분류
1. 개요
라게르 함수(Laguerre function) 혹은 라게르 다항식(Laguerre polynomial)은 아래의 라게르의 미분 방정식
[math(displaystyle x frac{d^{2}y}{dx^{2}}+(1-x)frac{dy}{dx}+ny=0 quad (n geq 0,, n in mathbb{N}) )]
을 만족하는 함수를 말한다. 함수의 이름은 프랑스의 수학자 라게르(Edmond Laguerre; 1834 - 1886)의 이름이 붙여졌다.
[math(displaystyle x frac{d^{2}y}{dx^{2}}+(1-x)frac{dy}{dx}+ny=0 quad (n geq 0,, n in mathbb{N}) )]
을 만족하는 함수를 말한다. 함수의 이름은 프랑스의 수학자 라게르(Edmond Laguerre; 1834 - 1886)의 이름이 붙여졌다.
2. 상세
위 미분 방정식은 [math(x=0)]에서 정칙 특이점을 갖기 때문에 프로베니우스의 해법을 적용한다. 해의 꼴을 다음과 같다고 가정하자.
[math(displaystyle y=sum_{m=0}^{infty} a_{m}x^{m+r} )]
이것을 해당 방정식에 대입하면,
[math(displaystyle sum_{m=0}^{infty} (m+r)(m+r-1)a_{m}x^{m+r-1}+ sum_{m=0}^{infty} (m+r)a_{m}x^{m+r-1}- sum_{m=0}^{infty} (m+r)a_{m}x^{m+r}+nsum_{m=0}^{infty} a_{m}x^{m+r}=0 )]
최저차항의 계수를 맞추면,
[math(displaystyle a_{m}[r(r-1)+r]=0 )]
위 식이 일반적으로 성립하려면 [math(r(r-1)+r=0)]이고, 이 방정식의 근은 [math(r=0)]으로 중근을 갖는다. 이 결과를 위 방정식에 대입하면,
[math(displaystyle sum_{m=1}^{infty} m(m-1)a_{m}x^{m-1}+ sum_{m=1}^{infty} ma_{m}x^{m-1}- sum_{m=0}^{infty} ma_{m}x^{m}+nsum_{m=0}^{infty} a_{m}x^{m}=0 )]
이고, 이것을 다시 쓰면,
[math(displaystyle sum_{m=0}^{infty} m(m+1)a_{m+1}x^{m}+ sum_{m=0}^{infty} (m+1)a_{m+1}x^{m}- sum_{m=0}^{infty} ma_{m}x^{m}+nsum_{m=0}^{infty} a_{m}x^{m}=0 )]
이상에서 계수에 대한 점화식으로
[math(displaystyle a_{m+1}=- frac{n-m}{(m+1)^{2}}a_{m} )]
따라서
[math(displaystyle a_{m}=frac{(-1)^{m} n!}{(m!)^{2} (n-k)!}a_{0} )]
이때,
[math(displaystyle binom{n}{m} equiv frac{n!}{m! (n-m)!} )]
으로, 조합의 정의임을 상기하고, [math(a_{0}=1)]로 놓으면,
[math(displaystyle a_{m}=(-1)^{m}binom{n}{m} frac{1}{m!} )]
로 쓸 수있음에 따라 방정식의 한 해는
[math(displaystyle y(x)=sum_{m=0}^{infty}(-1)^{m}binom{n}{m} frac{x^{m}}{m!} )]
[math(n)]이 0을 포함한 자연수임을 고려한다면, 위 해는 [math(n)]의 값에 따라 다항함수 형태를 띠는데, 그 다항함수을 라게르 함수라 하고, [math(L_{n}(x) )]로 표기한다.
이 해가 물리적으로 의미가 있는 것은 다항식인 해이기 때문에 제 2의 해를 구하는 과정은 생략한다.
