역도함수표

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1. 개요[편집]

여러 함수의 역도함수를 수록한 문서이다. 문서에서 const.\mathsf{const.}는 적분상수이다.[1][2]

2. 기본 적분[편집]

2.1. 선형성(linearity)[3][편집]

  • ∫{αf(x)+βg(x)}dx=α∫f(x)dx+β∫g(x)dx\displaystyle \int \left\{ \alpha f\left( x \right) + \beta g\left( x \right) \right\}\mathrm{d}x=\alpha \int f\left( x \right)\mathrm{d}x + \beta \int g\left ( x \right )\mathrm{d}x

2.2. f'(x)/f(x) 꼴[편집]

  • ∫f′(x)f(x) dx=ln⁡∣f(x)∣+const.\displaystyle \int \frac{f'\left( x \right)}{f\left( x \right)}\,\mathrm{d}x=\ln\left| f\left( x \right) \right|+ \mathsf{const.}

2.3. 역함수[편집]

함수 f(x)f(x)의 역함수 f−1(x)f^{-1}(x)의 역도함수는 부분적분과 역함수의 미분 공식을 쓰면 유도할 수 있다.
  • ∫f−1(x) dx=xf−1(x)−∫f(y) dy\displaystyle \int f^{-1}(x)\,\mathrm{d}x=xf^{-1}(x)-\int f(y)\,\mathrm{d}y

2.4. 다항식[편집]

유의할 것은 nn이 상수여야 한다는 점이다. y=xxy=x^x와 같은 함수는 초등함수를 유한 번 사용한 부정적분으로 표현할 수 없다.
  • n≠−1n \ne -1일 때
    • ∫xn dx=xn+1n+1+const.\displaystyle \int x^n\,\mathrm{d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+ \mathsf{const.}
  • n=−1n=-1일 때
    • ∫x−1 dx=∫1x dx=ln⁡∣x∣+const.\displaystyle \int x^{-1}\,\mathrm{d}x = \int \frac1x\,\mathrm{d}x = \ln \left| x \right|+ \mathsf{const.}

2.5. 유리함수[편집]

  • ∫1ax+b dx=ln⁡(ax+b)a+const.\displaystyle \int \frac{1}{ax+b} \, \mathrm{d}x=\frac{\ln(ax+b)}{a}+\sf const.
  • ∫1ax2+bx+c dx\displaystyle \int \frac{1}{ax^2+bx+c} \, \mathrm{d}x
    • b2−4ac>0\boldsymbol{ b^2 - 4ac > 0}인 경우: −1b2−4acln⁡∣2ax+b+b2−4ac2ax+b−b2−4ac∣+const.=−2b2−4acartanh(2ax+bb2−4ac)+const.\displaystyle \frac{-1}{\sqrt{b^2-4ac}} \ln\left|\frac{2ax+b+\sqrt{b^2-4ac}}{2ax+b-\sqrt{b^2-4ac}}\right|+\mathsf{const.}=\frac{-2}{\sqrt{b^2-4ac}}{\rm artanh}\left(\frac{2ax+b}{\sqrt{b^2-4ac}}\right)+\mathsf{const.} [4]
    • b2−4ac=0\boldsymbol{ b^2-4ac = 0}인 경우: −22ax+b+const.\displaystyle\frac{-2}{2ax+b}+\mathsf{const.}
    • b2−4ac<0\boldsymbol{ b^2-4ac < 0}인 경우: 24ac−b2arctan⁡(2ax+b4ac−b2)+const.\displaystyle\frac{2}{\sqrt{4ac-b^2}}\arctan\left(\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}\right)+\mathsf{const.}[5]

2.6. 지수함수[편집]

  • a>0a > 0인 경우
    • ∫ax dx=axln⁡a+const.\displaystyle \int a^x\,\mathrm{d}x=\frac{a^x}{\ln a}+ \mathsf{const.}
  • a<0a < 0인 경우, ln⁡(−1)=iπ\ln\left(-1\right)=i\pi 즉 복소수 z=az = a에 대해, −π<arg⁡z≤π-\pi<\arg z\le\pi일 때[6][7]
    • ∫ax dx=axLog ∣a∣+iπ+const.\displaystyle \int a^x\,\mathrm{d}x = \frac{a^x}{\mathrm{Log}\,|a| + i\pi}+ \mathsf{const.}
  • ixi^x인 경우, 복소수 z=iz = i에 대해, −π<arg⁡z≤π-\pi<\arg z\le\pi일 때
    • ∫ix dx=2πsin⁡πx2−i2πcos⁡πx2+const.=−i2πcis⁡(πx2)+const.\displaystyle \int i^x\,\mathrm{d}x = \frac2\pi \sin \frac{\pi x}2 - i\frac2\pi \cos \frac{\pi x}2 + \mathsf{const.} = -i\frac2\pi \operatorname{cis}\left(\frac{\pi x}2 \right) + \mathsf{const.}
  • xax\displaystyle xa^{x}인 경우
    • ∫xax dx=ax(xln⁡a−1)ln⁡2a+const.\displaystyle\int xa^x\,\mathrm{d}x=\frac{a^x(x\ln a-1)}{\ln^2 a}+ \mathsf{const.}
    [증명]

    부분적분을 이용한다.

