾\overline{\rm EF}, FG‾\overline{\rm FG}, GR‾\overline{\rm GR}, RH‾\overline{\rm RH}의 길이는 서로 같다.

이에 따라 아래와 같은 비율 관계가 유도된다. 이는 삼차함수의 극점의 좌표 또는 극값을 알아낼 때 긴요하게 쓰인다.

AQ‾:QC‾:CD‾=EF‾:FR‾:RH‾=1:2:1 \begin{aligned} \overline{\rm AQ}: \overline{\rm QC}: \overline{\rm CD}&=\overline{\rm EF}: \overline{\rm FR}: \overline{\rm RH}=1:2:1 \end{aligned}

파일:namu_삼차함수_비율관계_2_수정.png
마찬가지로, 위 그림과 같은 개형의 삼차함수 y=f(x)y=f(x)의 그래프에서, 변곡점을 P\rm P, 접선의 기울기가 같은 임의의 두 점을 왼쪽부터 Q\rm Q와 R\rm R, y=f(x)y=f(x)의 그래프와 Q\rm Q와 R\rm R에서의 접선의 교점을 각각 B\rm B, A\rm A라 하자. 이렇게 정의된 다섯 개의 점 A\rm A, Q\rm Q, P\rm P, R\rm R, B\rm B에서 xx축에 내린 수선의 발을 각각 E\rm E, F\rm F, G\rm G, H\rm H, I\rm I라 하면 다음이 성립한다.

EF‾:FG‾:GH‾:HI‾=1:1:1:1∴EF‾:FH‾:HI‾=1:2:1\begin{aligned}\overline{\rm EF}:\overline{\rm FG}: \overline{\rm GH}: \overline{\rm HI}=&1:1:1:1\\\therefore\overline{\rm EF}: \overline{\rm FH}: \overline{\rm HI}=&1:2:1\end{aligned}


파일:나무_삼차함수_비율관계_4_수정.png
위 그림과 같은 개형의 삼차함수 f(x)f(x)의 그래프의 두 극점을 왼쪽부터 Q\rm Q, R\rm R이라 하고, 변곡점을 P\rm P라 하자. P\rm P를 지나면서 xx축과 평행한 직선에 Q\rm Q와 R\rm R에서 내린 수선의 발을 각각 B\rm B, C\rm C라 하자. 또, BC‾\overline{\rm BC}와 y=f(x)y=f(x)의 그래프의 교점을 왼쪽부터 A\rm A, D\rm D라 하자. 이때, 아래와 같은 비율 관계가 성립한다.

BQ‾:CR‾=1:1PB‾:PA‾=PC‾:PD‾=1:3\begin{aligned} \overline{\rm BQ}: \overline{\rm CR}&=1:1 \\ \overline{\rm PB}: \overline{\rm PA}&=\overline{\rm PC}: \overline{\rm PD}=1:\sqrt{3} \end{aligned}


파일:나무_삼차함수_비율관계_5.png
나아가 위와 같이 접선의 기울기가 같은 임의의 두 점을 왼쪽부터 Q\rm Q, R\rm R이라 하고, 해당 접선과 평행하고 변곡점을 지나는 직선과 삼차함수의 그래프의 양 끝의 교점을 왼쪽부터 A\rm A, B\rm B라 할 경우에도 위와 같은 비율 관계가 성립한다.

파일:나무_삼차함수_비율관계_3.png
최고차항의 계수가 aa인 위 그림과 같은 개형의 삼차함수 y=f(x)y=f(x)에 대하여 f′(β)=f′(γ)=0f'(\beta)=f'(\gamma)=0이라 하면 ll의 길이, 곧 극댓값과 극솟값의 차는 다음과 같다.

l=∣a∣2(β−γ)3l=\dfrac{|a|}{2}(\beta-\gamma)^{3}

한편 앞서 밝힌 비율 관계에 의하여 높이는 아래와 같다.

