역도함수표

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1. 개요2. 기본 적분
2.1. 선형성(linearity)[* 어떤 연산자가 분배 법칙 및 상수배 성질을 만족시키는 경우 선형성이 있다고 하며, 이런 형태의 결합을 선형결합(linear combination)이라고 한다.]2.2. f'(x)/f(x) 꼴2.3. [[역함수]]2.4. 다항식2.5. [[유리함수]]2.6. [[지수함수]]
2.6.1. [[허수지수함수]]
2.7. [[로그함수]]2.8. [[삼각함수]]
2.8.1. 기본2.8.2. [[사인|사인 함수]] 및 [[코사인|코사인 함수]]의 거듭제곱 꼴2.8.3. [[탄젠트|탄젠트 함수]]2.8.4. [[코탄젠트|코탄젠트 함수]]2.8.5. [[시컨트|시컨트 함수]]2.8.6. [[코시컨트|코시컨트 함수]]
2.9. [[쌍곡선 함수]]
2.9.1. 기본2.9.2. 역수 꼴
2.10. [[부분적분]]
3. 특수 적분
3.1. [[절댓값|절댓값 함수]]
3.1.1. 부호 함수3.1.2. [[삼각함수]]와의 합성함수
3.2. [[역삼각함수]]3.3. [[쌍곡선함수|역쌍곡선 함수]]3.4. [[오차함수]]3.5. [[지수 적분 함수]]3.6. [[로그 적분 함수]]3.7. [[삼각 적분 함수]]3.8. [[프레넬 적분 함수]]3.9. 삼각함수와 다항함수의 곱3.10. 삼각함수와 지수함수의 곱3.11. [[타원 적분]]3.12. [[디랙 델타 함수]]3.13. [[헤비사이드 계단 함수]]3.14. [[최대 정수 함수|최대, 최소 정수 함수]]
4. 기타5. 관련 문서

1. 개요

여러 함수의 역도함수를 수록한 문서이다. 문서에서 [math(mathsf{const.})]는 적분상수이다.[1][2]와 겹치기 때문.]

2. 기본 적분

2.1. 선형성(linearity)[3]

  • [math(displaystyle int left{ alpha fleft( x right) + beta gleft( x right) right}mathrm{d}x=alpha int fleft( x right)mathrm{d}x + beta int gleft ( x right )mathrm{d}x)]

2.2. f'(x)/f(x) 꼴

  • [math(displaystyle int frac{f'left( x right)}{fleft( x right)},mathrm{d}x=lnleft| fleft( x right) right|+ mathsf{const.})]

2.3. 역함수

함수 [math(f(x))]의 역함수 [math(f^{-1}(x))]의 역도함수는 부분적분과 역함수의 미분 공식을 쓰면 유도할 수 있다.

  • [math(displaystyle int f^{-1}(x),mathrm{d}x=xf^{-1}(x)-int f(y),mathrm{d}y)]

2.4. 다항식

유의할 것은 [math(n)]이 상수여야 한다는 점이다. [math(y=x^x)]와 같은 함수는 초등함수를 유한 번 사용한 부정적분으로 표현할 수 없다.
  • [math(n ne -1)]일 때
    • [math(displaystyle int x^n,mathrm{d}x=frac{x^{n+1}}{n+1}+ mathsf{const.})]
  • [math(n=-1)]일 때
    • [math(displaystyle int x^{-1},mathrm{d}x = int frac1x,mathrm{d}x = ln left| x right|+ mathsf{const.})]