    ∫xaxdx=xln⁡aax−∫axln⁡adx=xln⁡aax−1(ln⁡a)2ax+const.=ax(xln⁡a−1)(ln⁡a)2+const.\displaystyle \begin{aligned} \int xa^{x}\mathrm{d}x&=\frac{x}{\ln a}a^{x}-\int \frac{a^{x}}{\ln a}\mathrm{d}x \\ &=\frac{x}{\ln a}a^x-\frac{1}{(\ln a)^{2}}a^{x}+ \mathsf{const.} \\ &=\frac{a^{x}(x\ln a-1)}{(\ln a)^2}+ \mathsf{const.} \end{aligned}
  • xne−cx\displaystyle x^n e^{-cx} 꼴인 경우 (단, nn은 자연수)
    • ∫xne−cx dx=−n!cn+1∑j=0n(cx)jj!e−cx+const.\displaystyle\int x^n e^{-cx}\,\mathrm{d}x=-\frac{n!}{c^{n+1}}\sum_{j=0}^n\frac{(cx)^j}{j!}e^{-cx}+\mathsf{const.}

2.6.1. 허수지수함수[편집]

  • ∫cis⁡(z) dz=−icis⁡(z)+const.\displaystyle\int \operatorname{cis}(z) \,{\rm d}z = -i \operatorname{cis}(z)+\mathsf{const.}
  • ∫cis⁡‾(z) dz=i cis⁡‾(z)+const.\displaystyle\int \overline{\operatorname{cis}}(z) \,{\rm d}z = i \, \overline{\operatorname{cis}}(z)+\mathsf{const.}

2.7. 로그함수[편집]

  • 밑이 a\displaystyle a인 로그함수
    • ∫log⁡ax dx=xln⁡x−xln⁡a+const.\displaystyle \int \log_ax\,\mathrm{d}x=\frac{x\ln x-x}{\ln a}+ \mathsf{const.}
  • 특히, a=a= [math(e)]일 때
    • ∫ln⁡x dx=xln⁡x−x+const.\displaystyle \int \ln x\,\mathrm{d}x=x\ln x-x+ \mathsf{const.}

2.8. 삼각함수[편집]

2.8.1. 기본[편집]

  • ∫sin⁡x dx=−cos⁡x+const.\displaystyle \int \sin x\,\mathrm{d}x=-\cos x+ \mathsf{const.}
  • ∫cos⁡x dx=sin⁡x+const.\displaystyle \int \cos x\,\mathrm{d}x=\sin x+ \mathsf{const.}
  • ∫sec⁡2x dx=tan⁡x+const.\displaystyle \int \sec^2x\,\mathrm{d}x=\tan x+ \mathsf{const.}
  • ∫csc⁡2x dx=−cot⁡x+const.\displaystyle \int \csc^2x\,\mathrm{d}x=-\cot x+ \mathsf{const.}
  • ∫sec⁡xtan⁡x dx=sec⁡x+const.\displaystyle \int \sec x\tan x\,\mathrm{d}x=\sec x+ \mathsf{const.}
  • ∫csc⁡xcot⁡x dx=−csc⁡x+const.\displaystyle \int \csc x\cot x\,\mathrm{d}x=-\csc x+ \mathsf{const.}

2.8.2. 사인 함수 및 코사인 함수의 거듭제곱 꼴[편집]

  • ∫sin⁡nx dx=−sin⁡n−1xcos⁡xn+n−1n∫sin⁡n−2x dx(n∈N, n≥2)\displaystyle \int \sin^nx\,\mathrm{d}x=\frac{-\sin^{n-1}x\cos x}n+\frac{n-1}n\int \sin^{n-2}x\,\mathrm{d}x \quad (n\in\mathbb N,\,n\ge2)
  • ∫cos⁡nx dx=cos⁡n−1xsin⁡xn+n−1n∫cos⁡n−2x dx(n∈N, n≥2)\displaystyle \int \cos^nx\,\mathrm{d}x=\frac{\cos^{n-1}x\sin x}n+\frac{n-1}n\int \cos^{n-2}x\,\mathrm{d}x \quad (n \in\mathbb N,\,n\ge2)
  • ∫sin⁡mxcos⁡nxdx=sin⁡m+1xcos⁡n−1xm+n+n−1m+n∫sin⁡mxcos⁡n−2x dx (m≥0, n≥1, n, m∈N)\displaystyle \int \sin^mx\cos^nx \mathrm{d}x=\frac{\sin^{m+1}x \cos^{n-1} x}{m+n}+\frac{n-1}{m+n}\int \sin^mx \cos^{n-2}x\,\mathrm{d}x \ \quad (m\ge0,\,n\ge1,\,n,\,m\in\mathbb N)

2.8.3. 탄젠트 함수[편집]

  • ∫tan⁡x dx=−ln⁡∣cos⁡x∣+const.=ln⁡∣sec⁡x∣+const.\displaystyle \int \tan x\,\mathrm{d}x=-\ln\left| \cos x \right|+ \mathsf{const.}=\ln\left| \sec x \right|+ \mathsf{const.}
  • ∫tan⁡nx dx=tan⁡n−1xn−1−∫tan⁡n−2x dx(n∈N, n≥2)\displaystyle \int \tan^nx\,\mathrm{d}x=\frac{\tan^{n-1}x}{n-1}-\int \tan^{n-2}x\,\mathrm{d}x \quad (n\in\mathbb N,\,n\ge2)

