1. 개요
중심이 [math(mathbf{O})]이고, 반지름이 [math(boldsymbol{r})]인 구
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2. 상세
2.1. 구의 특징
2.2. 구의 방정식
3차원 직교 좌표계에서 중심이 [math(mathrm{O}(x_{0},,y_{0},,z_{0}))]이고, 반지름의 길이가 [math(r)]인 구를 생각해보자. 구 위의 한 점을 가리키는 위치 벡터를 [math(mathbf{r}=(x,,y,,z))]라 하고, 원의 중심을 가리키는 위치 벡터를 [math(mathbf{r}_{0}=(x_{0},,y_{0},,z_{0}))]이라 하자. 그렇다면 반지름의 길이의 크기를 가지며, 방향은 반지름과 같은 벡터 [math(mathbf{r}-mathbf{r}_{0})]를 고려할 때
[math(displaystyle |mathbf{r}-mathbf{r}_{0}|=r )]
이 구를 기술하는 벡터 방정식이 된다. 양변을 제곱하면
[math(displaystyle begin{aligned} |mathbf{r}-mathbf{r}_{0}|^{2}&=(mathbf{r}-mathbf{r}_{0}) boldsymbol{cdot} (mathbf{r}-mathbf{r}_{0}) \&=(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}\ &=r^{2} end{aligned} )]
이 되므로 구를 기술하는 방정식은 다음과 같음을 알 수 있다.
[math(displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2} )]
이때, 이와 같은 꼴을 구의 방정식의 표준형이라 하며, 표준형을 정리한 방정식은
[math(displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+Ax+By+Cz+D=0 )]
꼴로 나타나고, 이를 구의 방정식의 일반형이라 한다.
구의 방정식의 일반형은 아래와 같이 표준형으로 정리될 수 있다.
[math(displaystyle left( x-frac{A}{2} right)^{2}+left( y-frac{B}{2} right)^{2}+left( z-frac{C}{2} right)^{2}=left[ frac{sqrt{A^2+B^2+C^2-4D}}{2} right]^{2} )]
즉, 중심이 [math((A/2,,B/2,,C/2))]이고, 반지름 [math(sqrt{A^2+B^2+C^2-4D}/2)]인 구의 방정식임을 알 수 있다.
[math(displaystyle |mathbf{r}-mathbf{r}_{0}|=r )]
이 구를 기술하는 벡터 방정식이 된다. 양변을 제곱하면
[math(displaystyle begin{aligned} |mathbf{r}-mathbf{r}_{0}|^{2}&=(mathbf{r}-mathbf{r}_{0}) boldsymbol{cdot} (mathbf{r}-mathbf{r}_{0}) \&=(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}\ &=r^{2} end{aligned} )]
이 되므로 구를 기술하는 방정식은 다음과 같음을 알 수 있다.
[math(displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2} )]
이때, 이와 같은 꼴을 구의 방정식의 표준형이라 하며, 표준형을 정리한 방정식은
[math(displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+Ax+By+Cz+D=0 )]
꼴로 나타나고, 이를 구의 방정식의 일반형이라 한다.
구의 방정식의 일반형은 아래와 같이 표준형으로 정리될 수 있다.
[math(displaystyle left( x-frac{A}{2} right)^{2}+left( y-frac{B}{2} right)^{2}+left( z-frac{C}{2} right)^{2}=left[ frac{sqrt{A^2+B^2+C^2-4D}}{2} right]^{2} )]
즉, 중심이 [math((A/2,,B/2,,C/2))]이고, 반지름 [math(sqrt{A^2+B^2+C^2-4D}/2)]인 구의 방정식임을 알 수 있다.
2.2.1. 양함수 형태
위의 도출된 구의 방정식은 음함수 형태이므로 이것을 양함수 [math(z=f(x,,y))]의 형태로 다시 쓰면 아래와 같다.
[math(displaystyle f(x,,y)=pm sqrt{r^2-[(x-x_{0})^2+(y-y_{0})^2]}+z_{0} )]
이것은 구가 하나의 양함수로 표현되지 못하고, 두 개의 양함수로 표현됨을 알 수 있다.
