에르미트 함수

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1. 개요2. 상세3. 분석
3.1. 종류3.2. 그래프3.3. 생성 함수3.4. 로드리게스 공식3.5. 재귀 관계3.6. 직교성
3.6.1. 푸리에-에르미트 급수
4. 활용
4.1. 물리학적 활용
4.1.1. 양자 조화 진동자
5. 관련 문서

1. 개요[편집]

에르미트 함수(Hermite function) 혹은 에르미트 다항식(Hermite polynomial)은 아래의 에르미트의 미분 방정식

d2ydx2−2xdydx+2ny=0\displaystyle \frac{d^{2}y}{dx^{2}}-2x \frac{dy}{dx}+2n y=0

을 만족시키는 함수를 말한다. 함수의 이름은 프랑스의 수학자 에르미트(Charles Hermite; 1822 - 1901)의 이름이 붙여졌다.

단, 에르미트 함수에는 두 가지 버전이 있는데 하나는 물리학에서 사용되는 것이고, 다른 하나는 통계학에서 사용되는 것인데, 이 문서에서는 물리학에서 사용되는 에르미트 함수을 다룬다. 통계학에서 다루는 에르미트 함수에 대한 내용은 이곳(영어)을 참조한다.

2. 상세[편집]

해당 미분 방정식은 급수해 해법으로 풀 수 있으며, 위 방정식의 해를 다음의 꼴로 가정하는 것 부터 시작한다.

y=∑m=0∞amxm\displaystyle y=\sum_{m=0}^{\infty} a_{m}x^{m}

이것을 위 방정식에 대입하면,

∑m=2∞m(m−1)amxm−2−2∑m=1∞mamxm+2n∑m=0∞amxm=0∑m=0∞(m+1)(m+2)am+2xm−2∑m=1∞mamxm+2n∑m=0∞amxm=0\displaystyle \begin{aligned} \sum_{m=2}^{\infty} m(m-1)a_{m}x^{m-2}-2\sum_{m=1}^{\infty}m a_{m} x^{m}+2n \sum_{m=0}^{\infty} a_{m}x^{m}&=0 \\ \sum_{m=0}^{\infty} (m+1)(m+2)a_{m+2}x^{m}-2\sum_{m=1}^{\infty}m a_{m} x^{m}+2n \sum_{m=0}^{\infty} a_{m}x^{m}&=0 \end{aligned}

로 바꿀 수 있고, 각 항의 계수를 비교함으로써 계수에 대한 점화식

am+2=−2(n−m)(m+2)(m+1)am\displaystyle a_{m+2}=-\frac{2(n-m)}{(m+2)(m+1)}a_{m}

따라서 위 방정식의 해는

y=A1y0+A2y1\displaystyle y=A_{1}y_{0}+A_{2}y_{1}

으로 쓸 수 있으며,

y0≡a0[1−2n2!x2+4n(n−2)4!x4−8n(n−2)(n−4)6!x6+⋯ ]y1≡a1[x−2(n−1)3!x3+4(n−1)(n−3)5!x5−8(n−1)(n−3)(n−5)7!x7+⋯ ]\displaystyle \begin{aligned} y_{0}& \equiv a_{0} \left[1-\frac{2n}{2!}x^{2}+\frac{4n(n-2)}{4!}x^{4}-\frac{8n(n-2)(n-4)}{6!}x^{6}+ \cdots \right] \\ y_{1}& \equiv a_{1} \left[x-\frac{2(n-1)}{3!}x^{3}+\frac{4(n-1)(n-3)}{5!}x^{5}-\frac{8(n-1)(n-3)(n-5)}{7!}x^{7}+ \cdots \right] \end{aligned}

이다.

이때, nn이 0을 포함한 자연수라면, y0y_{0} 혹은 y1y_{1}은 다항함수 꼴로 남게 되는데 해당 다항함수에 상수를 붙인 다항식을 에르미트 함수이라 하고, 기호로 Hn(x)H_{n}(x)로 나타낸다.

3. 분석[편집]

3.1. 종류[편집]

다음은 몇몇 에르미트 함수의 목록을 나타낸 것이다.

