1. 개요
테트레이션(Tetration)은 특수함수의 하나이다. 큰 수에 대한 연산 중 하나로, 거듭제곱을 거듭하여 만들어지는 연산이다. 덧셈을 1차 연산, 덧셈의 거듭으로 만들어진 곱셈을 2차 연산, 곱셈의 거듭으로 만들어진 거듭제곱을 3차 연산이라고 하면, 거듭제곱을 거듭하여 얻어지는 테트레이션은 4차 연산이라고 할 수 있다.[1]의 다음수 [math(a^+ = a + 1)]이다.] 'Tetration'의 'tetr(a)-'는 4를 의미하는 접두사이다.
일반적으로 부호는 [math(uparrow)](커누스 윗화살표 표기법)을 사용하여 [math(a uparrow uparrow b)]로 쓰거나[2]를 하나만 쓰는 [math(a uparrow b)]는 [math(a^b)], 즉 거듭제곱과 같다.], [math(b)]를 [math(a)]의 왼쪽 위에 작게 앞지수로 붙여 표현([math(^{b}a)]의 꼴)[3]하기도 한다. 이외에도 여러 표기법이 있긴 한데 수학자들 각자의 독자연구에 가까운지라 통일된 표기법은 없는 상태다.
[math(a^a = a uparrow uparrow 2, )]
[math(a^{a^a} = a uparrow uparrow 3, )]
[math(vdots)]
[math(a^{a^{.^{.^{a^a}}}})]([math(a)]가 [math(n)]개) [math(= a uparrow uparrow n)]으로 정의한다.
일반적으로 부호는 [math(uparrow)](커누스 윗화살표 표기법)을 사용하여 [math(a uparrow uparrow b)]로 쓰거나[2]를 하나만 쓰는 [math(a uparrow b)]는 [math(a^b)], 즉 거듭제곱과 같다.], [math(b)]를 [math(a)]의 왼쪽 위에 작게 앞지수로 붙여 표현([math(^{b}a)]의 꼴)[3]하기도 한다. 이외에도 여러 표기법이 있긴 한데 수학자들 각자의 독자연구에 가까운지라 통일된 표기법은 없는 상태다.
[math(a^a = a uparrow uparrow 2, )]
[math(a^{a^a} = a uparrow uparrow 3, )]
[math(vdots)]
[math(a^{a^{.^{.^{a^a}}}})]([math(a)]가 [math(n)]개) [math(= a uparrow uparrow n)]으로 정의한다.
1.1. 일반화
이를 일반화하여 [math(n)]차 연산을 정의하는 것도 가능하다. 커누스 윗화살표 표기법을 이용하면 5차 연산(pentation)은 [math(a uparrow uparrow uparrow n = a uparrow uparrow (a uparrow uparrow (a uparrow uparrow cdots (a uparrow uparrow a) cdots )))]([math(a)]가 [math(n)]개)로 정의할 수 있다. 그리고 화살표를 줄여서 [math(a uparrow uparrow uparrow n)]을 [math(a uparrow ^3 n)]으로 줄여 쓸 수 있다. 같은 원리로 6차 연산(hexation) [math(uparrow uparrow uparrow uparrow(uparrow ^4))]도 정의 가능하고, n차 연산(hyperoperation) [math(uparrow uparrow ... uparrow)](↑가 [math(n-2)]개, [math(uparrow ^{n-2})])도 정의 가능하다.
한편, 같은 수의 테트레이션뿐만 아니라 [math({2,4,6,8} mapsto 2^{4^{6^{8}}})]같이 다른 수의 테트레이션(즉, 수열의 테트레이션; nested Exponentials)까지 고려해 볼 수 있는데, 정작 여기에 대한 논의는 부실한 실정이다.[4], 수열곱을 나타내는 [math(Pi)]에 대응하는 새 기호를 고안해야 하는데 아직까지 그 기호에 대해 논의를 하려는 수학자가 없다.] 페르마 소수가 수열 [math({2,2,n})]에 대한 테트레이션에 관련된 문제.
한편, 같은 수의 테트레이션뿐만 아니라 [math({2,4,6,8} mapsto 2^{4^{6^{8}}})]같이 다른 수의 테트레이션(즉, 수열의 테트레이션; nested Exponentials)까지 고려해 볼 수 있는데, 정작 여기에 대한 논의는 부실한 실정이다.[4], 수열곱을 나타내는 [math(Pi)]에 대응하는 새 기호를 고안해야 하는데 아직까지 그 기호에 대해 논의를 하려는 수학자가 없다.] 페르마 소수가 수열 [math({2,2,n})]에 대한 테트레이션에 관련된 문제.
2. 성질
자연로그의 밑 [math(e)] 한정으로 [math(e uparrow uparrow n=exp^{n-1} e)] 꼴로 바꿀 수 있다. 여기서 [math(n-1)]은 동일 함수를 합성한 횟수.
이외에도 다음과 같은 성질이 있다.
이외에도 다음과 같은 성질이 있다.
- [math(a uparrow uparrow (n+1) = a^{a uparrow uparrow n})]이므로 [math(a uparrow uparrow n = log_a (a uparrow uparrow (n+1)))]가 성립한다.
- [math(displaystyle lim_{n to infty} a uparrow uparrow n= -frac{W(-ln a)}{ln a})]가 성립한다. [math(W)]는 람베르트 W 함수이다.
- 실수 범위에서 [math(0 < a < 1)], [math(1 < a leq e^{frac{1}{e}})]에서 수렴한다.
