베셀 함수(Bessel's function) 는 베셀의 미분방정식
x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + ( x 2 − n 2 ) y = 0 ( n ≥ 0 , n ∈ R ) \displaystyle x^{2}\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}+x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+(x^2-n^{2})y=0 \quad (n \geq 0,\,n \in\mathbb{R}) x 2 d x 2 d 2 y + x d x d y + ( x 2 − n 2 ) y = 0 ( n ≥ 0 , n ∈ R ) 을 만족시키는 함수로, 흔히 헬름홀츠 방정식을 원통 좌표계에서
변수분리 할 때 반지름 성분에서 튀어나오게 된다.
이 함수는 베르누이(D. Bernoulli; 1700 - 1782)가 처음 발견하였으나 수학적으로 정립한 것이 베셀(F. W. Bessel; 1784 - 1846)이기 때문에 그의 이름이 붙었다.
이 문서는 초급적인 방법으로 베셀 함수를 다룬다. 심층적인 정보는
이곳(영어) 을 참조하라.
위 미분방정식을 다시 쓰면
d 2 y d x 2 + 1 x d y d x + x 2 − n 2 x 2 y = 0 \displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}+\frac{1}{x} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+\frac{x^{2}-n^{2}}{x^{2}}y=0 d x 2 d 2 y + x 1 d x d y + x 2 x 2 − n 2 y = 0 이 되므로
x = 0 x=0 x = 0 에서 정칙 특이점을 갖는다. 따라서 이 미분방정식은 프로베니우스의 해법으로 풀 수 있으며, 해의 모양을
y ( x ) = ∑ m = 0 ∞ a m x m + r \displaystyle y(x)=\sum_{m=0}^{\infty} a_{m}x^{m+r} y ( x ) = m = 0 ∑ ∞ a m x m + r 으로 쓸 수 있다. 이것을 방정식에 대입하면,
∑ m = 0 ∞ a m ( m + r ) ( m + r − 1 ) x m + r + ∑ m = 0 ∞ a m ( m + r ) x m + r + ∑ m = 0 ∞ a m x m + r + 2 − ∑ m = 0 ∞ a m n 2 x m + r = 0 \displaystyle \sum_{m=0}^{\infty} a_{m}(m+r)(m+r-1) x^{m+r}+\sum_{m=0}^{\infty} a_{m} (m+r) x^{m+r}+\sum_{m=0}^{\infty} a_{m}x^{m+r+2}-\sum_{m=0}^{\infty} a_{m}n^{2}x^{m+r}=0 m = 0 ∑ ∞ a m ( m + r ) ( m + r − 1 ) x m + r + m = 0 ∑ ∞ a m ( m + r ) x m + r + m = 0 ∑ ∞ a m x m + r + 2 − m = 0 ∑ ∞ a m n 2 x m + r = 0 이 되고, 최저차항의 계수를 비교함으로써 다음을 얻는다.
a 0 [ r ( r − 1 ) + r − n 2 ] = 0 \displaystyle a_{0}[r(r-1)+r-n^{2}]=0 a 0 [ r ( r − 1 ) + r − n 2 ] = 0 위 식이 일반적으로 성립하려면
r = ± n r= \pm n r = ± n 이어야 한다. 원래 프로베니우스의 해법을 적용할 때는 이
r r r 값들의 차의 유형을 조사해야 하나, 일단 이를 나중으로 미루고 우선 더 큰 값인
r = n r=n r = n 을 대입하여 식을 정리하면 계수에 대한 점화식을 얻을 수 있다.
∑ m = 0 ∞ a m m ( m + 2 n ) x m + n + ∑ m = 2 ∞ a m − 2 x m + n = 0 \displaystyle \sum_{m=0}^{\infty} a_{m} m(m+2n)x^{m+n}+\sum_{m=2}^{\infty} a_{m-2} x^{m+n}=0 m = 0 ∑ ∞ a m m ( m + 2 n ) x m + n + m = 2 ∑ ∞ a m − 2 x m + n = 0 이에
a n a_{n} a n 에 대한 점화식을 얻는다.
a m + 2 = − 1 ( m + 2 ) ( m + 2 n + 2 ) a m \displaystyle a_{m+2}=-\frac{1}{(m+2)(m+2n+2)}a_{m} a m + 2 = − ( m + 2 ) ( m + 2 n + 2 ) 1 a m 그러면
a 1 a_{1} a 1 에 대해선
a 1 ( 1 + 2 n ) = 0 \displaystyle a_{1}(1+2n) =0 a 1 ( 1 + 2 n ) = 0 이 되고,
n ≥ 0 n \geq 0 n ≥ 0 임을 고려하면
a 1 = 0 a_{1}=0 a 1 = 0 을 얻는다. 따라서 우리는 홀수 차수 항의 계수는 고려할 필요 없이 짝수 차수 항만 고려하면 되므로
m : = 2 s ( s = 0 , 1 , 2 , 3 , ⋯ ) \displaystyle m:= 2s \quad (s=0,\,1,\,2,\,3,\, \cdots) m := 2 s ( s = 0 , 1 , 2 , 3 , ⋯ ) 로 쓰자. 그러면 위 점화식은
a 2 s + 2 = − 1 2 2 ( s + 1 ) ( s + n + 1 ) a 2 s \displaystyle a_{2s+2}=-\frac{1}{2^{2}(s+1)(s+n+1)}a_{2s} a 2 s + 2 = − 2 2 ( s + 1 ) ( s + n + 1 ) 1 a 2 s 로 쓸 수 있고, 따라서 짝수차 계수에 대한 일반항
a 2 s = ( − 1 ) s 2 2 s s ! ⋅ ( s + n ) ( s + n − 1 ) ( s + n − 2 ) ⋯ ( n + 1 ) a 0 \displaystyle a_{2s}=\frac{(-1)^{s}}{2^{2s}s!\cdot(s+n)(s+n-1)(s+n-2) \cdots (n+1) }a_{0} a 2 s = 2 2 s s ! ⋅ ( s + n ) ( s + n − 1 ) ( s + n − 2 ) ⋯ ( n + 1 ) ( − 1 ) s a 0 을 얻는다. 여기서
감마 함수 의 성질
Γ ( t + 1 ) = t Γ ( t ) \Gamma(t+1)=t\Gamma(t) Γ ( t + 1 ) = t Γ ( t ) 를 사용하면
Γ ( s + n + 1 ) = ( s + n ) ( s + n − 1 ) ( s + n − 2 ) ⋯ ( n + 1 ) Γ ( n + 1 ) ∴ Γ ( s + n + 1 ) Γ ( n + 1 ) = ( s + n ) ( s + n − 1 ) ( s + n − 2 ) ⋯ ( n + 1 ) \displaystyle \begin{aligned} \Gamma(s+n+1)&= (s+n)(s+n-1)(s+n-2) \cdots (n+1) \Gamma(n+1) \\ \therefore \frac{\Gamma(s+n+1)}{\Gamma(n+1)}&=(s+n)(s+n-1)(s+n-2) \cdots (n+1) \end{aligned} Γ ( s + n + 1 ) ∴ Γ ( n + 1 ) Γ ( s + n + 1 ) = ( s + n ) ( s + n − 1 ) ( s + n − 2 ) ⋯ ( n + 1 ) Γ ( n + 1 ) = ( s + n ) ( s + n − 1 ) ( s + n − 2 ) ⋯ ( n + 1 ) 을 얻는다. 따라서 위 일반항에 대입하면 다음과 같다.
a 2 s = ( − 1 ) s Γ ( n + 1 ) 2 2 s s ! ⋅ Γ ( s + n + 1 ) a 0 \displaystyle a_{2s}=\frac{(-1)^{s} \Gamma(n+1)}{2^{2s}s!\cdot\Gamma(s+n+1) }a_{0} a 2 s = 2 2 s s ! ⋅ Γ ( s + n + 1 ) ( − 1 ) s Γ ( n + 1 ) a 0 이때
a 0 = [ 2 n Γ ( n + 1 ) ] − 1 \displaystyle a_{0}=[{2^{n}\Gamma(n+1)}]^{-1} a 0 = [ 2 n Γ ( n + 1 ) ] − 1 으로 택하면 다음을 얻는다.
y ( x ) = ∑ s = 0 ∞ ( − 1 ) s s ! ⋅ Γ ( s + n + 1 ) ( x 2 ) 2 s + n \displaystyle y(x)=\sum_{s=0}^{\infty} \frac{(-1)^{s}}{s!\cdot\Gamma(s+n+1) } \left( \frac{x}{2} \right)^{2s+n} y ( x ) = s = 0 ∑ ∞ s ! ⋅ Γ ( s + n + 1 ) ( − 1 ) s ( 2 x ) 2 s + n 으로 쓸 수 있는데, 이것을
y ( x ) : = J n ( x ) y(x) := J_{n}(x) y ( x ) := J n ( x ) 로 정의하고, 이를
n \boldsymbol{n} n n \boldsymbol{n} n 라 한다. 참고로
n n n 이 정수일 때 다음과 같이 적분 꼴로 나타낼 수 있다.
J n ( x ) = 1 π ∫ 0 π cos ( x sin θ − n θ ) d θ \displaystyle J_{n} (x) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \cos (x \sin \theta - n\theta)\, \mathrm{d}\theta J n ( x ) = π 1 ∫ 0 π cos ( x sin θ − n θ ) d θ 또한,
n = 1 / 2 n=1/2 n = 1/2 일 때는
J 1 / 2 ( x ) = 2 π x sin x \displaystyle J_{1/2}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\sin{x} J 1/2 ( x ) = π x 2 sin x 임을 쉽게 증명할 수 있다.
n = k / 2 ( k = 1 , 2 , 3 , ⋯ ) n=k/2\,(k=1,\,2,\,3,\,\cdots) n = k /2 ( k = 1 , 2 , 3 , ⋯ ) 일 때의 제1종 베셀 함수는 아래의
재귀 관계 문단의 관계식을 이용하면 구할 수 있다.