[math(displaystyle y=sum_{m=0}^{infty} a_{m}x^{m+r} )]
이것을 해당 방정식에 대입하면,
[math(displaystyle sum_{m=0}^{infty} (m+r)(m+r-1)a_{m}x^{m+r-1}+ sum_{m=0}^{infty} (m+r)a_{m}x^{m+r-1}- sum_{m=0}^{infty} (m+r)a_{m}x^{m+r}+nsum_{m=0}^{infty} a_{m}x^{m+r}=0 )]
최저차항의 계수를 맞추면,
[math(displaystyle a_{m}[r(r-1)+r]=0 )]
위 식이 일반적으로 성립하려면 [math(r(r-1)+r=0)]이고, 이 방정식의 근은 [math(r=0)]으로 중근을 갖는다. 이 결과를 위 방정식에 대입하면,
[math(displaystyle sum_{m=1}^{infty} m(m-1)a_{m}x^{m-1}+ sum_{m=1}^{infty} ma_{m}x^{m-1}- sum_{m=0}^{infty} ma_{m}x^{m}+nsum_{m=0}^{infty} a_{m}x^{m}=0 )]
이고, 이것을 다시 쓰면,
[math(displaystyle sum_{m=0}^{infty} m(m+1)a_{m+1}x^{m}+ sum_{m=0}^{infty} (m+1)a_{m+1}x^{m}- sum_{m=0}^{infty} ma_{m}x^{m}+nsum_{m=0}^{infty} a_{m}x^{m}=0 )]
이상에서 계수에 대한 점화식으로
[math(displaystyle a_{m+1}=- frac{n-m}{(m+1)^{2}}a_{m} )]
따라서
[math(displaystyle a_{m}=frac{(-1)^{m} n!}{(m!)^{2} (n-k)!}a_{0} )]
이때,
[math(displaystyle binom{n}{m} equiv frac{n!}{m! (n-m)!} )]
으로, 조합의 정의임을 상기하고, [math(a_{0}=1)]로 놓으면,
[math(displaystyle a_{m}=(-1)^{m}binom{n}{m} frac{1}{m!} )]
로 쓸 수있음에 따라 방정식의 한 해는
[math(displaystyle y(x)=sum_{m=0}^{infty}(-1)^{m}binom{n}{m} frac{x^{m}}{m!} )]
[math(n)]이 0을 포함한 자연수임을 고려한다면, 위 해는 [math(n)]의 값에 따라 다항함수 형태를 띠는데, 그 다항함수을 라게르 함수라 하고, [math(L_{n}(x) )]로 표기한다.
이 해가 물리적으로 의미가 있는 것은 다항식인 해이기 때문에 제 2의 해를 구하는 과정은 생략한다.
3. 분석
3.1. 종류
다음은 몇몇 라게르 함수를 나타낸 것이다.
[math(displaystyle begin{aligned}
L_{0}(x)&=1 \
L_{1}(x)&=-x+1 \
L_{2}(x)&=frac{1}{2} (x^2-4x+2) \
L_{3}(x)&=frac{1}{6} (-x^3+9x^2-18x+6) \
L_{4}(x)&=frac{1}{24} (x^4-16x^3+72x^2-96x+24) \
L_{5}(x)&=frac{1}{120} (-x^5+25x^4-200x^3+600x^2-600x+120) \
L_{6}(x)&=frac{1}{720} (x^6-36x^5+450x^4-2400x^3+5400x^2-4320x+720) \
L_{7}(x)&=frac{1}{5040} (-x^7+49x^6-882x^5+7350x^4-29400x^3+52920x^2-35280x+5040) \
L_{8}(x)&=frac{1}{40320} (x^8-64x^7+1568x^6-18816x^5+117600x^4-376320x^3+564480x^2-322560x+40320) \
end{aligned} )]
[math(displaystyle begin{aligned}
L_{0}(x)&=1 \
L_{1}(x)&=-x+1 \
L_{2}(x)&=frac{1}{2} (x^2-4x+2) \
L_{3}(x)&=frac{1}{6} (-x^3+9x^2-18x+6) \
L_{4}(x)&=frac{1}{24} (x^4-16x^3+72x^2-96x+24) \
L_{5}(x)&=frac{1}{120} (-x^5+25x^4-200x^3+600x^2-600x+120) \
L_{6}(x)&=frac{1}{720} (x^6-36x^5+450x^4-2400x^3+5400x^2-4320x+720) \
L_{7}(x)&=frac{1}{5040} (-x^7+49x^6-882x^5+7350x^4-29400x^3+52920x^2-35280x+5040) \
L_{8}(x)&=frac{1}{40320} (x^8-64x^7+1568x^6-18816x^5+117600x^4-376320x^3+564480x^2-322560x+40320) \
end{aligned} )]
3.2. 그래프
아래는 구간 [math([0, ,10] )]에서 몇몇 라게르 함수의 그래프를 나타낸 것이다.
