삼각함수/역도함수

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1. 개요2. 기본3. 거듭제곱꼴
3.1. 거듭제곱근꼴3.2. 정적분
4. 절댓값 합성함수의 적분
4.1. 절댓값이 피합성함수인 경우4.2. 삼각함수가 피합성함수인 경우
5. 특수함수
5.1. 사인 적분 함수, 코사인 적분 함수5.2. 프레넬 사인 적분 함수, 프레넬 코사인 적분 함수5.3. 폴리로그함수5.4. 초기하함수
6. 관련 문서

1. 개요[편집]

삼각함수의 역도함수(적분)를 설명하는 문서이다.

2. 기본[편집]

아래 식에서 const.\mathsf{const.}는 적분상수이다.
  • ∫sin⁡x dx=−cos⁡x+const.\displaystyle \int \sin x\, \mathrm{d}x = -\cos x + \mathsf{const.}
  • ∫cos⁡x dx=sin⁡x+const.\displaystyle \int \cos x\, \mathrm{d}x = \sin x + \mathsf{const.}
  • ∫tan⁡x dx=−ln⁡∣cos⁡x∣+const.=ln⁡∣sec⁡x∣+const.\displaystyle \int \tan x\, \mathrm{d}x = -\ln \left|\cos x\right| + \mathsf{const.} = \ln\left|\sec x\right| + \mathsf{const.}
  • ∫sec⁡x dx=ln⁡∣sec⁡x+tan⁡x∣+const.=igd x+const.\displaystyle \int \sec x\, \mathrm{d}x = \ln \left|\sec x + \tan x\right| + \mathsf{const.} = \mathrm{igd}\,x + \mathsf{const.}
  • ∫csc⁡x dx=−ln⁡∣csc⁡x+cot⁡x∣+const.=ln⁡∣csc⁡x−cot⁡x∣+const.\displaystyle \int \csc x\, \mathrm{d}x = -\ln \left|\csc x + \cot x\right| + \mathsf{const.} = \ln \left|\csc x - \cot x\right| + \mathsf{const.}
  • ∫cot⁡x dx=ln⁡∣sin⁡x∣+const.\displaystyle \int \cot x\, \mathrm{d}x = \ln \left|\sin x\right| + \mathsf{const.}

위 식에서 igd\mathrm{igd}는 구데르만 역함수(Inverse Gudermannian function)이다.

참고로, 교과서에서는 삼각함수의 부정적분을 미분 공식을 거꾸로 한 형태만 가르친다. 즉, 사인과 코사인의 적분을 제외하고는 엄밀하게 말하면 교육과정 외의 범위라서 교과서에서는 찾아볼 수 없는 공식들이다. 하지만 나머지 네 개 모두 치환적분을 이용하여 쉽게 증명할 수 있으니 미적분(2015 개정 교육과정)을 공부한다면 한 번 해보자. 물론 문제로도 자주 나온다.

기본적인 여섯 개의 삼각함수 적분법은 위와 같지만, 적분에서는 미분에서의 연쇄 법칙과 같은 정리가 존재하지 않기 때문에, 삼각함수를 적분하는 수많은 공식이 존재한다.

3. 거듭제곱꼴[편집]