β−γ=23(β−α)  →  l=∣4a∣27(β−α)3\beta-\gamma =\dfrac{2}{3}(\beta-\alpha) \; \to \; l=\dfrac{|4a|}{27}(\beta-\alpha)^{3}

3.1.4. 사차함수[편집]

3.1.4.1. 개형 1[편집]
파일:namu_사차함수_비율관계_1.png
위 그림과 같은 개형의 사차함수 y=f(x)y=f(x)의 그래프 위의 접선의 기울기가 0인 두 점을 왼쪽부터 P\rm P, Q\rm Q라 하자. 이때, 점 Q\rm Q에서 점 P\rm P의 접선에 내린 수선의 발을 H\rm H, PH‾\rm\overline {PH}와 y=f(x)y=f(x)의 교점 중 P\rm P가 아닌 것을 R\rm R이라 하면, 다음의 비율 관계가 성립한다.

PH‾:HR‾=3:1 \begin{aligned} \overline{\rm PH}: \overline{\rm HR}=3:1 \end{aligned}

나아가 아래와 같이 접선의 기울기가 같은 사차함수 y=f(x)y=f(x)의 그래프 위의 점 P\rm P, Q\rm Q에 대해서도 아래와 같은 비율 관계가 성립한다. 여기에서 P\rm P는 항상 변곡점이다.

파일:namu_사차함수_비율관계_2.png
파일:namu_사차함수_비율관계_7_수정.png
개형이 위 그림과 같고, 최고차항의 계수가 aa인 사차함수 y=f(x)y=f(x)의 그래프가 (α, 0)(\alpha,\,0)에서 접선의 기울기가 0이고, x=βx=\beta에서 극솟값을 갖는다고 하자. 이때, ll의 길이는 아래와 같다.

l=∣a∣3(β−α)4l=\displaystyle\frac{|a|}{3}(\beta-\alpha)^4
3.1.4.2. 개형 2[편집]
파일:namu_사차함수_비율관계_3.png
위 그림과 같은 개형의 사차함수 y=f(x)y=f(x)의 그래프의 극소점 두 개를 왼쪽부터 P\rm P, Q\rm Q라 하고, 극대점을 R\rm R이라 하자. 또, R\rm R에서 P\rm P와 Q\rm Q의 공통 접선에 내린 수선의 발을 H\rm H라 하면, 다음과 같은 비율 관계가 성립한다.

PH‾:HQ‾=1:1 \begin{aligned} \overline{\rm PH}: \overline{\rm HQ}=1:1 \end{aligned}

나아가 아래와 같이 P\rm P, Q\rm Q의 공통 접선의 기울기와 점 R\rm R의 접선의 기울기가 같을 때도 위의 비율 관계가 성립한다.

파일:namu_사차함수_비율관계_4.png
파일:namu_사차함수_비율관계_5.png
위 그림과 같은 개형의 사차함수의 그래프 f(x)f(x)의 극소점 두 개를 왼쪽부터 P\rm P, Q\rm Q라 하고, 극대점을 R\rm R이라 하자. 또, 점 R\rm R의 접선이 f(x)f(x)의 그래프와 만나는 점을 왼쪽부터 A\rm A, B\rm B라 하고, P\rm P, Q\rm Q에서 해당 접선에 내린 수선의 발을 왼쪽부터 H\rm H, I\rm I라 하자. 이때, 아래와 같은 비율 관계가 성립한다.

RH‾:RA‾=RI‾:RB‾=1:2\overline{\rm RH}: \overline{\rm RA}=\overline{\rm RI}: \overline{\rm RB}=1:\sqrt{2}

나아가 아래와 같이 P\rm P, Q\rm Q의 공통 접선의 기울기와 점 R\rm R의 접선의 기울기가 같을 때도 위의 비율 관계가 성립한다.

파일:namu_사차함수_비율관계_6.png
파일:namu_사차함수_비율관계_8.png
개형이 위 그림과 같고, 최고차항의 계수가 aa인 사차함수 y=f(x)y=f(x)의 그래프가 x=αx=\alpha에서 극솟값을, x=βx=\beta에서 극댓값을 갖는다고 하자. 이때 ll의 길이, 곧 극댓값과 극솟값의 차는 아래와 같다.

l=∣a∣3(β−α)4l=\dfrac{|a|}{3}(\beta-\alpha)^4

3.2. 넓이[편집]

넓이 공식에서는 하나같이 (β−α)n(\beta-\alpha)^n 꼴의 식이 나오는데, nn차함수에 대한 넓이 공식에서는 (β−α)n+1(\beta-\alpha)^{n+1}이 나온다는 규칙을 상기하면 암기하기 편하다.

