1. 개요
르장드르 함수는 프랑스의 수학자 아드리앵 마리 르장드르(Adrien-Marie Legendre; 1752~1833)[1]에 의해 알려진 함수이며, 아래의 르장드르 방정식을 만족시키는 함수이다.
[math(displaystyle (1-x^{2}) frac{mathrm{d}^{2}y}{mathrm{d}x^{2}}-2x frac{mathrm{d}y}{mathrm{d}x}+n(n+1)y=0 )]
이 미분 방정식은 구면 좌표계에서 라플라스 방정식을 풀었을 때 등장하게 된다. 한편,
[math(displaystyle frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}left[ (1-x^{2}) frac{mathrm{d}y}{mathrm{d}x}right]=(1-x^{2}) frac{mathrm{d}^{2}y}{mathrm{d}x^{2}}-2x frac{mathrm{d}y}{mathrm{d}x} )]
임을 이용하면, 르장드르의 미분 방정식은 다음과 같이 간략히 표현할 수 있다.
[math(displaystyle frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}left[ (1-x^{2}) frac{mathrm{d}y}{mathrm{d}x}right]+n(n+1)y=0 )]
[math(displaystyle (1-x^{2}) frac{mathrm{d}^{2}y}{mathrm{d}x^{2}}-2x frac{mathrm{d}y}{mathrm{d}x}+n(n+1)y=0 )]
이 미분 방정식은 구면 좌표계에서 라플라스 방정식을 풀었을 때 등장하게 된다. 한편,
[math(displaystyle frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}left[ (1-x^{2}) frac{mathrm{d}y}{mathrm{d}x}right]=(1-x^{2}) frac{mathrm{d}^{2}y}{mathrm{d}x^{2}}-2x frac{mathrm{d}y}{mathrm{d}x} )]
임을 이용하면, 르장드르의 미분 방정식은 다음과 같이 간략히 표현할 수 있다.
[math(displaystyle frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}left[ (1-x^{2}) frac{mathrm{d}y}{mathrm{d}x}right]+n(n+1)y=0 )]
2. 상세
르장드르의 미분 방정식은 [math(x=0)]이 정상점임에 따라 방정식의 해를 다음과 같은 꼴로 놓을 수 있다.
[math(displaystyle y(x)=sum_{m=0}^{infty}a_{m}x^{m} )]
이것을 미분 방정식에 대입하면,
[math(displaystyle begin{aligned} sum_{m=2}^{infty} a_{m}m(m-1)x^{m-2}-sum_{m=2}^{infty} a_{m}m(m-1)x^{m}-2sum_{m=1}^{infty}a_{m}mx^{m}+n(n+1)sum_{m=0}^{infty}a_{m}x^{m}&=0 \ sum_{m=0}^{infty} a_{m+2}(m+1)(m+2)x^{m}-sum_{m=2}^{infty} a_{m}m(m-1)x^{m}-2sum_{m=1}^{infty}a_{m}mx^{m}+n(n+1)sum_{m=0}^{infty}a_{m}x^{m}&=0 end{aligned} )]
이고, 계수에 대한 점화식은 다음과 같다.
[math(displaystyle frac{a_{n+2}}{a_{n}}=-frac{(n-m)(m+n+1)}{(m+1)(m+2)} quad (n geq 0) )]
이상에서 일반해는 다음과 같다.
[math(displaystyle y(x)=A_{1}y_{0}(x)+A_{2}y_{1}(x) )]
관례적으로 [math(a_{0}=a_{1}=1)]로 잡아 다음과 같이 쓴다.
[math(displaystyle begin{aligned} y_{0}(x) & := 1-frac{n(n+1)}{2!}x^{2}+frac{n(n+1)(n-2)(n+3)}{4!} x^{4}-cdots \ y_{1}(x) & := x-frac{(n-1)(n+2)}{3!}x^{3}+frac{(n-1)(n+2)(n-3)(n+4)}{5!}x^{5}+cdots end{aligned} )]
참고로 위 르장드르의 미분 방정식에서 나온 급수해는 [math(|x|leq 1)] 영역에서 수렴하는 것으로 알려져있다.
르장드르의 미분 방정식의 해의 특징은 [math(n)]이 정수일 경우 [math(y_{0}(x))]나 [math(y_{1}(x))] 중 하나는 무한급수가 아닌 다항식 꼴로 표현된다는 것이다. 이 때 다항식 꼴의 해에서 약간의 규격화 상수를 붙인 것을 [math(P_{n}(x))]로 하여 제1종 르장드르 함수(Legendre function of the first kind) 혹은 르장드르 다항식(Legendre polynomials)이라 하고, 다항식이 아닌 해를 [math(Q_{n}(x))]으로 한 뒤 관례적으로 약간의 규격화 상수를 붙여 제2종 르장드르 함수(Legendre function of the second kind)로 정의한다. 따라서 [math(n)]이 정수인 경우 일반해는 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(displaystyle y(x)=A_{1}P_{n}(x)+A_{2}Q_{n}(x) )]
[math(displaystyle y(x)=sum_{m=0}^{infty}a_{m}x^{m} )]
이것을 미분 방정식에 대입하면,
[math(displaystyle begin{aligned} sum_{m=2}^{infty} a_{m}m(m-1)x^{m-2}-sum_{m=2}^{infty} a_{m}m(m-1)x^{m}-2sum_{m=1}^{infty}a_{m}mx^{m}+n(n+1)sum_{m=0}^{infty}a_{m}x^{m}&=0 \ sum_{m=0}^{infty} a_{m+2}(m+1)(m+2)x^{m}-sum_{m=2}^{infty} a_{m}m(m-1)x^{m}-2sum_{m=1}^{infty}a_{m}mx^{m}+n(n+1)sum_{m=0}^{infty}a_{m}x^{m}&=0 end{aligned} )]
이고, 계수에 대한 점화식은 다음과 같다.