2.5. 유리함수

  • [math(displaystyle int frac{1}{ax+b} , mathrm{d}x=frac{ln(ax+b)}{a}+sf const.)]
  • [math(displaystyle int frac{1}{ax^2+bx+c} , mathrm{d}x)]
    • [math(boldsymbol{ b^2 - 4ac > 0})]인 경우: [math(displaystyle frac{-1}{sqrt{b^2-4ac}} lnleft|frac{2ax+b+sqrt{b^2-4ac}}{2ax+b-sqrt{b^2-4ac}}right|+mathsf{const.}=frac{-2}{sqrt{b^2-4ac}}{rm artanh}left(frac{2ax+b}{sqrt{b^2-4ac}}right)+mathsf{const.} )][8] 함수의 정의역은 [math((-1,1))]이므로, 일반적인 경우에는 자연로그가 포함된 전자의 공식을 써야 한다. 혹은 [math({mathbb R} backslash [-1,,1] )] 부분을 [math(rm arcoth)]로 해서 조각적으로 정의하는 방법도 있다.]
    • [math(boldsymbol{ b^2-4ac = 0})]인 경우: [math(displaystylefrac{-2}{2ax+b}+mathsf{const.})]
    • [math(boldsymbol{ b^2-4ac < 0})]인 경우: [math(displaystylefrac{2}{sqrt{4ac-b^2}}arctanleft(frac{2ax+b}{sqrt{4ac-b^2}}right)+mathsf{const.})][9]인 경우 공식과 이 공식이 같은 공식이라 생각하면, [math(iarctan(x)={rm artanh}(ix))]를 얻을 수 있고, 여기서 [math(tanh(itheta)=itantheta)]를 유도할 수 있다. [math(tanh)] 함수의 정의를 활용하면 여기서 오일러 공식까지 얻어낼 수 있다. 요한 베르누이가 1702년경 이 방법으로 해당 공식을 얻을 뻔했으나, 복소 로그에 대한 이해 부족으로 공식 완성까지는 못 한 것으로 여겨진다.]

2.6. 지수함수

  • [math(a > 0)]인 경우
    • [math(displaystyle int a^x,mathrm{d}x=frac{a^x}{ln a}+ mathsf{const.})]
  • [math(a < 0)]인 경우, [math(lnleft(-1right)=ipi)] 즉 복소수 [math(z = a)]에 대해, [math(-pi<arg zlepi)]일 때[12]의 편각 [math(arg z)]가 다가함수, 그러니까 엄밀히는 [math(e^{left(pi+2npiright)i}=-1)]이기 때문에 이렇게 정의하지 않으면 부정적분이 하나로 정의되지 않는다.][13]로, 편각은 [math(text{Arg})]로 나타낸다. [math(mathrm{Ln})]이 아닌 이유는 복소로그함수 참조.]
    • [math(displaystyle int a^x,mathrm{d}x = frac{a^x}{mathrm{Log},|a| + ipi}+ mathsf{const.})]
  • [math(i^x)]인 경우, 복소수 [math(z = i)]에 대해, [math(-pi<arg zlepi)]일 때
    • [math(displaystyle int i^x,mathrm{d}x = frac2pi sin frac{pi x}2 - ifrac2pi cos frac{pi x}2 + mathsf{const.} = -ifrac2pi operatorname{cis}left(frac{pi x}2 right) + mathsf{const.})]
  • [math(displaystyle xa^{x})]인 경우
    • [math(displaystyleint xa^x,mathrm{d}x=frac{a^x(xln a-1)}{ln^2 a}+ mathsf{const.})]
    [증명]
    부분적분을 이용한다.

    [math(displaystyle begin{aligned} int xa^{x}mathrm{d}x&=frac{x}{ln a}a^{x}-int frac{a^{x}}{ln a}mathrm{d}x \ &=frac{x}{ln a}a^x-frac{1}{(ln a)^{2}}a^{x}+ mathsf{const.} \ &=frac{a^{x}(xln a-1)}{(ln a)^2}+ mathsf{const.} end{aligned} )]

  • [math(displaystyle x^n e^{-cx})] 꼴인 경우 (단, [math(n)]은 자연수)
    • [math(displaystyleint x^n e^{-cx},mathrm{d}x=-frac{n!}{c^{n+1}}sum_{j=0}^nfrac{(cx)^j}{j!}e^{-cx}+mathsf{const.})]

2.6.1. 허수지수함수

  • [math(displaystyleint operatorname{cis}(z) ,{rm d}z = -i operatorname{cis}(z)+mathsf{const.})]
  • [math(displaystyleint overline{operatorname{cis}}(z) ,{rm d}z = i , overline{operatorname{cis}}(z)+mathsf{const.})]

2.7. 로그함수

  • 밑이 [math(displaystyle a)]인 로그함수
    • [math(displaystyle int log_ax,mathrm{d}x=frac{xln x-x}{ln a}+ mathsf{const.})]
  • 특히, [math(a=)] [math(e)]일 때
    • [math(displaystyle int ln x,mathrm{d}x=xln x-x+ mathsf{const.})]