부호가 양인 것은 평면 [math(z=z_{0})]를 기준으로 [math( z_{0} leq z leq z_{0}+r)]의 영역에 나타나는 상반구(아래의 그림에서 적색 영역), 부호가 음인 것은 동일한 평면을 기준으로 [math(z_{0}-rleq z < z_{0})]에 나타내는 하반구(아래의 그림에서 청색 영역)이다. 아래의 그림을 참고하라.
파일:namu_구_상반구_하반구.svg
원의 방정식과 마찬가지로 [math(f(x,,y,,z) = (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}-r^{2})] 꼴로 바꿀 수 있으며, 이 함수가 그리는 그래프는 높이가 무한대이고 밑면이 구인 구 초기둥(Spherinder)이다.
[math(displaystyle f(x,,y)=pm sqrt{r^2-[(x-x_{0})^2+(y-y_{0})^2]}+z_{0} )]
이것은 구가 하나의 양함수로 표현되지 못하고, 두 개의 양함수로 표현됨을 알 수 있다.
부호가 양인 것은 평면 [math(z=z_{0})]를 기준으로 [math( z_{0} leq z leq z_{0}+r)]의 영역에 나타나는 상반구(아래의 그림에서 적색 영역), 부호가 음인 것은 동일한 평면을 기준으로 [math(z_{0}-rleq z < z_{0})]에 나타내는 하반구(아래의 그림에서 청색 영역)이다. 아래의 그림을 참고하라.
파일:namu_구_상반구_하반구.svg
원의 방정식과 마찬가지로 [math(f(x,,y,,z) = (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}-r^{2})] 꼴로 바꿀 수 있으며, 이 함수가 그리는 그래프는 높이가 무한대이고 밑면이 구인 구 초기둥(Spherinder)이다.
2.2.2. 구의 방정식의 다른 표현
2.2.2.1. 매개변수 방정식
3차원 직교 좌표계에서 두 매개변수 [math(0 leq theta leq pi)], [math(0 leq phi leq 2pi)]에 대하여 중심이 [math((x_{0},,y_{0},,z_{0}))]에 위치하고, 반지름이 [math(r)]인 구의 방정식을 아래와 같이 매개변수로 표현할 수 있다.
[math(displaystyle left{begin{matrix}
begin{aligned}
x&=rsin{theta}cos{phi}+x_{0}\
y&=rsin{theta}sin{phi}+y_{0}\
z&=r cos{theta}+z_{0}
end{aligned}
end{matrix}right. )]
[math(displaystyle left{begin{matrix}
begin{aligned}
x&=rsin{theta}cos{phi}+x_{0}\
y&=rsin{theta}sin{phi}+y_{0}\
z&=r cos{theta}+z_{0}
end{aligned}
end{matrix}right. )]
2.2.2.2. 구면 좌표계에서의 방정식
3차원 구면 좌표계에서 원점에 중심이 위치하고, 반지름이 [math(r_{0})]인 구의 방정식은
[math(displaystyle r=r_{0} )]
로 나타낼 수 있다.
[math(displaystyle r=r_{0} )]
로 나타낼 수 있다.
2.3. 구의 겉넓이와 부피
2.3.1. 겉넓이
모든 구는 평행이동을 이용해서 중심이 원점에 있는 구로 이동시킬 수 있으므로 반지름이 [math(r)]이고, 중심이 원점인 구의 겉넓이를 구한다면 공간에 위치하는 모든 구의 겉넓이를 구한 것이다.
해당 겉넓이는 구면 좌표계의 적분을 통하여
[math(displaystyle int_{0}^{2pi} int_{0}^{pi} r^{2} sin{theta} ,dtheta dphi=4pi r^{2} )]
으로 구할 수 있다.
해당 겉넓이는 구면 좌표계의 적분을 통하여
[math(displaystyle int_{0}^{2pi} int_{0}^{pi} r^{2} sin{theta} ,dtheta dphi=4pi r^{2} )]
으로 구할 수 있다.
2.3.2. 부피
모든 구는 평행이동을 이용해서 중심이 원점에 있는 구로 이동시킬 수 있으므로 반지름이 [math(r)]이고, 중심이 원점인 구의 부피를 구한다면 공간에 위치하는 모든 구의 부피를 구한 것이다.