[math(displaystyle frac{a_{n+2}}{a_{n}}=-frac{(n-m)(m+n+1)}{(m+1)(m+2)} quad (n geq 0) )]
이상에서 일반해는 다음과 같다.
[math(displaystyle y(x)=A_{1}y_{0}(x)+A_{2}y_{1}(x) )]
관례적으로 [math(a_{0}=a_{1}=1)]로 잡아 다음과 같이 쓴다.
[math(displaystyle begin{aligned} y_{0}(x) & := 1-frac{n(n+1)}{2!}x^{2}+frac{n(n+1)(n-2)(n+3)}{4!} x^{4}-cdots \ y_{1}(x) & := x-frac{(n-1)(n+2)}{3!}x^{3}+frac{(n-1)(n+2)(n-3)(n+4)}{5!}x^{5}+cdots end{aligned} )]
참고로 위 르장드르의 미분 방정식에서 나온 급수해는 [math(|x|leq 1)] 영역에서 수렴하는 것으로 알려져있다.
르장드르의 미분 방정식의 해의 특징은 [math(n)]이 정수일 경우 [math(y_{0}(x))]나 [math(y_{1}(x))] 중 하나는 무한급수가 아닌 다항식 꼴로 표현된다는 것이다. 이 때 다항식 꼴의 해에서 약간의 규격화 상수를 붙인 것을 [math(P_{n}(x))]로 하여 제1종 르장드르 함수(Legendre function of the first kind) 혹은 르장드르 다항식(Legendre polynomials)이라 하고, 다항식이 아닌 해를 [math(Q_{n}(x))]으로 한 뒤 관례적으로 약간의 규격화 상수를 붙여 제2종 르장드르 함수(Legendre function of the second kind)로 정의한다. 따라서 [math(n)]이 정수인 경우 일반해는 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(displaystyle y(x)=A_{1}P_{n}(x)+A_{2}Q_{n}(x) )]
2.1. 르장드르의 미분 방정식의 다른 형태
구면 좌표계에서 스칼라 함수 [math(f(r,,theta))]에 대하여 라플라스 방정식을 [math(f(r,,theta)=R(r) Theta(theta))]로 놓고 풀면 [math(theta)]에 관한 식이 나온다.
[math(displaystyle frac{mathrm{d}}{mathrm{d} theta} left( sin{theta} frac{mathrm{d} Theta}{mathrm{d} theta} right)+m^{2} Thetasin{theta}=0 )]
여기서 [math(m)]은 상수이다. 이것을 [math(Theta(theta) to Theta(x))], [math(x=cos{theta})]로 치환하면 다음과 같다.
[math(displaystyle begin{aligned} sqrt{1-x^{2}} frac{mathrm{d}}{mathrm{d} x} left[ (1-x^{2}) frac{mathrm{d} Theta}{mathrm{d} x} right]+sqrt{1-x^{2}} m^{2}Theta &=0 \ (1-x^2)frac{mathrm{d}^{2} Theta}{mathrm{d} x^{2}}-2x frac{mathrm{d} Theta}{mathrm{d}x}+m^{2}Theta&=0 end{aligned})]
[math(m^{2} := n(n+1))]로 놓으면 위 식은 아래와 같아진다.
[math(displaystyle (1-x^2)frac{mathrm{d}^{2} Theta}{mathrm{d} x^{2}}-2x frac{mathrm{d} Theta}{mathrm{d}x}+n(n+1)Theta=0)]
이것은 명백히 르장드르의 미분 방정식이므로, [math(theta)]에 대한 해를 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(displaystyle Theta(cos{theta}) propto P_{n}(cos{theta}) )]
[math(displaystyle frac{mathrm{d}}{mathrm{d} theta} left( sin{theta} frac{mathrm{d} Theta}{mathrm{d} theta} right)+m^{2} Thetasin{theta}=0 )]
여기서 [math(m)]은 상수이다. 이것을 [math(Theta(theta) to Theta(x))], [math(x=cos{theta})]로 치환하면 다음과 같다.
[math(displaystyle begin{aligned} sqrt{1-x^{2}} frac{mathrm{d}}{mathrm{d} x} left[ (1-x^{2}) frac{mathrm{d} Theta}{mathrm{d} x} right]+sqrt{1-x^{2}} m^{2}Theta &=0 \ (1-x^2)frac{mathrm{d}^{2} Theta}{mathrm{d} x^{2}}-2x frac{mathrm{d} Theta}{mathrm{d}x}+m^{2}Theta&=0 end{aligned})]
[math(m^{2} := n(n+1))]로 놓으면 위 식은 아래와 같아진다.
[math(displaystyle (1-x^2)frac{mathrm{d}^{2} Theta}{mathrm{d} x^{2}}-2x frac{mathrm{d} Theta}{mathrm{d}x}+n(n+1)Theta=0)]
이것은 명백히 르장드르의 미분 방정식이므로, [math(theta)]에 대한 해를 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(displaystyle Theta(cos{theta}) propto P_{n}(cos{theta}) )]
3. 분석
이 문단에서는 물리학적으로 가장 유용한 해인 제1종 르장드르 함수만을 심층적으로 분석하였다.