2.8. 삼각함수

2.8.1. 기본

  • [math(displaystyle int sin x,mathrm{d}x=-cos x+ mathsf{const.})]
  • [math(displaystyle int cos x,mathrm{d}x=sin x+ mathsf{const.})]
  • [math(displaystyle int sec^2x,mathrm{d}x=tan x+ mathsf{const.})]
  • [math(displaystyle int csc^2x,mathrm{d}x=-cot x+ mathsf{const.})]
  • [math(displaystyle int sec xtan x,mathrm{d}x=sec x+ mathsf{const.})]
  • [math(displaystyle int csc xcot x,mathrm{d}x=-csc x+ mathsf{const.})]

2.8.2. 사인 함수 및 코사인 함수의 거듭제곱 꼴

  • [math(displaystyle int sin^nx,mathrm{d}x=frac{-sin^{n-1}xcos x}n+frac{n-1}nint sin^{n-2}x,mathrm{d}x quad (ninmathbb N,,nge2))]
  • [math(displaystyle int cos^nx,mathrm{d}x=frac{cos^{n-1}xsin x}n+frac{n-1}nint cos^{n-2}x,mathrm{d}x quad (n inmathbb N,,nge2))]
  • [math(displaystyle int sin^mxcos^nx mathrm{d}x=frac{sin^{m+1}x cos^{n-1} x}{m+n}+frac{n-1}{m+n}int sin^mx cos^{n-2}x,mathrm{d}x quad (mge0,,nge1,,n,,minmathbb N))]

2.8.3. 탄젠트 함수

  • [math(displaystyle int tan x,mathrm{d}x=-lnleft| cos x right|+ mathsf{const.}=lnleft| sec x right|+ mathsf{const.})]
  • [math(displaystyle int tan^nx,mathrm{d}x=frac{tan^{n-1}x}{n-1}-int tan^{n-2}x,mathrm{d}x quad (ninmathbb N,,nge2))]

2.8.4. 코탄젠트 함수

  • [math(displaystyle int cot x,mathrm{d}x=lnleft| sin x right|+ mathsf{const.})]
  • [math(displaystyle int cot^nx,mathrm{d}x=frac{-cot^{n-1}x}{n-1}-int cot^{n-2}x,mathrm{d}x quad (ninmathbb N,,nge2))]

2.8.5. 시컨트 함수

  • [math(displaystyle int sec x,mathrm{d}x=frac12ln left| frac{sin x+1}{sin x-1} right|+ mathsf{const.}=ln left|tan x+sec xright|+ mathsf{const.}= )][math(text{igd}(x)+mathsf{const.})]
  • [math(displaystyle int sec^nx,mathrm{d}x=frac{sec^{n-2}xtan x}{n-1}+frac{n-2}{n-1}int sec^{n-2}x,mathrm{d}x quad (ninmathbb N,,nge2))]

2.8.6. 코시컨트 함수

  • [math(displaystyle int csc x,mathrm{d}x=-frac12lnleft| frac{cos x+1}{cos x-1} right|+ mathsf{const.}=-ln left|cot x+csc xright|+ mathsf{const.}=lnleft| cot x-csc xright|+ mathsf{const.})]
  • [math(displaystyle int csc^nx,mathrm{d}x=frac{-csc^{n-2}xcot x}{n-1}-frac{n-2}{n-1}int csc^{n-2}x,mathrm{d}x quad (ninmathbb N,,nge2))]

2.9. 쌍곡선 함수

2.9.1. 기본

  • [math(displaystyle int sinh x ,mathrm{d}x=cosh x +mathsf{const.})]
  • [math(displaystyle int cosh x ,mathrm{d}x=sinh x +mathsf{const.})]
  • [math(displaystyle int tanh x ,mathrm{d}x=(lncirccosh)( x) +mathsf{const.})]

2.9.2. 역수 꼴

  • [math(displaystyle int mathrm{csch} x ,mathrm{d}x=(ln circ tanh)biggl(frac{x}{2}biggr)+mathsf{const.})]
  • [math(displaystyle int mathrm{sech} x ,mathrm{d}x=2(arctancirctanh)biggl(frac{x}{2}biggr)+mathsf{const.}=,)][math(mathrm{gd}(x)+mathsf{const.})]
  • [math(displaystyle int {rm coth},x ,mathrm{d}x=ln{|sinh(x)|} +mathsf{const.})]

2.10. 부분적분

  • [math(displaystyleint tf'(t),{rm d}t=int {tf'(t)+f(t)},{rm d}t-int f(t),{rm d}t = tf(t)-int f(t)mathrm{d}t)]

3. 특수 적분

적분의 결과로 특수함수가 나오는 식이다.

