분류
1. 개요
2. 초등적 관점
우선 오일러의 공식과 복소수의 극형식을 이용해, [math(z = e^w)] ([math(z neq 0)])이 되는 복소수 [math(w)]를 모두 구해보면 다음과 같다. 복소수 [math(z)]의 편각을 [math(theta)]라 하면 다음이 성립하므로
[math( displaystyle z = |z|(cos theta + i sin theta) = e^{log |z| + i theta})]
해 하나를 [math(w = log |z| + i theta)]로 찾을 수 있다. 역으로 만약 [math(w=x+iy)]가 [math(z=e^w)]를 만족시킨다면,
[math( displaystyle e^w = e^x (cos y + i sin y) = |z|(cos theta + i sin theta))]
에서 [math((x,y) = (log |z|, theta + 2n pi))]의 해를 얻는다.
복소 자연로그를 다가함수(multivalued function)로 보는 입장에서는 이들 수 모두가 로그의 값이 된다. 편각에 대해서 쓰는 [math(arg z)]라는 표기는 [math(theta + 2pi i)] 중 어떤 것도 될 수 있는 각으로 쓰인다.
이 다가함수를 일반 함수로 생각하려면 이 편각 중에서 정확히 하나를 골라 줘야 하는데, 보통 다음의 과정을 걸친다. 우선, 좌표평면에서 원점을 출발한 반직선 [math(l)] 하나를 정해 정의역에서 제외하고, 이를 분지 절단(branch cut)이라고 한다. 이 [math(l)]이 원점에서 [math(alpha)]의 일반각으로 뻗어 있다고 하면, 정의역 [math(mathbb{C} setminus l)] 위에서 편각이 구간 [math((alpha-2pi, alpha))]에 속하게 유일하게 결정할 수 있다. 이렇게 선택된 함수를 일반적으로는 다가함수의 분지(branch)라 한다.
로그함수의 주 분지(principal branch)는 이 분지들 중에서 [math(alpha = pi)]인, 즉 음수인 반직선으로 분지 절단을 했을 때 나타나는 분지를 의미한다. 이 분지에 대한 범위 [math((-pi,pi])]로 고정된 편각을 [math(mathrm{Arg})], 이 범위에서 정의된 로그함수를 따로 [math(mathrm{Log})]라 표기한다.
이렇게 직선을 잘라내는 이유는 정의역 위에서 편각이 연속적으로 변하게 만들어야 하기 때문이다. 예로 주 분지에서 [math(z = -1 + epsilon i)] ([math(epsilon>0)])를 따라 접근하는 극한은 [math(mathrm{Log}(z) rightarrow ipi)]가 되지만, [math(z = -1 - epsilon i)]를 따라 접근하면 [math(mathrm{Log}(z) rightarrow -ipi)]가 되기 때문이다. 원점을 중심으로 한 바퀴 돌 때마다 편각이 [math(2pi)]씩 증가하기 때문에, 돌지 못하도록 직선을 잘라준다고 이해하면 편하다.
한편, [math(Re(z) < 0)]일 경우 [math(mathrm{Log}(z) = mathrm{Log}(|z|) + ipi)]가 성립하므로 실수부를 취한 [math((Re circ mathrm{Log}))]는 [math(y)]축 대칭함수(Even function)이다.
복소 자연로그를 다가함수(multivalued function)로 보는 입장에서는 이들 수 모두가 로그의 값이 된다. 편각에 대해서 쓰는 [math(arg z)]라는 표기는 [math(theta + 2pi i)] 중 어떤 것도 될 수 있는 각으로 쓰인다.
이 다가함수를 일반 함수로 생각하려면 이 편각 중에서 정확히 하나를 골라 줘야 하는데, 보통 다음의 과정을 걸친다. 우선, 좌표평면에서 원점을 출발한 반직선 [math(l)] 하나를 정해 정의역에서 제외하고, 이를 분지 절단(branch cut)이라고 한다. 이 [math(l)]이 원점에서 [math(alpha)]의 일반각으로 뻗어 있다고 하면, 정의역 [math(mathbb{C} setminus l)] 위에서 편각이 구간 [math((alpha-2pi, alpha))]에 속하게 유일하게 결정할 수 있다. 이렇게 선택된 함수를 일반적으로는 다가함수의 분지(branch)라 한다.
로그함수의 주 분지(principal branch)는 이 분지들 중에서 [math(alpha = pi)]인, 즉 음수인 반직선으로 분지 절단을 했을 때 나타나는 분지를 의미한다. 이 분지에 대한 범위 [math((-pi,pi])]로 고정된 편각을 [math(mathrm{Arg})], 이 범위에서 정의된 로그함수를 따로 [math(mathrm{Log})]라 표기한다.
