1. 개요
infinite power tower function ・ 無限 指數 塔 函數
[math( y=x^{x^{x^{x^{.^{.^.}} }} }!!!=xuparrowuparrowinfty)]
위와 같은 함수를 무한 지수 탑 함수라고 한다. [math(x)]를 밑으로 하여 무한히 [math(x)]제곱을 하는 함수로서, 지수함수이며 비초등함수이다. [math(x)]에 무한대의 테트레이션을 취한다고도 할 수 있으므로 무한 테트레이션이라고도 한다.
이 함수는 일반적인 방법으로 함숫값을 기술하기가 까다로우며, 해석적 확장[1]로 계산하는 라마누잔합이 있다.][2]을 통해 다음과 같이 람베르트 W 함수와 복소로그함수로 표현해야 한다. 유도 과정 보기
[math(y=-dfrac{W(-operatorname{Log}{x})}{{operatorname{Log}{x} }})]
해석적 확장을 이용하기 때문에 이 함수는 모든 복소수에서 수렴하며, [math(Im(y)=0)]을 만족시키는 실수의 정의역은 [math(x in (0,,1) cup (1,,sqrt[e]{e};!])][3]이다.
[math( y=x^{x^{x^{x^{.^{.^.}} }} }!!!=xuparrowuparrowinfty)]
위와 같은 함수를 무한 지수 탑 함수라고 한다. [math(x)]를 밑으로 하여 무한히 [math(x)]제곱을 하는 함수로서, 지수함수이며 비초등함수이다. [math(x)]에 무한대의 테트레이션을 취한다고도 할 수 있으므로 무한 테트레이션이라고도 한다.
이 함수는 일반적인 방법으로 함숫값을 기술하기가 까다로우며, 해석적 확장[1]로 계산하는 라마누잔합이 있다.][2]을 통해 다음과 같이 람베르트 W 함수와 복소로그함수로 표현해야 한다. 유도 과정 보기
[math(y=-dfrac{W(-operatorname{Log}{x})}{{operatorname{Log}{x} }})]
해석적 확장을 이용하기 때문에 이 함수는 모든 복소수에서 수렴하며, [math(Im(y)=0)]을 만족시키는 실수의 정의역은 [math(x in (0,,1) cup (1,,sqrt[e]{e};!])][3]이다.
2. 알려진 함숫값
[math(boldsymbol x)]
| [math(boldsymbol y)]
| 비고
|
[math(0)]
| [math(0)]
| |
[math(dfrac{1}{4^4})]
| [math(dfrac{1}{4})]
| 해석적 확장
|
[math(dfrac{1}{pi^{pi}})]
| [math(dfrac{1}{pi})]
| 해석적 확장
|
[math(dfrac{1}{3^3})]
| [math(dfrac{1}{3})]
| 해석적 확장
|
[math(dfrac{1}{e^e})]
| [math(dfrac{1}{e})]
| |
[math(dfrac1{2^2})]
| [math(dfrac12)]
| |
[math(dfrac{1}{e})]
| ||
[math(e^{Omega}W(Omega))][7]]
| ||
[math(1)]
| [math(1)]
| |
[math(sqrt2)]
| [math(2)]
| |
[math(sqrt[e]{e})]
| [math(e)]
| 가장 큰 실숫값
|
[math(-1)]
| [math(dfrac{W(-pi i)}{pi}i)][11]]
| 해석적 확장
|
[math(e)]
| [math(-W(-1))][* 약 [math(0.3181cdots -
1.3372cdots i)]] | 해석적 확장
|
[math(sqrt{e^{pi}})]
| [math(-i)]
| 해석적 확장
|
[math(i)]
| [math(e^{-W(ipi/2)})][13]]
|
아래는 [math(y: {mathbb R}mapsto {mathbb C})]에 대응하는 그래프이다. 파란색은 [math(Re(y))], 보라색은 [math(Im(y))]이다.
파일:inf_pwr_twr_1.png
한편 위 표에서 보듯 특이한 성질이 있는데, [math(1/(xuparrowuparrow 2))] 꼴의 수는 함숫값이 [math(1/x)]이 된다.
