불완전 감마 함수

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분류

1. 정의2. 미분3. 위 정의를 이용하여 부정적분 구하기
3.1. 1탄:3.2. 2탄:3.3. 3탄:
4. 자매품5. 관련 문서

1. 정의[편집]

불완전 감마 함수(a,b)는 다음과 같이 정의된다.

Γ(a,b)≡∫b∞xa−1e−x dx\displaystyle \Gamma\left ( a,b \right )\equiv\int_{b}^{\infty}x^{a-1}e^{-x}\,{\rm d}x

감마 함수는 여기서 b=0인 경우로, 불완전이라는 이름이 붙은 게 적분구간이 감마함수보다 좁으므로 '불완전'하기 때문이다. 비초등함수로 분류되긴 하지만 a가 1 이상의 정수면 초등함수의 유한한 결합으로 표현이 가능하다.

2. 미분[편집]

∂∂xΓ(a,x)=−xa−1e−x\dfrac{\partial}{\partial x}\Gamma\left( a,x\right)=-x^{a-1}e^{-x}이다.

3. 위 정의를 이용하여 부정적분 구하기[편집]

3.1. 1탄:∫exxdx\displaystyle \int \frac{e^{x}}{x} {\rm d}x[편집]

우선 x=−t\displaystyle x=-t로 두면,
dxdt=−1\displaystyle \frac{\rm d\it x}{\rm d\it t}=-1.
∫e−ttdt\displaystyle \int \frac{e^{-t}}{t}{\rm d}t
−−∫e−ttdt\displaystyle - - \int \frac{e^{-t}}{t}{\rm d}t
위 정의에서 a=0,b=ta=0,b=t를 대입하면 그 함수가 위 함수의 부정적분이 된다.
−Γ(0,t)+const.\displaystyle - \Gamma\left ( 0,t \right )+{\sf const.}
t=−xt=-x이므로,
−Γ(0,−x)+const.\displaystyle - \Gamma\left ( 0,-x \right )+{\sf const.}
여기서 적분상수를 제외한 부분을 [math({rm Ei}(x)equiv - Gammaleft ( 0,-x right ))]로 정의한다.

3.2. 2탄:∫1ln⁡xdx\displaystyle \int \frac{1}{\ln x} {\rm d}x[편집]

ln⁡x=t\displaystyle \ln x=t로 치환.
그러면,
x=et\displaystyle x=e^{t}
dxdt=et\displaystyle \frac{\rm d\it x}{\rm d\it t}=e^{t}
∫ettdt\displaystyle \int \frac{e^{t}}{t} {\rm d}t
−Γ(0,−t)+const.\displaystyle - \Gamma\left ( 0,-t \right )+{\sf const.}
−Γ(0,−ln⁡x)+const.\displaystyle - \Gamma\left ( 0,-\ln x \right )+{\sf const.}
마찬가지로 [math({rm li}(x)equiv - Gammaleft ( 0,-ln x right ))]로 정의한다.

3.3. 3탄:∫e−x2dx\displaystyle \int e^{-x^2} {\rm d}x[편집]

x=t\displaystyle x=\sqrt t로 두면,
dxdt=12t\displaystyle \frac{\rm d\it x}{\rm d\it t}=\frac{1}{2\sqrt t}.
∫e−t2tdt\displaystyle \int \frac{e^{-t}}{2\sqrt t}{\rm d}t
−12⋅−∫t12−1e−tdt\displaystyle - \frac{1}{2} \cdot -\int t^{\frac 12 -1}e^{-t}{\rm d}t
위 정의에서 a=12a=\dfrac 12인 경우가 위의 적분식과 동일하므로
−12Γ(12,t)+const.\displaystyle -\frac 12 \Gamma\left ( \frac 12,t \right )+{\sf const.}
t=x2t=x^2이므로,
−12Γ(12,x2)+const.\displaystyle -\frac 12 \Gamma\left ( \frac 12,x^2 \right ) +{\sf const.}
한편 [math({rm erf}(x)equiv -dfrac{1}{sqrt{pi}} Gammaleft ( dfrac 12,x^2 right ))]로 정의할 수 있는데, 위 둘과는 다르게 곱해지는 상수가 다르다.[1]

4. 자매품[편집]

하부 감마 함수가 있는데 이렇게 정의된다.
γ(a,b)≡∫0bxa−1e−xdx\displaystyle \gamma\left ( a,b \right )\equiv\int_{0}^{b}x^{a-1}e^{-x}{\rm d}x

5. 관련 문서[편집]

[1] 정확히는 위 계산식에 2π\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}를 곱한 것이다.