파일:Plot of Laguerre functions_NEW_NEW.png
[math(L_{n}(0)=1)]인 특징이 있다.[1]
파일:Plot of Laguerre functions_NEW_NEW.png
[math(L_{n}(0)=1)]인 특징이 있다.[1]
3.3. 생성 함수
라게르 함수에 대한 생성 함수는 아래와 같다.
[math(displaystyle frac{1}{1-t} exp{left( -frac{xt}{1-t} right)}=sum_{n=0}^{infty} L_{n}(x) t^{n} )]
여기서 [math(exp{x}=e^{x})]이다.
[math(displaystyle frac{1}{1-t} exp{left( -frac{xt}{1-t} right)}=sum_{n=0}^{infty} L_{n}(x) t^{n} )]
여기서 [math(exp{x}=e^{x})]이다.
3.4. 로드리게스 공식
라게르 함수는
[math(displaystyle L_{n}(x)=frac{e^{x}}{n!}frac{d^{n}}{dx^{n}}(x^{n}e^{-x}) )]
의 형태로 쓸 수 있는데, 이것을 라게르 함수에 대한 로드게리스 공식(Rodrigues' formula)라 한다.
이것을 증명하기 위해 다음과 같은 함수를 고려한다.
[math(displaystyle y=x^{n}e^{-x} )]
양변을 미분하면
[math(displaystyle xy'-(n-x)y=0 )]
이것을 한 번 더 미분하면,
[math(displaystyle xy''+(1-n+x)y'+y=0 )]
이 된다. 이것을 [math(n)]번 미분하면,
[math(displaystyle sum_{k=0}^{n} binom{n}{k} x^{(k)}y^{(n-k+2)}+sum_{k=0}^{n} binom{n}{k} (1-n+x)^{(k)}y^{(n-k+1)}+y^{(n)}=0 )]
으로 쓸 수 있으며, [math(f^{(k)}=d^{k}f/dx^{k})]이다. 이것을 다시 쓰면,
[math(displaystyle xy^{(n+2)}+ny^{(n+1)}+(1-n+x)y^{(n+1)}+ny^{(n)}-y^{(n)}=0 )]
의 형태로 정리할 수 있다. [math(y^{(n)} equiv u)]라 하면,
[math(displaystyle x frac{d^{2}u}{dx^{2}}+(1+x) frac{du}{dx}+(n-1)y=0 )]
이때, [math(u(x) = e^{-x} f(x))]를 생각하면,
[math(displaystyle begin{aligned} frac{du}{dx}&=e^{-x} left[ frac{df}{dx}-f right] \ frac{d^{2}u}{dx^{2}}&=e^{-x} left[ frac{d^{2}f}{dx^{2}}-2frac{df}{dx}+f right] end{aligned} )]
이것을 위 결과에 대입하면,
[math(displaystyle begin{aligned} x left[ frac{d^{2}f}{dx^{2}}-2frac{df}{dx}+f right]+(1+x) left[ frac{df}{dx}-f right]+(n-1)f&=0 \ x frac{d^{2}f}{dx^{2}}+(1-x)frac{df}{dx}+nf&=0 end{aligned})]
이것은 명백한 라게르의 미분 방정식이다. 따라서
[math(displaystyle L_{n}(x)=Ce^{x}frac{d^{n}}{dx^{n}}(x^{n}e^{-x}) )]
임을 얻을 수 있다. 여기서 [math(C)]는 상수이다. 그런데 [math(L_{n}(0)=1)]임을 고려하면,
[math(displaystyle begin{aligned} 1&=biggl. Ce^{0} sum_{k=0}^{n} binom{n}{k} (x^{n})^{(k)}(e^{-x})^{(n-k)} biggr|_{x=0} \ &=C n! e^{-0} \&=n! C end{aligned} )]
이상에서 [math(C=(n!)^{-1})]을 얻으므로 라게르 함수는
[math(displaystyle L_{n}(x)=frac{e^{x}}{n!}frac{d^{n}}{dx^{n}}(x^{n}e^{-x}) )]
으로 쓸 수 있음을 얻는다.
[math(displaystyle L_{n}(x)=frac{e^{x}}{n!}frac{d^{n}}{dx^{n}}(x^{n}e^{-x}) )]
의 형태로 쓸 수 있는데, 이것을 라게르 함수에 대한 로드게리스 공식(Rodrigues' formula)라 한다.