3.1. 종류
제1종 르장드르 함수는 [math(P_{n}(1)=1)], [math(P_{n}(-1)=(-1)^{n})]이 되게끔 약간의 규격화 상수를 붙여 해로 정의한다. 아래는 몇몇의 제1종 르장드르 함수를 나타낸 것이다.
[math(displaystyle begin{aligned}
P_{0}(x)&=1 \
P_{1}(x)&=x \
P_{2}(x)& =frac{1}{2} (3x^2-1) \
P_{3}(x)&=frac{1}{2} (5x^3-3x) \
P_{4}(x)&=frac{1}{8} (35x^4-30x^2+3) \
P_{5}(x)&=frac{1}{8} (63x^5-70x^3+15x) \
P_{6}(x)&=frac{1}{16} (231x^6-315x^4+105x^2-5) \
P_{7}(x)&=frac{1}{16} (429x^7-693x^5+315x^3-35x) \
P_{8}(x)&=frac{1}{128} (6435x^8-12012x^6+6930x^4-1260x^2+35) \
P_{9}(x)&=frac{1}{128} (12155x^9-25740x^7+18018x^5-4620x^3+315x ) \
P_{10}(x)&=frac{1}{256} (46189x^{10}-109395x^8+90090x^6-30030x^4+3465x^2-63)
end{aligned} )]
[math(displaystyle begin{aligned}
P_{0}(x)&=1 \
P_{1}(x)&=x \
P_{2}(x)& =frac{1}{2} (3x^2-1) \
P_{3}(x)&=frac{1}{2} (5x^3-3x) \
P_{4}(x)&=frac{1}{8} (35x^4-30x^2+3) \
P_{5}(x)&=frac{1}{8} (63x^5-70x^3+15x) \
P_{6}(x)&=frac{1}{16} (231x^6-315x^4+105x^2-5) \
P_{7}(x)&=frac{1}{16} (429x^7-693x^5+315x^3-35x) \
P_{8}(x)&=frac{1}{128} (6435x^8-12012x^6+6930x^4-1260x^2+35) \
P_{9}(x)&=frac{1}{128} (12155x^9-25740x^7+18018x^5-4620x^3+315x ) \
P_{10}(x)&=frac{1}{256} (46189x^{10}-109395x^8+90090x^6-30030x^4+3465x^2-63)
end{aligned} )]
3.2. 그래프
3.3. 생성 함수
제1종 르장드르 함수에 대한 생성 함수는 아래와 같다.
[math(displaystyle frac{1}{sqrt{1-2xt+t^{2} }}=sum_{n=0}^{infty} P_{n}(x)t^{n} )]
[math(displaystyle frac{1}{sqrt{1-2xt+t^{2} }}=sum_{n=0}^{infty} P_{n}(x)t^{n} )]
3.4. 로드리게스 공식
제1종 르장드르 함수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
[math(displaystyle P_{n}=frac{1}{2^{n} cdot n!} frac{mathrm{d}^{n}}{mathrm{d}x^{n}}(x^{2}-1)^{n} )]
다음과 같은 식에서 출발하여 이를 증명하여 보자.
[math(displaystyle u := (x^{2}-1)^{n} )]
양변을 미분하면
[math(displaystyle u'=2nx(x^{2}-1)^{n-1} , to , (x^{2}-1)u'=2nxu )]
양변을 [math((n+1))]번 미분하면
[math(displaystyle sum_{k=0}^{n+1} binom{n+1}{k} (x^{2}-1)^{(k)}u^{(n+2-k)}=2n sum_{k=0}^{n+1} binom{n+1}{k} x^{(k)}u^{(n+1-k)} )]
이때, [math(f^{(k)}=mathrm{d}^{k}f/mathrm{d}x^{k})], [math( binom{n}{k}={}_{n}mathrm{C}_{k})]임을 이용하면
[math(displaystyle begin{aligned} (x^{2}-1)u^{n+2}+2(n+1)xu^{n+1}+n(n+1) u^{n}&=2nxu^{n+1}+2n(n+1)u^{n} \ (1-x^{2})u^{n+2}-2xu^{n+1}+n(n+1)u^{n}&=0 \ (1-x^{2})frac{mathrm{d}^{2} u^{n}}{mathrm{d}x^{2}}-2x frac{mathrm{d}u^{n}}{mathrm{d}x}+n(n+1)u^{n}&=0 end{aligned} )]
이는 르장드르의 미분 방정식이므로 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(displaystyle frac{mathrm{d}^{n}}{mathrm{d}x^{n}}(x^2-1)^{n}=CP_{n}(x) )]
[math(C)]는 상수이다. 이상에서 다음 식을 얻는다.
[math(displaystyle begin{aligned} P_{n}(x)&=frac{1}{C}frac{mathrm{d}^{n}}{mathrm{d}x^{n}}(x^2-1)^{n} \ &=frac{1}{C} sum_{k=0}^{n} binom{n}{k} [(x+1)^{n}]^{(k)}[(x-1)^{n}]^{(n-k)} end{aligned} )]
[math(P_{n}(1)=1)]로 규격화했으므로
[math(displaystyle begin{aligned} P_{1}(x)&=frac{1}{C}n!cdot(1+1)^{n}=1 , to ,C=2^{n}cdot n! end{aligned} )]
따라서 다음과 같은 결과를 얻으며, 이를 제1종 르장드르 함수에 대한 로드리게스 공식(Rodrigues' formula)이라 한다.