해당 부피는 구면 좌표계의 적분을 통하여
[math(displaystyle int_{0}^{2pi} int_{0}^{pi} int_{0}^{r} r'^{2} sin{theta} ,dr'dtheta dphi=frac{4}{3}pi r^{3} )]
으로 구할 수 있다.
역사적으로는 아르키메데스가 구의 부피가 지름과 높이가 동일한 원기둥의 [math(2/3)]임을 구분구적법을 통해 밝혀냈다.
[math(dfrac23 ( 2r cdot pi r^2 ) =dfrac{4}{3}pi r^{3} )]
해당 부피는 구면 좌표계의 적분을 통하여
[math(displaystyle int_{0}^{2pi} int_{0}^{pi} int_{0}^{r} r'^{2} sin{theta} ,dr'dtheta dphi=frac{4}{3}pi r^{3} )]
으로 구할 수 있다.
역사적으로는 아르키메데스가 구의 부피가 지름과 높이가 동일한 원기둥의 [math(2/3)]임을 구분구적법을 통해 밝혀냈다.
[math(dfrac23 ( 2r cdot pi r^2 ) =dfrac{4}{3}pi r^{3} )]
2.4. 구와 도형
2.4.1. 구와 접선
구의 외부에서 그은 구의 접선과 반지름은 직교한다. 원의 접선과 원의 중심을 모두 포함하는 한 평면을 생각했을 때 해당 평면과 구의 교선은 원이고, 원 위의 접선은 반지름과 항상 직교함을 원(도형) 문서에서 증명한 바 있으므로 그것을 생각하면 직교할 수밖에 없다는 결론을 얻는다.
파일:파일-나무_구_3_NEW.png
이상의 결과를 이용하면, 중심이 [math(mathrm{C})]이고, 반지름의 길이가 [math(r)]인 구 외부의 한 점 [math(mathrm{P})]에서 접선을 그었을 때, 접선과 구의 교점이 [math(mathrm{Q})]일 때, 삼각형 [math(mathrm{PQC})]는 직각 삼각형이므로 구의 접선의 길이 [math(overline{mathrm{PQ}})]는 다음과 같이 주어짐을 쉽게 알 수 있다.
[math(displaystyle overline{mathrm{PQ}}=(r^2-{overline{mathrm{PC} }}^{2})^{1/2} )]
또한 점 [math(mathrm{Q})]는 구 위의 원을 그린다. [math(mathrm{PQC})]이 직각 삼각형이기만 하면 되기 때문에 [math(mathrm{Q})]는 하나로 정해지지 않기 때문이다. 아래의 그림을 참조하자.
파일:나무_구_4_수정.png
(a)는 3차원 상에서 점 [math(mathrm{P})]에서 구 표면 위에 접선을 그었을 때 생기는 점 [math(mathrm{Q})]의 자취를, (b)는 (a)를 2차원 상에 보기 좋게 표현한 것이다.
파일:파일-나무_구_3_NEW.png
이상의 결과를 이용하면, 중심이 [math(mathrm{C})]이고, 반지름의 길이가 [math(r)]인 구 외부의 한 점 [math(mathrm{P})]에서 접선을 그었을 때, 접선과 구의 교점이 [math(mathrm{Q})]일 때, 삼각형 [math(mathrm{PQC})]는 직각 삼각형이므로 구의 접선의 길이 [math(overline{mathrm{PQ}})]는 다음과 같이 주어짐을 쉽게 알 수 있다.
[math(displaystyle overline{mathrm{PQ}}=(r^2-{overline{mathrm{PC} }}^{2})^{1/2} )]
또한 점 [math(mathrm{Q})]는 구 위의 원을 그린다. [math(mathrm{PQC})]이 직각 삼각형이기만 하면 되기 때문에 [math(mathrm{Q})]는 하나로 정해지지 않기 때문이다. 아래의 그림을 참조하자.