하나의 삼각함수가 여러 번 거듭제곱된 식을 적분하는 공식. 일반적으로 적분 상수는 쓰지 않는데 차수를 낮춘 적분식에 포함된 것으로 간주하기 때문이다.
  • ∫sin⁡nx dx=−cos⁡xsin⁡n−1xn+n−1n∫sin⁡n−2x dx, n≥1\displaystyle \int \sin^nx\, \mathrm{d}x = -\frac{\cos x \sin^{n-1}x}n + \frac{n-1}n \int \sin^{n-2}x\, \mathrm{d}x,~n\ge1
  • ∫cos⁡nx dx=sin⁡xcos⁡n−1xn+n−1n∫cos⁡n−2x dx, n≥1\displaystyle \int \cos^nx\, \mathrm{d}x = \frac{\sin x \cos^{n-1}x}n + \frac{n-1}n \int \cos^{n-2}x\, \mathrm{d}x,~n\ge1
  • ∫tan⁡nx dx=tan⁡n−1xn−1−∫tan⁡n−2x dx, n>1\displaystyle \int \tan^nx\, \mathrm{d}x = \frac{\tan^{n-1}x}{n-1} - \int \tan^{n-2}x\, \mathrm{d}x,~n>1
  • ∫sec⁡nx dx=sin⁡xsec⁡n−1xn−1+n−2n−1∫sec⁡n−2x dx, n>1\displaystyle \int \sec^nx\, \mathrm{d}x = \frac{\sin x \sec^{n-1}x}{n-1} + \frac{n-2}{n-1} \int \sec^{n-2}x\, \mathrm{d}x,~n>1
  • ∫csc⁡nx dx=−cos⁡xcsc⁡n−1xn−1+n−2n−1∫csc⁡n−2x dx, n>1\displaystyle \int \csc^nx\, \mathrm{d}x = -\frac{\cos x \csc^{n-1}x}{n-1} + \frac{n-2}{n-1} \int \csc^{n-2}x\, \mathrm{d}x,~n>1
  • ∫cot⁡nx dx=−cot⁡n−1xn−1−∫cot⁡n−2x dx, n>1\displaystyle \int \cot^nx\, \mathrm{d}x = -\frac{\cot^{n-1}x}{n-1} - \int \cot^{n-2}x\, \mathrm{d}x,~n>1

부분적분 공식을 이용하면 모두 증명 가능한 공식들이다.

사실 이 적분법은 삼각함수가 아니더라도 각종 함수의 거듭제곱 형태를 적분하는 모든 적분법에 적용 가능하며 이를 Reduction Formula라고 한다.

3.1. 거듭제곱근꼴[편집]

삼각함수의 nn제곱근 꼴을 적분하는 공식이다. 하지만 이런 꼴을 보기 힘들고, 결과에 초기하함수가 나와서 유용하지 않다.
  • ∫sin⁡xndx=ncos⁡2xsec⁡xsin⁡1/n+12F1(12,12(1+n−1);12(3+n−1);sin⁡2x)n+1+const.\displaystyle \int \sqrt[n]{\sin x} \mathrm{d}x = \dfrac{n\sqrt{\cos^2 x}\sec x \sin^{1/n +1} {}_2 F_{1}({\frac{1}{2}, \frac{1}{2} (1+ n^{-1}); \frac{1}{2} (3+n^{-1}); \sin^2 x})}{n+1} +\sf const.
  • ∫sin⁡xndx=−nsin⁡2xcsc⁡xcos⁡1/n+12F1(12,12(1+n−1);12(3+n−1);cos⁡2x)n+1+const.\displaystyle \int \sqrt[n]{\sin x} \mathrm{d}x =- \dfrac{n\sqrt{\sin^2 x}\csc x \cos^{1/n +1} {}_2 F_{1}({\frac{1}{2}, \frac{1}{2} (1+ n^{-1}); \frac{1}{2} (3+n^{-1}); \cos^2 x})}{n+1} +\sf const.

3.2. 정적분[편집]

사인함수와 코사인함수를 자연수로 거듭제곱한 꼴의 식을 00부터 π2\dfrac\pi2까지 정적분하는 공식. 계산량을 상당히 줄여준다. 학생들에게 도움이 될…지도? 이 식은 초구의 초부피를 초구면 좌표계 형식으로 구하는 방법에도 효과적으로 쓰인다. 아래 식에서 !!!!은 이중 계승으로서
n!!=∏k=0⌈n/2⌉−1(n−2k)=n(n−2)(n−4)⋯\displaystyle n!! = \prod_{k=0}^{\left\lceil n/2 \right\rceil-1}\left(n-2k\right) = n\left(n-2\right)\left(n-4\right)\cdots

즉 nn부터 22씩 빼서 22 혹은 11까지 차례로 곱하라는 기호이며, δ\delta는 크로네커 델타, {⋅}\left\{\cdot\right\}는 톱니파 함수로 바닥함수 ⌊⋅⌋\left\lfloor\cdot\right\rfloor에 대해 {x}=x−⌊x⌋\left\{x\right\} = x - \left\lfloor x\right\rfloor, 즉 xx의 소수 부분만을 취하는 함수이다.
∫0π/2sin⁡nx dx=∫0π/2cos⁡nx dx=(n−1)!!n!!(π2)δ0,{n2}\displaystyle \int_0^{\pi/2} \sin^nx\, \mathrm{d}x = \int_0^{\pi/2} \cos^nx\, \mathrm{d}x = \dfrac{(n-1)!!}{n!!}\left(\dfrac\pi2\right)^{\delta_{0, \left\{\frac n2\right\}}}

4. 절댓값 합성함수의 적분[편집]

아래 식에서 sgn x\mathrm{sgn}\,x는 xx의 부호를 가져오는 부호 함수(Signum Function)이다.