H0(x)=1H1(x)=2xH2(x)=4x2−2H3(x)=8x3−12xH4(x)=16x4−48x2+12H5(x)=32x5−160x3+120xH6(x)=64x6−480x4+720x2−120H7(x)=128x7−1344x5+3360x3−1680xH8(x)=256x8−3584x6+13440x4−13440x2+1680H9(x)=512x9−9216x7+48384x5−80640x3+30240xH10(x)=1024x10−23040x8+161280x6−403200x4+302400x2−30240\displaystyle \begin{aligned} H_0(x) &= 1 \\ H_1(x) &= 2x \\ H_2(x) &= 4x^2 - 2 \\ H_3(x) &= 8x^3 - 12x \\ H_4(x) &= 16x^4 - 48x^2 + 12 \\ H_5(x) &= 32x^5 - 160x^3 + 120x \\ H_6(x) &= 64x^6 - 480x^4 + 720x^2 - 120 \\ H_7(x) &= 128x^7 - 1344x^5 + 3360x^3 - 1680x \\ H_8(x) &= 256x^8 - 3584x^6 + 13440x^4 - 13440x^2 + 1680 \\ H_9(x) &= 512x^9 - 9216x^7 + 48384x^5 - 80640x^3 + 30240x \\ H_{10}(x) &= 1024x^{10} - 23040x^8 + 161280x^6 - 403200x^4 + 302400x^2 - 30240 \end{aligned}

3.2. 그래프[편집]

아래의 그래프는 [−2, 2][-2,\,2] 구간에서 몇몇 에르미트 함수의 그래프를 나타낸 것이다.

파일:Plot of Hermite Function_NEW_NEW.png

위 그래프에서 볼 수 있듯, 홀수차항의 에르미트 함수는 항상 원점을 지나며, 짝수차항의 에르미트 함수는 x=0x=0 위의 미분 계수는 0이 된다.

yy축 위의 함숫값은 아래와 같다.

Hn(0)={0 for odd n(−2)n/2(n−1)!! for even n\displaystyle H_{n}(0)=\begin{cases} 0 & \text{ for odd } n \\ (-2)^{n/2}(n-1)!! & \text{ for even } n \end{cases}

3.3. 생성 함수[편집]

에르미트 함수의 생성 함수는 다음과 같다.

e2tx−t2=∑n=0∞Hn(x)n!tn\displaystyle e^{2tx-t^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{H_{n}(x)}{n!}t^{n}

3.4. 로드리게스 공식[편집]

에르미트 함수는

Hn(x)=(−1)nex2dndxne−x2\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n} e^{x^{2}}\frac{d^{n}}{dx^{n}}e^{-x^{2}}

의 형태로 쓸 수 있는데, 이것을 에르미트 함수에 대한 로드게리스 공식(Rodrigues' formula)라 한다.

y=e−x2\displaystyle y=e^{-x^{2}} 에서 양변을 미분하면,

y′=−2xe−x2=−2xy  →  y′+2xy=0\displaystyle y'=-2x e^{-x^{2}}=-2xy \;\to \;y'+2xy=0

으로 쓸 수 있다. 이것을 다시 미분하면,

y′′+2y+2xy′=0\displaystyle y''+2y+2xy'=0

이것을 xx에 대하여 nn번 미분하면

y(n+2)+y(n+1)+2∑k=0(nk)x(k)y(n−k+1)=0\displaystyle y^{(n+2)}+y^{(n+1)}+2\sum_{k=0} \binom{n}{k} x^{(k)}y^{(n-k+1)}=0

이때, f(k)=dkf/dxkf^{(k)}=d^{k}f/dx^{k}, [math( binom{n}{k}={}_{n}mathrm{C}_{k})]임을 참고하고, 이 결과는

y(n+1)+2xy(n+1)+2(n+1)y(n)=0\displaystyle y^{(n+1)}+2xy^{(n+1)}+2(n+1) y^{(n)}=0

이때, y(n)≡uy^{(n)} \equiv u이라 놓으면,

d2udx2+2xdudx+2(n+1)u=0\displaystyle \frac{d^{2}u}{dx^{2}}+2x \frac{du}{dx}+2(n+1)u=0


함수 u(x)=(−1)ne−x2f(x)\displaystyle u(x)=(-1)^{n} e^{-x^{2}}f(x) 를 고려하자.

dudx=(−1)ne−x2(−2xf+dfdx)d2udx2=(−1)ne−x2[(4x2−2)f−4xdfdx+d2fdx2]\displaystyle \begin{aligned} \frac{du}{dx}&=(-1)^{n} e^{-x^{2}} \left( -2xf+ \frac{df}{dx} \right) \\ \frac{d^{2}u}{dx^{2}}&=(-1)^{n} e^{-x^{2}} \left[ (4x^2-2)f-4x \frac{df}{dx}+\frac{d^{2}f}{dx^{2}} \right] \end{aligned}

