'1=2'를 증명하는 역설을 소개하고 그 역설의 오류를 규명하는 문서.

1=2라면 양변에서 1을 빼서 0=1, 양변에 (m-n)을 곱해 0=m-n, 양변에 n을 더해 n=m, m과 n은 어떤 수든 될 수 있으므로 모든 수가 같게 된다.

이것이 (ZFC 공리계 내에서) 증명된다면 ZFC 공리계의 모순을 발견한 것이 된다.

파일:나무_1=2_기하학.png

한 변의 길이가 1인 정삼각형을 생각하자. 우선 처음 정삼각형의 두 변의 길이의 합은 2이다. 이를 첫째 꺾은선이라고 하자. 이 정삼각형의 각 변을 이등분하는 점을 이어 그림과 같은 꺾은선을 그리자. 그러면 둘째 꺾은선의 총 길이는 2이다. 꺾은선을 그림으로써 새로 생기는 작은 정삼각형들의 각 변을 이등분하는 점을 이어 또 다른 꺾은선을 그릴 수 있다. 이 과정을 반복하면 꺾은선은 갈수록 촘촘해지며, 무한 번 반복하면 최후에는 처음의 정삼각형의 한 변이 된다. 다시 말해 처음 정삼각형의 두 변의 총 길이는 나머지 한 변의 길이와 같다. 곧, 2=1이다.

로지컬이 이것을 소개했다.

우선, 위 과정을 반복하면 꺾은선은 결국 길이가 1인 선분으로 수렴하는 것 자체는 옳다. 그러나 위 증명은 '꺾은선의 길이의 극한'과 '꺾은선의 극한의 길이'를 같은 것으로 잘못 생각한 데서 오류가 발생했다. 둘이 꼭 같다는 보장이 없다.

위 그림의 [math(n)]번째 꺾은선을 [math(G(n))]이라 하고, 조각마다(piecewise) 미분가능한[1]에 대해 [math(G(n))]은 조각마다 미분가능하다.] 임의의 곡선 [math(g)]의 길이를 [math(L(g))]라고 하자. 그러면 [math(varepsilon - N)] 논법에 의해 [math(displaystylelim_{ntoinfty}G(n))]은 길이 1인 선분과 같으므로 [math(Lleft(displaystylelim_{ntoinfty}G(n)right)=1)]이고, [math(displaystylelim_{ntoinfty}L(G(n))=displaystylelim_{ntoinfty}2=2)]이다. 그런데 위 증명에서는 [math(Lleft(displaystylelim_{ntoinfty}G(n)right)=displaystylelim_{ntoinfty}L(G(n)))]으로 잘못 생각하여 [math(2=1)]이라는 잘못된 결론에 도달한 것이다.

요컨대 이러한 오류는 수학적 귀납법에 의해 위 과정을 임의의 유한 번 시행하였을 때 길이가 2라는 사실을 바탕으로, 그 극한도 길이가 2일 것이라고 잘못 추론한 것에 기반하고 있다.

[math(a=b)]라 하면
[math(a^2=ab)]이므로 [math(a^2-b^2=ab-b^2)]
인수분해하면 [math((a+b)(a-b)=b(a-b))]
양변을 [math((a-b))]로 나누면 [math(a+b=b)]
[math(a=b)]이므로 [math(b+b=b)]
즉, [math(2b=b)]이므로 [math(1=2)]

여담으로, 우려먹으면 이런 짓거리도 가능하다.
양변에 [math(a^2)]을 곱하면 [math(a^3=a^2b)]이므로 [math(a^3-b^3=a^2b-b^3)]
인수분해하면 [math((a-b)(a^2+ab+b^2)=b(a+b)(a-b))]
양변을 [math((a-b))]로 나누면 [math(a^2+ab+b^2=b(a+b))]
[math(a=b)]이므로 [math(b^2+b^2+b^2=b^2+b^2)]
즉, [math(3b^2=2b^2)]이므로 [math(2=3)]

이런 식으로 계속하면, 4차식에서 [math(3=4)], 5차식에서 [math(4=5)] ...을 도출하는 것도 가능하다.

