역함수

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1. 개요2. 성질3. 도출
3.1. 예 13.2. 예 2
4. 역함수의 예5. 역함수의 미분6. 역함수의 적분7. 기타

파일:namu_역함수_예시.png
대표적인 역함수 관계인 [math(boldsymbol{a^x})]와 [math(boldsymbol{log_a{x}})]

1. 개요

inverse function · 逆函數

함수 f:X→Yf:X\to Y가 전단사(일대일대응)이면 그 역함수

f−1:Y→Xf^{-1} :Y\to X

를 생각할 수 있는데, 이는 YY의 원소 yy에 대해 f(x)=yf\left(x\right)=y인 유일하게 존재하는 xx를 대응시키는 것이다. 즉,

f(x)=y⇔f−1(y)=xf\left(x\right)=y\Leftrightarrow f^{-1}\left(y\right)=x

이고, 함수의 정의 때문에 이는 ff가 전단사일 때밖에 생각할 수 없다. 전단사가 아닌 함수는 조각적 정의나 해석적 확장[1] 등을 사용해야 한다.

파일:namu_역함수_개념도.png

2. 성질

역함수가 존재하는 함수 f:X→Yf: X \to Y와 그 역함수 f−1:Y→Xf^{-1}: Y\to X를 고려하자.
  • 본 함수와 역함수의 합성
    • f∘f−1f \circ f^{-1}는 YY에서의 항등함수이다.
    • f−1∘ff^{-1} \circ f는 XX에서의 항등함수이다.
      • ff의 정의역과 치역이 실수 전체 집합이면, f∘f−1=f∘f−1=If \circ f^{-1}=f \circ f^{-1}=I (단, II는 항등함수)
  • 역함수의 그래프 y=f−1(x)\boldsymbol{y=f^{-1}(x)}의 그래프는 본 함수 y=f(x)\boldsymbol{y=f(x)}와 [math(boldsymbol{y=x})]에 대하여 대칭이다.
    • 이는 본 함수의 그래프가 (x, f(x))(x,\,f(x))를 지나면, 역함수는 정의에 의하여 (f(x), x)(f(x),\,x)를 지나기 때문이다.
    • 본 함수가 미분 가능한 함수이고 그 도함수의 함숫값이 0인 점이 있을 경우, 역함수의 도함수에서 대응점은 특이점이 된다.
  • 연속함수의 그래프와 그 역함수의 그래프의 교점
    • 증가하는 연속함수의 그래프와 그 역함수의 그래프의 교점은 y=xy=x 위에 있다.[2]
    • 감소하는 연속함수의 그래프와 그 역함수의 그래프의 교점의 개수는 홀수이며, 항상 y=xy=x 위의 교점을 1개 갖는다.

3. 도출

역함수는 y=xy=x에 대칭이기 때문에, 다음과 같은 방법으로 역함수를 도출할 수 있다.
  1. 본 함수의 xx, yy의 자리를 바꾼다.
  2. 1의 식에서 다시 yy를 xx에 대한 식으로 표현함으로써 역함수를 얻는다.

3.1. 예 1

y=3x+1y=3x+1
  1. 본 함수의 xx, yy의 자리를 바꾼다.

    x=3y+1x=3y+1
  2. 1의 식에서 다시 yy를 xx에 대한 식으로 표현함으로써 역함수를 얻는다.

    3y=x−1  →  y=x3−133y=x-1 \;\to \; \boldsymbol{ y=\dfrac{x}{3}-\dfrac{1}{3} }

3.2. 예 2

y=ex−4y=e^{x-4} (단, ee는 자연로그의 밑)
  1. 본 함수의 xx, yy의 자리를 바꾼다.

    x=ey−4x=e^{y-4}
  2. 1의 식에서 다시 yy를 xx에 대한 식으로 표현함으로써 역함수를 얻는다.

    ln⁡x=ln⁡ey−4=y−4  →  y=ln⁡x+4 \begin{aligned} \ln{x}&=\ln{e^{y-4}} \\ &=y-4 \; \to \; \boldsymbol{y=\ln{x}+4} \end{aligned}

4. 역함수의 예

5. 역함수의 미분

6. 역함수의 적분

원본 함수 대비해서 비교가 되지 않는 난도를 자랑한다. 가령 이차함수의 역함수인 제곱근 함수는 삼각치환을 동원해야 하며, 삼각함수와 지수함수는 부분적분에서 LIATE 법칙의 오른쪽(적분 우선)에 속하는 반면 그 역함수인 역삼각함수와 로그함수는 왼쪽(미분 우선)이다. 심지어 람베르트 WW 함수 같은 경우 LIATE 밖의 함수답게 로그함수 적분을 따위로 만들 정도의 까다로움을 자랑한다.

정적분의 경우는 해석기하학적 방법을 이용할 수도 있다.

7. 기타

  • 북한에서는 역함수를 '거꿀함수'라고 한다.

[1] 가령 sin⁡\sin의 역함수인 arcsin⁡\arcsin의 경우 ∣x∣>1|x|>1인 실수 영역에서는 π⋅sgn(x)/2 + ik\pi\cdot{\rm sgn}(x)/2 \boldsymbol{\,+\,ik}(단, k∈R\{0}k \in {\mathbb R\backslash\{0\}})꼴로 함숫값을 표현한다.[2] 반례로, 밑이 e1/ee^{1/e}보다 큰 지수함수와 로그함수는 증가하는 연속함수임에도 y=xy=x와의 교점이 없다.[3] 범'함수'로서의 역함수 관계. 이는 따로 견인(Pullback)이라고 칭한다.