2.8.4. 코탄젠트 함수[편집]

  • ∫cot⁡x dx=ln⁡∣sin⁡x∣+const.\displaystyle \int \cot x\,\mathrm{d}x=\ln\left| \sin x \right|+ \mathsf{const.}
  • ∫cot⁡nx dx=−cot⁡n−1xn−1−∫cot⁡n−2x dx(n∈N, n≥2)\displaystyle \int \cot^nx\,\mathrm{d}x=\frac{-\cot^{n-1}x}{n-1}-\int \cot^{n-2}x\,\mathrm{d}x \quad (n\in\mathbb N,\,n\ge2)

2.8.5. 시컨트 함수[편집]

  • ∫sec⁡x dx=12ln⁡∣sin⁡x+1sin⁡x−1∣+const.=ln⁡∣tan⁡x+sec⁡x∣+const.= \displaystyle \int \sec x\,\mathrm{d}x=\frac12\ln \left| \frac{\sin x+1}{\sin x-1} \right|+ \mathsf{const.}=\ln \left|\tan x+\sec x\right|+ \mathsf{const.}=\ [math(text{igd}(x)+mathsf{const.})]
  • ∫sec⁡nx dx=sec⁡n−2xtan⁡xn−1+n−2n−1∫sec⁡n−2x dx(n∈N, n≥2)\displaystyle \int \sec^nx\,\mathrm{d}x=\frac{\sec^{n-2}x\tan x}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int \sec^{n-2}x\,\mathrm{d}x \quad (n\in\mathbb N,\,n\ge2)

2.8.6. 코시컨트 함수[편집]

  • ∫csc⁡x dx=−12ln⁡∣cos⁡x+1cos⁡x−1∣+const.=−ln⁡∣cot⁡x+csc⁡x∣+const.=ln⁡∣cot⁡x−csc⁡x∣+const.\displaystyle \int \csc x\,\mathrm{d}x=-\frac12\ln\left| \frac{\cos x+1}{\cos x-1} \right|+ \mathsf{const.}=-\ln \left|\cot x+\csc x\right|+ \mathsf{const.}=\ln\left| \cot x-\csc x\right|+ \mathsf{const.}
  • ∫csc⁡nx dx=−csc⁡n−2xcot⁡xn−1−n−2n−1∫csc⁡n−2x dx(n∈N, n≥2)\displaystyle \int \csc^nx\,\mathrm{d}x=\frac{-\csc^{n-2}x\cot x}{n-1}-\frac{n-2}{n-1}\int \csc^{n-2}x\,\mathrm{d}x \quad (n\in\mathbb N,\,n\ge2)

2.9. 쌍곡선 함수[편집]

2.9.1. 기본[편집]

  • ∫sinh⁡x dx=cosh⁡x+const.\displaystyle \int \sinh x \,\mathrm{d}x=\cosh x +\mathsf{const.}
  • ∫cosh⁡x dx=sinh⁡x+const.\displaystyle \int \cosh x \,\mathrm{d}x=\sinh x +\mathsf{const.}
  • ∫tanh⁡x dx=(ln⁡∘cosh⁡)(x)+const.\displaystyle \int \tanh x \,\mathrm{d}x=(\ln\circ\cosh)( x) +\mathsf{const.}

2.9.2. 역수 꼴[편집]

  • ∫cschx dx=(ln⁡∘tanh⁡)(x2)+const.\displaystyle \int \mathrm{csch} x \,\mathrm{d}x=(\ln \circ \tanh)\biggl(\frac{x}{2}\biggr)+\mathsf{const.}
  • ∫sechx dx=2(arctan⁡∘tanh⁡)(x2)+const.= \displaystyle \int \mathrm{sech} x \,\mathrm{d}x=2(\arctan\circ\tanh)\biggl(\frac{x}{2}\biggr)+\mathsf{const.}=\,[math(mathrm{gd}(x)+mathsf{const.})]
  • ∫coth x dx=ln⁡∣sinh⁡(x)∣+const.\displaystyle \int {\rm coth}\,x \,\mathrm{d}x=\ln{|\sinh(x)|} +\mathsf{const.}

2.10. 부분적분[편집]

  • ∫tf′(t) dt=∫{tf′(t)+f(t)} dt−∫f(t) dt=tf(t)−∫f(t)dt\displaystyle\int tf'(t)\,{\rm d}t=\int \{tf'(t)+f(t)\}\,{\rm d}t-\int f(t)\,{\rm d}t = tf(t)-\int f(t)\mathrm{d}t

3. 특수 적분[편집]

적분의 결과로 특수함수가 나오는 식이다.