3. 도함수
우선, 본 함수는 [math(x)]제곱을 무한히 많이 취하는 함수이므로 다음과 같이 나타낼 수 있다.[14]
[math(y={color{red}x^{x^{x^{x^{.^{.^.}} }} }}rightarrowquad y=x^color{red}{x^{x^{x^{.^{.^.}} }} })]
이에 [math(y=x^color{red} y)]이고, 양변에 자연로그를 취하면
[math(ln y=ln{x^y}=y ln{x})]
양 끝의 식을 [math(x)]에 대하여 미분하면
[math(begin{aligned} dfrac1y dfrac{{rm d}y}{{rm d}x}&=ydfrac1x+ln{x}dfrac{{rm d}y}{{rm d}x}end{aligned})]
계산의 편의를 위하여 양변에 [math(xy)]를 곱하면
[math(begin{aligned} xdfrac{{rm d}y}{{rm d}x}&=y^2+xyln{x}dfrac{{rm d}y}{{rm d}x}\ therefore dfrac{{rm d}y}{{rm d}x}&=dfrac{y^2}{x-xyln x} quad (x neq xyln x) end{aligned})]
이 도함수는 상기했듯 복소함수로 나타낼 수 있으며, 매끄러운 함수이면서 테일러 전개가 가능한 정칙 함수임이 알려져 있다.
[math(dfrac{{rm d}y}{{rm d}x}=dfrac{[W(-operatorname{Log}{x}) ]^2}{ x operatorname{Log}^{2}{x} [W(-operatorname{Log}{x}) + 1 ] } )]
[math(y={color{red}x^{x^{x^{x^{.^{.^.}} }} }}rightarrowquad y=x^color{red}{x^{x^{x^{.^{.^.}} }} })]
이에 [math(y=x^color{red} y)]이고, 양변에 자연로그를 취하면
[math(ln y=ln{x^y}=y ln{x})]
양 끝의 식을 [math(x)]에 대하여 미분하면
[math(begin{aligned} dfrac1y dfrac{{rm d}y}{{rm d}x}&=ydfrac1x+ln{x}dfrac{{rm d}y}{{rm d}x}end{aligned})]
계산의 편의를 위하여 양변에 [math(xy)]를 곱하면
[math(begin{aligned} xdfrac{{rm d}y}{{rm d}x}&=y^2+xyln{x}dfrac{{rm d}y}{{rm d}x}\ therefore dfrac{{rm d}y}{{rm d}x}&=dfrac{y^2}{x-xyln x} quad (x neq xyln x) end{aligned})]
이 도함수는 상기했듯 복소함수로 나타낼 수 있으며, 매끄러운 함수이면서 테일러 전개가 가능한 정칙 함수임이 알려져 있다.
[math(dfrac{{rm d}y}{{rm d}x}=dfrac{[W(-operatorname{Log}{x}) ]^2}{ x operatorname{Log}^{2}{x} [W(-operatorname{Log}{x}) + 1 ] } )]
4. 역도함수
반면, 도함수와는 달리 역도함수는 현 시점에선 알려진 바가 없다. 고작 지수가 하나만 있는 [math(y=x^x)]만 해도 2학년의 꿈이라는 특수해만 알 뿐 일반화된 해법이 없는 실정인데, 무한 지수 탑 함수에 대한 역도함수가 있을 리가 없다.
다만 병리적 함수는 아니므로 수치해석을 이용한 정적분은 가능하다. [math((0,,sqrt[e]{e};!])] 구간 정적분
다만 병리적 함수는 아니므로 수치해석을 이용한 정적분은 가능하다. [math((0,,sqrt[e]{e};!])] 구간 정적분
[1] 쉽게 말하자면 실수에서 발산하는 부분을 복소수로 빙 돌아가서 값을 구하는 과정을 말하는데, 대표적인 예로 모든 자연수의 합을 [math(-1/12)[2] 해석적 확장을 쓰지 않고 정의역을 [math([1/e^{e},,sqrt[e]{e};!])]로 제한해서 정의하는 방법도 있다.[3] 이 집합은 밑이 같은 지수함수와 로그함수가 교점을 갖는 밑의 집합이기도 하다.[4] 그대로 계산할 경우 [math(dfrac{infty}{infty})[5] 그대로 계산할 경우 [math(dfrac{infty}{infty})[6] 약 [math(0.68)[7] 약 [math(0.68)[8] 그대로 계산할 경우 [math(dfrac00)[9] 그대로 계산할 경우 [math(dfrac00)[10] 약 [math(0.266 cdots +0.2943 cdots i)[11] 약 [math(0.266 cdots +0.2943 cdots i)[12] 약 [math(0.4383cdots - 0.3606cdots i)[13] 약 [math(0.4383cdots - 0.3606cdots i)[14] 일명 힐베르트의 호텔.