파일:나무_구_4_수정.png
(a)는 3차원 상에서 점 [math(mathrm{P})]에서 구 표면 위에 접선을 그었을 때 생기는 점 [math(mathrm{Q})]의 자취를, (b)는 (a)를 2차원 상에 보기 좋게 표현한 것이다.
2.4.2. 접평면의 방정식
접평면이란, 곡면에 접하는 평면을 구하는 것이다. 2차원에서 곡선에 접하는 접선을 구한 것의 3차원 버전인 셈이다.
델(연산자) 문서로 부터 [math(w=f(x,,y,,z))]의 4차원 함수의 등위곡면 [math(k=f(x,,y,,z))]의 표면에 수직한 벡터는 [math(f)]의 그레이디언트임을 논의했다. 이 결과를 사용하자.
공간좌표 상 모든 구는 평행이동을 통하여 원점을 중심으로 갖는 구로 이동시킬 수 있다. 즉, 이 경우에 한해서 구하면 임의의 중심을 갖는 구에 대해서는 평행이동을 통하여 구할 수 있다.
좌표공간 상 중심이 원점이고, 반지름이 [math(r)]인 구를 고려하자. 이 구 위의 한 점 [math((x_{1},,y_{1},,z_{1}))]위의 접평면의 법선벡터는 [math(f(x,,y,,z)=x^2+y^2+z^2=r^{2})]로 놓음으로써
[math(displaystyle boldsymbol{nabla}f(x_{1},,y_{1},,z_{1})=(2x_{1},,2y_{1},,2z_{1}) )]
이상에서 이 법선 벡터를 가지고 점 [math((x_{1},,y_{1},,z_{1}))]을 지나는 평면의 방정식이 곧 접평면이 되므로
[math(displaystyle x_{1}(x-x_{1})+y_{1}(y-y_{1})+z_{1}(z-z_{1})=0 )]
이것을 정리하면,
[math(displaystyle x_{1}x+y_{1}y+z_{1}z=r^{2} )]
따라서 구의 중심이 [math((x_{0},,y_{0},,z_{0}))]이고, 이때, 점 [math((x_{1},,y_{1},,z_{1}) to (x_{2},,y_{2},,z_{2}))] 위의 접평면의 방정식을 구한다면,
[math(displaystyle (x_{2}-x_{0})(x-x_{0})+(y_{2}-y_{0})(y-y_{0})+(z_{2}-z_{0})(z-z_{0})=r^{2} )]
으로 쓸 수 있다.
델(연산자) 문서로 부터 [math(w=f(x,,y,,z))]의 4차원 함수의 등위곡면 [math(k=f(x,,y,,z))]의 표면에 수직한 벡터는 [math(f)]의 그레이디언트임을 논의했다. 이 결과를 사용하자.
공간좌표 상 모든 구는 평행이동을 통하여 원점을 중심으로 갖는 구로 이동시킬 수 있다. 즉, 이 경우에 한해서 구하면 임의의 중심을 갖는 구에 대해서는 평행이동을 통하여 구할 수 있다.
좌표공간 상 중심이 원점이고, 반지름이 [math(r)]인 구를 고려하자. 이 구 위의 한 점 [math((x_{1},,y_{1},,z_{1}))]위의 접평면의 법선벡터는 [math(f(x,,y,,z)=x^2+y^2+z^2=r^{2})]로 놓음으로써
[math(displaystyle boldsymbol{nabla}f(x_{1},,y_{1},,z_{1})=(2x_{1},,2y_{1},,2z_{1}) )]
이상에서 이 법선 벡터를 가지고 점 [math((x_{1},,y_{1},,z_{1}))]을 지나는 평면의 방정식이 곧 접평면이 되므로
[math(displaystyle x_{1}(x-x_{1})+y_{1}(y-y_{1})+z_{1}(z-z_{1})=0 )]
이것을 정리하면,
[math(displaystyle x_{1}x+y_{1}y+z_{1}z=r^{2} )]
따라서 구의 중심이 [math((x_{0},,y_{0},,z_{0}))]이고, 이때, 점 [math((x_{1},,y_{1},,z_{1}) to (x_{2},,y_{2},,z_{2}))] 위의 접평면의 방정식을 구한다면,
[math(displaystyle (x_{2}-x_{0})(x-x_{0})+(y_{2}-y_{0})(y-y_{0})+(z_{2}-z_{0})(z-z_{0})=r^{2} )]
으로 쓸 수 있다.