4.1. 절댓값이 피합성함수인 경우[편집]

  • ∫sin⁡∣x∣ dx=(1−cos⁡x)sgn x+const.\displaystyle \int \sin |x|\, \mathrm{d}x = (1- \cos x)\mathrm{sgn}\,x + \mathsf{const.}
  • ∫cos⁡∣x∣ dx=sin⁡x+const.\displaystyle \int \cos |x|\, \mathrm{d}x = \sin x+ \mathsf{const.}
  • ∫tan⁡∣x∣ dx=(ln⁡∣sec⁡x∣)sgn x+const.\displaystyle \int \tan |x|\, \mathrm{d}x = (\ln | \sec x |) \mathrm{sgn}\,x + \mathsf{const.}
  • ∫sec⁡∣x∣ dx=ln⁡∣tan⁡x+sec⁡x∣+const.\displaystyle \int \sec |x|\, \mathrm{d}x = \ln | \tan x + \sec x | + \mathsf{const.}
  • ∫csc⁡∣x∣ dx=(ln⁡∣cot⁡x−csc⁡x∣)sgn x+const.\displaystyle \int \csc |x|\, \mathrm{d}x = (\ln | \cot x - \csc x |)\mathrm{sgn}\,x + \mathsf{const.}
  • ∫cot⁡∣x∣ dx=(ln⁡∣sin⁡x∣)sgn x+const.\displaystyle \int \cot |x|\, \mathrm{d}x = (\ln | \sin x |)\mathrm{sgn}\,x + \mathsf{const.}

4.2. 삼각함수가 피합성함수인 경우[편집]

아래 식에서 ⌊⋅⌋\lfloor \cdot \rfloor는 바닥함수이다.
  • ∫∣sin⁡x∣dx=2⌊xπ⌋−cos⁡(x−⌊xπ⌋π)+const.\displaystyle \int \left|\sin x\right| \mathrm{d}x = 2\left\lfloor\frac x\pi\right\rfloor -\cos\left(x - \left\lfloor\frac x\pi \right\rfloor\pi\right) + \mathsf{const.}[1]
  • ∫∣cos⁡x∣dx=2⌊xπ+12⌋+sin⁡(x−⌊xπ+12⌋π)+const.\displaystyle \int \left|\cos x\right| \mathrm{d}x = 2\left\lfloor\frac x\pi + \frac12\right\rfloor + \sin\left(x - \left\lfloor\frac x\pi + \frac12 \right\rfloor\pi\right) + \mathsf{const.}
  • ∫∣tan⁡x∣dx=−(sgn∘tan⁡)(x)ln⁡∣cos⁡x∣+const.\displaystyle \int \left| \tan x \right| \mathrm{d}x = -(\mathrm{sgn} \circ \tan)(x) \ln \left| \cos x \right| + \mathsf{const.} (단, ∣x∣<nπ−π2|x| < n \pi - \dfrac{\pi}{2} )
  • ∫∣sec⁡x∣ dx=sgn(sec⁡x)ln⁡∣sec⁡x+tan⁡x∣+const.\displaystyle \int \left| \sec x \right| \, \mathrm{d}x = \mathrm{sgn}\left(\sec x\right) \ln \left|\sec x + \tan x\right| + \mathsf{const.}
  • ∫∣csc⁡x∣ dx=−sgn(csc⁡x)ln⁡∣csc⁡x+cot⁡x∣+const.=sgn(csc⁡x)ln⁡∣csc⁡x−cot⁡x∣+const.\displaystyle \int \left| \csc x \right| \, \mathrm{d}x = -\mathrm{sgn}\left(\csc x\right) \ln \left|\csc x + \cot x\right| + \mathsf{const.} = \mathrm{sgn}\left(\csc x\right) \ln \left|\csc x - \cot x\right| + \mathsf{const.}
  • ∫∣cot⁡x∣ dx=sgn(cot⁡x)ln⁡∣sin⁡x∣+const.\displaystyle \int \left| \cot x \right| \, \mathrm{d}x = \mathrm{sgn}\left(\cot x\right) \ln \left|\sin x\right| + \mathsf{const.} (단, ∣x∣<nπ−π2|x| < n \pi - \dfrac{\pi}{2} )

5. 특수함수[편집]

일부 형태는 초등함수로 적분이 불가능하다.