이것을 증명하기 위해 다음과 같은 함수를 고려한다.
[math(displaystyle y=x^{n}e^{-x} )]
양변을 미분하면
[math(displaystyle xy'-(n-x)y=0 )]
이것을 한 번 더 미분하면,
[math(displaystyle xy''+(1-n+x)y'+y=0 )]
이 된다. 이것을 [math(n)]번 미분하면,
[math(displaystyle sum_{k=0}^{n} binom{n}{k} x^{(k)}y^{(n-k+2)}+sum_{k=0}^{n} binom{n}{k} (1-n+x)^{(k)}y^{(n-k+1)}+y^{(n)}=0 )]
으로 쓸 수 있으며, [math(f^{(k)}=d^{k}f/dx^{k})]이다. 이것을 다시 쓰면,
[math(displaystyle xy^{(n+2)}+ny^{(n+1)}+(1-n+x)y^{(n+1)}+ny^{(n)}-y^{(n)}=0 )]
의 형태로 정리할 수 있다. [math(y^{(n)} equiv u)]라 하면,
[math(displaystyle x frac{d^{2}u}{dx^{2}}+(1+x) frac{du}{dx}+(n-1)y=0 )]
이때, [math(u(x) = e^{-x} f(x))]를 생각하면,
[math(displaystyle begin{aligned} frac{du}{dx}&=e^{-x} left[ frac{df}{dx}-f right] \ frac{d^{2}u}{dx^{2}}&=e^{-x} left[ frac{d^{2}f}{dx^{2}}-2frac{df}{dx}+f right] end{aligned} )]
이것을 위 결과에 대입하면,
[math(displaystyle begin{aligned} x left[ frac{d^{2}f}{dx^{2}}-2frac{df}{dx}+f right]+(1+x) left[ frac{df}{dx}-f right]+(n-1)f&=0 \ x frac{d^{2}f}{dx^{2}}+(1-x)frac{df}{dx}+nf&=0 end{aligned})]
이것은 명백한 라게르의 미분 방정식이다. 따라서
[math(displaystyle L_{n}(x)=Ce^{x}frac{d^{n}}{dx^{n}}(x^{n}e^{-x}) )]
임을 얻을 수 있다. 여기서 [math(C)]는 상수이다. 그런데 [math(L_{n}(0)=1)]임을 고려하면,
[math(displaystyle begin{aligned} 1&=biggl. Ce^{0} sum_{k=0}^{n} binom{n}{k} (x^{n})^{(k)}(e^{-x})^{(n-k)} biggr|_{x=0} \ &=C n! e^{-0} \&=n! C end{aligned} )]
이상에서 [math(C=(n!)^{-1})]을 얻으므로 라게르 함수는
[math(displaystyle L_{n}(x)=frac{e^{x}}{n!}frac{d^{n}}{dx^{n}}(x^{n}e^{-x}) )]
으로 쓸 수 있음을 얻는다.
3.5. 재귀 관계
라게르 함수는 다음과 같은 재귀 관계가 있다.
- [math(displaystyle frac{dL_{n+1}(x)}{dx}-frac{dL_{n}(x)}{dx}+L_{n}(x)=0)]
- [math(displaystyle (n+1)L_{n+1}(x)-(2n+1-x)L_{n}(x)+nL_{n-1}(x)=0 )]
- [math(displaystyle xfrac{dL_{n}(x)}{dx}-nL_{n}(x)+nL_{n-1}(x)=0 )]
3.6. 직교성
라게르 함수는 가중 함수 [math(e^{-x})]에 대하여 구간 [math([0,, infty))]에서 다음과 같은 직교성을 가진다.
[math(displaystyle int_{0}^{infty} e^{-x}L_{n}(x)L_{m}(x),dx=delta_{nm} )]
여기서 [math(delta_{nm})]은 크로네커 델타이다.
[math(n neq m)]일 때를 증명하기 위해 [math(L_{n}(x))]와 [math(L_{m}(x))]가 만족시키는 방정식에 각각 [math(e^{-x}L_{m}(x))], [math(e^{-x}L_{n}(x))]을 각각 곱하여 빼자.