[math(displaystyle P_{n}(x)=frac{1}{2^{n}cdot n! } frac{mathrm{d}^{n}}{mathrm{d}x^{n}}(x^{2}-1)^{n} )]
[math(displaystyle P_{n}=frac{1}{2^{n} cdot n!} frac{mathrm{d}^{n}}{mathrm{d}x^{n}}(x^{2}-1)^{n} )]
다음과 같은 식에서 출발하여 이를 증명하여 보자.
[math(displaystyle u := (x^{2}-1)^{n} )]
양변을 미분하면
[math(displaystyle u'=2nx(x^{2}-1)^{n-1} , to , (x^{2}-1)u'=2nxu )]
양변을 [math((n+1))]번 미분하면
[math(displaystyle sum_{k=0}^{n+1} binom{n+1}{k} (x^{2}-1)^{(k)}u^{(n+2-k)}=2n sum_{k=0}^{n+1} binom{n+1}{k} x^{(k)}u^{(n+1-k)} )]
이때, [math(f^{(k)}=mathrm{d}^{k}f/mathrm{d}x^{k})], [math( binom{n}{k}={}_{n}mathrm{C}_{k})]임을 이용하면
[math(displaystyle begin{aligned} (x^{2}-1)u^{n+2}+2(n+1)xu^{n+1}+n(n+1) u^{n}&=2nxu^{n+1}+2n(n+1)u^{n} \ (1-x^{2})u^{n+2}-2xu^{n+1}+n(n+1)u^{n}&=0 \ (1-x^{2})frac{mathrm{d}^{2} u^{n}}{mathrm{d}x^{2}}-2x frac{mathrm{d}u^{n}}{mathrm{d}x}+n(n+1)u^{n}&=0 end{aligned} )]
이는 르장드르의 미분 방정식이므로 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(displaystyle frac{mathrm{d}^{n}}{mathrm{d}x^{n}}(x^2-1)^{n}=CP_{n}(x) )]
[math(C)]는 상수이다. 이상에서 다음 식을 얻는다.
[math(displaystyle begin{aligned} P_{n}(x)&=frac{1}{C}frac{mathrm{d}^{n}}{mathrm{d}x^{n}}(x^2-1)^{n} \ &=frac{1}{C} sum_{k=0}^{n} binom{n}{k} [(x+1)^{n}]^{(k)}[(x-1)^{n}]^{(n-k)} end{aligned} )]
[math(P_{n}(1)=1)]로 규격화했으므로
[math(displaystyle begin{aligned} P_{1}(x)&=frac{1}{C}n!cdot(1+1)^{n}=1 , to ,C=2^{n}cdot n! end{aligned} )]
따라서 다음과 같은 결과를 얻으며, 이를 제1종 르장드르 함수에 대한 로드리게스 공식(Rodrigues' formula)이라 한다.
[math(displaystyle P_{n}(x)=frac{1}{2^{n}cdot n! } frac{mathrm{d}^{n}}{mathrm{d}x^{n}}(x^{2}-1)^{n} )]
3.5. 재귀 관계
생성 함수를 이용하면 다음의 관계식을 증명할 수 있다.
- [math( displaystyle nP_{n}(x)=(2n-1)xP_{n-1}(x)-(n-1)P_{n-2}(x) )]
- [math( displaystyle xP_{n}'(x)-P_{n-1}'(x)=nP_{n}(x) )]
- [math( displaystyle P_{n}'(x)-xP_{n-1}'(x)=nP_{n-1}(x) )]
- [math( displaystyle (1-x^{2})P_{n}'(x)=nP_{n-1}(x)-nxP_{n}(x) )]
- [math( displaystyle (2n+1)P_{n}(x)=P_{n+1}'(x)-P_{n-1}'(x) )]
- [math( displaystyle (1-x^{2})P_{n-1}'(x)=nxP_{n-1}(x)-nP_{n}(x) )]
3.6. 직교성
제1종 르장드르 함수는 [math([-1,,1])] 구간에서 직교하는 다항식으로, 다음을 만족시킨다. [math(delta_{mn})]은 크로네커 델타이다.
[math(displaystyle int_{-1}^{1} P_{n}(x)P_{m}(x),mathrm{d}x=frac{2}{2n+1}delta_{mn} )]
우선 [math(m neq n)]일 때를 증명해보자. [math(P_{n}(x))]와 [math(P_{m}(x))]가 만족시키는 르장드르의 미분 방정식을 적어보자.
[math(displaystyle begin{aligned} frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}left[ (1-x^{2}) frac{mathrm{d}P_{n}(x)}{mathrm{d}x}right]+n(n+1)P_{n}(x)&=0 \ frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}left[ (1-x^{2}) frac{mathrm{d}P_{m}(x)}{mathrm{d}x}right]+m(m+1)P_{m}(x)&=0 end{aligned} )]
위쪽 방정식에는 [math(P_{m}(x))]를, 아래쪽 방정식에는 [math(P_{n}(x))]를 각각 곱한 후 위에서 아래를 빼고 정리하면 다음과 같다.