5.1. 사인 적분 함수, 코사인 적분 함수[편집]

  • ∫sin⁡xx dx=Si(x)+const.=∫0xsin⁡tt dt+const.\displaystyle \int \frac{\sin x}x\, \mathrm{d}x = \mathrm{Si}(x) + \mathsf{const.} = \int_0^x \frac{\sin t}t\,\mathrm{d}t + \mathsf{const.}
  • ∫cos⁡xx dx=Ci(x)+const.=−∫x∞cos⁡tt dt+const.\displaystyle \int \frac{\cos x}x\, \mathrm{d}x = \mathrm{Ci}(x) + \mathsf{const.} = -\int_x^\infty \frac{\cos t}t\,\mathrm{d}t + \mathsf{const.}
  • ∫sin⁡ex dx=Si(ex)+const.\displaystyle \int \sin e^x\,\mathrm{d}x = \mathrm{Si}(e^x) + \mathsf{const.}
  • ∫cos⁡ex dx=Ci(ex)+const.\displaystyle \int \cos e^x\,\mathrm{d}x = \mathrm{Ci}(e^x) + \mathsf{const.}
  • ∫sin⁡xln⁡x dx=Ci(x)−cos⁡xln⁡x+const.\displaystyle \int \sin x \ln x\,\mathrm{d}x = \mathrm{Ci}(x) - \cos x \ln x + \mathsf{const.}
  • ∫cos⁡xln⁡x dx=−Si(x)+sin⁡xln⁡x+const.\displaystyle \int \cos x \ln x\,\mathrm{d}x = -\mathrm{Si}(x)+ \sin x \ln x + \mathsf{const.}
  • ∫sin⁡(x−1)=−Ci(x−1)+xsin⁡(x−1)+const.\displaystyle \int \sin(x^{-1}) = -\mathrm{Ci}(x^{-1}) + x \sin(x^{-1}) + \mathsf{const.}
  • ∫cos⁡(x−1)=Si(x−1)+xcos⁡(x−1)+const.\displaystyle \int \cos(x^{-1}) = \mathrm{Si}(x^{-1}) + x \cos(x^{-1}) + \mathsf{const.}

5.2. 프레넬 사인 적분 함수, 프레넬 코사인 적분 함수[편집]

  • ∫sin⁡x2 dx=S(x)+const.=∫0xsin⁡t2 dt+const.\displaystyle \int \sin x^2 \, \mathrm{d}x = S(x) + \mathsf{const.} = \int_0^x \sin t^2\,\mathrm{d}t + \mathsf{const.}
  • ∫cos⁡x2 dx=C(x)+const.=∫0xcos⁡t2 dt+const.\displaystyle \int \cos x^2 \, \mathrm{d}x = C(x) + \mathsf{const.} = \int_0^x \cos t^2\,\mathrm{d}t + \mathsf{const.}
프레넬 적분 함수를 sin⁡t2, cos⁡t2\sin t^2 ,\, \cos t^2의 적분이 아닌 sin⁡2π2t, cos⁡2π2t\sin^2 \dfrac{\pi}{2} t ,\, \cos^2 \dfrac{\pi}{2} t의 적분으로 정의하기도 하는데 이때는 다음과 같다.
  • ∫sin⁡x2 dx=π2S(2πx)+const.=π2∫0xsin⁡2π2t dt+const.\displaystyle \int \sin x^2 \, \mathrm{d}x = \sqrt{\dfrac{\pi}{2}}S\biggl(\sqrt{\dfrac{2}{\pi}}x\biggr) + \mathsf{const.} =\sqrt{\dfrac{\pi}{2}} \int_0^x \sin^2 \sqrt{\dfrac{\pi}{2}} t\,\mathrm{d}t + \mathsf{const.}
  • ∫cos⁡x2 dx=π2C(2πx)+const.=π2∫0xcos⁡2π2t dt+const.\displaystyle \int \cos x^2 \, \mathrm{d}x = \sqrt{\dfrac{\pi}{2}}C\biggl(\sqrt{\dfrac{2}{\pi}}x\biggr) + \mathsf{const.} =\sqrt{\dfrac{\pi}{2}} \int_0^x \cos^2 \sqrt{\dfrac{\pi}{2}} t\,\mathrm{d}t + \mathsf{const.}