3.2.1. 이차함수[편집]

파일:나무_이차함수_넓이관계_1.png
aa가 f(x)f(x)의 최고차항의 계수일 때, (a)\rm (a)의 색칠된 영역의 넓이는 아래와 같다.

∣∫αβf(x) dx∣=∣a∣2⋅3(β−α)3\displaystyle \left|{\int_{\alpha}^\beta f(x) \,\mathrm{d}x}\right|=\displaystyle\frac{|a|}{2⋅3}(\beta-\alpha)^3

일차함수 g(x)g(x)에 대하여 aa가 f(x)−g(x)f(x)-g(x)의 최고차항의 계수일 때, (b)\rm (b)의 색칠된 영역의 넓이는 아래와 같다.

∣∫αβ{f(x)−g(x)} dx∣=∣a∣2⋅3(β−α)3\displaystyle \left|{\int_{\alpha}^\beta \{f(x)-g(x)\} \,\mathrm{d}x}\right|=\displaystyle\frac{|a|}{2⋅3}(\beta-\alpha)^3


파일:namu_이차함수_넓이_관계_3_수정.png
최고차항의 계수가 aa인 이차함수 f(x)f(x)의 그래프 위의 두 점 (α, 0)(\alpha, \, 0)과 (β, 0)(\beta, \, 0)[26]에서 각각 접하는 두 직선과 xx축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 ΣS\Sigma S라고 하면, 다음의 넓이 관계가 성립한다.

ΣS:S1:S2=3:2:1\displaystyle \Sigma S :S_{1}:S_{2}=3:2:1

위의 내용을 종합하면,

S1=∣a∣6(β−α)3S2=12S1=13ΣS=∣a∣12(β−α)3ΣS=S1+S2=32S1=3S2=∣a∣4(β−α)3\displaystyle \begin{aligned} S_{1}&=\frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3 \\ S_{2}&=\frac{1}{2}S_{1}=\frac13\Sigma S\\&=\frac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^3 \\ \Sigma S&=S_{1}+S_{2}\\&=\frac{3}{2}S_1=3S_2\\&=\frac{|a|}{4}(\beta-\alpha)^3\end{aligned}

한편 삼각형의 높이 ll은 아래와 같이 구할 수 있다.

12l(β−α)=∣a∣4(β−α)3  →  l=∣a∣2(β−α)2\displaystyle \frac{1}{2} l (\beta-\alpha) =\frac{|a|}{4}(\beta-\alpha)^3 \; \to \; l=\frac{|a|}{2}(\beta-\alpha)^2


[관련 예제]

이런 모양의 그래프는 2020년 3월 고3 가형 10번에서 출제되었다.

파일:2020 가 3월 10.png
두 함수의 그래프는 좌우 대칭이므로, 점 A\rm A와 점 B\rm B의 yy좌표가 같아서 AB‾\overline{\rm AB}는 xx축에 평행하다. 따라서 복잡하게 계산할 것 없이 △OAB\triangle\rm OAB의 넓이의 1/31/3을 구하면 된다. 일련의 과정에 따라 값을 구하면 a=1/2a=1/2이고, △OAB\triangle\rm OAB의 밑변 AB‾\overline{\rm AB}의 길이는 44, 높이는 44, △OAB\triangle\rm OAB의 넓이는 88이므로 색칠된 영역의 넓이는 그의 1/31/3인 8/38/3이다. 이처럼 공식을 쓰면 복잡한 정적분을 하지 않고도 값을 빨리 구할 수 있다.

3.2.2. 삼차함수[편집]

파일:namu_삼차함수_넓이관계_2.png
그래프의 개형이 위 그림과 같고 최고차항의 계수가 aa인 삼차함수 y=f(x)y=f(x)에 대하여, 색칠된 부분의 넓이는 아래와 같다.