임을 고려하면,

[(4x2−2)f−4xdfdx+d2fdx2]+2x(−2xf+dfdx)+2(n+1)f=0d2fdx2−2xdfdx+2nf=0\displaystyle \begin{aligned} \left[ (4x^2-2)f-4x \frac{df}{dx}+\frac{d^{2}f}{dx^{2}} \right]+2x \left( -2xf+ \frac{df}{dx} \right)+2(n+1) f&=0 \\ \frac{d^{2}f}{dx^{2}}-2x\frac{df}{dx}+2nf&=0 \end{aligned}

으로 정리되고, 이것은 명백한 에르미트의 미분 방정식이다. 따라서

dndxne−x2=(−1)ne−x2Hn(x)  →  Hn(x)=(−1)nex2dndxne−x2\displaystyle \frac{d^{n}}{dx^{n}}e^{-x^{2}}=(-1)^{n} e^{-x^{2}}H_{n}(x) \; \to \; H_{n}(x)=(-1)^{n} e^{x^{2}} \frac{d^{n}}{dx^{n}}e^{-x^{2}}

으로 쓸 수 있다. 다만, 다른 특수 함수와 같이 상수를 고려하는 과정은 거치지 않았는데, 그 이유는 에르미트 함수의 로드리게스 공식의 상수는 1이기 때문이다.

3.5. 재귀 관계[편집]

에르미트 함수의 재귀 관계는 아래와 같다.
  1. dHn(x)dx=2nHn−1(x)\dfrac{dH_{n}(x)}{dx}=2nH_{n-1}(x)
  2. Hn+1(x)=2xHn(x)−2nHn−1(x)H_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x)

3.6. 직교성[편집]

에르미트 함수는 가중함수 e−x2e^{-x^{2}}에 대하여 실수 전체 구간에 대해 다음의 직교성을 가진다.

∫−∞∞e−x2Hn(x)Hm(x) dx=2nn!πδnm\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} H_{n}(x)H_{m}(x)\,dx=2^{n} n! \sqrt{\pi} \delta_{nm}

여기서 δnm\delta_{nm}은 크로네커 델타이다.

이것을 증명하기 위해 n≠mn \neq m일 때를 우선적으로 증명하자. Hn(x)H_{n}(x), Hm(x)H_{m}(x)이 각각 만족하는 미분 방정식에 각각 e−x2Hm(x)e^{-x^{2}}H_{m}(x), e−x2Hn(x)e^{-x^{2}}H_{n}(x)을 곱한 뒤 빼면,

e−x2Hm(x)[d2Hn(x)dx2−2xdHndx]−e−x2Hn(x)[d2Hm(x)dx2−2xdHmdx]+2(n−m)e−x2Hn(x)Hm(x)=0\displaystyle e^{-x^{2}}H_{m}(x)\left[ \frac{d^{2}H_{n}(x)}{dx^{2}}-2x \frac{dH_{n}}{dx} \right]-e^{-x^{2}}H_{n}(x)\left[ \frac{d^{2}H_{m}(x)}{dx^{2}}-2x \frac{dH_{m}}{dx} \right]+2(n-m)e^{-x^{2}} H_{n}(x)H_{m}(x)=0

이것은 다음과 같이 쓸 수 있다.

ddx[e−x2(dHn(x)dxHm(x)−Hn(x)dHm(x)dx)]+2(n−m)e−x2Hn(x)Hm(x)=0\displaystyle \frac{d}{dx}\left[ e^{-x^{2}} \left(\frac{dH_{n}(x)}{dx}H_{m}(x)-H_{n}(x) \frac{dH_{m}(x)}{dx} \right) \right]+2(n-m)e^{-x^{2}} H_{n}(x)H_{m}(x)=0

양변을 실수 전체에 대해 적분하면,

[e−x2(dHn(x)dxHm(x)−Hn(x)dHm(x)dx)]−∞∞+2(n−m)∫−∞∞e−x2Hn(x)Hm(x) dx=0\displaystyle \left[ e^{-x^{2}} \left(\frac{dH_{n}(x)}{dx}H_{m}(x)-H_{n}(x) \frac{dH_{m}(x)}{dx} \right) \right]_{-\infty}^{\infty}+2(n-m) \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}} H_{n}(x)H_{m}(x)\,dx=0