다시 본론으로 돌아오자. 베셀의 미분방정식은 2계 선형 상미분방정식이기 때문에 선형 독립인 해는 2개이다. 따라서
r = − n r=-n r = − n 일 때도 동일한 과정을 거치면
J − n ( x ) = ∑ s = N ∞ ( − 1 ) s s ! ⋅ Γ ( s − n + 1 ) ( x 2 ) 2 s − n \displaystyle J_{-n}(x)=\sum_{s=N}^{\infty} \frac{(-1)^{s}}{s!\cdot\Gamma(s-n+1) } \left( \frac{x}{2} \right)^{2s-n} J − n ( x ) = s = N ∑ ∞ s ! ⋅ Γ ( s − n + 1 ) ( − 1 ) s ( 2 x ) 2 s − n 임을 구할 수 있다. 여기서
N N N 은
s − n + 1 > 0 s-n+1>0 s − n + 1 > 0 을 만족시키는 최소의
s s s 값이다.
− n = − 1 / 2 -n=-1/2 − n = − 1/2 일 때는
J − 1 / 2 ( x ) = 2 π x cos x \displaystyle J_{-1/2}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos{x} J − 1/2 ( x ) = π x 2 cos x 임을 쉽게 증명할 수 있으며,
− n = − k / 2 ( k = 1 , 2 , 3 , ⋯ ) -n=-k/2\,(k=1,\,2,\,3,\,\cdots) − n = − k /2 ( k = 1 , 2 , 3 , ⋯ ) 일 때의 제1종 베셀 함수는 마찬가지로
재귀 관계 문단을 참고하라.
따라서 베셀 미분방정식의 일반해를
y ( x ) = c 1 J n ( x ) + c 2 J − n ( x ) \displaystyle y(x)=c_{1}J_{n}(x)+c_{2}J_{-n}(x) y ( x ) = c 1 J n ( x ) + c 2 J − n ( x ) 로 쓸 수 있다.
단, n \boldsymbol{n} n 만 위와 같이 표현 가능하다. 왜냐하면
n n n 이 정수일 경우
N = n N=n N = n 이 되고
J − n ( x ) = ∑ s = N ∞ ( − 1 ) s s ! ⋅ Γ ( s − n + 1 ) ( x 2 ) 2 s − n = ∑ s = n ∞ ( − 1 ) s s ! ⋅ Γ ( s − n + 1 ) ( x 2 ) 2 s − n = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k + n ( k + n ) ! ⋅ Γ ( k + 1 ) ( x 2 ) 2 k + n = ( − 1 ) n ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k k ! ⋅ Γ ( k + n + 1 ) ( x 2 ) 2 k + n = ( − 1 ) n J n ( x ) \displaystyle \begin{aligned} J_{-n}(x)&=\sum_{s=N}^{\infty}\frac{(-1)^{s}}{s!\cdot\Gamma(s-n+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2s-n}\\
&=\sum_{s=n}^{\infty}\frac{(-1)^{s}}{s!\cdot\Gamma(s-n+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2s-n}\\
&=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k+n}}{(k+n)!\cdot\Gamma(k+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+n}\\
&=(-1)^{n}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{k!\cdot\Gamma(k+n+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+n}\\
&=(-1)^{n}J_{n}(x) \end{aligned} J − n ( x ) = s = N ∑ ∞ s ! ⋅ Γ ( s − n + 1 ) ( − 1 ) s ( 2 x ) 2 s − n = s = n ∑ ∞ s ! ⋅ Γ ( s − n + 1 ) ( − 1 ) s ( 2 x ) 2 s − n = k = 0 ∑ ∞ ( k + n )! ⋅ Γ ( k + 1 ) ( − 1 ) k + n ( 2 x ) 2 k + n = ( − 1 ) n k = 0 ∑ ∞ k ! ⋅ Γ ( k + n + 1 ) ( − 1 ) k ( 2 x ) 2 k + n = ( − 1 ) n J n ( x ) 가 되어 더 이상
J − n ( x ) J_{-n}(x) J − n ( x ) 가 선형 독립인 해가 아니기 때문이다. 즉,
n n n 이 정수일 때는
J − n ( x ) J_{-n}(x) J − n ( x ) 를 두 번째 해로 쓸 수 없다. 그래서 수학에서는
Y n ( x ) = cos ( n π ) J n ( x ) − J − n ( x ) sin ( n π ) \displaystyle Y_{n}(x)= \frac{ \cos{(n \pi)} J_{n}(x) -J_{-n}(x)}{\sin{(n \pi})} Y n ( x ) = sin ( nπ ) cos ( nπ ) J n ( x ) − J − n ( x ) 라는
n \boldsymbol{n} n n \boldsymbol{n} n 혹은
n \boldsymbol{n} n n \boldsymbol{n} n 를 정의하였다. 이 함수가 베셀 미분방정식의 두 번째 해가 됨이 알려져 있지만 증명이 만만치 않기 때문에 이 문서에서는 결과만을 기입했다.
n n n 이 정수일 때는 위 식이
Y n ( x ) = 0 / 0 Y_{n}(x)=0/0 Y n ( x ) = 0/0 꼴을 갖기 때문에 아래의 극한
Y n ( x ) = lim ν → n cos ( ν π ) J ν ( x ) − J − ν ( x ) sin ( ν π ) \displaystyle Y_{n}(x)=\lim_{\nu\to n}\frac{\cos{(\nu\pi)}J_{\nu}(x)-J_{-\nu}(x)}{\sin{(\nu\pi)}} Y n ( x ) = ν → n lim sin ( ν π ) cos ( ν π ) J ν ( x ) − J − ν ( x ) 으로 정의한다는 것에 유의하라.
n n n 이 정수인 경우,
복잡한 과정 을 통해 제2종 베셀 함수를 아래와 같이 멱급수 꼴로 나타낼 수 있다.
Y n ( x ) = 2 π J n ( x ) ln ( x 2 ) − 1 π ∑ s = 0 n − 1 Γ ( n − s ) s ! ( x 2 ) 2 s − n − 1 π ∑ s = 0 ∞ ( − 1 ) s ψ ( s + 1 ) + ψ ( s + n + 1 ) s ! ⋅ Γ ( s + n + 1 ) ( x 2 ) 2 s + n \displaystyle Y_{n}(x)=\frac{2}{\pi}J_{n}(x)\ln\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{\pi}\sum_{s=0}^{n-1}\frac{\Gamma(n-s)}{s!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2s-n}-\frac{1}{\pi}\sum_{s=0}^{\infty}(-1)^{s}\frac{\psi(s+1)+\psi(s+n+1)}{s!\cdot\Gamma(s+n+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2s+n} Y n ( x ) = π 2 J n ( x ) ln ( 2 x ) − π 1 s = 0 ∑ n − 1 s ! Γ ( n − s ) ( 2 x ) 2 s − n − π 1 s = 0 ∑ ∞ ( − 1 ) s s ! ⋅ Γ ( s + n + 1 ) ψ ( s + 1 ) + ψ ( s + n + 1 ) ( 2 x ) 2 s + n 여기서
ψ \psi ψ 는
디감마함수 이다. 제2종 베셀 함수 또한
n n n 이 정수일 때 다음과 같이 적분 꼴로 나타낼 수 있다.
Y n ( x ) = 1 π ∫ 0 π cos ( x sin θ − n θ ) d θ − 1 π ∫ 0 ∞ ( e n t + ( − 1 ) n e − n t ) e − x sinh t d t \displaystyle Y_{n}(x)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\cos(x\sin\theta-n\theta)\,\mathrm{d}\theta-\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}(e^{nt}+(-1)^{n}e^{-nt})e^{-x\sinh{t}}\,\mathrm{d}t Y n ( x ) = π 1 ∫ 0 π cos ( x sin θ − n θ ) d θ − π 1 ∫ 0 ∞ ( e n t + ( − 1 ) n e − n t ) e − x s i n h t d t 따라서 베셀 미분방정식의 일반적인 해는
n n n 의 종류를 불문하고 다음과 같다.
y ( x ) = c 1 J n ( x ) + c 2 Y n ( x ) \displaystyle y(x)=c_{1}J_{n}(x)+c_{2}Y_{n}(x) y ( x ) = c 1 J n ( x ) + c 2 Y n ( x ) 가장 많이 사용되는 제1종 베셀 함수만을 기입하였다. 이 문단부터는 '베셀 함수'는 제1종 베셀 함수
J n ( x ) J_{n}(x) J n ( x ) 를, '노이먼 함수'는 제2종 베셀 함수
Y n ( x ) Y_{n}(x) Y n ( x ) 를 지칭한다.
베셀의 미분방정식
x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + ( x 2 − n 2 ) y = 0 \displaystyle x^{2} \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}+x \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+(x^2-n^{2})y=0 x 2 d x 2 d 2 y + x d x d y + ( x 2 − n 2 ) y = 0 이때,
x d d x ( x d y d x ) = x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x \displaystyle x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)=x^{2} \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}+x \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} x d x d ( x d x d y ) = x 2 d x 2 d 2 y + x d x d y 의 사실을 이용하면 아래와 같은 꼴로 고칠 수 있다.
x d d x ( x d y d x ) + ( x 2 − n 2 ) y = 0 \displaystyle x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right)+(x^2-n^{2})y=0 x d x d ( x d x d y ) + ( x 2 − n 2 ) y = 0 d 2 y d x 2 + 1 − 2 a x d y d x + [ ( b c x c − 1 ) 2 + a 2 − n 2 c 2 x 2 ] y = 0 \displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}+\frac{1-2a}{x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+\left[ (bcx^{c-1})^{2}+\frac{a^{2}-n^{2}c^{2}}{x^{2}} \right]y=0 d x 2 d 2 y + x 1 − 2 a d x d y + [ ( b c x c − 1 ) 2 + x 2 a 2 − n 2 c 2 ] y = 0 꼴의 미분방정식은
y = A 1 x a J n ( b x c ) + A 2 x a Y n ( b x c ) \displaystyle y=A_{1}x^{a}J_{n}(bx^{c})+A_{2}x^{a}Y_{n}(bx^{c}) y = A 1 x a J n ( b x c ) + A 2 x a Y n ( b x c ) 를 해로 갖는다.
a ∼ c a \sim c a ∼ c 는 상수이다. 자세한 증명은 생략하며,
y = u x a y=ux^{a} y = u x a ,
z = b x c z=bx^{c} z = b x c 의 치환을 통해
u u u ,
z z z 의 베셀 미분방정식으로 만듦으로써 증명할 수 있다.
d 2 y d x 2 − 2 a d y d x + [ ( b c e c x ) 2 + a 2 − n 2 c 2 ] y = 0 \displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}-2a\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+[(bce^{cx})^{2}+a^{2}-n^{2}c^{2}]y=0 d x 2 d 2 y − 2 a d x d y + [( b c e c x ) 2 + a 2 − n 2 c 2 ] y = 0 꼴의 미분방정식은
y = A 1 e a x J n ( b e c x ) + A 2 e a x Y n ( b e c x ) \displaystyle y=A_{1}e^{ax}J_{n}(be^{cx})+A_{2}e^{ax}Y_{n}(be^{cx}) y = A 1 e a x J n ( b e c x ) + A 2 e a x Y n ( b e c x ) 을 해로 갖는다.
a ∼ c a \sim c a ∼ c 는 상수이다. 자세한 증명은 생략하며,
y = u e a x y=ue^{ax} y = u e a x ,
z = b e c x z=be^{cx} z = b e c x 의 치환을 통해
u u u ,
z z z 의 베셀 미분방정식으로 만듦으로써 증명할 수 있다.