∣∫αβf(x) dx∣=∣a∣3⋅4(β−α)4\displaystyle \left|{\int_{\alpha}^\beta f(x) \,\mathrm{d}x}\right|=\displaystyle\frac{|a|}{3⋅4}(\beta-\alpha)^4


파일:namu_삼차함수_넓이관계_3.png
나아가 그래프의 개형이 위 그림과 같은 삼차함수 y=f(x)y=f(x)와, 일차함수 g(x)g(x)에 대하여, aa를 f(x)−g(x)f(x)-g(x)의 최고차항의 계수라 하면, 색칠된 부분의 넓이는 아래와 같다.

∣∫αβ{f(x)−g(x)} dx∣=∣a∣3⋅4(β−α)4\displaystyle \left|{\int_{\alpha}^\beta \{f(x)-g(x)\} \,\mathrm{d}x}\right|=\displaystyle\frac{|a|}{3⋅4}(\beta-\alpha)^4


파일:namu_삼차함수_넓이관계_1.png
최고차항의 계수가 aa인 삼차함수 y=f(x)y=f(x)의 그래프의 개형이 (a)(\rm a)와 같을 때, y=f(x)y=f(x)의 그래프의 xx절편을 왼쪽부터 α\alpha, β\beta, γ\gamma라 하면 다음이 성립한다.

S1=∣∫αβf(x) dx∣=∣a∣6(β−α)3(γ−α+β2)S2=∣∫βγf(x) dx∣=∣a∣6(γ−β)3(β+γ2−α)\displaystyle \begin{aligned} S_{1}&=\left| \int_{\alpha}^{\beta} f(x)\,{\rm d}x \right|=\frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^{3} \left( \gamma-\frac{\alpha+\beta}{2} \right) \\ S_{2}&=\left| \int_{\beta}^{\gamma} f(x)\,{\rm d}x \right|=\frac{|a|}{6}(\gamma-\beta)^{3} \left( \frac{\beta+\gamma}{2}-\alpha \right) \end{aligned}


나아가 (b)(\rm b)와 같이 y=f(x)y=f(x)와 임의의 직선 y=g(x)y=g(x)의 교점을 왼쪽부터 α\alpha, β\beta, γ\gamma라 하고 aa를 f(x)−g(x)f(x)-g(x)의 최고차항의 계수라 하면, 다음이 성립한다.

S1=∣∫αβ{f(x)−g(x)} dx∣=∣a∣6(β−α)3(γ−α+β2)S2=∣∫βγ{f(x)−g(x)} dx∣=∣a∣6(γ−β)3(β+γ2−α)\displaystyle \begin{aligned} S_{1}&=\left| \int_{\alpha}^{\beta} \{f(x)-g(x)\}\,{\rm d}x \right|\\&=\frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^{3} \left( \gamma-\frac{\alpha+\beta}{2} \right) \\ S_{2}&=\left| \int_{\beta}^{\gamma} \{f(x)-g(x)\}\,{\rm d}x \right|\\&=\frac{|a|}{6}(\gamma-\beta)^{3} \left( \frac{\beta+\gamma}{2}-\alpha \right) \end{aligned}

이 문단의 일부 공식은 틀림없이 수학적으로 옳긴 하나 계산이 오히려 복잡해지기 쉽다. 공식 자체도 복잡한 데다가 정적분의 구간은 [α,  β][\alpha,\;\beta]인데 공식을 사용하자면 γ\gamma의 값까지 알아내야 하는 등 불편한 점이 많아서 곧이곧대로 미적분의 기본정리로 정적분을 계산하는 것이 더 편할 수도 있다.

3.2.3. 사차함수[편집]

파일:namu_사차함수_그래프넓이_3.svg
위 그림의 (a)\rm (a)에서 최고차항의 계수가 aa인 f(x)f(x)의 그래프가 x=αx=\alpha와 x=βx=\beta에서 xx축과 만날 때, 색칠된 영역의 넓이는 아래와 같다.

∣∫αβf(x) dx∣=∣a∣4⋅5(β−α)5\displaystyle \left|{\int_{\alpha}^\beta f(x) \,\mathrm{d}x}\right|=\displaystyle\frac{|a|}{4⋅5}(\beta-\alpha)^5

나아가 일차함수 g(x)g(x)에 대하여 aa가 f(x)−g(x)f(x)-g(x)의 최고차항의 계수일 때, (b)\rm (b)의 색칠된 영역의 넓이는 아래와 같다.