[math(displaystyle begin{aligned} frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}left[ (1-x^{2}) frac{mathrm{d}P_{n}(x)}{mathrm{d}x}right]P_{m}(x)-frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}left[ (1-x^{2}) frac{mathrm{d}P_{m}(x)}{mathrm{d}x}right]P_{n}(x)+[n(n+1)-m(m+1) ]P_{n}(x)P_{m}(x)&=0 \ frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}left[ (1-x^{2}) left( P_{m}(x) frac{mathrm{d} P_{n}(x)}{mathrm{d}x}-P_{n}(x) frac{mathrm{d} P_{m}(x)}{mathrm{d}x} right)right]+[n(n+1)-m(m+1) ]P_{n}(x)P_{m}(x)&=0 end{aligned} )]
양변을 구간 [math([-1,,1])]에 대하여 적분하면
[math(displaystyle left[ (1-x^{2}) left( P_{m}(x) frac{mathrm{d} P_{n}(x)}{mathrm{d}x}-P_{n}(x) frac{mathrm{d} P_{m}(x)}{mathrm{d}x} right) right]_{1}^{-1}=-[n(n+1)-m(m+1) ] int_{-1}^{1} P_{n}(x)P_{m}(x),mathrm{d}x )]
로 쓸 수 있고, 이상에서
[math(displaystyle -[n(n+1)-m(m+1) ] int_{-1}^{1} P_{n}(x)P_{m}(x),mathrm{d}x=0 )]
그런데 [math(n neq m)]을 가정한 상황이므로 최종적으로 다음과 같이 증명된다.
[math(displaystyle int_{-1}^{1} P_{n}(x)P_{m}(x),mathrm{d}x=0 quad (n neq m) )]
이번에는 [math(m=n)]인 경우를 보자. 제1종 르장드르 함수의 재귀 관계 중 다음 식을 고려해보자.
[math(displaystyle nP_{n}(x)=xP_{n}'(x)-P_{n-1}'(x) )]
이 때, 양변에 [math(P_{n}(x))]를 곱한 뒤 구간 [math([-1,,1])]에 대하여 적분하면
[math(displaystyle nint_{-1}^{1} [P_{n}(x) ]^{2},mathrm{d}x= int_{-1}^{1} xP_{n}'(x)P_{n}(x),mathrm{d}x- int_{-1}^{1} P_{n-1}'(x)P_{n}(x),mathrm{d}x )]
우변의 마지막 항은 0[2] )] 위에서 서로 다른 차수의 제1종 르장드르 함수끼리의 내적은 0이 됨을 증명하였다. [math(P_{n-1}'(x))]는 [math(P_{n}(x))]와 비교해볼 때 차수가 작은 다항식임을 예상할 수 있다. 즉, [math(P_{n}(x))]의 최고차항이 없기 때문에 [math(P_{n-1}'(x))]는 [math(P_{n}(x))]과 비교했을 때 최고차항이 [math(P_{n}(x))]보다 최고차항이 낮은 차수의 제1종 르장드르 함수끼리의 합으로 전개될 것이므로 적분항은 결국 0이 된다.]이 되고, 우변의 첫 항은 다음처럼 정리된다.
[math(displaystyle begin{aligned} int_{-1}^{1} xP_{n}'(x)P_{n}(x),mathrm{d}x&=biggl[ xfrac{[P_{n}(x) ]^{2}}{2} biggr]_{-1}^{1} -int_{-1}^{1} frac{[P_{n}(x) ]^{2}}{2},mathrm{d}x \ &=1-frac{1}{2} int_{-1}^{1} [P_{n}(x) ]^{2},mathrm{d}x \ \ therefore left( n+frac{1}{2} right) int_{-1}^{1} [P_{n}(x) ]^{2},mathrm{d}x &=1 , to , int_{-1}^{1} [P_{n}(x) ]^{2},mathrm{d}x=frac{2}{2n+1} quad (n=m) end{aligned})]
참고로 구간 [math([-b,,b])]에 대하여 다음이 성립함을 치환적분을 통해 증명할 수 있다.
[math(displaystyle int_{-b}^{b} P_{n}biggl( frac{x}{b} biggr)P_{m}biggl( frac{x}{b} biggr),mathrm{d}x=frac{2b}{2n+1}delta_{mn} )]
[math(displaystyle int_{-1}^{1} P_{n}(x)P_{m}(x),mathrm{d}x=frac{2}{2n+1}delta_{mn} )]
우선 [math(m neq n)]일 때를 증명해보자. [math(P_{n}(x))]와 [math(P_{m}(x))]가 만족시키는 르장드르의 미분 방정식을 적어보자.
[math(displaystyle begin{aligned} frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}left[ (1-x^{2}) frac{mathrm{d}P_{n}(x)}{mathrm{d}x}right]+n(n+1)P_{n}(x)&=0 \ frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}left[ (1-x^{2}) frac{mathrm{d}P_{m}(x)}{mathrm{d}x}right]+m(m+1)P_{m}(x)&=0 end{aligned} )]
위쪽 방정식에는 [math(P_{m}(x))]를, 아래쪽 방정식에는 [math(P_{n}(x))]를 각각 곱한 후 위에서 아래를 빼고 정리하면 다음과 같다.