3.1. 절댓값 함수[편집]

  • ∫∣x∣ dx=12x2 sgn x+const.\displaystyle \int |x|\,\mathrm{d}x = \frac{1}2x^{2}\, \mathrm{sgn}\,x + \mathsf{const.}

일반적인 일차함수 적분과 비슷해 보이지만, x<0x < 0 구간이 음수 방향으로 뒤집어져 있다는 차이가 존재한다. sgn x\mathrm{sgn}\,x는 부호 함수이다.
  • ∫∣f(x)∣ dx=(sgn∘f)(x)∫f(x) dx\displaystyle \int | f(x) |\,\mathrm{d}x = (\mathrm{sgn} \circ f)(x) \int f(x)\,\mathrm{d}x

3.1.1. 부호 함수[편집]

  • ∫sgn⁡x dx=∣x∣+const.\displaystyle \int \operatorname{sgn} x\, \mathrm{d}x = |x| + \mathsf{const.}

3.1.2. 삼각함수와의 합성함수[편집]

  • ∫sin⁡∣x∣ dx=(1−cos⁡x)sgn x+const.\displaystyle \int \sin |x|\,\mathrm{d}x = \left(1- \cos x\right)\mathrm{sgn}\,x + \mathsf{const.}
  • ∫cos⁡∣x∣ dx=sin⁡x+const.\displaystyle \int \cos |x|\,\mathrm{d}x = \sin x+ \mathsf{const.}
  • ∫tan⁡∣x∣ dx=(ln⁡∣sec⁡x∣)sgn x+const.\displaystyle \int \tan |x|\,\mathrm{d}x = \left(\ln \left| \sec x \right|\right) \mathrm{sgn}\,x + \mathsf{const.}
  • ∫sec⁡∣x∣ dx=ln⁡∣tan⁡x+sec⁡x∣+const.\displaystyle \int \sec |x|\,\mathrm{d}x = \ln \left| \tan x + \sec x \right| + \mathsf{const.}
  • ∫csc⁡∣x∣ dx=(ln⁡∣cot⁡x−csc⁡x∣)sgn x+const.\displaystyle \int \csc |x|\,\mathrm{d}x = \left(\ln \left| \cot x - \csc x \right|\right)\mathrm{sgn}\,x + \mathsf{const.}
  • ∫cot⁡∣x∣ dx=(ln⁡∣sin⁡x∣)sgn x+const.\displaystyle \int \cot |x|\,\mathrm{d}x = \left(\ln \left| \sin x \right|\right)\mathrm{sgn}\,x + \mathsf{const.}
  • ∫∣sin⁡x∣ dx=2⌊xπ⌋−cos⁡(x−⌊xπ⌋π)+const.\displaystyle \int \left|\sin x\right|\,\mathrm{d}x = 2\left\lfloor\frac x\pi\right\rfloor -\cos\left(x - \left\lfloor\frac x\pi \right\rfloor\pi\right) + \mathsf{const.}[A]
  • ∫∣cos⁡x∣ dx=2⌊xπ+12⌋+sin⁡(x−⌊xπ+12⌋π)+const.\displaystyle \int \left|\cos x\right|\,\mathrm{d}x = 2\left\lfloor\frac x\pi + \frac12\right\rfloor + \sin\left(x - \left\lfloor\frac x\pi + \frac12 \right\rfloor\pi\right) + \mathsf{const.}[A]
  • ∫∣tan⁡x∣ dx=−(sgn∘tan⁡)(x)ln⁡∣cos⁡x∣+const.\displaystyle \int \left| \tan x \right|\,\mathrm{d}x = -(\mathrm{sgn} \circ \tan)(x) \ln \left| \cos x \right| + \mathsf{const.} \quad (\biggl( \biggr.단, ∣x∣<nπ−π2|x| < n \pi - \dfrac{\pi}{2} )\biggl. \biggr)
  • ∫∣sec⁡x∣ dx=sgn(sec⁡x)ln⁡∣sec⁡x+tan⁡x∣+const.\displaystyle \int \left| \sec x \right| \, \mathrm{d}x = \mathrm{sgn}\left(\sec x\right) \ln \left|\sec x + \tan x\right| + \mathsf{const.}
  • ∫∣csc⁡x∣ dx=−sgn(csc⁡x)ln⁡∣csc⁡x+cot⁡x∣+const.=sgn(csc⁡x)ln⁡∣csc⁡x−cot⁡x∣+const.\displaystyle \int \left| \csc x \right| \, \mathrm{d}x = -\mathrm{sgn}\left(\csc x\right) \ln \left|\csc x + \cot x\right| + \mathsf{const.} = \mathrm{sgn}\left(\csc x\right) \ln \left|\csc x - \cot x\right| + \mathsf{const.}
  • ∫∣cot⁡x∣ dx=sgn(cot⁡x)ln⁡∣sin⁡x∣+const.\displaystyle \int \left| \cot x \right| \, \mathrm{d}x = \mathrm{sgn}\left(\cot x\right) \ln \left|\sin x\right| + \mathsf{const.} \quad(\biggl( \biggr.단, ∣x∣<nπ−π2|x| < n \pi - \dfrac{\pi}{2} )\biggl. \biggr)

위 식에서 ⌊⋅⌋\lfloor \cdot \rfloor는 바닥함수이다.