∣∫αβ{f(x)−g(x)} dx∣=∣a∣4⋅5(β−α)5\displaystyle \left|{\int_{\alpha}^\beta \{f(x)-g(x)\} \,\mathrm{d}x}\right|=\displaystyle\frac{|a|}{4⋅5}(\beta-\alpha)^5


파일:namu_사차함수_넓이관계_개형1.png
위 그림의 (a)\rm (a)에서 최고차항의 계수가 aa인 f(x)f(x)의 그래프가 x=αx=\alpha에서 xx축에 접할 때, 색칠된 영역의 넓이는 아래와 같다.

∣∫αβf(x) dx∣=∣a∣4⋅5(β−α)5\displaystyle \left|{\int_{\alpha}^\beta f(x) \,\mathrm{d}x}\right|=\displaystyle\frac{|a|}{4⋅5}(\beta-\alpha)^5

나아가 (b)\rm (b)에서 일차함수 g(x)g(x)에 대하여 aa가 f(x)−g(x)f(x)-g(x)의 최고차항의 계수이고 f(x)f(x)의 그래프가 변곡점 (α,f(α))(\alpha,f(\alpha))에서 직선 y=g(x)y=g(x)에 접할 때, 색칠된 영역의 넓이는 아래와 같다.

∣∫αβ{f(x)−g(x)} dx∣=∣a∣4⋅5(β−α)5\displaystyle \left|{\int_{\alpha}^\beta \{f(x)-g(x)\} \,\mathrm{d}x}\right|=\displaystyle\frac{|a|}{4⋅5}(\beta-\alpha)^5


파일:namu_사차함수_넓이관계_개형2.png
위 그림의 (a)\rm (a)와 같이 최고차항의 계수가 aa인 f(x)f(x)의 그래프가 x=αx=\alpha와 x=βx=\beta에서 xx축에 접할 때, 색칠된 영역의 넓이는 아래와 같다.

∣∫αβf(x) dx∣=∣a∣5⋅6(β−α)5\displaystyle \left|{\int_{\alpha}^\beta f(x) \,\mathrm{d}x}\right|=\displaystyle\frac{|a|}{5⋅6}(\beta-\alpha)^5

나아가 (b)\rm (b)와 같이 일차함수 g(x)g(x)에 대하여 aa가 f(x)−g(x)f(x)-g(x)의 최고차항의 계수이고 f(x)f(x)의 그래프가 x=αx=\alpha와 x=βx=\beta에서 직선 y=g(x)y=g(x)에 접할 때, 색칠된 영역의 넓이는 아래와 같다.

∣∫αβ{f(x)−g(x)} dx∣=∣a∣5⋅6(β−α)5\displaystyle \left|{\int_{\alpha}^\beta \{f(x)-g(x)\} \,\mathrm{d}x}\right|=\displaystyle\frac{|a|}{5⋅6}(\beta-\alpha)^5


파일:namu_사차함수_넓이_4.svg
위 그림과 같이 사차함수 f(x)f(x)의 그래프가 x=αx=\alpha와 x=βx=\beta에서 xx축과 만나고, 이 두 교점에서 각각 접선을 그어 삼각형을 만들면, 다음의 넓이 관계가 성립한다. 단, ΣS=S1+S2\Sigma S=S_{1}+S_{2}이다.

ΣS:S1:S2=5:2:3\Sigma S:S_1:S_2=5:2:3

위의 내용을 종합하면,

S1=∣a∣20(β−α)5S2=32S1=35ΣS=3∣a∣40(β−α)5ΣS=S1+S2=52S1=53S2=∣a∣8(β−α)5\displaystyle \begin{aligned} S_{1}&=\frac{|a|}{20}(\beta-\alpha)^5\\ S_{2}&=\frac32S_{1}=\frac35\Sigma S\\&=\frac{3|a|}{40}(\beta-\alpha)^5 \\ \Sigma S&=S_{1}+S_{2}\\&=\frac52S_1=\frac53S_2\\&=\frac{|a|}{8}(\beta-\alpha)^5\end{aligned}

한편 삼각형의 높이 ll은 아래와 같이 구할 수 있다.