[math(displaystyle begin{aligned} frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}left[ (1-x^{2}) frac{mathrm{d}P_{n}(x)}{mathrm{d}x}right]P_{m}(x)-frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}left[ (1-x^{2}) frac{mathrm{d}P_{m}(x)}{mathrm{d}x}right]P_{n}(x)+[n(n+1)-m(m+1) ]P_{n}(x)P_{m}(x)&=0 \ frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}left[ (1-x^{2}) left( P_{m}(x) frac{mathrm{d} P_{n}(x)}{mathrm{d}x}-P_{n}(x) frac{mathrm{d} P_{m}(x)}{mathrm{d}x} right)right]+[n(n+1)-m(m+1) ]P_{n}(x)P_{m}(x)&=0 end{aligned} )]
양변을 구간 [math([-1,,1])]에 대하여 적분하면
[math(displaystyle left[ (1-x^{2}) left( P_{m}(x) frac{mathrm{d} P_{n}(x)}{mathrm{d}x}-P_{n}(x) frac{mathrm{d} P_{m}(x)}{mathrm{d}x} right) right]_{1}^{-1}=-[n(n+1)-m(m+1) ] int_{-1}^{1} P_{n}(x)P_{m}(x),mathrm{d}x )]
로 쓸 수 있고, 이상에서
[math(displaystyle -[n(n+1)-m(m+1) ] int_{-1}^{1} P_{n}(x)P_{m}(x),mathrm{d}x=0 )]
그런데 [math(n neq m)]을 가정한 상황이므로 최종적으로 다음과 같이 증명된다.
[math(displaystyle int_{-1}^{1} P_{n}(x)P_{m}(x),mathrm{d}x=0 quad (n neq m) )]
이번에는 [math(m=n)]인 경우를 보자. 제1종 르장드르 함수의 재귀 관계 중 다음 식을 고려해보자.
[math(displaystyle nP_{n}(x)=xP_{n}'(x)-P_{n-1}'(x) )]
이 때, 양변에 [math(P_{n}(x))]를 곱한 뒤 구간 [math([-1,,1])]에 대하여 적분하면
[math(displaystyle nint_{-1}^{1} [P_{n}(x) ]^{2},mathrm{d}x= int_{-1}^{1} xP_{n}'(x)P_{n}(x),mathrm{d}x- int_{-1}^{1} P_{n-1}'(x)P_{n}(x),mathrm{d}x )]
우변의 마지막 항은 0[2] )] 위에서 서로 다른 차수의 제1종 르장드르 함수끼리의 내적은 0이 됨을 증명하였다. [math(P_{n-1}'(x))]는 [math(P_{n}(x))]와 비교해볼 때 차수가 작은 다항식임을 예상할 수 있다. 즉, [math(P_{n}(x))]의 최고차항이 없기 때문에 [math(P_{n-1}'(x))]는 [math(P_{n}(x))]과 비교했을 때 최고차항이 [math(P_{n}(x))]보다 최고차항이 낮은 차수의 제1종 르장드르 함수끼리의 합으로 전개될 것이므로 적분항은 결국 0이 된다.]이 되고, 우변의 첫 항은 다음처럼 정리된다.
[math(displaystyle begin{aligned} int_{-1}^{1} xP_{n}'(x)P_{n}(x),mathrm{d}x&=biggl[ xfrac{[P_{n}(x) ]^{2}}{2} biggr]_{-1}^{1} -int_{-1}^{1} frac{[P_{n}(x) ]^{2}}{2},mathrm{d}x \ &=1-frac{1}{2} int_{-1}^{1} [P_{n}(x) ]^{2},mathrm{d}x \ \ therefore left( n+frac{1}{2} right) int_{-1}^{1} [P_{n}(x) ]^{2},mathrm{d}x &=1 , to , int_{-1}^{1} [P_{n}(x) ]^{2},mathrm{d}x=frac{2}{2n+1} quad (n=m) end{aligned})]
참고로 구간 [math([-b,,b])]에 대하여 다음이 성립함을 치환적분을 통해 증명할 수 있다.
[math(displaystyle int_{-b}^{b} P_{n}biggl( frac{x}{b} biggr)P_{m}biggl( frac{x}{b} biggr),mathrm{d}x=frac{2b}{2n+1}delta_{mn} )]
3.6.1. 푸리에-르장드르 급수
우리는 푸리에 급수로 주기 [math([0,,L])]인 함수 [math(f(x))]를 해당 구간에서 직교하는 삼각함수를 이용하여
[math(displaystyle f(x)=sum_{n=0}^{infty} a_{n} sin{frac{npi x}{L}}+b_{n} cos{frac{n pi x}{L}} )]
로 전개할 수 있었으며, 각 계수는 이들의 함수의 직교성으로 구할 수 있었다.
이와 유사하게 구간 [math([-b,,b])]의 함수 [math(f(x))]에 대하여
[math(displaystyle f(x)=sum_{n=0}^{infty} a_{n} P_{n}left( frac{x}{b} right) )]
으로 전개할 수 있는데, 이 급수를 푸리에-르장드르 급수(Fourier-Legendre Series)라 한다. 계수 [math(a_{n})]을 구하기 위해, 양변에 [math(P_{m}(x/b))]를 곱하고 구간 [math([-b,,b])]에 대하여 적분하면 다음처럼 정리된다.
[math(displaystyle begin{aligned} int_{-b}^{b}f(x) P_{m} left( frac{x}{b} right) ,mathrm{d}x&=sum_{n=0}^{infty} a_{n} int_{-b}^{b} P_{n}left( frac{x}{b} right) P_{m}left( frac{x}{b} right),mathrm{d}x \ &=sum_{n=0}^{infty} a_{n} frac{2b}{2n+1} delta_{nm} \ &=a_{m}frac{2b}{2n+1} \ \ therefore a_{n}&=frac{2n+1}{2b}int_{-b}^{b}f(x) P_{m} left( frac{x}{b} right)mathrm{d}x end{aligned} )]
[math(displaystyle f(x)=sum_{n=0}^{infty} a_{n} sin{frac{npi x}{L}}+b_{n} cos{frac{n pi x}{L}} )]
로 전개할 수 있었으며, 각 계수는 이들의 함수의 직교성으로 구할 수 있었다.