3.2. 역삼각함수[편집]

  • ∫arcsin⁡x dx=xarcsin⁡x+1−x2+const.\displaystyle \int \arcsin x\,\mathrm{d}x = x \arcsin x + \sqrt{1-x^2}+ \mathsf{const.}
  • ∫arccos⁡x dx=xarccos⁡x−1−x2+const.\displaystyle \int \arccos x\,\mathrm{d}x = x \arccos x - \sqrt{1-x^2}+ \mathsf{const.}
  • ∫arctan⁡x dx=xarctan⁡x−12ln⁡(x2+1)+const.\displaystyle \int \arctan x\,\mathrm{d}x = x \arctan x - \frac12\ln(x^2+1)+ \mathsf{const.}
  • ∫arcsec x dx=x arcsec x−sgn xln⁡(x+x2−1)+const.\displaystyle \int \mathrm{arcsec}\,x\,\mathrm{d}x = x\,\mathrm{arcsec}\,x - \mathrm{sgn}\,x \ln(x+\sqrt{x^2-1})+ \mathsf{const.}
  • ∫arccsc x dx=x arccsc x+sgn xln⁡(x+x2−1)+const.\displaystyle \int \mathrm{arccsc}\,x\,\mathrm{d}x = x\,\mathrm{arccsc}\,x + \mathrm{sgn}\,x \ln(x+\sqrt{x^2-1})+ \mathsf{const.}
  • ∫arccot x dx=x arccot x+12ln⁡(x2+1)+const.\displaystyle \int \mathrm{arccot}\,x\,\mathrm{d}x = x\,\mathrm{arccot}\,x + \frac12\ln(x^2+1)+ \mathsf{const.}

3.3. 역쌍곡선 함수[편집]

  • ∫arsinh x dx=11+x2+const.\displaystyle \int \mathrm{arsinh}\,x\,\mathrm{d}x =\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} +\mathsf{const.}
  • ∫arcosh x dx=11+x1−x+const.\displaystyle \int \mathrm{arcosh}\,x\,\mathrm{d}x = \frac{1}{\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}}+\mathsf{const.}
  • ∫artanh x dx=11−x2+const.\displaystyle \int \mathrm{artanh}\,x\,\mathrm{d}x = \frac{1}{1-x^2}+\mathsf{const.}
  • ∫arcsch x dx=−11+1x2+1+const.\displaystyle \int \mathrm{arcsch}\,x\,\mathrm{d}x =- \frac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2} }+1} +\mathsf{const.}
  • ∫arsech x dx=−1x1−xx+1(x+1)+const.\displaystyle \int \mathrm{arsech}\,x\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{x\sqrt{\dfrac{1-x}{x+1}}} (x+1) +\mathsf{const.}
  • ∫arcoth x dx=11−x2+const.\displaystyle \int \mathrm{arcoth}\,x\,\mathrm{d}x =\frac{1}{1-x^2}+\mathsf{const.}

3.4. 오차함수[편집]

  • ∫e−x2 dx=π2erf(x)+const.\displaystyle \int e^{-x^2}\,\mathrm{d}x=\frac{\sqrt\pi}2\mathrm{erf}\left( x \right)+ \mathsf{const.}

3.5. 지수 적분 함수[편집]

  • ∫exx dx=Ei(x)+const.=−∫−x∞e−tt dt+const.\displaystyle \int \frac{e^x}x\,\mathrm{d}x = \mathrm{Ei}\left(x\right) + \mathsf{const.} = -\int_{-x}^\infty\frac{e^{-t}}t\,\mathrm{d}t + \mathsf{const.}

대표적인 초월함수 중 하나다. 해당 함수는 x>0x>0에서 역시 코시 주요값 문서의 예처럼 정의된다.

  • ∫a1/x dx=xa1/x−Ei(ln⁡ax)ln⁡a+const.=xa1/x+ln⁡a∫−ln⁡a/x∞e−tt dt+const.\displaystyle \int a^{1/x}\,\mathrm{d}x = xa^{1/x} - \mathrm{Ei}\left(\frac{\ln a}x\right) \ln a + \mathsf{const.} = x a^{1/x} + \ln a \int_{-{\ln a}/x}^\infty\frac{e^{-t}}t\,\mathrm{d}t + \mathsf{const.}
  • ∫exln⁡x dx=exln⁡x−Ei(x)+const.=∫−x∞e−tt dt+exln⁡x+const.\displaystyle \int e^x \ln x \,\mathrm{d}x = e^x \ln x - \mathrm{Ei}\left(x\right) + \mathsf{const.} = \int_{-x}^\infty\frac{e^{-t}}t\,\mathrm{d}t + e^x \ln x + \mathsf{const.}
  • ∫Ei(x)dx=xEix−ex+const.\displaystyle \int \mathrm{Ei}(x) \mathrm{d}x = x\mathrm{Ei}x - e^x + \sf const.

3.6. 로그 적분 함수[편집]

  • ∫1ln⁡x dx=li(x)+const.=∫0xdtln⁡t+const.=lim⁡a→0+[∫01−a1ln⁡tdt+∫1+ax1ln⁡tdt]=∫μx1ln⁡tdt+const.\displaystyle \int \frac1{\ln x}\,\mathrm{d}x = \mathrm{li}\left(x\right) + \mathsf{const.} = \int_0^x \frac{\mathrm{d}t}{\ln t} + \mathsf{const.}=\lim_{a \to 0+} \left[\int_{0}^{1-a} \frac{1}{\ln t} \mathrm{d}t + \int_{1+a}^x \frac{1}{\ln t} \mathrm{d}t\right]=\int_\mu^x \frac{1}{\ln t} \mathrm{d}t +\mathsf{const.}[10]

이것도 역시 초월함수다. x>1x>1일 때 li(x)=∫0x(ln⁡t)−1 dt \mathrm{li}(x)=\int_0^x (\ln{t})^{-1}\,{\rm d}t에 대해서는 코시 주요값 참고하라.