12l(β−α)=∣a∣8(β−α)5  →  l=∣a∣4(β−α)4\displaystyle \frac{1}{2} l (\beta-\alpha) =\frac{|a|}{8}(\beta-\alpha)^5 \; \to \; l=\frac{|a|}{4}(\beta-\alpha)^4

3.2.4. 여러 차수[편집]

파일:namu_여러차수_2png.png
위 그림과 같은 nn차함수 f(x)=a(x−β)nf(x)=a(x-\beta)^n의 그래프[27] y=f(x)y=f(x)에 대하여 색칠된 영역의 넓이는 다음과 같다.

S1=∣∫αβf(x) dx∣=∣a∣n+1(β−α)n+1S2=∣∫βγf(x) dx∣=∣a∣n+1(γ−β)n+1\displaystyle \begin{aligned} S_{1}&=\left|{\int_{\alpha}^\beta f(x) \,\mathrm{d}x}\right|=\displaystyle\frac{|a|}{n+1}(\beta-\alpha)^{n+1} \\ S_{2}&=\left|{\int_{\beta}^\gamma f(x) \,\mathrm{d}x}\right|=\displaystyle\frac{|a|}{n+1}(\gamma-\beta)^{n+1} \end{aligned}

나아가 다른 모양에서도 위의 공식이 성립한다.

파일:namu_여러차수_3png.png
위 그림과 같은 개형의 짝수 차수 함수 y=f(x)y=f(x)의 그래프가 기울기가 0이 아닌 직선 y=g(x)y=g(x)와 (β,  f(β))(\beta,\,\, f(\beta))에서 접한다고 하자. f(x)−g(x)f(x)-g(x)의 최고차항의 계수를 aa라 하면, 색칠된 영역의 넓이는 다음과 같다.

S1=∣∫αβ{f(x)−g(x)} dx∣=∣a∣3(β−α)3S2=∣∫βγ{f(x)−g(x)} dx∣=∣a∣3(γ−β)3\displaystyle \begin{aligned} S_{1}&=\left|{\int_{\alpha}^\beta \{ f(x)-g(x)\} \,\mathrm{d}x}\right|=\displaystyle\frac{|a|}{3}(\beta-\alpha)^3 \\ S_{2}&=\left|{\int_{\beta}^\gamma \{ f(x)-g(x)\} \,\mathrm{d}x}\right|=\displaystyle\frac{|a|}{3}(\gamma-\beta)^3 \end{aligned}


파일:namu_그래프넓이관계_홀수차수_two_수정.png
위 그림과 같은 변곡점 (α, f(α))(\alpha,\, f(\alpha))를 기준으로 점대칭인 홀수 차수 함수 f(x)f(x)의 그래프와, 변곡점 (α, f(α))(\alpha,\, f(\alpha))를 지나는 임의의 직선 g(x)g(x)의 교점 중 오른쪽의 것을 (β, f(β))(\beta,\, f(\beta))라고 하자. f(x)−g(x)f(x)-g(x)의 최고차항의 계수를 aa라 하면, 색칠된 영역의 넓이는 다음과 같다.

S1=S2=∫αβ∣f(x)−g(x)∣  dx=∣a∣n+1(β−α)n+1S_1=S_2=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} |f(x)-g(x)|\;{\rm d}x=\dfrac{|a|}{n+1}(\beta-\alpha)^{n+1}

3.3. 길이와 넓이의 관계[편집]

이 문단에서는 위에서 설명한 길이 공식과 넓이 공식의 관계를 설명하므로 위 문단의 내용을 먼저 참고하라.

3.3.1. 이차함수·삼차함수[편집]

파일:namu_삼차함수_이차함수_넓이_길이_수정.png
그래프의 개형이 위 그림과 같은 삼차함수 y=f(x)y=f(x)와 그 도함수 y=f′(x)y=f'(x)에 대하여, 도함수의 그래프의 xx절편을 왼쪽부터 α\alpha, β\beta라 하고, f(x)f(x)의 최고차항의 계수를 aa라 하면, f′(x)f'(x)의 최고차항의 계수는 3a3a이므로 색칠된 부분의 넓이 SS와 y=f(x)y=f(x)의 극댓값과 극솟값의 차 ll의 관계는 다음과 같다.