2.4.3. 구와 구
2.4.3.1. 두 구의 위치 관계
좌표공간 상 중심이 각각 [math(mathrm{O})], [math(mathrm{O'})]이고, 반지름의 길이가 각각 [math(r)], [math(r')]([math(r geq r')])인 두 구를 생각하자. 이때, 두 구의 중심 사이의 거리 [math(overline{mathrm{OO'}} equiv d)]라 놓을 때, 다음이 성립한다.
2.4.3.2. 두 구의 교선을 지나는 구의 방정식
좌표평면 위에서 두 구 [math(x^{2}+y^{2}+z^{2}+Ax+By+Cz+D=0)]과 [math(x^{2}+y^{2}+z^{2}+A'x+B'y+C'z+D'=0)]을 고려해보자. 이 두 구의 교점을 [math((alpha,,beta,,gamma))]라 놓으면, 교점에서
[math(displaystyle begin{aligned} alpha^{2}+beta^{2}+gamma^{2}+Aalpha+Bbeta+C gamma +D&=0 \ alpha^{2}+beta^{2}+gamma^{2}+A'alpha+B'beta+C' gamma +D'&=0 end{aligned} )]
이 성립한다. 다음과 같은 도형
[math(displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}+Ax+By+Cz+D)+k(x^{2}+y^{2}+z^{2}+A'x+B'y+C'z+D')=0 )] (단, [math(k neq 1)])
을 고려해보도록 하자. 이 도형은 이차항의 계수가 모두 같으므로 공간좌표 상 구글 기술한다고 볼 수 있다. 이 도형에 두 구의 교점을 대입하면,
[math(displaystyle (alpha^{2}+beta^{2}+gamma^{2}+Aalpha+Bbeta+C gamma +D)+k(alpha^{2}+beta^{2}+gamma^{2}+A'alpha+B'beta+C' gamma +D')=0 )]
이고, 이는 임의의 [math(k)]의 값에 관계 없이 항상 성립한다. 즉, 위 도형은 [math(k)]의 값에 관계 없이 항상 두 구의 교점을 지남을 알 수 있다.
참고적으로 [math(k=-1)]일 때는 이차항이 상쇄되기 때문에 위 도형은 평면이 되므로 이를 제외해야 한다.
[math(displaystyle begin{aligned} alpha^{2}+beta^{2}+gamma^{2}+Aalpha+Bbeta+C gamma +D&=0 \ alpha^{2}+beta^{2}+gamma^{2}+A'alpha+B'beta+C' gamma +D'&=0 end{aligned} )]
이 성립한다. 다음과 같은 도형
[math(displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}+Ax+By+Cz+D)+k(x^{2}+y^{2}+z^{2}+A'x+B'y+C'z+D')=0 )] (단, [math(k neq 1)])
을 고려해보도록 하자. 이 도형은 이차항의 계수가 모두 같으므로 공간좌표 상 구글 기술한다고 볼 수 있다. 이 도형에 두 구의 교점을 대입하면,
[math(displaystyle (alpha^{2}+beta^{2}+gamma^{2}+Aalpha+Bbeta+C gamma +D)+k(alpha^{2}+beta^{2}+gamma^{2}+A'alpha+B'beta+C' gamma +D')=0 )]
이고, 이는 임의의 [math(k)]의 값에 관계 없이 항상 성립한다. 즉, 위 도형은 [math(k)]의 값에 관계 없이 항상 두 구의 교점을 지남을 알 수 있다.
참고적으로 [math(k=-1)]일 때는 이차항이 상쇄되기 때문에 위 도형은 평면이 되므로 이를 제외해야 한다.