베셀 함수의 영점은
J n ( x ) = 0 J_{n}(x)=0 J n ( x ) = 0 혹은
Y n ( x ) = 0 Y_{n}(x)=0 Y n ( x ) = 0 을 만족시키는
x x x 값이다. 그래프에서 볼 수 있듯이 베셀 함수의 영점은 무수히 많으나, 이 값을 해석적으로 구하기는 어렵다. 따라서 이를 다루는 대부분의 교재에서는 몇몇의 베셀 함수의 영점의 근삿값을 구해서 표로 정리한다.
우리는 이 영점들을
x : = j n , k x := j_{n,k} x := j n , k ,
x : = y n , k x := y_{n,k} x := y n , k 로 정의할 것이며, 각각
J n ( x ) J_{n}(x) J n ( x ) ,
Y n ( x ) Y_{n}(x) Y n ( x ) 의
k k k 번째 영점이다.
다음은 베셀 함수의 몇몇 영점들을 나타낸 것이다.
j n , 1 \boldsymbol{j_{n,1}} j n , 1 j n , 2 \boldsymbol{j_{n,2}} j n , 2 j n , 3 \boldsymbol{j_{n,3}} j n , 3 j n , 4 \boldsymbol{j_{n,4}} j n , 4 j n , 5 \boldsymbol{j_{n,5}} j n , 5 1
2.4048
5.5201
8.6537
11.7915
14.9309
2
3.8317
7.0156
10.1735
13.3237
16.4706
3
6.3802
9.7610
13.0152
16.2235
19.4094
4
7.5883
11.0647
14.3725
17.6160
20.8269
5
8.7715
12.3386
15.7002
18.9801
22.2178
이외의 베셀 함수의 영점은
이곳 을, 노이먼 함수의 영점은
이곳 을 참고하라. 다만,
n n n ,
k k k 를 각각 대입해야 값이 보인다.
베셀 함수의 정의식을 사용하여 다음을 얻을 수 있다. (혹은 생성 함수를 통하여도 증명할 수 있다.)
d d x [ x n J n ( x ) ] = x n J n − 1 ( x ) ⇔ ∫ x n J n − 1 ( x ) d x = x n J n ( x ) + C \displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[x^{n}J_{n}(x) ]=x^{n}J_{n-1}(x) \Leftrightarrow \int x^{n}J_{n-1}(x)\,\mathrm{d}x=x^{n}J_{n}(x)+C d x d [ x n J n ( x )] = x n J n − 1 ( x ) ⇔ ∫ x n J n − 1 ( x ) d x = x n J n ( x ) + C d d x [ x − n J n ( x ) ] = − x − n J n + 1 ( x ) ⇔ ∫ x n J n + 1 ( x ) d x = − x n J n ( x ) + C \displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[x^{-n}J_{n}(x) ]=-x^{-n}J_{n+1}(x) \Leftrightarrow \int x^{n}J_{n+1}(x)\,\mathrm{d}x=-x^{n}J_{n}(x)+C d x d [ x − n J n ( x )] = − x − n J n + 1 ( x ) ⇔ ∫ x n J n + 1 ( x ) d x = − x n J n ( x ) + C
n J n ( x ) + x J n ′ ( x ) = x J n − 1 ( x ) \displaystyle nJ_{n}(x)+xJ_{n}'(x)=xJ_{n-1}(x) n J n ( x ) + x J n ′ ( x ) = x J n − 1 ( x ) n J n ( x ) − x J n ′ ( x ) = x J n + 1 ( x ) \displaystyle nJ_{n}(x)-xJ_{n}'(x)=xJ_{n+1}(x) n J n ( x ) − x J n ′ ( x ) = x J n + 1 ( x )
J n − 1 ( x ) + J n + 1 ( x ) = 2 n x J n ( x ) \displaystyle J_{n-1}(x)+J_{n+1}(x)=\frac{2n }{x}J_{n}(x) J n − 1 ( x ) + J n + 1 ( x ) = x 2 n J n ( x ) J n − 1 ( x ) − J n + 1 ( x ) = 2 J n ′ ( x ) \displaystyle J_{n-1}(x)-J_{n+1}(x)=2J_{n}'(x) J n − 1 ( x ) − J n + 1 ( x ) = 2 J n ′ ( x ) J n ′ ( x ) = − n x J n ( x ) + J n − 1 ( x ) \displaystyle \begin{aligned} J_{n}'(x)&=-\frac{n}{x}J_{n}(x)+J_{n-1}(x) \end{aligned} J n ′ ( x ) = − x n J n ( x ) + J n − 1 ( x ) J n ′ ( x ) = n x J n ( x ) − J n + 1 ( x ) \displaystyle \begin{aligned} J_{n}'(x)= \frac{n}{x}J_{n}(x)-J_{n+1}(x) \end{aligned} J n ′ ( x ) = x n J n ( x ) − J n + 1 ( x )
J n ( x ) J − ( n − 1 ) ( x ) + J − n ( x ) J n − 1 ( x ) = 2 sin ( n π ) π x \displaystyle J_{n}(x)J_{-(n-1)}(x)+J_{-n}(x)J_{n-1}(x)=\frac{2 \sin{(n \pi)}}{\pi x} J n ( x ) J − ( n − 1 ) ( x ) + J − n ( x ) J n − 1 ( x ) = π x 2 sin ( nπ ) J n ( x ) J − ( n + 1 ) ( x ) + J − n ( x ) J n + 1 ( x ) = − 2 sin ( n π ) π x \displaystyle J_{n}(x)J_{-(n+1)}(x)+J_{-n}(x)J_{n+1}(x)=-\frac{2 \sin{(n \pi)}}{\pi x} J n ( x ) J − ( n + 1 ) ( x ) + J − n ( x ) J n + 1 ( x ) = − π x 2 sin ( nπ ) J n ( x ) Y n ′ ( x ) − J n ′ ( x ) Y n ( x ) = 2 π x \displaystyle J_{n}(x)Y'_{n}(x)-J'_{n}(x)Y_{n}(x)=\frac{2}{\pi x} J n ( x ) Y n ′ ( x ) − J n ′ ( x ) Y n ( x ) = π x 2 J n ( x ) Y n + 1 ( x ) − J n + 1 ( x ) Y n ( x ) = − 2 π x \displaystyle J_{n}(x)Y_{n+1}(x)-J_{n+1}(x)Y_{n}(x)=-\frac{2}{\pi x} J n ( x ) Y n + 1 ( x ) − J n + 1 ( x ) Y n ( x ) = − π x 2 베셀 함수는 가중 함수(weight function)
f ( x ) = x f(x)=x f ( x ) = x 와의 구간
[ 0 , 1 ] [0,\,1] [ 0 , 1 ] 의 내적에 대하여 다음이 성립한다.
∫ 0 1 x J n ( j n , α x ) J n ( j n , β x ) d x = 1 2 J n ′ 2 ( j n , α ) δ α β \displaystyle \int_{0}^{1} x J_{n}(j_{n,\alpha}x) J_{n}(j_{n,\beta}x)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}J_{n}'^{2}(j_{n,\alpha})\delta_{\alpha \beta} ∫ 0 1 x J n ( j n , α x ) J n ( j n , β x ) d x = 2 1 J n ′ 2 ( j n , α ) δ α β 이때,
δ α β \delta_{\alpha \beta} δ α β 는
크로네커 델타 이고,
j k , m j_{k,m} j k , m 은
J k ( x ) J_{k}(x) J k ( x ) 의
m m m 번째 영점이다.
이를 증명해 보자.
u : = J n ( j n , α x ) u := J_{n}(j_{n,\alpha}x) u := J n ( j n , α x ) ,
v : = J n ( j n , β x ) v := J_{n}(j_{n,\beta}x) v := J n ( j n , β x ) (단,
α ≠ β \alpha \neq \beta α = β )는 각각 다음을 만족시킨다.
x d d x ( x d u d x ) + ( j n , α 2 x 2 − n 2 ) u = 0 x d d x ( x d v d x ) + ( j n , β 2 x 2 − n 2 ) v = 0 \displaystyle\begin{aligned} x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( x \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} \right)+(j_{n,\alpha}^{2}x^2-n^{2})u&=0 \\ x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( x \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x} \right)+(j_{n,\beta}^{2}x^2-n^{2})v&=0 \end{aligned} x d x d ( x d x d u ) + ( j n , α 2 x 2 − n 2 ) u x d x d ( x d x d v ) + ( j n , β 2 x 2 − n 2 ) v = 0 = 0 이때 위 식과 아래 식에 각각
v v v ,
u u u 를 곱하여 서로 뺀 뒤 정리해주면 다음과 같다.
v d d x ( x d u d x ) − u d d x ( x d v d x ) + ( j n , α 2 − j n , β 2 ) x u v = 0 d d x [ v x d u d x − u x d v d x ] + ( j n , α 2 − j n , β 2 ) x u v = 0 \displaystyle \begin{aligned} v\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( x \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} \right) -u \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( x \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x} \right)+ (j_{n,\alpha}^{2}-j_{n,\beta}^{2})xuv&=0 \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ vx \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}-ux \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x} \right] + (j_{n,\alpha}^{2}-j_{n,\beta}^{2})xuv&=0 \end{aligned} v d x d ( x d x d u ) − u d x d ( x d x d v ) + ( j n , α 2 − j n , β 2 ) xuv d x d [ v x d x d u − ux d x d v ] + ( j n , α 2 − j n , β 2 ) xuv = 0 = 0 양변을 구간
[ 0 , 1 ] [0,\,1] [ 0 , 1 ] 에 대하여 적분하면
[ v x d u d x − u x d v d x ] 0 1 + ( j n , α 2 − j n , β 2 ) ∫ 0 1 d x = 0 \displaystyle\left[ vx \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}-ux \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x} \right]_{0}^{1} + (j_{n,\alpha}^{2}-j_{n,\beta}^{2}) \int_{0}^{1}\,\mathrm{d}x=0 [ v x d x d u − ux d x d v ] 0 1 + ( j n , α 2 − j n , β 2 ) ∫ 0 1 d x = 0 이 된다.
u ( 1 ) = v ( 1 ) = 0 u(1)=v(1)=0 u ( 1 ) = v ( 1 ) = 0 일 때 좌변의 첫째 항은
0 0 0 이 되고,
α ≠ β \alpha \neq \beta α = β 이면 위 등식을 만족시키기 위해선 다음을 만족시켜야 한다.