위 증명에서는 [math((a+b)(a-b)=b(a-b))]의 양변을 [math((a-b))]로 나누었는데, 맨 처음에 가정한 [math(a=b)]에 따라 [math(a-b=0)]이 되므로, 양변을 [math((a-b))]로는 나눌 수 없다. 다시 말해 [math(a+b=b)]가 나온 단계에서 이미 틀린 계산.

사실 인터넷에 떠도는, 결과적으로 맞지 않는 증명식들은 0으로 나누기를 포함하고 있는 경우가 대부분으로 나누기 부분만 유심히 살펴보면 금방 틀린 점을 찾을 수 있다.

아이작 뉴턴의 유율법이 조지 버클리 등에게 공격을 받은 이유이기도 하다. 유율(= 무한소)이라는 방법으로 위 식과 비슷한 꼼수를 써서 넘어갔기 때문. 유율법 4.1문단 참고.

이산수학 증명 파트에서도 자주 언급되는 오류다.

[math(a=cfrac{2}{3-frac{2}{3-frac{2}{3-frac{2}{3-ddots}}}})]라 하자.
[math(a=cfrac{2}{3-a})]이다.
[math(a(3-a)=2)]이다.
[math(a^2-3a+2=0)]이므로 [math((a-1)(a-2)=0)]이다.
따라서 [math(a=1, 2)]이므로 [math(1=cfrac{2}{3-frac{2}{3-frac{2}{3-frac{2}{3-ddots}}}}=2)]이다.

해당 연분수를 수열의 수렴값이 아닌 실재하는 값으로 이해하였기 때문에 생긴 오해이다. 중등 교육에서는 당연히 해석학을 엄밀히 가르치지 않아 학생들이 많이 착각하는 부분인데, 직접 연산해서 무한히 사칙연산을 하는 것은 불가능하다. 수학에서 무한합 등 무한한 연산으로 주어지는 것은 사실 무한수열을 늘여놓아 그 수열이 수렴하는지를 보고, 수렴한다면 그 수렴값을 따라가는 것이다.

위의 연분수를 다시 보자. 위의 연분수도 사실 점화식 [math(a_{n+1}=frac{2}{3-a_n})]로 나타나는 수열이다. 그리고 수열은 초깃값 [math(a_1)]을 먼저 선언을 해야 정의가 된다. 초깃값에 일반적인 실수를 넣으면 이 수열은 [math(1)]로 수렴한다. 그런데 초깃값에 [math(2)]를 넣으면 이 수열은 이례적으로 [math(2)]로 수렴하게 된다. [math(a=1,2)]는 이렇게 넣는 초깃값에 따라 수렴값이 달라진다는 것을 의미하지, [math(a)]라는 참값이 2가지 값을 나타낸다는 뜻이 아니다.

비전공자에게 보다 익숙한 함수를 이용해 설명하자면, 위 연분수 [math(a)]는 상수가 아니라 [math(3)]을 제외한 실수 [math(a_1)]을 변수로 하는 함수 [math(a(a_1))]이고, 이 함수는 [math(a(2)=2)], 나머지에서 [math(1)]이 되는 불연속함수인 것이다.[2] 정도로 표현 가능하다.]

[math(f(x)=x^2)]라고 하면,
[math(f'(x)=2x)]이다.
다른 방식으로 미분하면 [math(f(x))]는 [math(x)]를 [math(x)]번 더한 것이므로
[math(f'(x)=(overbrace{x+x+ ... +x}^{x;rm{times}})'=overbrace{1+1+...+1}^{x;rm{times}}=x)]
[math(f'(x)=2x=x)]
따라서 [math(1=2)]
[3]로 생각한다면 이 함수를 미분해도 [math(f'(x)=0+0+ cdots +0=0)]이고 틀린 값이 나온다.]