5.3. 폴리로그함수[편집]

  • ∫xtan⁡x dx=i2[Li2(−e2ix)+x{x+2iln⁡(1+e2ix)}]+const.\displaystyle \int x \tan x\,\mathrm{d}x = \frac i2[\mathrm{Li}_2(-e^{2ix})+x\{x+2i \ln(1+e^{2ix})\}]+ \mathsf{const.}
  • ∫xcsc⁡x dx=−2i Li2(eix)+i2Li2(e2ix)−2x artanh eix+const.\displaystyle \int x \csc x\,\mathrm{d}x = -2i\,\mathrm{Li}_2(e^{ix}) + \frac i2\mathrm{Li}_2(e^{2ix}) - 2x\,\mathrm{artanh}\,e^{ix} + \mathsf{const.}
  • ∫xsec⁡x dx=i{Li2(−ieix)−Li2(ieix)−2xarctan⁡eix}+const.\displaystyle \int x \sec x\,\mathrm{d}x = i\{\mathrm{Li}_2(-ie^{ix}) - \mathrm{Li}_2(ie^{ix}) - 2x\arctan e^{ix}\} + \mathsf{const.}
  • ∫xcot⁡x dx=xln⁡(1−e2ix)−12i{x2+Li2(e2ix)}+const.\displaystyle \int x \cot x\,\mathrm{d}x = x\ln(1-e^{2ix}) - \frac12i\{x^2+\mathrm{Li}_2(e^{2ix})\}+ \mathsf{const.}

5.4. 초기하함수[편집]

  • ∫extan⁡x dx=iex2F1(−i2, 1; 1−i2; −e2ix)−2+i5e(1+2i)x2F1(1, 1−i2; 2−i2; −e2ix)+const.\displaystyle \int e^x \tan x\,\mathrm{d}x = ie^x{}_2F_1\left(-\frac i2,~1;~1-\frac i2;~-e^{2ix}\right) - \frac{2 + i}5 e^{\left(1+2i\right)x}{}_2F_1\left(1,~1-\frac i2;~2-\frac i2;~-e^{2ix}\right) + \mathsf{const.}
  • ∫excsc⁡x dx=−(1+i)e(1+i)x2F1(1−i2, 1; 3−i2; e2ix)+const.\displaystyle \int e^x \csc x\,\mathrm{d}x = -\left(1+i\right) e^{\left(1+i\right)x} {}_2F_1\left(\frac{1-i}2,~1;~\frac{3-i}2;~e^{2ix}\right) + \mathsf{const.}
  • ∫exsec⁡x dx=(1−i)e(1+i)x2F1(1−i2, 1; 3−i2; −e2ix)+const.\displaystyle \int e^x \sec x\,\mathrm{d}x = \left(1-i\right) e^{\left(1+i\right)x} {}_2F_1\left(\frac{1-i}2,~1;~\frac{3-i}2;~-e^{2ix}\right) + \mathsf{const.}
  • ∫excot⁡x dx=−iex2F1(−i2, 1; 1−i2; e2ix)−2+i5e(1+2i)x2F1(1, 1−i2; 2−i2; e2ix)+const.\displaystyle \int e^x \cot x\,\mathrm{d}x = -ie^x {}_2F_1\left(-\frac i2,~1;~1-\frac i2;~e^{2ix}\right) - \frac{2+i}5 e^{\left(1+2i\right)x} {}_2 F_1\left(1,~1-\frac i2;~2-\frac i2;~e^{2ix}\right) + \mathsf{const.}

6. 관련 문서[편집]

[1] 단순히 부호 함수를 이용해서 −sgn(sin⁡x)cos⁡x+const.-\mathrm{sgn}\left(\sin x\right)\cos x + \mathsf{const.}로 나타낼 수도 있겠으나, 이럴 경우 x=nπx=n\pi에서 미분이 불가능하다는 문제가 생긴다(완전히 불가능한 건 아니다. 하지만...). 이는 아래 ∣cos⁡x∣\left|\cos x\right|의 적분도 마찬가지.