∫ 0 1 x J n ( j n , α x ) J n ( j n , β x ) d x = 0 ( α ≠ β ) \displaystyle \int_{0}^{1} x J_{n}(j_{n,\alpha}x) J_{n}(j_{n,\beta}x)\,\mathrm{d}x=0 \quad (\alpha \neq \beta) ∫ 0 1 x J n ( j n , α x ) J n ( j n , β x ) d x = 0 ( α = β ) 이제
α = β \alpha=\beta α = β 인 경우를 증명하자. 다음의 적분
∫ 0 1 x J n ( j n , α x ) J n ( k x ) d x \displaystyle \int_{0}^{1} x J_{n}(j_{n,\alpha}x) J_{n}(kx)\,\mathrm{d}x ∫ 0 1 x J n ( j n , α x ) J n ( k x ) d x 을 고려하도록 하자. 중요한 것은, 이제
k k k 는 베셀 함수의 영점이 아닌 임의의 수라는 것이다. 위와 유사하게 베셀의 미분방정식을 이용하면
∫ 0 1 x J n ( j n , α x ) J n ( k x ) d x = − J n ( k ) j n , α J n ′ ( j n , α ) j n , α 2 − k 2 \displaystyle \int_{0}^{1} x J_{n}(j_{n,\alpha}x) J_{n}(kx)\,\mathrm{d}x=-\frac{J_{n}(k) j_{n,\alpha} J_{n}'(j_{n,\alpha})}{j_{n,\alpha}^{2} -k^{2}} ∫ 0 1 x J n ( j n , α x ) J n ( k x ) d x = − j n , α 2 − k 2 J n ( k ) j n , α J n ′ ( j n , α ) 의 결과가 나온다. 여기에 극한을 취하면 다음과 같다.
∫ 0 1 x J n 2 ( j n , α x ) d x = − lim k → j n , α J n ( k ) j n , α J n ′ ( j n , α ) j n , α 2 − k 2 \displaystyle \int_{0}^{1} x J_{n}^{2}(j_{n,\alpha}x)\mathrm{d}x=-\lim_{k \to j_{n,\alpha}}\frac{J_{n}(k) j_{n,\alpha} J_{n}'(j_{n,\alpha})}{j_{n,\alpha}^{2} -k^{2}} ∫ 0 1 x J n 2 ( j n , α x ) d x = − k → j n , α lim j n , α 2 − k 2 J n ( k ) j n , α J n ′ ( j n , α ) 위 극한은
0 / 0 0/0 0/0 이 되기 때문에
로피탈의 정리 를 사용해야 한다.
− lim k → j n , α J n ( k ) j n , α J n ′ ( j n , α ) j n , α 2 − k 2 = l ′ H o ^ p i t a l − lim k → j n , α J n ′ ( k ) j n , α J n ′ ( j n , α ) − 2 k = 1 2 J n ′ 2 ( j n , α ) \displaystyle -\lim_{k \to j_{n,\alpha}}\frac{J_{n}(k) j_{n,\alpha} J_{n}'(j_{n,\alpha})}{j_{n,\alpha}^{2} -k^{2}}\overset{\mathsf{l'H\hat{o}pital}}{=}-\lim_{k \to j_{n,\alpha}} \frac{J_{n}'(k)j_{n,\alpha}J_{n}'(j_{n,\alpha})}{-2k}=\frac{1}{2}J_{n}'^{2}(j_{n,\alpha}) − k → j n , α lim j n , α 2 − k 2 J n ( k ) j n , α J n ′ ( j n , α ) = l ′ H o ^ pital − k → j n , α lim − 2 k J n ′ ( k ) j n , α J n ′ ( j n , α ) = 2 1 J n ′ 2 ( j n , α ) 그런데 베셀 함수의 성질 중
n J n ( j n , α x ) − j n , α x J n ′ ( j n , α x ) = j n , α x J n + 1 ( j n , α x ) \displaystyle nJ_{n}(j_{n,\alpha}x)-j_{n,\alpha} xJ_{n}'(j_{n,\alpha}x)=j_{n,\alpha}xJ_{n+1}(j_{n,\alpha}x) n J n ( j n , α x ) − j n , α x J n ′ ( j n , α x ) = j n , α x J n + 1 ( j n , α x ) 로부터
x = 1 x=1 x = 1 을 대입하면
J n ′ 2 ( j n , α ) = J n + 1 2 ( j n , α ) \displaystyle J_{n}'^{2}(j_{n,\alpha})=J_{n+1}^{2}(j_{n,\alpha}) J n ′ 2 ( j n , α ) = J n + 1 2 ( j n , α ) 이고, 마찬가지의 방법으로
n J n ( j n , α x ) + j n , α x J n ′ ( j n , α x ) = j n , α x J n − 1 ( j n , α x ) \displaystyle nJ_{n}(j_{n,\alpha}x)+j_{n,\alpha} xJ_{n}'(j_{n,\alpha}x)=j_{n,\alpha}xJ_{n-1}(j_{n,\alpha}x) n J n ( j n , α x ) + j n , α x J n ′ ( j n , α x ) = j n , α x J n − 1 ( j n , α x ) 를 이용하면
J n ′ 2 ( j n , α ) = J n − 1 2 ( j n , α ) \displaystyle J_{n}'^{2}(j_{n,\alpha})=J_{n-1}^{2}(j_{n,\alpha}) J n ′ 2 ( j n , α ) = J n − 1 2 ( j n , α ) 를 얻는다. 이상에서 위 결과를
∫ 0 1 x J n ( j n , α x ) J n ( j n , β x ) d x = 1 2 J n ′ 2 ( j n , α ) δ α β = 1 2 J n + 1 2 ( j n , α ) δ α β = 1 2 J n − 1 2 ( j n , α ) δ α β \displaystyle \begin{aligned} \int_{0}^{1} x J_{n}(j_{n,\alpha}x) J_{n}(j_{n,\beta}x)\,\mathrm{d}x &=\frac{1}{2}J_{n}'^{2}(j_{n,\alpha})\delta_{\alpha \beta} \\ &=\frac{1}{2}J_{n+1}^{2}(j_{n,\alpha})\delta_{\alpha \beta} \\ &=\frac{1}{2}J_{n-1}^{2}(j_{n,\alpha})\delta_{\alpha \beta} \end{aligned} ∫ 0 1 x J n ( j n , α x ) J n ( j n , β x ) d x = 2 1 J n ′ 2 ( j n , α ) δ α β = 2 1 J n + 1 2 ( j n , α ) δ α β = 2 1 J n − 1 2 ( j n , α ) δ α β 으로 쓸 수 있고,
치환적분 을 이용하면 다음을 증명할 수 있다.
∫ 0 b x J n ( j n , α x b ) J n ( j n , β x b ) d x = b 2 2 J n ′ 2 ( j n , α ) δ α β = b 2 2 J n + 1 2 ( j n , α ) δ α β = b 2 2 J n − 1 2 ( j n , α ) δ α β \displaystyle \begin{aligned} \int_{0}^{b} x J_{n}\left( \frac{j_{n,\alpha}x}{b} \right) J_{n}\left( \frac{j_{n,\beta}x}{b} \right)\,\mathrm{d}x &=\frac{b^{2}}{2}J_{n}'^{2}(j_{n,\alpha})\delta_{\alpha \beta} \\ &=\frac{b^{2}}{2}J_{n+1}^{2}(j_{n,\alpha})\delta_{\alpha \beta} \\ &=\frac{b^{2}}{2}J_{n-1}^{2}(j_{n,\alpha})\delta_{\alpha \beta} \end{aligned} ∫ 0 b x J n ( b j n , α x ) J n ( b j n , β x ) d x = 2 b 2 J n ′ 2 ( j n , α ) δ α β = 2 b 2 J n + 1 2 ( j n , α ) δ α β = 2 b 2 J n − 1 2 ( j n , α ) δ α β 푸리에 급수 로 주기
[ 0 , L ] [0,\,L] [ 0 , L ] 인 함수
f ( x ) f(x) f ( x ) 를 해당 구간에서 직교하는 삼각함수를 이용하여
f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n sin n π x L + b n cos n π x L \displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \sin{\frac{n\pi x}{L}}+b_{n} \cos{\frac{n \pi x}{L}} f ( x ) = n = 0 ∑ ∞ a n sin L nπ x + b n cos L nπ x 로 전개할 수 있었고 각 계수는 이들의 함수의 직교성으로 구할 수 있었다. 유사한 방법으로 이 베셀 함수의 경우에도 구간
[ 0 , b ] [0,\,b] [ 0 , b ] 에 있는 함수를
f ( x ) = ∑ k = 1 ∞ a k J n ( j n , k x b ) \displaystyle f(x)=\sum_{k=1}^{\infty} a_{k} J_{n}\left( \frac{j_{n,k}x}{b} \right) f ( x ) = k = 1 ∑ ∞ a k J n ( b j n , k x ) 로 전개할 수 있는데, 이것을
푸리에-베셀 급수(Fourier-Bessel series) 라 한다. 각 항의 계수를 구하기 위해 양변에
x J n ( j n , m x / b ) x J_{n}(j_{n,m}x/b) x J n ( j n , m x / b ) 를 곱하고, 구간에 대해 적분한다.