이와 유사하게 구간 [math([-b,,b])]의 함수 [math(f(x))]에 대하여
[math(displaystyle f(x)=sum_{n=0}^{infty} a_{n} P_{n}left( frac{x}{b} right) )]
으로 전개할 수 있는데, 이 급수를 푸리에-르장드르 급수(Fourier-Legendre Series)라 한다. 계수 [math(a_{n})]을 구하기 위해, 양변에 [math(P_{m}(x/b))]를 곱하고 구간 [math([-b,,b])]에 대하여 적분하면 다음처럼 정리된다.
[math(displaystyle begin{aligned} int_{-b}^{b}f(x) P_{m} left( frac{x}{b} right) ,mathrm{d}x&=sum_{n=0}^{infty} a_{n} int_{-b}^{b} P_{n}left( frac{x}{b} right) P_{m}left( frac{x}{b} right),mathrm{d}x \ &=sum_{n=0}^{infty} a_{n} frac{2b}{2n+1} delta_{nm} \ &=a_{m}frac{2b}{2n+1} \ \ therefore a_{n}&=frac{2n+1}{2b}int_{-b}^{b}f(x) P_{m} left( frac{x}{b} right)mathrm{d}x end{aligned} )]
4. 연관 함수
4.1. 버금 르장드르 함수
버금 르장드르 함수(Associated Legendre Function)는 미분 방정식
[math(displaystyle (1-x^2){mathrm{d}^2 yover mathrm{d}x^2} - 2x{mathrm{d}yover mathrm{d}x}+left[n(n+1)-{m^2over 1-x^2} right]y=0 )]
(단, [math(m)]은 정수)을 만족하는 함수로
[math(displaystyle y(x)=A_{1}P_{n}^{m}(x)+ A_{2}Q_{n}^{m}(x) )]
로 쓰고, 각각을 제1종 버금 르장드르 함수(Associated Legendre Function of the First Kind), 제2종 버금 르장드르 함수(Associated Legendre Function of the Second Kind)라 한다.
제1종 버금 르장드르 함수와 제1종 르장드르 함수 사이에는
[math(displaystyle P_{n}^{m}(x)=(1-x^{2})^{|m|/2} frac{mathrm{d}^{|m|}P_{n}(x)}{mathrm{d}x^{|m|}} )]
의 관계가 있고,
[math(displaystyle P_{n}^{-m}(x)=(-1)^{m} frac{(n-m)!}{(n+m)!}P_{n}^{m}(x) )]
의 관계가 있다.
이 함수 또한 구간 [math([-b,,b])]에 대하여 아래의 직교성이 있다.
[math(displaystyle int_{-b}^{b} P_{n}^{m}left( frac{x}{b} right) P_{l}^{m}left( frac{x}{b} right)mathrm{d}x=frac{2b}{2n+1}frac{(n+|m|)!}{(n-|m|)!}delta_{nl} )]
제1종 버금 르장드르 함수의 재귀 관계는 아래와 같다.
[math(displaystyle (1-x^2){mathrm{d}^2 yover mathrm{d}x^2} - 2x{mathrm{d}yover mathrm{d}x}+left[n(n+1)-{m^2over 1-x^2} right]y=0 )]
(단, [math(m)]은 정수)을 만족하는 함수로
[math(displaystyle y(x)=A_{1}P_{n}^{m}(x)+ A_{2}Q_{n}^{m}(x) )]
로 쓰고, 각각을 제1종 버금 르장드르 함수(Associated Legendre Function of the First Kind), 제2종 버금 르장드르 함수(Associated Legendre Function of the Second Kind)라 한다.
제1종 버금 르장드르 함수와 제1종 르장드르 함수 사이에는
[math(displaystyle P_{n}^{m}(x)=(1-x^{2})^{|m|/2} frac{mathrm{d}^{|m|}P_{n}(x)}{mathrm{d}x^{|m|}} )]
의 관계가 있고,
[math(displaystyle P_{n}^{-m}(x)=(-1)^{m} frac{(n-m)!}{(n+m)!}P_{n}^{m}(x) )]
의 관계가 있다.
이 함수 또한 구간 [math([-b,,b])]에 대하여 아래의 직교성이 있다.
[math(displaystyle int_{-b}^{b} P_{n}^{m}left( frac{x}{b} right) P_{l}^{m}left( frac{x}{b} right)mathrm{d}x=frac{2b}{2n+1}frac{(n+|m|)!}{(n-|m|)!}delta_{nl} )]
제1종 버금 르장드르 함수의 재귀 관계는 아래와 같다.
- [math(displaystyle P_{n}^{m+1}(x)=frac{2mx}{sqrt{1-x^{2}}}P_{n}^{m}(x)+[m(m-1)-n(n+1) ]P_{n}^{m-1}(x) )]
- [math(displaystyle (2n+1)xP_{n}^{m}(x)=(n+m)P_{n-1}^{m}(x)+(n-m+1)P_{n+1}^{m}(x) )]
- [math(displaystyle (2n+1)sqrt{1-x^{2}} P_{n}^{m}(x)=P_{n+1}^{m+1}(x)-P_{n-1}^{m+1}(x) )]
- [math(displaystyle 2sqrt{1-x^{2}} frac{mathrm{d}P_{n}^{m}(x)}{mathrm{d}x}=P_{n}^{m+1}(x)-(n+m)(n-m+1)P_{n}^{m-1}(x) )]
4.2. 구면 조화 함수
구면 조화 함수(Spherical harmonics)는 구면좌표계에서 아래와 같이 정의되는 함수이다.[3]와 닮아있으나, 둘은 전혀 다른 함수임에 주의하라.]