미지수를 상수로 잘못 해석하여 오류가 발생했다. 위 증명에서 [math((f_1(x)+f_2(x)+ ... +f_n(x))'=f_1'(x)+f_2'(x)+...+f_n'(x))]라는 미분의 기본 성질을 적용하기 위해서는 [math(n)]이 미분할 변수([math(x)])에 대한 상수여야 한다.[4]이 [math(x)]에 독립일 것을 전제로 한다. 이러한 전제를 바꿔버리면 전혀 다른 명제가 되어버린다.
실제로 [math(n)]이 [math(x)]에 종속될 경우에는 해당 식이 성립하지 않는다. 즉, [math((f_1(x)+f_2(x)+ ... +f_{n(x)}(x))'=f_1'(x)+f_2'(x)+...+f_{n(x)}'(x))]은 일반적으로 성립하지 않는다. 다음과 같은 반례가 있다.
[math(f_1(x)=0,; f_2(x)=x,; n(x)=begin{cases} 1, ;;x=0 \ 2, ;;xneq 0 end{cases}​)]
이 경우 모든 [math(x)]에 대해 [math(f_1(x)+f_2(x)+...+f_{n(x)}(x)=x)]이므로 [math((f_1(x)+f_2(x)+ ... +f_{n(x)}(x))'=1)]이지만, [math(f_1'(x)+f_2'(x)+...+f_{n(x)}'(x)=begin{cases} 0,;; x=0 \ 1,;; xneq 0 end{cases}​)]이므로 좌변과 우변이 다르다.] 그러나 [math(x;rm{times})]의 [math(x)]는 그 자체로 미분할 변수이므로(즉, [math(n=x)]이므로) 해당 성질을 적용할 수 없다. 비슷한 이유로 [math((e^2)'=0≠e^2)]이고 [math((e^x)'=e^x)]이다.

따라서 [math(x)]를 미지수로 취급하면 문제가 해결된다. 항의 개수에 유의하며 미분 계산을 하면 다음과 같이 올바른 결과가 나온다.

[math(x+h)]를 [math(x+h)]번 더한 것에서 [math(x)]를 [math(x)]번 더한 것을 빼고 [math(h)]를 [math(0)]으로 수렴시킨 것이다.

[math((f_1(x)+f_2(x)+ ... +f_n(x))'=f_1'(x)+f_2'(x)+...+f_n'(x))]라는 미분의 기본 성질을 사용하기 위해서는 [math(n)]이 자연수 범위여야 한다. 즉, 위 논증에서는 [math((x+x+ ... +x)'=1+1+...+1)]라고 하였으므로 [math(x)]는 자연수 범위인데, 자연수 범위의 변수로 미분하는 것은 정의되지 않는다. [math(b)]가 자연수가 아닐 때 [math(atimes b)]를 [math(overbrace{a+a+cdots +a}^{b;rm{times}})]로 표기하는 것까지는 봐줄 수 있어도, 이러한 표기에서는 위와 같은 미분의 기본 성질이 적용되지 않음을 주의해야 한다.

[math(displaystyle lim_{ntoinfty}frac{1}{n} =0)]이다.
따라서 극한의 기본 성질에 의해 [math(displaystylelim_{ntoinfty}left(underbrace{displaystylefrac{1}{n}+frac{1}{n}+cdots+frac{1}{n}}_{text{$n$ times}}right)=0+0+cdots+0=0)]이다.
그런데 [math(underbrace{frac{1}{n}+frac{1}{n}+cdots+frac{1}{n}}_{text{$n$ times}}=1)]
이므로 [math(0=1)]이고 양변에 [math(1)]을 더하면 [math(1=2)]이다.

[math(displaystyle lim_{ntoinfty}left(overbrace{frac{1}{n}+frac{1}{n}+cdots+frac{1}{n}}^{text{$n$ times}}right)=lim_{ntoinfty}left({frac{n}{n}}right)=1)]이다.

이는 5.1번 문단과 마찬가지로 [math(n;rm{times})]의 [math(n)]을 극한 취할 변수([math(n)])에 대한 상수로 보고 극한의 기본 성질을 적용했기 때문에 발생한 오류이다.