∫ 0 b x f ( x ) J n ( j n , m x b ) d x = ∑ k = 1 ∞ a k ∫ 0 b x J n ( j n , k x b ) J m ( j n , m x b ) d x = ∑ k = 1 ∞ b 2 a k δ k m 2 J n + 1 2 ( j n , m ) = b 2 a m 2 J n + 1 2 ( j n , m ) \displaystyle \begin{aligned} \int_{0}^{b} x f(x) J_{n}\left( \frac{j_{n,m}x}{b} \right)\,\mathrm{d}x&=\sum_{k=1}^{\infty} a_{k} \int_{0}^{b}x J_{n}\left( \frac{j_{n,k}x}{b} \right)J_{m}\left( \frac{j_{n,m}x}{b} \right)\,\mathrm{d}x \\ &=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{b^2 a_{k} \delta_{km}}{2} J_{n+1}^{2}(j_{n,m}) \\&=\frac{b^2 a_{m}}{2} J_{n+1}^{2}(j_{n,m}) \end{aligned} ∫ 0 b x f ( x ) J n ( b j n , m x ) d x = k = 1 ∑ ∞ a k ∫ 0 b x J n ( b j n , k x ) J m ( b j n , m x ) d x = k = 1 ∑ ∞ 2 b 2 a k δ k m J n + 1 2 ( j n , m ) = 2 b 2 a m J n + 1 2 ( j n , m ) 따라서 다음의 결과를 얻는다.
a n = 2 b 2 J n + 1 2 ( j n , m ) ∫ 0 b x f ( x ) J n ( j n , m x b ) d x \displaystyle a_{n}=\frac{2}{b^2 J_{n+1}^{2}(j_{n,m})} \int_{0}^{b} x f(x) J_{n}\left( \frac{j_{n,m}x}{b} \right)\,\mathrm{d}x a n = b 2 J n + 1 2 ( j n , m ) 2 ∫ 0 b x f ( x ) J n ( b j n , m x ) d x 수정 베셀 함수(modified Bessel function) 는 다음의 미분방정식을 만족시키는 함수이다.
x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x − ( x 2 + n 2 ) y = 0 \displaystyle x^{2} \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}+x \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-(x^2+n^{2})y=0 x 2 d x 2 d 2 y + x d x d y − ( x 2 + n 2 ) y = 0 다음을 각각
제1종 수정 베셀 함수 ,
제2종 수정 베셀 함수 라 한다.
I n ( x ) : = i − n J n ( i x ) K n ( x ) : = π 2 I − n ( x ) − I n ( x ) sin ( n π ) \displaystyle \begin{aligned} I_{n}(x) &:= i^{-n}J_{n}(ix) \\ K_{n}(x) &:= \frac{\pi}{2} \frac{I_{-n}(x)-I_{n}(x)}{\sin{(n \pi)}} \end{aligned} I n ( x ) K n ( x ) := i − n J n ( i x ) := 2 π sin ( nπ ) I − n ( x ) − I n ( x ) 베셀 함수는 어느 정도 주기성을 띠면서 0으로 수렴하나, 이 수정 베셀 함수는 주기성이 완전히 없으며, 수렴하지도 않고 발산한다.
아래는 수정 베셀 함수의 그래프를 나타낸 것이다.
파일:수정베셀_1종_NEW.png 파일:수정베셀_2종_NEW.png 구면 베셀 함수(spherical Bessel function) 는 구면 좌표계에서
라플라시안 이 포함된 미분방정식을 풀었을 때, 반지름 성분에서 나오는 미분방정식
x 2 d 2 y d x 2 + 2 x d y d x + [ x 2 − n ( n + 1 ) ] y = 0 \displaystyle x^{2} \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}+2x \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+[x^{2}-n(n+1) ]y=0 x 2 d x 2 d 2 y + 2 x d x d y + [ x 2 − n ( n + 1 )] y = 0 을 만족시키는 함수이다. 적절한 치환
y ( x ) : = Y ( x ) / x y(x) := Y(x)/\sqrt{x} y ( x ) := Y ( x ) / x 를 사용하면 위 미분방정식은 다음과 같이 정리할 수 있다.
x 2 ( 3 Y 4 x 2 − 1 x d Y d x + d 2 Y d x 2 ) + 2 x ( d Y d x − Y 2 x ) + [ x 2 − n ( n + 1 ) ] Y = 0 x 2 d 2 Y d x 2 + x d Y d x + [ x 2 − ( n + 1 2 ) 2 ] Y = 0 \displaystyle \begin{aligned} x^{2}\left( \frac{3Y}{4x^{2}}-\frac{1}{x} \frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}x}+\frac{\mathrm{d}^{2}Y}{\mathrm{d}x^{2}} \right)+2x \left( \frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}x}-\frac{Y}{2x} \right) +[x^{2}-n(n+1) ]Y&=0 \\ x^{2}\frac{\mathrm{d}^{2}Y}{\mathrm{d}x^{2}}+x\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}x}+\left[ x^{2} - \left( n+\frac{1}{2} \right)^{2} \right]Y&=0\end{aligned} x 2 ( 4 x 2 3 Y − x 1 d x d Y + d x 2 d 2 Y ) + 2 x ( d x d Y − 2 x Y ) + [ x 2 − n ( n + 1 )] Y x 2 d x 2 d 2 Y + x d x d Y + [ x 2 − ( n + 2 1 ) 2 ] Y = 0 = 0 여기서
k = n + 1 / 2 k=n+1/2 k = n + 1/2 으로 둔다면, 위 미분방정식의 해는
y ( x ) = C 1 J k ( x ) x + C 2 Y k ( x ) x \displaystyle y(x)=C_{1} \frac{J_{k}(x)}{\sqrt{x}}+C_{2}\frac{Y_{k}(x)}{\sqrt{x}} y ( x ) = C 1 x J k ( x ) + C 2 x Y k ( x ) 가 된다. 여기서 나온 두 함수에 규격화를 목적으로 특정한 상수를 붙인 함수를
j n ( x ) : = π 2 x J n + 1 / 2 ( x ) y n ( x ) : = π 2 x Y n + 1 / 2 ( x ) \displaystyle \begin{aligned} j_{n}(x) & := \sqrt{\frac{\pi}{2x}}J_{n+1/2}(x) \\ y_{n}(x) & := \sqrt{\frac{\pi}{2x}}Y_{n+1/2}(x) \end{aligned} j n ( x ) y n ( x ) := 2 x π J n + 1/2 ( x ) := 2 x π Y n + 1/2 ( x ) 로 정의하고 각각
제1종 구면 베셀 함수 ,
제2종 구면 베셀 함수 라 한다. 그런데
k = n + 1 / 2 k=n+1/2 k = n + 1/2 일 때는
J k ( x ) J_{k}(x) J k ( x ) 와
J − k ( x ) J_{-k}(x) J − k ( x ) 는 선형 독립으로써
Y n + 1 / 2 ( x ) → J − ( n + 1 / 2 ) ( x ) \displaystyle Y_{n+1/2}(x) \to J_{-(n+1/2)}(x) Y n + 1/2 ( x ) → J − ( n + 1/2 ) ( x ) 로 대치하여도 상관없다. 따라서 제2종 구면 베셀 함수는 다음과 같이 쓸 수 있다.
y n ( x ) = j − n ( x ) \displaystyle y_{n}(x) = {j}_{-n}(x) y n ( x ) = j − n ( x ) n n n 이 정수일 때는 더욱 간단한 표현으로 나타낼 수 있다.
J k + 1 ( x ) = − x k d d x [ x − k J k ( x ) ] \displaystyle J_{k+1}(x)=-x^{k} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[x^{-k}J_{k}(x) ] J k + 1 ( x ) = − x k d x d [ x − k J k ( x )] 의 관계식을 이용하자. 구면 베셀 함수와 베셀 함수와의 관계를 이용하면,
J n + 3 / 2 ( x ) x = − x n d d x [ x − n J 1 + n / 2 ( x ) x ] ∴ j n + 1 ( x ) = − x n d d x [ x − n j n ( x ) ] \displaystyle \begin{aligned} \frac{J_{n+3/2}(x)}{\sqrt{x}}&=-x^{n} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ \frac{x^{-n}J_{1+n/2}(x)}{\sqrt{x}} \right] \\ \therefore {j_{n+1}(x)}&=-x^{n} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} [ x^{-n}j_{n}(x) ] \end{aligned} x J n + 3/2 ( x ) ∴ j n + 1 ( x ) = − x n d x d [ x x − n J 1 + n /2 ( x ) ] = − x n d x d [ x − n j n ( x )] 의 관계를 얻는다. 이 관계는 임의의
n n n 에 대해서 성립하므로
j n + 1 ( x ) = − x n d d x [ − x n − 1 x n d d x [ x − ( n − 1 ) J n − 1 ( x ) ] ] = − x n d d x [ ( − x n − 1 x n d d x ) − x n − 2 x n − 1 d d x [ x − ( n − 2 ) J n − 2 ( x ) ] ] = ⋯ = x n ( − 1 x d d x ) n J 0 ( x ) ∴ j n ( x ) = x n ( − 1 x d d x ) n sin x x ( ∵ j 0 = π 2 x J 1 / 2 ( x ) = sin x x ) \displaystyle \begin{aligned} {j_{n+1}(x)}&=-x^{n} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ -\frac{x^{n-1}}{x^{n}} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ x^{-(n-1)} J_{n-1}(x) \right] \right] \\&=-x^{n} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ \left( -\frac{x^{n-1}}{x^{n}} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \right) -\frac{x^{n-2}}{x^{n-1}} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ x^{-(n-2)} J_{n-2}(x) \right] \right] \\ &=\cdots \\&=x^{n} \left( -\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \right)^{n} J_{0}(x) \\ \\ \therefore\;\displaystyle j_{n}(x)&=x^{n} \left( -\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \right)^{n} \frac{\sin{x}}{x}\;\left(\because j_{0}=\sqrt{\frac{\pi}{2 x}}J_{1/2}(x)=\frac{\sin{x}}{x}\right) \end{aligned} j n + 1 ( x ) ∴ j n ( x ) = − x n d x d [ − x n x n − 1 d x d [ x − ( n − 1 ) J n − 1 ( x ) ] ] = − x n d x d [ ( − x n x n − 1 d x d ) − x n − 1 x n − 2 d x d [ x − ( n − 2 ) J n − 2 ( x ) ] ] = ⋯ = x n ( − x 1 d x d ) n J 0 ( x ) = x n ( − x 1 d x d ) n x sin x ( ∵ j 0 = 2 x π J 1/2 ( x ) = x sin x ) 아래는 몇몇의 제1종 구면 베셀 함수를 기입한 것이다.