3.1. 절댓값 함수

  • [math(displaystyle int |x|,mathrm{d}x = frac{1}2x^{2}, mathrm{sgn},x + mathsf{const.})]

일반적인 일차함수 적분과 비슷해 보이지만, [math(x < 0)] 구간이 음수 방향으로 뒤집어져 있다는 차이가 존재한다. [math(mathrm{sgn},x)]는 부호 함수이다.

  • [math(displaystyle int | f(x) |,mathrm{d}x = (mathrm{sgn} circ f)(x) int f(x),mathrm{d}x)]

3.1.1. 부호 함수

  • [math(displaystyle int operatorname{sgn} x, mathrm{d}x = |x| + mathsf{const.})]

3.1.2. 삼각함수와의 합성함수

  • [math(displaystyle int sin |x|,mathrm{d}x = left(1- cos xright)mathrm{sgn},x + mathsf{const.})]
  • [math(displaystyle int cos |x|,mathrm{d}x = sin x+ mathsf{const.})]
  • [math(displaystyle int tan |x|,mathrm{d}x = left(ln left| sec x right|right) mathrm{sgn},x + mathsf{const.})]
  • [math(displaystyle int sec |x|,mathrm{d}x = ln left| tan x + sec x right| + mathsf{const.})]
  • [math(displaystyle int csc |x|,mathrm{d}x = left(ln left| cot x - csc x right|right)mathrm{sgn},x + mathsf{const.})]
  • [math(displaystyle int cot |x|,mathrm{d}x = left(ln left| sin x right|right)mathrm{sgn},x + mathsf{const.})]
  • [math(displaystyle int left|sin xright|,mathrm{d}x = 2leftlfloorfrac xpirightrfloor -cosleft(x - leftlfloorfrac xpi rightrfloorpiright) + mathsf{const.})][A]에서 미분이 불가능하다는 문제가 생긴다.]
  • [math(displaystyle int left|cos xright|,mathrm{d}x = 2leftlfloorfrac xpi + frac12rightrfloor + sinleft(x - leftlfloorfrac xpi + frac12 rightrfloorpiright) + mathsf{const.})][A]
  • [math(displaystyle int left| tan x right|,mathrm{d}x = -(mathrm{sgn} circ tan)(x) ln left| cos x right| + mathsf{const.} quad )][math(biggl( biggr.)]단, [math(|x| < n pi - dfrac{pi}{2})] [math(biggl. biggr))]
  • [math(displaystyle int left| sec x right| , mathrm{d}x = mathrm{sgn}left(sec xright) ln left|sec x + tan xright| + mathsf{const.})]
  • [math(displaystyle int left| csc x right| , mathrm{d}x = -mathrm{sgn}left(csc xright) ln left|csc x + cot xright| + mathsf{const.} = mathrm{sgn}left(csc xright) ln left|csc x - cot xright| + mathsf{const.})]
  • [math(displaystyle int left| cot x right| , mathrm{d}x = mathrm{sgn}left(cot xright) ln left|sin xright| + mathsf{const.} quad)][math(biggl( biggr.)]단, [math(|x| < n pi - dfrac{pi}{2})] [math(biggl. biggr))]

위 식에서 [math(lfloor cdot rfloor)]는 바닥함수이다.

3.2. 역삼각함수

  • [math(displaystyle int arcsin x,mathrm{d}x = x arcsin x + sqrt{1-x^2}+ mathsf{const.})]
  • [math(displaystyle int arccos x,mathrm{d}x = x arccos x - sqrt{1-x^2}+ mathsf{const.})]
  • [math(displaystyle int arctan x,mathrm{d}x = x arctan x - frac12ln(x^2+1)+ mathsf{const.})]
  • [math(displaystyle int mathrm{arcsec},x,mathrm{d}x = x,mathrm{arcsec},x - mathrm{sgn},x ln(x+sqrt{x^2-1})+ mathsf{const.})]
  • [math(displaystyle int mathrm{arccsc},x,mathrm{d}x = x,mathrm{arccsc},x + mathrm{sgn},x ln(x+sqrt{x^2-1})+ mathsf{const.})]
  • [math(displaystyle int mathrm{arccot},x,mathrm{d}x = x,mathrm{arccot},x + frac12ln(x^2+1)+ mathsf{const.})]

