코시 주요값은 절대수렴하지 않는 이상적분을 구할 수 있는 방법이다.

어떤 함수가 ${x}_{0}$ 근처에서 발산할 경우, ${x}_{0}$을 포함하는 구간의 정적분 즉 이상적분은 다음과 같이 계산될 수 있다.
$\displaystyle \mathcal{P}\int_{a}^{b}f\left ( x \right )\mathrm{d}x=\lim_{c\rightarrow 0+}\left \{ \int_{a}^{{x}_{0}-c}f\left ( x \right )\mathrm{d}x+\int_{{x}_{0}+c}^{b}f\left ( x \right )\mathrm{d}x\right \}$

소수 분포를 추정할 때 쓰는 비초등 함수인 로그 적분 함수의 경우 피적분함수가 $x=1$ 근처에서 발산하므로[1] ${x}_{0}=1$이다. 따라서 $x>1$일 때 코시 주요값은 다음과 같다.
$\displaystyle \mathcal{P}\int_{0}^{x}\frac{1}{\ln x}\mathrm{d}x=\lim_{c\rightarrow 0+}\left \{ \int_{0}^{1-c}\frac{1}{\ln x}\mathrm{d}x+\int_{1+c}^{x}\frac{1}{\ln x}\mathrm{d}x\right \}\left ( x>1 \right )$

$\displaystyle \frac{{e}^{x}}{x}$의 부정적분인 지수 적분 함수는 해당함수의 도함수인 $\displaystyle \frac{{e}^{x}}{x}$이 $x=0$ 근처에서 발산한다. 그러므로 ${x}_{0}=0$이다.
해당 함수의 정의는 $-\displaystyle \int_{-x}^{\infty}\frac{1}{x{e}^{x}}\mathrm{d}x$이지만 특이점[2]인 $x=0$이 적분구간에 포함된다.($x>0$인 경우.)[3]
그러므로 코시 주요값을 사용해서 다음과 같이 정의하자.
$\displaystyle \mathcal{P}\int_{-x}^{\infty}\frac{-1}{x{e}^{x}}\mathrm{d}x=-\lim_{c\rightarrow 0+}\left (\int_{-x}^{-c}\frac{1}{xe^{x}}\mathrm{d}x+\lim_{k\rightarrow\infty}\int_{c}^{k}\frac{1}{x{e}^{x}}\mathrm{d}x \right )$