j 0 ( x ) = sin x x j 1 ( x ) = sin x x 2 − cos x x j 2 ( x ) = ( 3 x 2 − 1 ) sin x x − 3 cos x x 2 j 3 ( x ) = ( 15 x 3 − 6 x ) sin x x − ( 15 x 2 − 1 ) cos x x \displaystyle \begin{aligned}
j_{0}(x)&=\frac{\sin{x}}{x} \\
j_{1}(x)&=\frac{\sin{x}}{x^2}-\frac{\cos{x}}{x} \\
j_{2}(x)&=\left( \frac{3}{x^{2}}-1 \right) \frac{\sin{x}}{x}-\frac{3\cos{x}}{x^{2}} \\
j_{3}(x)&=\left( \frac{15}{x^{3}}-\frac{6}{x} \right) \frac{\sin{x}}{x}-\left( \frac{15}{x^{2}}-1 \right )\frac{\cos{x}}{x} \end{aligned} j 0 ( x ) j 1 ( x ) j 2 ( x ) j 3 ( x ) = x sin x = x 2 sin x − x cos x = ( x 2 3 − 1 ) x sin x − x 2 3 cos x = ( x 3 15 − x 6 ) x sin x − ( x 2 15 − 1 ) x cos x 또한,
J − 1 / 2 ( x ) = cos x / x \displaystyle J_{-1/2}(x)={\cos{x}}/{x} J − 1/2 ( x ) = cos x / x 임을 이용하고, 베셀 함수의 재귀 관계를 이용하면,
y n ( x ) = − x n ( − 1 x d d x ) n cos x x \displaystyle y_{n}(x)=-x^{n} \left( -\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \right)^{n} \frac{\cos{x}}{x} y n ( x ) = − x n ( − x 1 d x d ) n x cos x 로 쓸 수 있다. 아래는 몇몇의 제2종 구면 베셀 함수를 기입한 것이다.
y 1 ( x ) = − cos x x y 2 ( x ) = − cos x x 2 − sin x x y 3 ( x ) = ( 1 − 3 x 2 ) cos x x − 3 sin x x 2 y 4 ( x ) = ( 6 x − 15 x 3 ) cos x x − ( 15 x 2 − 1 ) sin x x \displaystyle \begin{aligned}
y_{1}(x)&=-\frac{\cos{x}}{x} \\
y_{2}(x)&=-\frac{\cos{x}}{x^2}-\frac{\sin{x}}{x} \\
y_{3}(x)&=\left( 1-\frac{3}{x^{2}} \right ) \frac{\cos{x}}{x}-\frac{3\sin{x}}{x^{2}} \\
y_{4}(x)&=\left( \frac{6}{x}- \frac{15}{x^{3}} \right)\frac{\cos{x}}{x}-\left( \frac{15}{x^{2}}-1 \right ) \frac{\sin{x}}{x}
\end{aligned} y 1 ( x ) y 2 ( x ) y 3 ( x ) y 4 ( x ) = − x cos x = − x 2 cos x − x sin x = ( 1 − x 2 3 ) x cos x − x 2 3 sin x = ( x 6 − x 3 15 ) x cos x − ( x 2 15 − 1 ) x sin x 아래는 구면 베셀 함수의 그래프를 나타낸 것이다.
파일:Plot of Sperical Bessel functions of first kind_NEW_NEW.png 파일:Plot of Sperical Bessel functions of second kind_NEW_NEW.png 구면 한켈 함수(spherical Hankel function) 은 한켈 함수와 마찬가지로 구면 베셀 함수들의 선형 결합을 통해 만들어진 함수이다. 아래와 같이
제1종 구면 한켈 함수 와
제2종 구면 한켈 함수 를 정의한다.
h n ( 1 ) ( x ) : = j n ( x ) + i y n ( x ) h n ( 2 ) ( x ) : = j n ( x ) − i y n ( x ) \displaystyle \begin{aligned} h_{n}^{(1)}(x) &:= j_{n}(x)+i y_{n}(x) \\ h_{n}^{(2)}(x) &:= j_{n}(x)-i y_{n}(x) \end{aligned} h n ( 1 ) ( x ) h n ( 2 ) ( x ) := j n ( x ) + i y n ( x ) := j n ( x ) − i y n ( x ) 슈트루페 함수(Struve function) 는 수정 베셀 함수와 노이먼 함수의 합으로 정의된다.
H n ( x ) : = K n ( x ) + Y n ( x ) \displaystyle \bold{H}_n(x) := K_n(x) + Y_n(x) H n ( x ) := K n ( x ) + Y n ( x ) 켈빈 함수(Kelvin function) 는 베셀 함수에 복소
지수함수 를 합성해서 실수부・허수부를 취한 함수이다. 이름이 뭔가 낯이 익은데, 다름아닌
절대온도 를 정의한 그 켈빈이 만든 함수이다.
b e r n ( x ) : = ( ℜ ∘ J n ) ( x e 3 π i / 4 ) b e i n ( x ) : = ( ℑ ∘ J n ) ( x e 3 π i / 4 ) k e r n ( x ) : = ( ℜ ∘ K n ) ( x e π i / 4 ) k e i n ( x ) : = ( ℑ ∘ K n ) ( x e π i / 4 ) \displaystyle \begin{aligned} \mathrm{ber}_n(x) &:= (\Re \circ J_n)(xe^{3 \pi i/4}) \\ \mathrm{bei}_n(x) &:= (\Im \circ J_n)(xe^{3 \pi i/4}) \\ \mathrm{ker}_n(x) &:= (\Re \circ K_n)(xe^{\pi i/4}) \\ \mathrm{kei}_n(x) &:= (\Im \circ K_n)(xe^{\pi i/4}) \end{aligned} ber n ( x ) bei n ( x ) ker n ( x ) kei n ( x ) := ( ℜ ∘ J n ) ( x e 3 π i /4 ) := ( ℑ ∘ J n ) ( x e 3 π i /4 ) := ( ℜ ∘ K n ) ( x e π i /4 ) := ( ℑ ∘ K n ) ( x e π i /4 ) 이 문단에서는
물리학 적으로 베셀 함수가 사용되는 예를 실었다.
물리학과 학생이면
수리물리학 을 통해 급수해를 공부하면서 한 번쯤은 보고 가게 되는 문제들이다.
줄의 길이가
l = l 0 ± ∣ v ∣ t l=l_{0} \pm |v|t l = l 0 ± ∣ v ∣ t (
l 0 l_{0} l 0 는
t = 0 t=0 t = 0 에서의 줄의 길이이고,
∣ v ∣ |v| ∣ v ∣ 는 줄 길이의 변화 속력이다.)이고, 평형 위치로부터
θ \theta θ 의 회전각을 갖는 단진자의 물체의 좌표는 아래와 같이 표현할 수 있다.
x = l cos θ y = − l sin θ \displaystyle \begin{aligned} x&=l\cos{\theta} \\ y&=-l\sin{\theta} \end{aligned} x y = l cos θ = − l sin θ 이 물체의 퍼텐셜 에너지와 운동 에너지는 각각 아래와 같이 주어진다.
U = − m g l cos θ T = 1 2 m [ ( l ˙ cos θ − l sin θ θ ˙ ) 2 + ( − l ˙ sin θ − l cos θ θ ˙ ) 2 ] = 1 2 m ( l ˙ 2 + l 2 θ ˙ 2 ) \displaystyle \begin{aligned} U&=-mgl\cos{\theta} \\ T&=\frac{1}{2}m[(\dot{l}\cos{\theta}-l\sin{\theta} \dot{\theta})^{2}+(-\dot{l}\sin{\theta}-l\cos{\theta} \dot{\theta})^{2}] \\&=\frac{1}{2}m (\dot{l}^{2}+l^{2} \dot{\theta}^{2}) \end{aligned} U T = − m g l cos θ = 2 1 m [( l ˙ cos θ − l sin θ θ ˙ ) 2 + ( − l ˙ sin θ − l cos θ θ ˙ ) 2 ] = 2 1 m ( l ˙ 2 + l 2 θ ˙ 2 ) l = l 0 ± ∣ v ∣ t l=l_{0} \pm |v|t l = l 0 ± ∣ v ∣ t ,
l ˙ = ± ∣ v ∣ \dot{l}=\pm |v| l ˙ = ± ∣ v ∣ 임을 이용하면,
U = − m g ( l 0 + v t ) cos θ T = 1 2 m [ ( l ˙ cos θ − l sin θ θ ˙ ) 2 + ( − l ˙ sin θ − l cos θ θ ˙ ) 2 ] = 1 2 m ( ∣ v ∣ 2 + ( l 0 ± ∣ v ∣ t ) 2 θ ˙ 2 ) \displaystyle \begin{aligned} U&=-mg(l_{0}+vt)\cos{\theta} \\ T&=\frac{1}{2}m[(\dot{l}\cos{\theta}-l\sin{\theta} \dot{\theta})^{2}+(-\dot{l}\sin{\theta}-l\cos{\theta} \dot{\theta})^{2}] \\&=\frac{1}{2}m (|v|^{2}+(l_{0} \pm |v|t)^{2} \dot{\theta}^{2}) \end{aligned} U T = − m g ( l 0 + v t ) cos θ = 2 1 m [( l ˙ cos θ − l sin θ θ ˙ ) 2 + ( − l ˙ sin θ − l cos θ θ ˙ ) 2 ] = 2 1 m ( ∣ v ∣ 2 + ( l 0 ± ∣ v ∣ t ) 2 θ ˙ 2 ) 이상에서 우리가 논하는 진자의
라그랑지안 은 다음과 같다.
L = m [ 1 2 [ ∣ v ∣ 2 + ( l 0 ± ∣ v ∣ t ) 2 θ ˙ 2 ] + ( l 0 ± ∣ v ∣ t ) g cos θ ] \displaystyle \mathscr{L}=m\left[ \frac{1}{2}[|v|^{2}+(l_{0}\pm|v|t)^{2} \dot{\theta}^{2}]+(l_{0}\pm |v|t)g \cos{\theta} \right] L = m [ 2 1 [ ∣ v ∣ 2 + ( l 0 ± ∣ v ∣ t ) 2 θ ˙ 2 ] + ( l 0 ± ∣ v ∣ t ) g cos θ ] 따라서
θ \theta θ 에 대하여
오일러-라그랑주 방정식 ∂ L ∂ θ = d d t ∂ L ∂ θ ˙ \displaystyle \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \theta}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\theta}} ∂ θ ∂ L = d t d ∂ θ ˙ ∂ L 을 통하여 운동 방정식을 구할 수 있다.