[math(displaystyle begin{aligned} e^{-x}L_{m}(x)left[ x frac{d^{2}L_{n}(x)}{dx^{2}}+(1-x)frac{dL_{n}(x)}{dx} right]- e^{-x}L_{n}(x)left[ x frac{d^{2}L_{m}(x)}{dx^{2}}+(1-x)frac{dL_{m}(x)}{dx} right]+(n-m)e^{-x}L_{n}(x)L_{m}(x)&=0 \ frac{d}{dx}left[ xe^{-x} left( frac{dL_{n}(x)}{dx}L_{m}(x)-L_{n}(x)frac{dL_{m}(x)}{dx} right) right]+(n-m)e^{-x}L_{n}(x)L_{m}(x)&=0 end{aligned} )]
이것을 [math([0,, infty))]에 대해 적분하면,
[math(displaystyle left[ xe^{-x} left( frac{dL_{n}(x)}{dx}L_{m}(x)-L_{n}(x)frac{dL_{m}(x)}{dx} right) right]_{0}^{infty}+(n-m) int_{0}^{infty} e^{-x}L_{n}(x)L_{m}(x)=0 )]
이고, 좌변의 제 1항은 [math(displaystyle lim_{xto infty} e^{-x}=0)]임을 참고하면, 0이 되고, [math(n neq m)]인 상황을 다루고 있음을 기억하면,
[math(displaystyle int_{0}^{infty} e^{-x}L_{n}(x)L_{m}(x)=0 quad (n neq m) )]
이 성립함을 알 수 있다.
[math(n=m)]인 경우를 증명하게 위해 다음의 적분
[math(displaystyle int_{0}^{infty} e^{-x}[L_{n}(x) ]^{2},dx equiv C_{n} )]
를 고려하자. 이때, 라게르 함수의 재귀 관계를 이용하면,
[math(displaystyle begin{aligned} C_{n}&=int_{0}^{infty} e^{-x}[L_{n}(x) ]^{2},dx \
&=int_{0}^{infty} frac{1}{n}e^{-x}L_{n}(x)[(2n-1+x)L_{n-1}(x)+(n-1)L_{n-2}(x) ] ,dx \ &=int_{0}^{infty} frac{1}{n}e^{-x}L_{n}(x)[(2n+1+x)L_{n-1}(x)-2nL_{n-1}(x) ] ,dx \ &=int_{0}^{infty} frac{1}{n} e^{-x} [(n+1)L_{n+1}(x)+nL_{n-1}(x) ] L_{n-1}(x) ,dx \ &=int_{0}^{infty} e^{-x} [ L_{n-1}(x) ]^{2} ,dx \ &=C_{n-1} end{aligned} )]
이때, [math(C_{0})]를 직접 구하면,
[math(displaystyle C_{0}=int_{0}^{infty} e^{-x},dx=1 )]
이상에서 [math(C_{n}=1)]임을 얻고,
[math(displaystyle int_{0}^{infty} e^{-x}[L_{n}(x) ]^{2},dx=1 quad (n=m))]
임을 얻는다.
[math(displaystyle int_{0}^{infty} e^{-x}L_{n}(x)L_{m}(x),dx=delta_{nm} )]
여기서 [math(delta_{nm})]은 크로네커 델타이다.
[math(n neq m)]일 때를 증명하기 위해 [math(L_{n}(x))]와 [math(L_{m}(x))]가 만족시키는 방정식에 각각 [math(e^{-x}L_{m}(x))], [math(e^{-x}L_{n}(x))]을 각각 곱하여 빼자.
[math(displaystyle begin{aligned} e^{-x}L_{m}(x)left[ x frac{d^{2}L_{n}(x)}{dx^{2}}+(1-x)frac{dL_{n}(x)}{dx} right]- e^{-x}L_{n}(x)left[ x frac{d^{2}L_{m}(x)}{dx^{2}}+(1-x)frac{dL_{m}(x)}{dx} right]+(n-m)e^{-x}L_{n}(x)L_{m}(x)&=0 \ frac{d}{dx}left[ xe^{-x} left( frac{dL_{n}(x)}{dx}L_{m}(x)-L_{n}(x)frac{dL_{m}(x)}{dx} right) right]+(n-m)e^{-x}L_{n}(x)L_{m}(x)&=0 end{aligned} )]
이것을 [math([0,, infty))]에 대해 적분하면,
[math(displaystyle left[ xe^{-x} left( frac{dL_{n}(x)}{dx}L_{m}(x)-L_{n}(x)frac{dL_{m}(x)}{dx} right) right]_{0}^{infty}+(n-m) int_{0}^{infty} e^{-x}L_{n}(x)L_{m}(x)=0 )]
이고, 좌변의 제 1항은 [math(displaystyle lim_{xto infty} e^{-x}=0)]임을 참고하면, 0이 되고, [math(n neq m)]인 상황을 다루고 있음을 기억하면,
[math(displaystyle int_{0}^{infty} e^{-x}L_{n}(x)L_{m}(x)=0 quad (n neq m) )]
이 성립함을 알 수 있다.