로그 적분 함수를 다시 적분한 함수는 지수 적분 함수와 로그함수, 로그 적분 함수로 나타내어진다.
  • ∫li⁡(x)dx=x li(x)−Ei(2ln⁡x)+const.\displaystyle \int \operatorname{li}(x)\mathrm{d}x = x\,\mathrm{li}(x) - \mathrm{Ei}(2\ln x) + \sf const.

3.7. 삼각 적분 함수[편집]

  • ∫sin⁡xx dx=Si(x)+const.=∫0xsin⁡tt dt+const.\displaystyle \int \frac{\sin x}x\,\mathrm{d}x = \mathrm{Si}(x) + \mathsf{const.} = \int_0^x\frac{\sin t}t\,\mathrm{d}t + \mathsf{const.}
  • ∫cos⁡xx dx=Ci(x)+const.=−∫x∞cos⁡tt dt+const.\displaystyle \int \frac{\cos x}x\,\mathrm{d}x = \mathrm{Ci}(x) + \mathsf{const.} = -\int_x^\infty\frac{\cos t}t\,\mathrm{d}t + \mathsf{const.}


이외에도 삼각함수와 지수함수를 합성한 꼴, 로그함수와 삼각함수의 곱 꼴, 정의역에 역수를 취한 꼴에서도 이 초월함수가 나온다.
  • ∫sin⁡ex dx=Si(ex)+const.\displaystyle \int \sin e^x\,\mathrm{d}x = \mathrm{Si}(e^x) + \mathsf{const.}
  • ∫cos⁡ex dx=Ci(ex)+const.\displaystyle \int \cos e^x\,\mathrm{d}x = \mathrm{Ci}(e^x) + \mathsf{const.}
  • ∫sin⁡xln⁡x dx=Ci(x)−cos⁡xln⁡x+const.\displaystyle \int \sin x \ln x\,\mathrm{d}x = \mathrm{Ci}(x) - \cos x \ln x + \mathsf{const.}
  • ∫cos⁡xln⁡x dx=−Si(x)+sin⁡xln⁡x+const.\displaystyle \int \cos x \ln x\,\mathrm{d}x = -\mathrm{Si}(x)+ \sin x \ln x + \mathsf{const.}
  • ∫sin⁡(x−1) dx=−Ci(x−1)+xsin⁡(x−1)+const.\displaystyle \int \sin(x^{-1})\,\mathrm{d}x = -\mathrm{Ci}(x^{-1}) + x \sin(x^{-1}) + \mathsf{const.}
  • ∫cos⁡(x−1) dx=Si(x−1)+xcos⁡(x−1)+const.\displaystyle \int \cos(x^{-1})\,\mathrm{d}x = \mathrm{Si}(x^{-1}) + x \cos(x^{-1}) + \mathsf{const.}

3.8. 프레넬 적분 함수[편집]

  • ∫sin⁡x2 dx=S(x)+const.\displaystyle \int \sin x^2 \,\mathrm{d}x = S(x) + \mathsf{const.}
  • ∫cos⁡x2 dx=C(x)+const.\displaystyle \int \cos x^2 \,\mathrm{d}x = C(x) + \mathsf{const.}

S(x)S(x), C(x)C(x)에 대한 정보는 프레넬 적분 함수 문서를 참조하라.

제곱이 아닌 경우는 불완전 감마 함수로 표현되는 복잡한 꼴로 정리된다.
  • ∫sin⁡xn dx=−ix((ixn)−1/pΓ(n−1,ixn)2n+ix(−ixn)−1/pΓ(n−1,−ixn)2n+const.\displaystyle \int \sin x^n \, \mathrm{d}x = - \dfrac{ix((ix^n)^{-1/p}Γ(n^{-1},ix^n)}{2n}+ \dfrac{ix(-ix^n)^{-1/p}Γ(n^{-1},-ix^n)}{2n} + \sf const.
  • ∫cos⁡xn dx=−x(x2n)−1/n((−ixn)−1/nΓ(n−1,ixn)2n−x(x2n)−1/n(ixn)−1/nΓ(n−1,−ixn))2n+const.\displaystyle \int \cos x^n \, \mathrm{d}x = - \dfrac{x (x^{2n})^{-1/n} ((-ix^n)^{-1/n}Γ(n^{-1},ix^n)}{2n} - \dfrac {x (x^{2n})^{-1/n}(ix^n)^{-1/n}Γ(n^{-1},-ix^n) )}{2n} + \sf const.