[math(displaystyle Y_{l}^{m}(theta,,phi) := A P_{l}^{m}(cos{theta}) e^{i m phi} )]
[math(A)]는 규격화 상수로써
[math(displaystyle oint_{Omega }Y_{l}^{mast}(theta,,phi) Y_{l}^{m}(theta,,phi), mathrm{d} Omega=1 )]
이 되도록 관례적으로 잡는다. [math(Omega)]는 입체각이고, [math(oint_{Omega})]는 전체 입체각에 대한 적분임을 나타내는 기호이다. 이것은
[math(displaystyle |A|^{2} int_{0}^{2 pi} mathrm{d} phi int_{0}^{pi} [P_{l}^{m}(cos{theta}) ]^{2}sin{theta},mathrm{d}theta )]
으로 쓸 수 있고, [math(x := cos{theta})]라 잡으면,
[math(displaystyle |A|^{2} int_{0}^{2 pi} mathrm{d} phi int_{0}^{1} [P_{l}^{m}(x) ]^{2},mathrm{d}x=frac{4 pi}{2l+1}frac{(l+|m|)!}{(l-|m|)!} |A|^{2}=1 )]
이고, 결국
[math(displaystyle Y_{l}^{m}(theta,,phi) = sqrt{ frac{2l+1}{4 pi} frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!} } ,P_{l}^{m}(cos{theta}) e^{i m phi} )]
로 정의된다는 것을 알 수 있다. 또한 모든 입체각에 대해 다음과 같은 직교성이 있다.
[math(displaystyle oint_{Omega }Y_{l'}^{m'ast}(theta,,phi) Y_{l}^{m}(theta,,phi), mathrm{d} Omega=delta_{ll'}delta_{mm'} )]
또한 기본적으로 제1종 버금 르장드르 함수와 [math(e^{im phi})]의 곱으로 이루어진 함수이기 때문에 다음을 증명할 수 있다.
[math(displaystyle Y_{l}^{-m}(theta,,phi)=(-1)^{m}Y_{l}^{m}(theta,,phi) )]
이 구면 조화함수는 양자역학에서 3차원 입자의 각운동량을 논할 때 등장하게 된다.
이곳(영어)으로부터 몇몇 구면 조화 함수의 목록을 볼 수 있고, 아래의 그래프[4]는 몇몇 [math(Y_{l}^{m}(theta,,phi))]에 대하여 [math(|Y_{l}^{m}(theta,,phi)|^{2})]의 개형[5]을 나타낸 것이다. [math(hat{mathbf{z}})]는 [math(z)]축 방향의 단위 벡터이다.
[math(displaystyle Y_{l}^{m}(theta,,phi) := A P_{l}^{m}(cos{theta}) e^{i m phi} )]
[math(A)]는 규격화 상수로써
[math(displaystyle oint_{Omega }Y_{l}^{mast}(theta,,phi) Y_{l}^{m}(theta,,phi), mathrm{d} Omega=1 )]
이 되도록 관례적으로 잡는다. [math(Omega)]는 입체각이고, [math(oint_{Omega})]는 전체 입체각에 대한 적분임을 나타내는 기호이다. 이것은
[math(displaystyle |A|^{2} int_{0}^{2 pi} mathrm{d} phi int_{0}^{pi} [P_{l}^{m}(cos{theta}) ]^{2}sin{theta},mathrm{d}theta )]
으로 쓸 수 있고, [math(x := cos{theta})]라 잡으면,
[math(displaystyle |A|^{2} int_{0}^{2 pi} mathrm{d} phi int_{0}^{1} [P_{l}^{m}(x) ]^{2},mathrm{d}x=frac{4 pi}{2l+1}frac{(l+|m|)!}{(l-|m|)!} |A|^{2}=1 )]
이고, 결국
[math(displaystyle Y_{l}^{m}(theta,,phi) = sqrt{ frac{2l+1}{4 pi} frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!} } ,P_{l}^{m}(cos{theta}) e^{i m phi} )]
로 정의된다는 것을 알 수 있다. 또한 모든 입체각에 대해 다음과 같은 직교성이 있다.
[math(displaystyle oint_{Omega }Y_{l'}^{m'ast}(theta,,phi) Y_{l}^{m}(theta,,phi), mathrm{d} Omega=delta_{ll'}delta_{mm'} )]
또한 기본적으로 제1종 버금 르장드르 함수와 [math(e^{im phi})]의 곱으로 이루어진 함수이기 때문에 다음을 증명할 수 있다.
[math(displaystyle Y_{l}^{-m}(theta,,phi)=(-1)^{m}Y_{l}^{m}(theta,,phi) )]
이 구면 조화함수는 양자역학에서 3차원 입자의 각운동량을 논할 때 등장하게 된다.
이곳(영어)으로부터 몇몇 구면 조화 함수의 목록을 볼 수 있고, 아래의 그래프[4]는 몇몇 [math(Y_{l}^{m}(theta,,phi))]에 대하여 [math(|Y_{l}^{m}(theta,,phi)|^{2})]의 개형[5]을 나타낸 것이다. [math(hat{mathbf{z}})]는 [math(z)]축 방향의 단위 벡터이다.
[ 그래프 펼치기 · 접기 ] |