[math(n=m)]인 경우를 증명하게 위해 다음의 적분
[math(displaystyle int_{0}^{infty} e^{-x}[L_{n}(x) ]^{2},dx equiv C_{n} )]
를 고려하자. 이때, 라게르 함수의 재귀 관계를 이용하면,
[math(displaystyle begin{aligned} C_{n}&=int_{0}^{infty} e^{-x}[L_{n}(x) ]^{2},dx \
&=int_{0}^{infty} frac{1}{n}e^{-x}L_{n}(x)[(2n-1+x)L_{n-1}(x)+(n-1)L_{n-2}(x) ] ,dx \ &=int_{0}^{infty} frac{1}{n}e^{-x}L_{n}(x)[(2n+1+x)L_{n-1}(x)-2nL_{n-1}(x) ] ,dx \ &=int_{0}^{infty} frac{1}{n} e^{-x} [(n+1)L_{n+1}(x)+nL_{n-1}(x) ] L_{n-1}(x) ,dx \ &=int_{0}^{infty} e^{-x} [ L_{n-1}(x) ]^{2} ,dx \ &=C_{n-1} end{aligned} )]
이때, [math(C_{0})]를 직접 구하면,
[math(displaystyle C_{0}=int_{0}^{infty} e^{-x},dx=1 )]
이상에서 [math(C_{n}=1)]임을 얻고,
[math(displaystyle int_{0}^{infty} e^{-x}[L_{n}(x) ]^{2},dx=1 quad (n=m))]
임을 얻는다.
3.6.1. 푸리에-라게르 급수
푸리에 급수로 주기 [math([0,,L])]인 함수 [math(f(x))]를 해당 구간에서 직교하는 삼각함수를 이용하여
[math(displaystyle f(x)=sum_{n=0}^{infty} a_{n} sin{frac{npi x}{L}}+b_{n} cos{frac{n pi x}{L}} )]
로 전개할 수 있었으며, 각 계수는 이들의 함수의 직교성으로 구할 수 있었다.
유사한 방법으로 이 베셀 함수의 경우에도 구간 [math([0,,infty))]에 있는 함수를
[math(displaystyle f(x)=sum_{n=0}^{infty} a_{n} L_{n}(x) )]
의 형태로 전개할 수 있는데 이것을 푸리에-라게르 급수(Fourier-Laguerre series)라 한다.
각 계수를 구하기 위해 양변에 [math(e^{-x}L_{m}(x))]를 곱한 뒤 구간 [math([0,,infty))]에 대하여 적분하자.
[math(displaystyle begin{aligned} int_{0}^{infty} e^{-x} f(x) L_{m}(x) ,dx&=sum_{n=0}^{infty} a_{n} int_{0}^{infty} e^{-x} L_{n}(x) L_{m}(x) \ &=sum_{n=0}^{infty} a_{n} delta_{nm} \ &=a_{m} end{aligned} )]
이상에서
[math(displaystyle a_{n}=int_{0}^{infty} e^{-x} f(x) L_{n}(x) ,dx )]
임을 얻는다.
[math(displaystyle f(x)=sum_{n=0}^{infty} a_{n} sin{frac{npi x}{L}}+b_{n} cos{frac{n pi x}{L}} )]
로 전개할 수 있었으며, 각 계수는 이들의 함수의 직교성으로 구할 수 있었다.
유사한 방법으로 이 베셀 함수의 경우에도 구간 [math([0,,infty))]에 있는 함수를
[math(displaystyle f(x)=sum_{n=0}^{infty} a_{n} L_{n}(x) )]
의 형태로 전개할 수 있는데 이것을 푸리에-라게르 급수(Fourier-Laguerre series)라 한다.
각 계수를 구하기 위해 양변에 [math(e^{-x}L_{m}(x))]를 곱한 뒤 구간 [math([0,,infty))]에 대하여 적분하자.