이렇게 직선을 잘라내는 이유는 정의역 위에서 편각이 연속적으로 변하게 만들어야 하기 때문이다. 예로 주 분지에서 [math(z = -1 + epsilon i)] ([math(epsilon>0)])를 따라 접근하는 극한은 [math(mathrm{Log}(z) rightarrow ipi)]가 되지만, [math(z = -1 - epsilon i)]를 따라 접근하면 [math(mathrm{Log}(z) rightarrow -ipi)]가 되기 때문이다. 원점을 중심으로 한 바퀴 돌 때마다 편각이 [math(2pi)]씩 증가하기 때문에, 돌지 못하도록 직선을 잘라준다고 이해하면 편하다.
한편, [math(Re(z) < 0)]일 경우 [math(mathrm{Log}(z) = mathrm{Log}(|z|) + ipi)]가 성립하므로 실수부를 취한 [math((Re circ mathrm{Log}))]는 [math(y)]축 대칭함수(Even function)이다.
3. 복소해석학에서의 관점
영역 내에서 연속인 복소로그함수가 존재한다면 미분가능하고[1], 그 미분은 [math(1/z)]이 되어야 함을 증명할 수 있다. 역으로 영역 내에서 [math(1/z)]의 원시함수가 존재한다면 이는 (복소로그함수)+(상수)의 형태로 나타난다. 한편 정칙함수의 원시함수가 존재할 필요충분조건은 영역 내의 임의의 닫힌 고리 위에서 선적분이 0인 것인데, 고리 위에서 [math(mathrm{d}w/w)]의 선적분 값은 일반적으로 [math(2 pi i)]*(원점을 도는 횟수)로 주어진다.
이를 종합하면, [math(z=1)]을 포함하는 열린 영역 [math(U subset mathbb{C} setminus 0)]에 원점을 포함하는 고리가 없을 때, [math(U)] 위에서의 복소로그함수의 분지는 다음의 복소선적분으로 유일하게 존재한다.
이를 종합하면, [math(z=1)]을 포함하는 열린 영역 [math(U subset mathbb{C} setminus 0)]에 원점을 포함하는 고리가 없을 때, [math(U)] 위에서의 복소로그함수의 분지는 다음의 복소선적분으로 유일하게 존재한다.
[math( displaystyle log z=int_{gamma}frac{mathrm{d}w}{w}quad(gamma:[0,1]rightarrow U,,gamma(0)=1,,gamma(1)=z) )]
역으로 [math(U)] 내부에 원점을 한 바퀴 이상 도는 고리가 있다면, [math(U)] 위에서 연속인 복소로그함수는 존재하지 않는다.
일반적인 다가함수의 분지는 열린 집합 [math(U)]에서 다가함수와 일치하는 연속함수로 정의되고, 위의 분지는 여기서 [math(U)]를 [math(mathbb{C} setminus l)]로 택한 특수한 경우이다. 예를 들자면, 분지 절단으로 원점에서 뻗어나가는 직선이 아니라 아무 모양의 곡선을 잘라내도 문제는 없고, 이 때 편각의 의미는 정의역 [math(U)] 위에서만 이동할 때에 일반각이 변한 정도로 해석할 수 있다. 역으로 다가함수를 정확히 이해하려면 이들 분지들을 모두 붙인 리만 곡면(Riemann Surface)으로 생각해야 하고, 특히 복소로그함수의 리만곡면은 [math(y = e^z)]인 [math((y,,z) in mathbb{C}^2)]의 집합으로 생각할 수 있다.
일반적인 다가함수의 분지는 열린 집합 [math(U)]에서 다가함수와 일치하는 연속함수로 정의되고, 위의 분지는 여기서 [math(U)]를 [math(mathbb{C} setminus l)]로 택한 특수한 경우이다. 예를 들자면, 분지 절단으로 원점에서 뻗어나가는 직선이 아니라 아무 모양의 곡선을 잘라내도 문제는 없고, 이 때 편각의 의미는 정의역 [math(U)] 위에서만 이동할 때에 일반각이 변한 정도로 해석할 수 있다. 역으로 다가함수를 정확히 이해하려면 이들 분지들을 모두 붙인 리만 곡면(Riemann Surface)으로 생각해야 하고, 특히 복소로그함수의 리만곡면은 [math(y = e^z)]인 [math((y,,z) in mathbb{C}^2)]의 집합으로 생각할 수 있다.