− ( l 0 ± ∣ v ∣ t ) g sin θ = d d t [ ( l 0 ± ∣ v ∣ t ) 2 θ ˙ ] = ± 2 ( l 0 ± ∣ v ∣ t ) ∣ v ∣ θ ˙ + ( l 0 ± ∣ v ∣ t ) 2 θ ¨ \displaystyle \begin{aligned} -(l_{0} \pm |v|t)g \sin{\theta}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} [(l_{0} \pm |v| t)^{2} \dot{\theta}] \\&=\pm 2(l_{0} \pm |v|t)|v| \dot{\theta}+(l_{0} \pm |v|t)^{2} \ddot{\theta} \end{aligned} − ( l 0 ± ∣ v ∣ t ) g sin θ = d t d [( l 0 ± ∣ v ∣ t ) 2 θ ˙ ] = ± 2 ( l 0 ± ∣ v ∣ t ) ∣ v ∣ θ ˙ + ( l 0 ± ∣ v ∣ t ) 2 θ ¨ 미소진동
sin θ ≈ θ \sin{\theta} \approx \theta sin θ ≈ θ 를 고려하면
l θ ¨ ± 2 ∣ v ∣ θ ˙ + g θ = 0 \displaystyle l\ddot{\theta} \pm 2|v| \dot{\theta}+g\theta=0 l θ ¨ ± 2∣ v ∣ θ ˙ + g θ = 0 이 된다. 주의해야 할 것은
l l l 이
t t t 에 대한 함수이기 때문에 위 방정식을 감쇠 조화 진동자와 비슷한 방정식으로 생각하면 안 된다는 것이다. 즉,
( l 0 ± ∣ v ∣ t ) θ ¨ ± 2 ∣ v ∣ θ ˙ + g θ = 0 \displaystyle (l_{0} \pm |v|t)\ddot{\theta} \pm 2|v| \dot{\theta}+g\theta=0 ( l 0 ± ∣ v ∣ t ) θ ¨ ± 2∣ v ∣ θ ˙ + g θ = 0 이기 때문에 이 방정식을 풀기 위해 다른 방법을 찾아야 한다.
먼저 아래의 연쇄 법칙을 활용한다.
d d t = d l d t d d l = ± ∣ v ∣ d d l \displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}l}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}l}=\pm |v|\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}l} d t d = d t d l d l d = ± ∣ v ∣ d l d 을 고려하고, 변수를
t → l t \to l t → l 로 교체하고 적절한 함수 치환
θ ( l ) = f ( u ) l u : = 2 g l ∣ v ∣ \displaystyle \theta(l) = \frac{f(u)}{\sqrt{l}} \qquad \qquad u := \frac{2\sqrt{gl}}{|v|} θ ( l ) = l f ( u ) u := ∣ v ∣ 2 g l 을 고려하면
u 2 d 2 f d u 2 + u d f d u + ( u 2 − 1 2 ) f = 0 \displaystyle \begin{aligned} u^{2} \frac{\mathrm{d}^{2}f}{\mathrm{d}u^{2}}+u \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}u}+(u^{2}-1^{2})f&=0 \end{aligned} u 2 d u 2 d 2 f + u d u d f + ( u 2 − 1 2 ) f = 0 으로 바꿀 수 있고, 이는 베셀의 미분 방정식이다. 따라서
θ ( l ) = A ′ l J 1 ( 2 g l ∣ v ∣ ) + B ′ l Y 1 ( 2 g l ∣ v ∣ ) \displaystyle \theta(l)=\frac{A'}{\sqrt{l}}J_{1}\left( \frac{2\sqrt{gl}}{|v|} \right)+\frac{B'}{\sqrt{l}}Y_{1}\left( \frac{2\sqrt{gl}}{|v|} \right) θ ( l ) = l A ′ J 1 ( ∣ v ∣ 2 g l ) + l B ′ Y 1 ( ∣ v ∣ 2 g l ) 을 해로 갖는다. 따라서 해는
θ ( t ) = A ′ l 0 ± ∣ v ∣ t J 1 ( 2 g ( l 0 ± ∣ v ∣ t ) ∣ v ∣ ) + B ′ l 0 ± ∣ v ∣ t Y 1 ( 2 g ( l 0 ± ∣ v ∣ t ) ∣ v ∣ ) \displaystyle \theta(t)=\frac{A'}{\sqrt{l_{0} \pm |v|t}}J_{1}\left( \frac{2\sqrt{g(l_{0} \pm |v|t)}}{|v|} \right)+\frac{B'}{\sqrt{l_{0} \pm |v|t}}Y_{1}\left( \frac{2\sqrt{g(l_{0} \pm |v|t)}}{|v|} \right) θ ( t ) = l 0 ± ∣ v ∣ t A ′ J 1 ( ∣ v ∣ 2 g ( l 0 ± ∣ v ∣ t ) ) + l 0 ± ∣ v ∣ t B ′ Y 1 ( ∣ v ∣ 2 g ( l 0 ± ∣ v ∣ t ) ) 의 꼴로 주어지고,
A ′ A' A ′ ,
B ′ B' B ′ 는 초기 조건으로 결정되는 상수이다.
가장 간단한 형태인
θ ( 0 ) = θ 0 \theta(0)=\theta_{0} θ ( 0 ) = θ 0 ,
θ ˙ ( 0 ) = 0 \dot\theta(0)=0 θ ˙ ( 0 ) = 0 일 때만 알아보도록 하겠다. 쉬운 분석을 위해 변수를 아래와 같이 바꾼다.
θ ( u ) = A u J 1 ( u ) + B u Y 1 ( u ) \displaystyle \theta(u)=\frac{A}{u}J_{1}(u)+\frac{B}{u}Y_{1}(u) θ ( u ) = u A J 1 ( u ) + u B Y 1 ( u ) 형태로 고칠 수 있다. 이때,
θ ( t = 0 ) = θ ( u = u 0 ) = θ 0 \theta(t=0)=\theta(u=u_{0})=\theta_{0} θ ( t = 0 ) = θ ( u = u 0 ) = θ 0 ,
θ ˙ ( t = 0 ) = θ ˙ ( u = u 0 ) = 0 \dot\theta(t=0)=\dot\theta(u=u_{0})=0 θ ˙ ( t = 0 ) = θ ˙ ( u = u 0 ) = 0 이고, 다음이 성립한다.
θ 0 = A u 0 J 1 ( u 0 ) + B u 0 Y 1 ( u 0 ) 0 = − [ A u 0 J 2 ( u 0 ) + B u 0 Y 2 ( u 0 ) ] ( u 0 : = 2 g l 0 ∣ v ∣ ) \displaystyle \begin{aligned} \theta_{0}&=\frac{A}{u_{0}}J_{1}(u_{0})+\frac{B}{u_{0}}Y_{1}(u_{0}) \\ 0&=-\left[ \frac{A}{u_{0}}J_{2}(u_{0})+\frac{B}{u_{0}}Y_{2}(u_{0}) \right] \quad \left(u_{0} := \frac{2\sqrt{gl_{0} }}{ |v|} \right) \end{aligned} θ 0 0 = u 0 A J 1 ( u 0 ) + u 0 B Y 1 ( u 0 ) = − [ u 0 A J 2 ( u 0 ) + u 0 B Y 2 ( u 0 ) ] ( u 0 := ∣ v ∣ 2 g l 0 ) 베셀함수의 미분에는 베셀함수의 미적분 관련 공식을 활용하였다. 위 식을 연립하면,
A = − π u 0 2 θ 0 2 Y 2 ( u 0 ) B = − π u 0 2 θ 0 2 J 2 ( u 0 ) \displaystyle \begin{aligned} A&=-\frac{\pi u_{0}^{2} \theta_{0}}{2}Y_{2}(u_{0}) \\ B&=-\frac{\pi u_{0}^{2} \theta_{0}}{2}J_{2}(u_{0}) \end{aligned} A B = − 2 π u 0 2 θ 0 Y 2 ( u 0 ) = − 2 π u 0 2 θ 0 J 2 ( u 0 ) 더욱 간단한 형태의 해를 얻기 위해
u 0 u_{0} u 0 에 제약을 건다.
u 0 u_{0} u 0 가
J 2 ( u ) J_{2}(u) J 2 ( u ) 의 영점이라면,
B = 0 B=0 B = 0 을 얻고, 해는
θ ( u ) = − π u 0 2 θ 0 2 u Y 2 ( u 0 ) J 1 ( u ) \displaystyle \theta(u)=-\frac{\pi u_{0}^{2} \theta_{0}}{2u}Y_{2}(u_{0})J_{1}(u) θ ( u ) = − 2 u π u 0 2 θ 0 Y 2 ( u 0 ) J 1 ( u ) 그런데
J 1 ( u 0 ) Y 2 ( u 0 ) − J 2 ( u 0 ) Y 1 ( u 0 ) = − 2 π u 0 \displaystyle J_{1}(u_{0})Y_{2}(u_{0})-J_{2}(u_{0})Y_{1}(u_{0})=-\frac{2}{\pi u_{0}} J 1 ( u 0 ) Y 2 ( u 0 ) − J 2 ( u 0 ) Y 1 ( u 0 ) = − π u 0 2 이 성립하고, 좌변의 제2항은 상쇄
되므로
Y 2 ( u 0 ) = − 2 π u 0 J 1 ( u 0 ) \displaystyle Y_{2}(u_{0})=-\frac{2}{\pi u_{0}J_{1}(u_{0})} Y 2 ( u 0 ) = − π u 0 J 1 ( u 0 ) 2 따라서
θ ( u ) = u 0 θ 0 u J 1 ( u 0 ) J 1 ( u ) → θ ( l ) = θ 0 l 0 l 1 J 1 ( u 0 ) J 1 ( u 0 l l 0 ) \displaystyle \theta(u)=\frac{u_{0} \theta_{0}}{u J_{1}(u_{0})}J_{1}(u) \, \to \, \theta(l)= \theta_{0}\sqrt{\frac{l_{0}}{l} } \frac{1}{J_{1}(u_{0})} J_{1} \left( u_{0} \sqrt{\frac{l}{l_{0}} }\right) θ ( u ) = u J 1 ( u 0 ) u 0 θ 0 J 1 ( u ) → θ ( l ) = θ 0 l l 0 J 1 ( u 0 ) 1 J 1 ( u 0 l 0 l ) 이고, 시간에 따른 각변위는 아래와 같음을 얻는다.