3.3. 역쌍곡선 함수

  • [math(displaystyle int mathrm{arsinh},x,mathrm{d}x =frac{1}{sqrt{1+x^2}} +mathsf{const.})]
  • [math(displaystyle int mathrm{arcosh},x,mathrm{d}x = frac{1}{sqrt{1+x}sqrt{1-x}}+mathsf{const.})]
  • [math(displaystyle int mathrm{artanh},x,mathrm{d}x = frac{1}{1-x^2}+mathsf{const.})]
  • [math(displaystyle int mathrm{arcsch},x,mathrm{d}x =- frac{1}{sqrt{1+dfrac{1}{x^2} }+1} +mathsf{const.})]
  • [math(displaystyle int mathrm{arsech},x,mathrm{d}x = -frac{1}{xsqrt{dfrac{1-x}{x+1}}} (x+1) +mathsf{const.})]
  • [math(displaystyle int mathrm{arcoth},x,mathrm{d}x =frac{1}{1-x^2}+mathsf{const.})]

3.4. 오차함수

  • [math(displaystyle int e^{-x^2},mathrm{d}x=frac{sqrtpi}2mathrm{erf}left( x right)+ mathsf{const.})]

3.5. 지수 적분 함수

  • [math(displaystyle int frac{e^x}x,mathrm{d}x = mathrm{Ei}left(xright) + mathsf{const.} = -int_{-x}^inftyfrac{e^{-t}}t,mathrm{d}t + mathsf{const.})]

대표적인 초월함수 중 하나다. 해당 함수는 [math(x>0)]에서 역시 코시 주요값 문서의 예처럼 정의된다.


  • [math(displaystyle int a^{1/x},mathrm{d}x = xa^{1/x} - mathrm{Ei}left(frac{ln a}xright) ln a + mathsf{const.} = x a^{1/x} + ln a int_{-{ln a}/x}^inftyfrac{e^{-t}}t,mathrm{d}t + mathsf{const.})]
  • [math(displaystyle int e^x ln x ,mathrm{d}x = e^x ln x - mathrm{Ei}left(xright) + mathsf{const.} = int_{-x}^inftyfrac{e^{-t}}t,mathrm{d}t + e^x ln x + mathsf{const.})]
  • [math(displaystyle int mathrm{Ei}(x) mathrm{d}x = xmathrm{Ei}x - e^x + sf const.)]

3.6. 로그 적분 함수

  • [math(displaystyle int frac1{ln x},mathrm{d}x = mathrm{li}left(xright) + mathsf{const.} = int_0^x frac{mathrm{d}t}{ln t} + mathsf{const.}=lim_{a to 0+} left[int_{0}^{1-a} frac{1}{ln t} mathrm{d}t + int_{1+a}^x frac{1}{ln t} mathrm{d}tright]=int_mu^x frac{1}{ln t} mathrm{d}t +mathsf{const.})][19]는 [math(x)]절편인 라마누잔-졸트너 상수로 [math(-Gamma(0,ln 2)-ipi)]이다.]

이것도 역시 초월함수다. [math(x>1)]일 때 [math( mathrm{li}(x)=int_0^x (ln{t})^{-1},{rm d}t)]에 대해서는 코시 주요값 참고하라.

로그 적분 함수를 다시 적분한 함수는 지수 적분 함수와 로그함수, 로그 적분 함수로 나타내어진다.
  • [math(displaystyle int operatorname{li}(x)mathrm{d}x = x,mathrm{li}(x) - mathrm{Ei}(2ln x) + sf const.)]

3.7. 삼각 적분 함수

  • [math(displaystyle int frac{sin x}x,mathrm{d}x = mathrm{Si}(x) + mathsf{const.} = int_0^xfrac{sin t}t,mathrm{d}t + mathsf{const.})]
  • [math(displaystyle int frac{cos x}x,mathrm{d}x = mathrm{Ci}(x) + mathsf{const.} = -int_x^inftyfrac{cos t}t,mathrm{d}t + mathsf{const.})]


이외에도 삼각함수와 지수함수를 합성한 꼴, 로그함수와 삼각함수의 곱 꼴, 정의역에 역수를 취한 꼴에서도 이 초월함수가 나온다.