3.9. 삼각함수와 다항함수의 곱[편집]

  • ∫xsin⁡x dx=sin⁡x−xcos⁡x+const.\displaystyle \int x \sin x\,\mathrm{d}x = \sin x - x \cos x + \mathsf{const.}
  • ∫xcos⁡x dx=xsin⁡x+cos⁡x+const.\displaystyle \int x \cos x\,\mathrm{d}x = x \sin x + \cos x + \mathsf{const.}
  • ∫xtan⁡x dx=i2[Li2(−e2ix)+x{x+2iln⁡(1+e2ix)}]+const.\displaystyle \int x \tan x\,\mathrm{d}x = \frac i2[\mathrm{Li}_2(-e^{2ix})+x\{x+2i \ln(1+e^{2ix})\}]+ \mathsf{const.}
  • ∫xcsc⁡x dx=−2i Li2(eix)+i2Li2(e2ix)−2x artanh eix+const.\displaystyle \int x \csc x\,\mathrm{d}x = -2i\,\mathrm{Li}_2(e^{ix}) + \frac i2\mathrm{Li}_2(e^{2ix}) - 2x\,\mathrm{artanh}\,e^{ix} + \mathsf{const.}
  • ∫xsec⁡x dx=i{Li2(−ieix)−Li2(ieix)−2xarctan⁡eix}+const.\displaystyle \int x \sec x\,\mathrm{d}x = i\{\mathrm{Li}_2(-ie^{ix}) - \mathrm{Li}_2(ie^{ix}) - 2x\arctan e^{ix}\} + \mathsf{const.}
  • ∫xcot⁡x dx=xln⁡(1−e2ix)−12i{x2+Li2(e2ix)}+const.\displaystyle \int x \cot x\,\mathrm{d}x = x\ln(1-e^{2ix}) - \frac12i\{x^2+\mathrm{Li}_2(e^{2ix})\}+ \mathsf{const.}

탄젠트, 코시컨트, 시컨트, 코탄젠트는 조금만 조작이 가해져도 적분이 다소 어려워진다.

위 식에서 Li2\mathrm{Li}_2는 폴리로그함수, arctan⁡\arctan는 역탄젠트, artanh\mathrm{artanh}는 역쌍곡선 탄젠트이다.

3.10. 삼각함수와 지수함수의 곱[편집]

  • ∫exsin⁡x dx=sin⁡x−cos⁡x2ex+const.\displaystyle \int e^x \sin x\,\mathrm{d}x = \frac{\sin x - \cos x}2 e^x + \mathsf{const.}
  • ∫excos⁡x dx=sin⁡x+cos⁡x2ex+const.\displaystyle \int e^x \cos x\,\mathrm{d}x = \frac{\sin x + \cos x}2 e^x + \mathsf{const.}
  • ∫extan⁡x dx=iex2F1(−i2, 1; 1−i2; −e2ix)−2+i5e(1+2i)x2F1(1, 1−i2; 2−i2; −e2ix)+const.\displaystyle \int e^x \tan x\,\mathrm{d}x = ie^x{}_2F_1\biggl(-\frac i2,~1;~1-\frac i2;~-e^{2ix}\biggr) - \frac{2 + i}5 e^{(1+2i)x}{}_2F_1\biggl(1,~1-\frac i2;~2-\frac i2;~-e^{2ix}\biggr) + \mathsf{const.}
  • ∫excsc⁡x dx=−(1+i)e(1+i)x2F1(1−i2, 1; 3−i2; e2ix)+const.\displaystyle \int e^x \csc x\,\mathrm{d}x = -(1+i) e^{(1+i)x} {}_2F_1\biggl(\frac{1-i}2,~1;~\frac{3-i}2;~e^{2ix}\biggr) + \mathsf{const.}
  • ∫exsec⁡x dx=(1−i)e(1+i)x2F1(1−i2, 1; 3−i2; −e2ix)+const.\displaystyle \int e^x \sec x\,\mathrm{d}x = (1-i) e^{(1+i)x} {}_2F_1\biggl(\frac{1-i}2,~1;~\frac{3-i}2;~-e^{2ix}\biggr) + \mathsf{const.}
  • ∫excot⁡x dx=−iex2F1(−i2, 1; 1−i2; e2ix)−2+i5e(1+2i)x2F1(1, 1−i2; 2−i2; e2ix)+const.\displaystyle \int e^x \cot x\,\mathrm{d}x = -ie^x {}_2F_1\biggl(-\frac i2,~1;~1-\frac i2;~e^{2ix}\biggr) - \frac{2+i}5 e^{(1+2i)x} {}_2 F_1\biggl(1,~1-\frac i2;~2-\frac i2;~e^{2ix}\biggr) + \mathsf{const.}

위 식에서 2F1{}_2 F_1은 초기하함수이다.

3.11. 타원 적분[편집]

  • ∫11−k2sin⁡2θ dθ=F(ϕ, k)+const.(0≤k≤1)\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\theta} }}\,\mathrm{d}\theta=F(\phi,\,k)+\mathsf{const.} \qquad (0 \leq k \leq 1)
  • ∫1−k2sin⁡2θ dθ=E(ϕ,k)+const.(0≤k≤1)\displaystyle \int \sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\theta}}\,\mathrm{d}\theta =E(\phi,k)+\mathsf{const.} \qquad (0 \leq k \leq 1)

3.12. 디랙 델타 함수[편집]

  • ∫δ(x) dx=12sgn x+const.=1N0+const.\displaystyle \int \delta(x)\, \mathrm{d}x = \frac{1}{2}\mathrm{sgn}\,x+\mathsf{const.}=\mathbf{1}_{\mathbb N_0}+\sf const.