θ ( t ) = θ 0 l 0 l 0 ± ∣ v ∣ t 1 J 1 ( u 0 ) J 1 ( u 0 l 0 ± ∣ v ∣ t l 0 ) \displaystyle \theta(t)= \theta_{0}\sqrt{\frac{l_{0}}{l_{0} \pm |v|t} } \frac{1}{J_{1}(u_{0})} J_{1} \Biggl(u_{0} \sqrt{\frac{l_{0} \pm |v| t}{l_{0}} }\Biggr) θ ( t ) = θ 0 l 0 ± ∣ v ∣ t l 0 J 1 ( u 0 ) 1 J 1 ( u 0 l 0 l 0 ± ∣ v ∣ t ) 아래는 같은
θ 0 \theta_{0} θ 0 에 대해
v > 0 v>0 v > 0 (줄의 길이가 늘어나는 상황)와
v < 0 v<0 v < 0 (줄의 길이가 줄어드는 상황)에 대하여 시각에 대한 회전각을 나타낸 그래프이다.(단, 그 외의 조건은 임의대로 설정)
파일:나무_줄의 길이가 변하는 진자_NEW.png 보다시피 다음의 결과를 얻는다.
v > 0 v>0 v > 0 인 경우는 시간이 지남에 따라 회전각의 최댓값은 감소하고, 진동수 또한 작아진다.
v < 0 v<0 v < 0 인 경우는 시간이 지남에 따라 회전각의 최댓값은 증가하고, 진동수 또한 커진다.
참고로 진동수는 인접한
θ ( t ) \theta(t) θ ( t ) 의 영점 사이의 간격으로 판단할 수 있다.
다음과 같은 원형
무한 퍼텐셜 우물에 갇힌 입자 를 고려하자.
V ( ρ ) = { 0 ( ρ < R ) ∞ ( ρ > R ) \displaystyle V(\rho)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle 0 &\quad (\rho<R)\\ \displaystyle \infty &\quad (\rho>R)\end{array}\right. V ( ρ ) = { 0 ∞ ( ρ < R ) ( ρ > R ) 0 < ρ < R 0<\rho<R 0 < ρ < R 영역에 대한 슈뢰딩거 방정식은
− ℏ 2 2 m ∇ 2 ψ = E ψ \displaystyle -\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2} \psi=E \psi − 2 m ℏ 2 ∇ 2 ψ = E ψ 로 표현될 것이며, 분석하기 가장 유용한 극좌표계로 설정하면 다음과 같이 표현된다.
1 ρ ∂ ∂ ρ ( ρ ∂ ψ ∂ ρ ) + 1 ρ 2 ∂ 2 ψ ∂ ϕ 2 + 2 m E ℏ 2 ψ = 0 \displaystyle \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho \frac{\partial \psi}{\partial \rho} \right)+\frac{1}{\rho^{2}}\frac{\partial^{2} \psi}{\partial \phi^{2}} +\frac{2mE}{\hbar^{2}}\psi=0 ρ 1 ∂ ρ ∂ ( ρ ∂ ρ ∂ ψ ) + ρ 2 1 ∂ ϕ 2 ∂ 2 ψ + ℏ 2 2 m E ψ = 0 파동함수가 반지름 성분
P ( ρ ) \Rho(\rho) P ( ρ ) 와 각도 성분
Φ ( ϕ ) \Phi(\phi) Φ ( ϕ ) 의 곱으로 이루어져 있다고 가정하자.
ψ = P Φ \psi = \Rho \Phi ψ = P Φ 를 위 방정식에 대입하고
k 2 : = 2 m E / ℏ 2 k^{2} := 2mE/\hbar^{2} k 2 := 2 m E / ℏ 2 으로 두고 정리하면 다음과 같다.
ρ P d d ρ ( ρ d P d ρ ) + 1 Φ d 2 Φ d ϕ 2 + k 2 ρ 2 = 0 \displaystyle \frac{\rho}{\Rho}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\rho}\left(\rho \frac{\mathrm{d}\Rho}{\mathrm{d}\rho} \right)+\frac{1}{\Phi}\frac{\mathrm{d}^{2}\Phi}{\mathrm{d}\phi^{2}}+k^{2} \rho^{2}=0 P ρ d ρ d ( ρ d ρ dP ) + Φ 1 d ϕ 2 d 2 Φ + k 2 ρ 2 = 0 아래와 같이 두면,
1 Φ d 2 Φ d ϕ 2 : = − m 2 \displaystyle \frac{1}{\Phi}\frac{\mathrm{d}^{2}\Phi}{\mathrm{d}\phi^{2}} := -m^{2} Φ 1 d ϕ 2 d 2 Φ := − m 2 해의 형태는
Φ ∝ e i m ϕ \Phi \propto e^{im\phi} Φ ∝ e im ϕ 가 되고,
Φ ( ϕ ) = Φ ( ϕ + 2 n π ) \Phi(\phi)=\Phi(\phi+2n\pi) Φ ( ϕ ) = Φ ( ϕ + 2 nπ ) 의 조건을 만족시키기 위해
m m m 은 정수여야 한다. 반지름 성분의 미분방정식은
ρ d d ρ ( ρ d P d ρ ) + ( k 2 ρ 2 − m 2 ) P = 0 ρ 2 d 2 P d ρ 2 + ρ d P d ρ + ( k 2 ρ 2 − m 2 ) P = 0 \begin{aligned} \displaystyle \rho\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\rho}\left(\rho \frac{\mathrm{d}\Rho}{\mathrm{d}\rho} \right)+(k^{2}\rho^{2}-m^{2}) \Rho&=0 \\ \displaystyle \rho^{2} \frac{\mathrm{d}^{2}\Rho}{\mathrm{d}\rho^{2}}+\rho \frac{\mathrm{d}\Rho}{\mathrm{d}\rho}+(k^{2}\rho^{2}-m^{2}) \Rho&=0 \end{aligned} ρ d ρ d ( ρ d ρ dP ) + ( k 2 ρ 2 − m 2 ) P ρ 2 d ρ 2 d 2 P + ρ d ρ dP + ( k 2 ρ 2 − m 2 ) P = 0 = 0 이것은 위에서 보았던 베셀 미분방정식이다. 이 방정식의 해는
ρ = { J m ( k ρ ) Y m ( k ρ ) } \displaystyle \rho=\begin{Bmatrix} J_{m}(k \rho)\\ Y_{m}(k \rho) \end{Bmatrix} ρ = { J m ( k ρ ) Y m ( k ρ ) } 인데 노이먼 함수는
Y m ( x → 0 ) → − ∞ Y_{m}(x \to 0) \to -\infty Y m ( x → 0 ) → − ∞ 이기에 지금 다루는 물리적 상황과 거리가 머므로 제외해야 하고, 반지름 성분에 해당하는 해는
P ∝ J m ( k ρ ) \Rho \propto J_{m}(k \rho) P ∝ J m ( k ρ ) 를 얻는다.
경계조건으로
ψ ( ρ = R ) = 0 \psi(\rho=R)=0 ψ ( ρ = R ) = 0 을 만족시켜야 하므로
k R = j m , n \displaystyle kR=j_{m,n} k R = j m , n 를 만족시켜야 한다. 따라서
( m , n ) (m,n) ( m , n ) 번째 고유상태의 고유함수는 다음과 같다.
φ m , n = A m , n J m ( j m , n ρ R ) e i m ϕ \displaystyle \varphi_{m,n}=A_{m,n} J_{m}\left( \frac{j_{m,n}\rho}{R} \right)e^{im\phi} φ m , n = A m , n J m ( R j m , n ρ ) e im ϕ 또한 그 고유상태의 고윳값 즉, 에너지는 다음과 같다.
E m , n = j m , n ℏ 2 2 m R \displaystyle E_{m,n}=\frac{j_{m,n} \hbar^{2}}{2mR} E m , n = 2 m R j m , n ℏ 2 참고로 상수
A m , n A_{m,n} A m , n 은 적분
∫ 0 2 π ∫ 0 R φ m , n ∗ φ m , n ρ d ρ d ϕ = 1 \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} \varphi^{\ast}_{m,n} \varphi_{m,n} \rho \, \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\phi=1 ∫ 0 2 π ∫ 0 R φ m , n ∗ φ m , n ρ d ρ d ϕ = 1 을 이용하면 결정할 수 있는데,
∣ A m n ∣ 2 ∫ 0 2 π d ϕ ∫ 0 R ρ J m 2 ( j m , n ρ R ) d ρ = π ∣ A m n ∣ 2 J m ′ 2 ( j m , n ) \displaystyle |A_{mn}|^{2} \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{d}\phi \int_{0}^{R} \rho J_{m}^{2}\left( \frac{j_{m,n}\rho}{R} \right)\mathrm{d}\rho=\pi |A_{mn}|^{2} J_{m}'^{2}(j_{m,n}) ∣ A mn ∣ 2 ∫ 0 2 π d ϕ ∫ 0 R ρ J m 2 ( R j m , n ρ ) d ρ = π ∣ A mn ∣ 2 J m ′ 2 ( j m , n ) 가 된다. 이상에서 규격화된 고유 함수는 다음과 같다.
φ m , n = 1 π ∣ J n ′ ( j m , n ) ∣ J m ( j m , n ρ R ) e i m ϕ \displaystyle \varphi_{m,n}=\frac{1}{\sqrt{\pi} |J_{n}'(j_{m,n})|} J_{m} \left( \frac{j_{m,n}\rho}{R} \right)e^{im\phi} φ m , n = π ∣ J n ′ ( j m , n ) ∣ 1 J m ( R j m , n ρ ) e im ϕ 아래는 한 예로
( n , m ) = ( 1 , 2 ) (n,\,m)=(1,\,2) ( n , m ) = ( 1 , 2 ) 일 때 반지름이
R R R 인 원형 무한 퍼텐셜 우물에 갇힌 입자의 발견 확률 밀도를 나타낸 것이다. 입자가 발견될 확률은 범례의
− - − 에 가까울수록 0에,
+ + + 에 가까울수록 최댓값에 가까워진다.
파일:나무_원형퍼텐셜우물_확률밀도_NEW.png 