S=∣3a∣2⋅3(β−α)3=∣a∣2(β−α)3l=∣a∣2(β−α)3∴S=l\displaystyle \begin{aligned} S&=\frac{|3a|}{2\cdot 3}(\beta-\alpha)^{3}=\frac{|a|}{2}(\beta-\alpha)^{3} \\ l&=\frac{|a|}{2}(\beta-\alpha)^{3}\\ \therefore S&=l \end{aligned}

이 사실은 가장 근본적으로는 미적분의 기본정리 때문에 성립하는데, 위 그림의 색칠된 부분은 xx축보다 아래에 있으므로 다음이 성립한다.

S=−∫αβf′(x) dx=−{f(β)−f(α)}=f(α)−f(β)=l\begin{aligned} S&=-\displaystyle\int_\alpha^\beta f'(x)\, {\mathrm d}x\\&=-\{f(\beta)-f(\alpha)\}\\&=f(\alpha)-f(\beta)\\&=l \end{aligned}


파일:namu_삼차이차관계_수정.png
개형이 위의 그림과 같은 삼차함수 f(x)f(x)의 그래프의 극점을 위쪽부터 A\rm A, B\rm B라 하고, 이 두 점의 접선이 삼차함수의 그래프와 교차하는 점을 위쪽부터 P\rm P, Q\rm Q라 하면 위의 성질에 따라 다음이 성립한다.

S1=S2=S3S_{1}=S_{2}=S_{3}

3.3.2. 삼차함수·사차함수[편집]

파일:나무_삼차함수_사차함수_넓이_길이_관계.png
그래프의 개형이 위 그림과 같은 사차함수 f(x)f(x)와 도함수 f′(x)f'(x)에 대하여, 도함수의 그래프의 xx절편을 왼쪽부터 α\alpha, β\beta라 하자. 한편 f(x)f(x)의 최고차항의 계수를 aa라 하면 f′(x)f'(x)의 최고차항의 계수는 4a4a이므로, 색칠된 부분의 넓이 SS와 접선의 기울기가 0인 f(x)f(x)의 그래프 위의 점들의 yy좌표 간 거리 ll의 관계는 다음과 같다.

S=∣4a∣3⋅4(β−α)4=∣a∣3(β−α)4l=∣a∣3(β−α)4∴S=l\displaystyle \begin{aligned} S&=\frac{|4a|}{3\cdot 4}(\beta-\alpha)^{4}=\frac{|a|}{3}(\beta-\alpha)^{4} \\ l&=\frac{|a|}{3}(\beta-\alpha)^{4}\\ \therefore S&=l \end{aligned}

이 사실은 가장 근본적으로는 미적분의 기본정리 때문에 성립하는데, 위 그림의 색칠된 부분은 xx축보다 아래에 있으므로 다음이 성립한다.

S=−∫αβf′(x) dx=−{f(β)−f(α)}=f(α)−f(β)=l\begin{aligned} S&=-\displaystyle\int_\alpha^\beta f'(x)\, {\mathrm d}x\\&=-\{f(\beta)-f(\alpha)\}\\&=f(\alpha)-f(\beta)\\&=l \end{aligned}

4. 관련 문서[편집]