3.13. 헤비사이드 계단 함수[편집]

  • ∫θ(x) dx=xθ(x)+const.=x+∣x∣2+const.=x1[0,∞)+const.\displaystyle \int \theta (x)\, \mathrm{d} x = x\theta (x)+\mathsf{const.} = \frac{x + |x|}{2} + \mathsf{const.}=x\mathbf{1}_{[0,\infty)}+\sf const.

3.14. 최대, 최소 정수 함수[편집]

  • ∫⌊x⌋dx=⌊x−1⌋(⌊x−1⌋+1)2+⌊x⌋{x}+const.\displaystyle \int \lfloor x \rfloor \mathrm{d}x = \dfrac{\lfloor x-1 \rfloor(\lfloor x-1 \rfloor+1)}{2}+\lfloor x \rfloor \{ x \} + \mathsf{const.}
  • ∫⌈x⌉dx=⌊x⌋(⌊x⌋+1)2+{x}(⌊x⌋+1)+const.\displaystyle \int \lceil x \rceil \mathrm{d}x = \dfrac{\lfloor x \rfloor(\lfloor x \rfloor+1)}{2}+ \{ x \}(\lfloor x \rfloor+1) + \mathsf{const.}
  • ∫1⌊x⌋dx=H⌊x⌋\displaystyle \int \dfrac 1{\lfloor x \rfloor} \mathrm{d}x = H_{\lfloor x \rfloor}+1⌊x⌋({x}−1)+const.+\dfrac 1{\lfloor x \rfloor} (\{x\} -1)+\mathsf{const.}
  • ∫1⌈x⌉dx=H⌊x⌋+1\displaystyle \int \dfrac 1{\lceil x \rceil} \mathrm{d}x = H_{\lfloor x \rfloor+1}+1⌊x+1⌋({x+1}−1)+const.+\dfrac 1{\lfloor x+1 \rfloor} (\{x+1\} -1)+\mathsf{const.}

[math({x}=x-lfloor x rfloor)]이며 HxH_x는 조화수이다.

4. 기타[편집]

  • 거의 모든 미적분 관련 수학 교과서나 수학을 쓰는 대학교 전공서적에 부록으로 달려 있으며, 하도 많이 쓰이다 보니 나중에는 유명한 적분들은 그냥 외우게 된다.

5. 관련 문서[편집]

[1] 어차피 역도함수인 걸 아니까 일부 서적에서는 상수는 빼고 적어 놓는 경우도 있다.[2] 이런 표기를 쓰는 이유는 아래의 프레넬 코사인 함수의 이름자가 적분상수로 자주 쓰이는 표기인 CC와 겹치기 때문.[3] 어떤 연산자가 분배 법칙 및 상수배 성질을 만족시키는 경우 선형성이 있다고 하며, 이런 형태의 결합을 선형결합(linear combination)이라고 한다.[4] artanh\rm artanh 함수의 정의역은 (−1,1)(-1,1)이므로, 일반적인 경우에는 자연로그가 포함된 전자의 공식을 써야 한다. 혹은 R\[−1, 1]{\mathbb R} \backslash [-1,\,1] 부분을 arcoth\rm arcoth로 해서 조각적으로 정의하는 방법도 있다.[5] 처음의 b2−4ac>0b^2-4ac>0인 경우 공식과 이 공식이 같은 공식이라 생각하면, iarctan⁡(x)=artanh(ix)i\arctan(x)={\rm artanh}(ix)를 얻을 수 있고, 여기서 tanh⁡(iθ)=itan⁡θ\tanh(i\theta)=i\tan\theta를 유도할 수 있다. tanh⁡\tanh 함수의 정의를 활용하면 여기서 오일러 공식까지 얻어낼 수 있다. 요한 베르누이가 1702년경 이 방법으로 해당 공식을 얻을 뻔했으나, 복소 로그에 대한 이해 부족으로 공식 완성까지는 못 한 것으로 여겨진다.[6] 복소로그함수의 성질로부터 유도된 식인데, 복소수 zz의 편각 arg⁡z\arg z가 다가함수, 그러니까 엄밀히는 e(π+2nπ)i=−1e^{\left(\pi+2n\pi\right)i}=-1이기 때문에 이렇게 정의하지 않으면 부정적분이 하나로 정의되지 않는다.[7] 이 편각의 범위를 주요값(principal value)이라고 하고 이렇게 정의된 복소로그함수는 Log\mathrm{Log}로, 편각은 Arg\text{Arg}로 나타낸다. Ln\mathrm{Ln}이 아닌 이유는 복소로그함수 참조.[A] 8.1 8.2 단순히 부호 함수를 이용해서 나타낼 수도 있겠으나, 이럴 경우 x=nπ  (n∈N)x=n\pi \; (n \in \mathbb{N})에서 미분이 불가능하다는 문제가 생긴다.[10] μ\mu는 xx절편인 라마누잔-졸트너 상수로 −Γ(0,ln⁡2)−iπ-\Gamma(0,\ln 2)-i\pi이다.