2.4.3.3. 두 구의 교선을 지나는 평면의 방정식
교선 위의 모든 점은 두 구의 공통적인 점의 집합이므로 결국
[math(displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}+Ax+By+Cz+D)+k(x^{2}+y^{2}+z^{2}+A'x+B'y+C'z+D')=0 )]
가 두 구 [math(x^{2}+y^{2}+z^{2}+Ax+By+Cz+D=0)], [math(x^{2}+y^{2}+z^{2}+A'x+B'y+C'z+D'=0)]의 교점을 지나는 도형을 나타내는 방정식임을 상기하면서 [math(k=-1)]을 택하면 이차항은 모두 상쇄되어 평면의 방정식이 됨에 따라
[math(displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}+Ax+By+Cz+D)-(x^{2}+y^{2}+z^{2}+A'x+B'y+C'z+D')=0 )]
이 두 구의 교선을 지나는 평면의 방정식임을 알 수 있다. 이것을 정리하면 다음과 같은 꼴로 쓸 수 있다.
[math(displaystyle (A-A')x+(B-B')y+(C-C')z+(D-D')=0 )]
[math(displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}+Ax+By+Cz+D)+k(x^{2}+y^{2}+z^{2}+A'x+B'y+C'z+D')=0 )]
가 두 구 [math(x^{2}+y^{2}+z^{2}+Ax+By+Cz+D=0)], [math(x^{2}+y^{2}+z^{2}+A'x+B'y+C'z+D'=0)]의 교점을 지나는 도형을 나타내는 방정식임을 상기하면서 [math(k=-1)]을 택하면 이차항은 모두 상쇄되어 평면의 방정식이 됨에 따라
[math(displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}+Ax+By+Cz+D)-(x^{2}+y^{2}+z^{2}+A'x+B'y+C'z+D')=0 )]
이 두 구의 교선을 지나는 평면의 방정식임을 알 수 있다. 이것을 정리하면 다음과 같은 꼴로 쓸 수 있다.
[math(displaystyle (A-A')x+(B-B')y+(C-C')z+(D-D')=0 )]
3. 확장
- [math(n text{-})]초구는 [math(n+1)]차원 유클리드 공간에서 한 점으로부터 같은 거리에 있는 모든 정점들로 이루어져 있는 [math(n)]차원의 곡면이다. [math(n=2)]일 때를 특별히 "구"로 부른다.
- 차원을 헷갈리기 쉽다. 예를 들어, 3차원 공간 안에 있는 구, 다시 말해 2-구는 미지수가 세 개인 식으로 표현할 수 있다. 하지만 실제로 매개변수화를 시키면 두 개의 각을 매개변수로 하는 좌표계로 옮길 수 있음을 알 수 있다. 따라서 보다 쉽게, 2-구의 차원은 3차원이 아니라 2차원임을 알 수 있다. 이를 일반화해서, [math(n text{-})]구의 매개변수화에서는 [math(n)]개의 매개변수가 존재하므로 차원은 [math(n)]이 된다.
- [math(n text{-})]구의 겉넓이와 구의 부피는 아래와 같다.(단, [math(Gamma(x))]는 감마함수이다.)
- 겉넓이: [math(displaystyle frac{2{pi}^{{(n+1)}/{2}} }{Gammabiggl( dfrac{n+1}{2} biggr )}{r}^{n} )]
- 부피: [math(displaystyle frac{{pi}^{(n+1)/2 }}{dfrac{n+1}{2}Gammabiggl( dfrac{n+1}{2} biggr )}{r}^{n+1} )]
4. 기타
- 대한민국 교육과정 상 초등학교, 중학교, 고등학교에서 고루 등장하나 초중등 과정에서는 거의 부피, 겉넓이, 모양 자체에 집중하는 편이고, 고등 과정에서 기하와 벡터 교과목을 통해 해석 기하학적으로 구를 접근한다.
- 일상생활 속 흔히 볼 수 있는 도형이다. 가장 쉬운 예로 축구공이나 농구공 등 각종 구기 종목들의 공의 모양은 구인 경우가 많다. 애초에 球(구) 라는 한자가 공이라는 뜻이다.
- 구와 관련된 기묘한 정리로 바나흐-타르스키 역설이 있다. 말하자면 구 하나를 유한 개의 조각으로 쪼개어 두 개의 구로 만들 수 있으며, 이 과정에서 생기는 조각들 중 부피를 구할 수 없는 조각이 있다는 정리이다.