  • [math(displaystyle int sin e^x,mathrm{d}x = mathrm{Si}(e^x) + mathsf{const.})]
  • [math(displaystyle int cos e^x,mathrm{d}x = mathrm{Ci}(e^x) + mathsf{const.})]
  • [math(displaystyle int sin x ln x,mathrm{d}x = mathrm{Ci}(x) - cos x ln x + mathsf{const.})]
  • [math(displaystyle int cos x ln x,mathrm{d}x = -mathrm{Si}(x)+ sin x ln x + mathsf{const.})]
  • [math(displaystyle int sin(x^{-1}),mathrm{d}x = -mathrm{Ci}(x^{-1}) + x sin(x^{-1}) + mathsf{const.})]
  • [math(displaystyle int cos(x^{-1}),mathrm{d}x = mathrm{Si}(x^{-1}) + x cos(x^{-1}) + mathsf{const.})]

3.8. 프레넬 적분 함수

  • [math(displaystyle int sin x^2 ,mathrm{d}x = S(x) + mathsf{const.} )]
  • [math(displaystyle int cos x^2 ,mathrm{d}x = C(x) + mathsf{const.} )]

[math(S(x))], [math(C(x))]에 대한 정보는 프레넬 적분 함수 문서를 참조하라.

제곱이 아닌 경우는 불완전 감마 함수로 표현되는 복잡한 꼴로 정리된다.

  • [math(displaystyle int sin x^n , mathrm{d}x = - dfrac{ix((ix^n)^{-1/p}Γ(n^{-1},ix^n)}{2n}+ dfrac{ix(-ix^n)^{-1/p}Γ(n^{-1},-ix^n)}{2n} + sf const.)]
  • [math(displaystyle int cos x^n , mathrm{d}x = - dfrac{x (x^{2n})^{-1/n} ((-ix^n)^{-1/n}Γ(n^{-1},ix^n)}{2n} - dfrac {x (x^{2n})^{-1/n}(ix^n)^{-1/n}Γ(n^{-1},-ix^n) )}{2n} + sf const.)]

3.9. 삼각함수와 다항함수의 곱

  • [math(displaystyle int x sin x,mathrm{d}x = sin x - x cos x + mathsf{const.})]
  • [math(displaystyle int x cos x,mathrm{d}x = x sin x + cos x + mathsf{const.})]
  • [math(displaystyle int x tan x,mathrm{d}x = frac i2[mathrm{Li}_2(-e^{2ix})+x{x+2i ln(1+e^{2ix})}]+ mathsf{const.})]
  • [math(displaystyle int x csc x,mathrm{d}x = -2i,mathrm{Li}_2(e^{ix}) + frac i2mathrm{Li}_2(e^{2ix}) - 2x,mathrm{artanh},e^{ix} + mathsf{const.})]
  • [math(displaystyle int x sec x,mathrm{d}x = i{mathrm{Li}_2(-ie^{ix}) - mathrm{Li}_2(ie^{ix}) - 2xarctan e^{ix}} + mathsf{const.})]
  • [math(displaystyle int x cot x,mathrm{d}x = xln(1-e^{2ix}) - frac12i{x^2+mathrm{Li}_2(e^{2ix})}+ mathsf{const.})]

탄젠트, 코시컨트, 시컨트, 코탄젠트는 조금만 조작이 가해져도 적분이 다소 어려워진다.

위 식에서 [math(mathrm{Li}_2)]는 폴리로그함수, [math(arctan)]는 역탄젠트, [math(mathrm{artanh})]는 역쌍곡선 탄젠트이다.

3.10. 삼각함수와 지수함수의 곱

  • [math(displaystyle int e^x sin x,mathrm{d}x = frac{sin x - cos x}2 e^x + mathsf{const.})]
  • [math(displaystyle int e^x cos x,mathrm{d}x = frac{sin x + cos x}2 e^x + mathsf{const.})]
  • [math(displaystyle int e^x tan x,mathrm{d}x = ie^x{}_2F_1biggl(-frac i2,~1;~1-frac i2;~-e^{2ix}biggr) - frac{2 + i}5 e^{(1+2i)x}{}_2F_1biggl(1,~1-frac i2;~2-frac i2;~-e^{2ix}biggr) + mathsf{const.})]
  • [math(displaystyle int e^x csc x,mathrm{d}x = -(1+i) e^{(1+i)x} {}_2F_1biggl(frac{1-i}2,~1;~frac{3-i}2;~e^{2ix}biggr) + mathsf{const.})]
  • [math(displaystyle int e^x sec x,mathrm{d}x = (1-i) e^{(1+i)x} {}_2F_1biggl(frac{1-i}2,~1;~frac{3-i}2;~-e^{2ix}biggr) + mathsf{const.})]
  • [math(displaystyle int e^x cot x,mathrm{d}x = -ie^x {}_2F_1biggl(-frac i2,~1;~1-frac i2;~e^{2ix}biggr) - frac{2+i}5 e^{(1+2i)x} {}_2 F_1biggl(1,~1-frac i2;~2-frac i2;~e^{2ix}biggr) + mathsf{const.})]

위 식에서 [math({}_2 F_1)]은 초기하함수이다.