[math(displaystylelim_{ntoinfty} left(f_1(n)+f_2(n)+cdots +f_m(n)right)=displaystylelim_{ntoinfty}f_1(n)+displaystylelim_{ntoinfty}f_2(n)+cdots +displaystylelim_{ntoinfty}f_m(n)=displaystylesum_{k=1}^m displaystylelim_{ntoinfty}f_k(n))]이라는 극한의 기본 성질을 사용한 것처럼 보인다. 하지만 위 논증에서 해당하는 부분은 [math(displaystylelim_{ntoinfty}left(underbrace{displaystylefrac{1}{n}+frac{1}{n}+cdots+frac{1}{n}}_{text{$n$ times}}right)=0+0+cdots+0)]인데, 여기에서 [math(m=n)]이라는 점이 문제다. [math(m)]은 극한 밖의 시그마에서도 사용되는 변수인데, [math(n)]은 극한을 나타내기 위한 보조 변수이므로 [math(m=n)]일 수 없다.

[math({displaystyle {x^{x^{cdot ^{cdot}}}}}!!=2)] 와 같은 방정식을 생각하자.
이 방정식의 해는 [math(x^2=2)] 즉 [math(x=sqrt2)]이다.[A] 풀이
이제 [math({displaystyle {x^{x^{cdot ^{cdot}}}}}=4)]라는 방정식을 생각하자.
이 방정식의 해는 [math(x^4=4)] 즉 [math(x=sqrt2)]이다.[A]
따라서 [math(2={displaystyle {sqrt2 ^{sqrt2 ^{cdot ^{cdot }}}}}!!=4)]
따라서 [math(2=4,~1=2)]이다.

결론부터 말하면, [math({displaystyle {x^{x^{cdot ^{cdot}}}}}!!=4)]의 해는 없다. 자세한 내용은 이 영상을 참고. 따라서 위 논증에서는 [math({displaystyle {x^{x^{cdot ^{cdot}}}}}!!=4)]의 해가 있다고 가정했기 때문에 오류이다.

설명을 더 보충하자면, 무한대의 테트레이션 [math(displaystyle {displaystyle {x^{x^{cdot ^{cdot}}}}} !! = lim_{n to infty} x uparrow uparrow n)]은 [math(-dfrac{W(-{rm Log},x)}{{rm Log},x})][7]는 람베르트 W 함수, [math(rm Log)]는 복소로그함수이다. 유도 과정 보기]에 수렴하는데, 이 함수가 실수 함숫값을 띠는 정의역이 [math((0 ,, 1))][math(,cup,(1 ,, e^{1/e}])][8]는 1.444667861 정도 되는 수인데, 위의 [math(sqrt2)]보다 약간 더 크다. 위 영상에서는 해석적 확장을 쓰지 않았기 때문에 정의역을 [math([e^{-e},,e^{1/e}])]로 제시한다.]이고, 이에 따라 공역이 [math((0,,1),cup,(1 ,, e])][9], [math(1)]의 경우는 로피탈의 정리를 사용하여 함숫값이 각각 [math(0)], [math(1)]임을 보일 수 있다.]이므로, 당연히 [math(4)]는 여기에 속하지 않는다.

파일:inf_pwr_twr_1.png
실제로 위의 [math(y=-dfrac{W(-{rm Log},x)}{{rm Log},x})]의 그래프를 보면, 위의 정의역을 벗어난 구간에서는 보라색 선([math(Im(y))])이 [math(0)]이 아니며, 이는 실수로 표현할 수 없다는 뜻이다.

동전을 2개 던져 모두 앞 면이 나오기 위해서는 4분의 1, 그런데 동전을 던지면 모두 앞 면이 나오거나 나오지 않으므로 2분의 1이다. 따라서 1=2이다.

저걸 말이라고 그럼 로또 당첨 확률도 절반이다 걸리는 거 반 안 걸리는 거 반
위 논리대로라면 모든 확률이 2분의 1이 된다. 이는 확률을 구할 때 근원사건을 고려하지 않아서 생긴 오류이다. 다시 말해, 이는 동가능성의 원리를 배제했다고 할 수 있다. 동전 두 개를 던졌을 때의 근원사건은 앞면 앞면, 앞면 뒷면, 뒷면 앞면, 뒷면 뒷면으로 총 4가지의 경우이므로 1/4로 구해야 한다.