- [math(a=Omega)]인 경우 [math(-ln Omega = Omega)]이므로 [math(dfrac{W(Omega)}{Omega} = W(Omega),e^{Omega})]가 된다.
- [math(a = e^{frac{1}{e}})]인 경우, [math(ln e^{frac{1}{e}} = dfrac{1}{e})]이고 [math(Wleft(-dfrac{1}{e}right) = -1)]이므로, 최종적으로 [math(e)]가 된다.
- [math(a=1)]인 경우 [math(dfrac{0}{0})] 꼴이 되기 때문에 정의가 되지 않지만, 로피탈의 정리를 이용해서 [math(displaystyle lim_{a to 1} -frac{W(-ln a)}{ln a} = 1)]임을 알 수 있다.
- [math(a=0)]인 경우도 비슷하게 [math(dfrac{infty}{infty})][19]이고 [math(displaystyle lim_{x to infty} W(x) = infty)]이므로.] 꼴이 되는데, 마찬가지로 로피탈의 정리를 이용해서 [math(displaystyle lim_{a to 0+} -frac{W(-ln a)}{ln a} = 0)]임을 알 수 있다.
- [math(a<0, a>e^{frac{1}{e}})]는 실수에서는 발산하지만 해석적 확장을 이용해서 값을 구할 수 있는데, 가령 [math(displaystyle lim_{n to infty} -1 uparrow uparrow n)]의 경우 [math(displaystyle -frac{W(-mathrm{Log}(-1))}{mathrm{Log}(-1)} = frac{W(-ipi)}{pi}i)]임을 알 수 있다.
3. 여담
일상 생활에서는 거의 쓰일 일이 없는 연산이지만 (일반적인 교육과정에서는 아예 언급도 않는다, 드물게 거듭제곱의 거듭제곱은 등장한다), 그레이엄 수나 모우저처럼 거듭제곱으로는 나타낼 수 없는 끔찍하게 큰 수를 나타낼 때 유용하게 쓰이는 연산이라 수학자들이 계속 연구하고 있다.
거듭제곱에 대응되는 제곱근과 로그가 있는 것처럼 테트레이션에도 대응되는 초제곱근(super-root)과 초로그(super-logarithm, slog)가 존재한다.
거듭제곱에 대응되는 제곱근과 로그가 있는 것처럼 테트레이션에도 대응되는 초제곱근(super-root)과 초로그(super-logarithm, slog)가 존재한다.
- [math(x uparrow uparrow n=a)]가 성립할 때, [math(x)]는 [math(a)]의 [math(n)]초제곱근(super-root)이며, [math(sqrt[n]{a}_s)]로 표기한다. #
- [math(n = 2)]일 경우, 람베르트 W 함수를 사용해서 [math(sqrt{a}_s = e^{W(ln a)} = dfrac{ln a}{W(ln a)})] 로 정의할 수 있다. 이 함수는 음함수이므로 양함수 형태로 만들면 [math(sqrt{a}_s = dfrac{ln a}{left(frac{W_{0}(ln a)}{bold{1}_{mathbb{R}}(W_{0}(ln a))}right)} cup dfrac{ln a}{left(frac{W_{-1}(ln a)}{bold{1}_{mathbb{R}}(W_{-1}(ln a))}right)})]가 된다.[22]는 실수 집합을 판별하므로, 실수가 아닌 함숫값은 제외된다.]
- [math(n uparrow uparrow x=a)]가 성립할 때, [math(x)]는 [math(n)]을 밑으로 하는 [math(a)]의 초로그(super-logarithm)이며, [math(mathrm{slog}_n(a))]로 표기한다. #
- [math(x uparrow uparrow 2)]의 경우 [math(displaystyle sum_{i=0}^infty frac{(xln x)^i}{i!})]라는 무한급수로 표현된다.
더 자세한 건 한글 위키백과의 테트레이션 항목 참고.
테트레이션에 대응하는 적분 연산이 아직 없다. 당장 가장 간단한 테트레이션 적분인 [math(displaystyle int x^x mathrm{d}x)]부터 대응 특수함수가 없는 상황이니... 그나마 [math([0, 1])] 구간 한정해서 2학년의 꿈이라는 이상적분이 정의되어 있기는 하다.
파일:테트레이션적분.jpg
[math(displaystyle y = int_{0}^{x} t^t mathrm{d}t)] 의 개형은 이렇게 생겼다. 점선은 개형이 비슷한 포물선인 [math(displaystyle y = x^2)].
[1] 추가로 0차 연산은 다음수(successor)라고 하며, [math(a)[2] [math(uparrow)[3] 위키백과에서는 이 표기를 쓴다.[4] 우선 수열합을 나타내는 [math(Sigma)[5] 위 식에 [math(n=0)[출처] 6.1 6.2 6.3 https://en.wikipedia.org/wiki/Tetration[7] 위 식에 [math(n=-1)[8] 위 식에 [math(n=-2)[9] [math(displaystyle lim_{x to 0+} -ln x = infty)[10] 위 식에 [math(n=0)[12] 위 식에 [math(n=-1)[13] 위 식에 [math(n=-2)[14] 위 식에 [math(n=0)[16] 위 식에 [math(n=-1)[17] 위 식에 [math(n=-2)[18] [math(displaystyle lim_{x to 0+} -ln x = infty)[19] [math(displaystyle lim_{x to 0+} -ln x = infty)[20] [math(bold{1}_{mathbb{R}})[21] [math(bold{1}_{mathbb{R}})[22] [math(bold{1}_{mathbb{R}})