[1] 5차부터는 브링 근호 같은 특수함수를 이용해야 한다.[2] 이러한 팁들은 교과서는 물론이고 수능 연계 교재에도 잘 언급되지 않는 내용인데, EBSi 모의고사 해설 강의에서는 그나마 알려주기는 한다.[3] 트렌드는 조금 다르다.[4] 한국교육과정평가원의 경향을 반영하는 사설 모의고사 또는 학교 시험에서도 출제될 수 있다.[5] 2단원 미분 단원 중 도함수의 활용 부분이다.[6] 2017 수능 ~ 2021 수능 시기에서는 문과(수학 나형)만의 직접 출제 범위였으며, 이과(수학 가형)은 간접 출제 범위에 그쳤다. 하지만 2021년에 실시되는 2022 수능부터는 문·이과 공통 범위가 되었으므로 수능을 치를 고등학생이라면 누구도 소홀히 해서는 안 될 것이다.[7] 다루는 함수의 범위를 다항함수로 한정하지 않으면 점대칭이 아닌데도 대칭구간의 적분값이 0인 경우가 있는데, [math(y={bold 1}_{mathbb Q}(x))[8] 삼차함수 문서의 개형 ②, ③, ⑤, ⑥[9] '실수 전체의 집합에서'라는 단서를 달아야만 한다. 그렇지 않으면 그 어떤 함수에서도 최솟값, 최댓값, 극값이 존재하도록 하는 유한한 범위를 얼마든지 정할 수 있기 때문이다.[10] 직접 (mb+nam+n, 0)\biggl( \dfrac{mb+na}{m+n},\,0 \biggr)을 직선 ll의 방정식 y=f(b)−f(a)b−a(x−a)+f(a)y=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a)에 대입하여 구해봐도 되지만 닮음에 의하여 m:nm:n으로 내분하는 점임이 명백하다.[11] 단, f(a)f(a)와 f(b)f(b) 중 하나가 0이면 직각삼각형의 넓이가 됨에 유의하자.[12] 상수함수는 실수 전체의 집합에서 함숫값이 일정하므로 f(a)+f(b)2=f(a+b2)\displaystyle \frac{f(a)+f(b)}{2} \boldsymbol{=} f \biggl( \frac{a+b}{2} \biggr) 이다.[13] 사실 꼭 a≤ba\leq b이어야 할 필요는 없으나, 앞으로의 설명을 돕기 위한 그래프에서 a≤ba\leq b로 상정할 필요가 있어 이러한 단서를 달아놓는다.[14] 이게 없으면 다항함수가 아닌 초등함수(cos⁡x\cos x, sin⁡x/x\sin x/x, e−x2e^{-x^2} 등)로 함정을 팔 수 있다.[15] 당장 삼차함수 추론 공식에 y=tan⁡xy=\tan x를 넣어 보자. 탄젠트함수가 삼차함수가 되는 기적이 벌어진다.[16] 참고로 다항함수가 아닌 홀함수는 다항함수인 홀함수의 무한합으로 근사할 수 있다.[17] 참고로 다항함수가 아닌 짝함수는 다항함수인 짝함수의 무한합으로 근사할 수 있다.[18] 사실 cos⁡x\cos x는 끝이 없는 주기함수여서 공간이 얼마나 있든 그래프를 전부 그릴 수는 없다.[비교]
파일:namu_이차함수_현수선_비교.png[20] 대칭축이 x=0x=0이니, f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)이고 임의의 실수 tt에 대해서 ∫−t0f(x) dx=∫0tf(x) dx\int_{-t}^0 f(x) \,\mathrm{d}x = \int_0^{t} f(x) \,\mathrm{d}x이므로.[21] 예시로 든 아래의 정규분포 함수의 경우 점근선 y=0y=0이 있는데, 이차·사차함수에는 xx축에 평행한 점근선이 없다는 것만 알면 이 함수가 이차함수나 사차함수가 아님을 쉽게 알 수 있다.[22] 유클리드 거리함수(Euclidean metric) 혹은 l2l^2 노름이라고도 한다.[23] TT는 전치를 취한다는 뜻이다. 즉 [x1f(x1)]T=[x1f(x1)][ x_1 \quad f(x_1) ]^T = \begin{bmatrix} x_1 \\ f(x_1) \end{bmatrix}이다.[24] [math(dag)[25] 즉 최고차항의 계수의 절댓값이 클수록 초점과 준선이 꼭짓점에 가까워지고, 작을수록 멀어진다.[26] 그림에서는 이차함수의 그래프와 xx축의 교점을 왼쪽부터 α\alpha와 β\beta로 놓았기에 yy좌표가 00이 되지만, 꼭 yy좌표가 00이어야 할 필요는 없으며 두 점의 yy좌표가 그저 같기만 하면 된다.[27] nn이 짝수일 경우 왼쪽의 개형이, 홀수일 경우 오른쪽의 개형이 나온다.