3.11. 타원 적분

  • [math(displaystyle int frac{1}{sqrt{1-k^{2}sin^{2}{theta} }},mathrm{d}theta=F(phi,,k)+mathsf{const.} qquad (0 leq k leq 1) )]
  • [math(displaystyle int sqrt{1-k^{2}sin^{2}{theta}},mathrm{d}theta =E(phi,k)+mathsf{const.} qquad (0 leq k leq 1) )]

3.12. 디랙 델타 함수

  • [math(displaystyle int delta(x), mathrm{d}x = frac{1}{2}mathrm{sgn},x+mathsf{const.}=mathbf{1}_{mathbb N_0}+sf const.)]

3.13. 헤비사이드 계단 함수

  • [math(displaystyle int theta (x), mathrm{d} x = xtheta (x)+mathsf{const.} = frac{x + |x|}{2} + mathsf{const.}=xmathbf{1}_{[0,infty)}+sf const.)]

3.14. 최대, 최소 정수 함수

  • [math(displaystyle int lfloor x rfloor mathrm{d}x = dfrac{lfloor x-1 rfloor(lfloor x-1 rfloor+1)}{2}+lfloor x rfloor { x } + mathsf{const.})]
  • [math(displaystyle int lceil x rceil mathrm{d}x = dfrac{lfloor x rfloor(lfloor x rfloor+1)}{2}+ { x }(lfloor x rfloor+1) + mathsf{const.})]
  • [math(displaystyle int dfrac 1{lfloor x rfloor} mathrm{d}x = H_{lfloor x rfloor})][math(+dfrac 1{lfloor x rfloor} ({x} -1)+mathsf{const.})]
  • [math(displaystyle int dfrac 1{lceil x rceil} mathrm{d}x = H_{lfloor x rfloor+1})][math(+dfrac 1{lfloor x+1 rfloor} ({x+1} -1)+mathsf{const.})]

[math({x}=x-lfloor x rfloor)]이며 [math(H_x)]는 조화수이다.

4. 기타

  • 거의 모든 미적분 관련 수학 교과서나 수학을 쓰는 대학교 전공서적에 부록으로 달려 있으며, 하도 많이 쓰이다 보니 나중에는 유명한 적분들은 그냥 외우게 된다.

5. 관련 문서

[1] 어차피 역도함수인 걸 아니까 일부 서적에서는 상수는 빼고 적어 놓는 경우도 있다.[2] 이런 표기를 쓰는 이유는 아래의 프레넬 코사인 함수의 이름자가 적분상수로 자주 쓰이는 표기인 [math(C)[3] 어떤 연산자가 분배 법칙 및 상수배 성질을 만족시키는 경우 선형성이 있다고 하며, 이런 형태의 결합을 선형결합(linear combination)이라고 한다.[4] [math(rm artanh)[5] 처음의 [math(b^2-4ac>0)[6] [math(rm artanh)[7] 처음의 [math(b^2-4ac>0)[8] [math(rm artanh)[9] 처음의 [math(b^2-4ac>0)[10] 복소로그함수의 성질로부터 유도된 식인데, 복소수 [math(z)[11] 이 편각의 범위를 주요값(principal value)이라고 하고 이렇게 정의된 복소로그함수는 [math(mathrm{Log})[12] 복소로그함수의 성질로부터 유도된 식인데, 복소수 [math(z)[13] 이 편각의 범위를 주요값(principal value)이라고 하고 이렇게 정의된 복소로그함수는 [math(mathrm{Log})[A] 14.1 14.2 14.3 14.4 단순히 부호 함수를 이용해서 나타낼 수도 있겠으나, 이럴 경우 [math(x=npi ; (n in mathbb{N}))[18] [math(mu)[19] [math(mu)