[math(displaystyle begin{aligned} int_{0}^{infty} e^{-x} f(x) L_{m}(x) ,dx&=sum_{n=0}^{infty} a_{n} int_{0}^{infty} e^{-x} L_{n}(x) L_{m}(x) \ &=sum_{n=0}^{infty} a_{n} delta_{nm} \ &=a_{m} end{aligned} )]
이상에서
[math(displaystyle a_{n}=int_{0}^{infty} e^{-x} f(x) L_{n}(x) ,dx )]
임을 얻는다.
4. 버금 라게르 함수
버금 라게르 함수(Associated Laguerre function)는 다음의 미분 방정식
[math(displaystyle xfrac{dy^{2}}{dx^{2}}+(k+1-x)frac{dy}{dx}+ny=0 )]
을 만족하는 함수이며, 기호로는 [math(y(x)=L_{n}^{k}(x))]로 표기하며,
[math(displaystyle L_{n}^{k}(x)=sum_{m=0}^{n}(-1)^{m} frac{(n+k)!}{(n-m)!(k+m)!m!}x^{m} )]
이다. 라게르 함수와
[math(displaystyle L_{n}^{k}(x)=(-1)^{k} frac{d^{k}L_{n+k}(x)}{dx^{k}} )]
의 관계가 있으며, 이 함수에 대한 로드리게스 공식은
[math(displaystyle L_{n}^{k}(x)=frac{x^{-k}e^{x}}{n!} frac{d^{n}}{dx^{n}}(x^{n+k}e^{-x}) )]
으로 주어진다.
이 함수 또한, 구간 [math([0,,infty))]에서 직교성을 갖고 있으며, 가중 함수 [math(x^{k}e^{-x})]에 대해선
[math(displaystyle int_{0}^{infty} x^{k}e^{-x} L_{n}^{k}(x)L_{m}^{k}(x),dx=frac{(n+k)!}{n!} delta_{nm} )]
가중 함수 [math(x^{k+1}e^{-x})]에 대해선
[math(displaystyle int_{0}^{infty} x^{k+1}e^{-x} L_{n}^{k}(x)L_{m}^{k}(x),dx=(2n+k+1)frac{(n+k)!}{n!} delta_{nm} )]
으로 주어진다.
버금 라게르 함수에 대한 재귀 관계는
[math(displaystyle xfrac{dy^{2}}{dx^{2}}+(k+1-x)frac{dy}{dx}+ny=0 )]
을 만족하는 함수이며, 기호로는 [math(y(x)=L_{n}^{k}(x))]로 표기하며,
[math(displaystyle L_{n}^{k}(x)=sum_{m=0}^{n}(-1)^{m} frac{(n+k)!}{(n-m)!(k+m)!m!}x^{m} )]
이다. 라게르 함수와
[math(displaystyle L_{n}^{k}(x)=(-1)^{k} frac{d^{k}L_{n+k}(x)}{dx^{k}} )]
의 관계가 있으며, 이 함수에 대한 로드리게스 공식은
[math(displaystyle L_{n}^{k}(x)=frac{x^{-k}e^{x}}{n!} frac{d^{n}}{dx^{n}}(x^{n+k}e^{-x}) )]
으로 주어진다.
이 함수 또한, 구간 [math([0,,infty))]에서 직교성을 갖고 있으며, 가중 함수 [math(x^{k}e^{-x})]에 대해선
[math(displaystyle int_{0}^{infty} x^{k}e^{-x} L_{n}^{k}(x)L_{m}^{k}(x),dx=frac{(n+k)!}{n!} delta_{nm} )]
가중 함수 [math(x^{k+1}e^{-x})]에 대해선
[math(displaystyle int_{0}^{infty} x^{k+1}e^{-x} L_{n}^{k}(x)L_{m}^{k}(x),dx=(2n+k+1)frac{(n+k)!}{n!} delta_{nm} )]
으로 주어진다.
버금 라게르 함수에 대한 재귀 관계는
- [math(displaystyle (n+1)L_{n+1}^{k}(x)-(2n+k+1-x)L_{n}^{k}(x)+(n+k)L_{n-1}^{k}(x)=0)]
- [math(displaystyle x frac{dL_{n}^{k}(x)}{dx}-nL_{n}^{k}(x)+(n+k)L_{n-1}^{k}(x)=0)]
이다.
5. 활용
5.1. 물리학적 활용
5.1.1. 수소 원자 모형
6. 관련 문서
[1] 정의식에서 유도할 수 있다.