이때, x→∞x \to \infty, x→−∞x \to -\infty에서 e−x2→0e^{-x^{2}} \to 0임을 상기하면, 좌변의 제 1항은 0이 되고, n≠mn \neq m임을 상기하면,

∫−∞∞e−x2Hn(x)Hm(x) dx=0(n≠m)\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} H_{n}(x)H_{m}(x)\,dx =0 \quad (n \neq m)

임을 얻을 수 있다.

n=mn=m일 때를 증명하자. 적분

∫−∞∞e−x2[Hn(x)]2 dx≡Cn\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} [H_{n}(x) ]^{2}\,dx \equiv C_{n}

이라 놓자. 재귀 관계를 이용하면,

Cn=∫−∞∞e−x2Hn(x)[2xHn−1(x)−2(n−1)Hn−2(x)] dx=∫−∞∞e−x2⋅2xHn(x)Hn−1(x) dx=∫−∞∞e−x2[Hn+1(x)+2nHn−1(x)]Hn(x)Hn−1(x) dx=2n∫−∞∞e−x2[Hn−1(x)]2 dx=2nCn−1\displaystyle \begin{aligned} C_{n}&=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} H_{n}(x)[2xH_{n-1}(x)-2(n-1)H_{n-2}(x) ]\,dx \\&=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\cdot 2xH_{n}(x) H_{n-1}(x)\,dx \\ &=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}} [H_{n+1}(x)+2nH_{n-1}(x) ] H_{n}(x) H_{n-1}(x)\,dx \\ &=2n \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}} [H_{n-1}(x) ]^{2}\,dx \\ &=2nC_{n-1}\end{aligned}

이에 Cn+1=2(n+1)Cn  →  Cn=2nn!C0\displaystyle C_{n+1}=2(n+1)C_{n} \; \to \; C_{n}=2^{n}n! C_{0} 을 얻고,

C0=∫−∞∞e−x2 dx=π\displaystyle C_{0}=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\,dx=\sqrt{\pi}

로 가우스 적분 문서의 결과를 참고하여 적을 수 있으므로

∫−∞∞e−x2[Hn(x)]2 dx=2nn!π(n=m)\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} [H_{n}(x) ]^{2}\,dx=2^{n} n! \sqrt{\pi} \quad (n=m)

의 결과를 얻는다.

3.6.1. 푸리에-에르미트 급수[편집]

푸리에 급수로 주기 [0, L][0,\,L]인 함수 f(x)f(x)를 해당 구간에서 직교하는 삼각함수를 이용하여

f(x)=∑n=0∞ansin⁡nπxL+bncos⁡nπxL\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \sin{\frac{n\pi x}{L}}+b_{n} \cos{\frac{n \pi x}{L}}

로 전개할 수 있었으며, 각 계수는 이들의 함수의 직교성으로 구할 수 있었다. 마찬가지로 실수 전체에서 정의된 함수 f(x)f(x)에 대하여

f(x)=∑n=0∞anHn(x)\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}H_{n}(x)

으로 전개할 수 있는데 이것을 푸리에-에르미트 급수(Fourier-Hermite series)'라 한다. 각 계수를 구하기 위해 e−x2Hm(x)e^{-x^{2}}H_{m}(x)를 곱한 뒤 실수 전체에 대해 적분하자.

∫−∞∞e−x2f(x)Hm(x) dx=∑n=0∞an∫−∞∞e−x2Hn(x)Hm(x) dx\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}f(x)H_{m}(x)\,dx= \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} H_{n}(x)H_{m}(x)\,dx

에르미트 함수의 직교성에 따라

∫−∞∞e−x2f(x)Hm(x) dx=∑n=0∞an2nn!πδnm=2nn!πam\displaystyle \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}f(x)H_{m}(x)\,dx&= \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} 2^{n} n! \sqrt{\pi} \delta_{nm} \\ &=2^{n} n! \sqrt{\pi} a_{m} \end{aligned}

이에 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

an=12nn!π∫−∞∞e−x2f(x)Hn(x) dx\displaystyle a_{n}=\frac{1}{2^{n} n! \sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}f(x)H_{n}(x)\,dx

4. 활용[편집]

4.1. 물리학적 활용[편집]

4.1.1. 양자 조화 진동자[편집]

5. 관련 문서[편집]