[math(i=sqrt{-1})]
[math(frac{1}{sqrt-1}=frac{1}{i})]
[math({sqrtfrac{1}{-1}}=frac{1}{i})]
[math({sqrt-1}=frac{1}{i})]
[math(i=frac{1}{i})]
[math(i^2=1)]
[math(-1=1)]
[math(0=2)]
[math(0=1)]
[math(1=2)]

[math(displaystyle {sqrtfrac{1}{-1}} neqsqrt{-1} =i)]이다. 왜냐하면 [math(displaystyle frac{sqrt{a}}{sqrt{-b}}= frac{sqrt{a}}{sqrt{b} i} = -sqrt{frac{a}{b}}i= -sqrt{frac{a}{-b}} )]가 되기 때문이다.

[math(0=0+0+0+cdots)]
[math(=(1-1)+(1-1)+(1-1)+cdots)]
[math(=1-1+1-1+1-1+1-cdots)]
[math(=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+cdots)]
[math(=1+0+0+0+cdots)]
[math(=1)]
따라서 0=1이고 양변에 1을 더하면 1=2이다.

무한합이기 때문에 괄호를 풀거나 묶을 수 없다.

참고로 괄호를 푼 수열은 따로 그란디 급수라는 이름이 붙어 있으며, 오늘날에는 라마누잔합을 이용해 계산한 값인 [math(1/2)]을 수렴값으로 '정의'하는 것이 다수론이다.

[math(1=1.5-0.5=1.5+(-frac{1}{2})=1.5+((-frac{1}{2})^3)^frac{1}{3}=1.5+((-frac{1}{2})^3)^frac{2}{6})]
[math(=1.5+((-frac{1}{2})^2)^frac{3}{6}=1.5+(frac{1}{4})^frac{1}{2}=1.5+frac{1}{2}=2)]

지수법칙 [math((a^m)^n=a^{mn})]에서 [math(m, n)]이 유리수 범위일 때는 밑 a가 양수일 때만 해당 법칙이 성립한다. 위에서는 밑이 [math(-frac{1}{2})]이라는 음수이기 때문에[10] 위의 지수법칙을 응용한 [math((a^m)^{frac{n}{p}}=(a^n)^{frac{m}{p}})]이 성립하지 않는 것이다.

ZFC 공리계 내에서 구 하나를 같은 크기의 구 둘로 만들 수 있다. 자세한 증명은 문서 참조.

위 정리가 1=2를 증명하지는 않는다. 이는 우리가 '도형의 개수'라는 개념의 성질에 대해 잘 모르기 때문이다.[11] 따라서 위 정리가 1=2를 증명한다고 주장하려면 우리가 이미 성질을 잘 알고 있는 개념들과 연관지어 설명할 필요가 있다. 연관지을 수 있는 개념으로 당장 생각나는 것은 두 가지가 있는데, 하나는 기수(집합의 원소의 개수)이고 다른 하나는 측도(여기서는 부피)이다. 기수 개념과 연관지을 경우, 구 하나의 기수는 초한기수이며, 원래 초한기수에는 유한 배를 해도 자기 자신과 같기 때문에 1=2가 증명되지 않는다. 이는 0×1=0×2에서 1=2를 증명할 수 없는 것과 같은 이유이다. 측도 개념과 연관지을 경우, 위 정리의 증명 중 구를 두 개로 만드는 과정에서 부피를 구할 수 없는 집합이 발생한다. 그러므로 두 집합(구 하나와 구 둘)의 측도가 같다고 할 수 없고, 따라서 이 경우에도 1=2가 증명되지 않는다. 따라서 위 정리로 1=2를 증명할 수 있다는 주장은 논리적 비약이다.

이딴 걸 진지하게 주장하는 사람들이 있다는 게 놀랍다
전제의 내용이 증명되지 않았으므로 추론의 결과가 옳다고 확신할 수 없다. 결론을 사용해 다시 전제를 뒷받침하려는 사람들도 있는데, 이 경우는 순환 논법이다.