1. 개요
Heron's formula
평면 위의 삼각형의 세 변의 길이로 삼각형의 넓이를 구하는 공식으로, 세 변의 길이를 각각 [math(a)], [math(b)], [math(c)]라 하면 넓이는 아래와 같다.
평면 위의 삼각형의 세 변의 길이로 삼각형의 넓이를 구하는 공식으로, 세 변의 길이를 각각 [math(a)], [math(b)], [math(c)]라 하면 넓이는 아래와 같다.
[math(displaystyle sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} quad left(s=dfrac{a+b+c}{2} right) )]
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삼각형의 세 변의 길이만 알면 바로 공식에 대입하여 삼각형의 넓이를 구할 수 있기 때문에 상당히 유용하다.
이 공식은 헤론(Heron of Alexandria, AD 10 ~ AD 70)의 저서 〈Metrica〉에서 발견되었기 때문에 그의 이름이 붙었다.
2. 유도
헤론의 공식을 유도하는 방법은 다양하다.
2.1. 피타고라스 정리 이용
파일:namu-헤론공식-유도_NEW.svg
위 그림과 같은 삼각형 [math(rm ABC)]를 고려하자. 이때, [math(angle{rm A} geq angle{rm B})], [math(angle{rm A} geq angle{rm C})]이다.[1] 꼭짓점 [math(rm A)]에서 밑변 [math(rm BC)]에 내린 수선의 발을 [math(rm H)]라 하고, [math(overline{rm BH}=x)]라 하자. [math(overline{rm AH})]로 나뉜 두 직각삼각형 [math(rm ABH)], [math(rm ACH)]에 대하여 각각 피타고라스 정리를 적용하면
위 그림과 같은 삼각형 [math(rm ABC)]를 고려하자. 이때, [math(angle{rm A} geq angle{rm B})], [math(angle{rm A} geq angle{rm C})]이다.[1] 꼭짓점 [math(rm A)]에서 밑변 [math(rm BC)]에 내린 수선의 발을 [math(rm H)]라 하고, [math(overline{rm BH}=x)]라 하자. [math(overline{rm AH})]로 나뉜 두 직각삼각형 [math(rm ABH)], [math(rm ACH)]에 대하여 각각 피타고라스 정리를 적용하면
[math(displaystyle begin{aligned} c^{2}&=h^{2}+x^{2}\ b^{2}&=h^{2}+(a-x)^{2} end{aligned} )]
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두 식을 빼어
[math(displaystyle c^{2}-b^{2}=2ax-a^{2} quad to quad x=dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a} )]
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을 얻고, [math(c^{2}=h^{2}+x^{2})]을 이용하여
[math(displaystyle begin{aligned} h^{2}&=c^{2}-x^{2} \&=c^{2}-left( dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a} right)^{!2} \&=left( c+dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a} right)left( c-dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a} right) \ &=left[ dfrac{(a+c)^{2}-b^{2}}{2a} right]left[ dfrac{b^{2}-(a-c)^{2}}{2a} right] \&=dfrac{1}{4a^{2}}(a+b+c)(a+c-b)(a+b-c)(b+c-a)\&=dfrac{1}{4a^{2}}cdot 2s cdot 2(s-b)cdot 2(s-c)cdot 2(s-a) quad left( s=dfrac{a+b+c}{2} right) \&=dfrac{4}{a^{2}}s(s-a)(s-b)(s-c) end{aligned})]
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한편, 삼각형 [math(rm ABC)]의 넓이의 제곱은 아래와 같으므로
[math(displaystyle begin{aligned} (triangle {rm ABC})^{2}&=left( frac{1}{2}ah right)^{!2}\&=frac{1}{4}a^{2}h^{2}\&=s(s-a)(s-b)(s-c) \ \ therefore {triangle rm ABC}&=sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c) } end{aligned} )]
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결과식의 형태에서 [math(a)], [math(b)], [math(c)]가 각각 어떤 변의 길이가 되든 결과는 같다. 즉, 헤론의 공식을 쓸 때 각 변의 길이의 대입 순서는 고려하지 않아도 된다.
2.2. 코사인 법칙 이용
[math(displaystyle begin{aligned} triangle {rm ABC}&=dfrac{1}{2}acsin{B} \&=dfrac{1}{2}ac sqrt{1-cos^{2}{B}} end{aligned} )]
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[math(angle{rm B}=B)]이고, 삼각함수 항등식 [math(sin^{2}{B}+cos^{2}{B}=1)]을 이용했다. 제2코사인 법칙에 의하여
[math(displaystyle begin{aligned} b^{2}=a^{2}+c^{2}-2accos{B} quad to quad cos{B}=frac{a^2+c^2-b^{2}}{2ac} end{aligned} )]
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이므로 이것을 대입하면,
[math(displaystyle begin{aligned} triangle {rm ABC}&=dfrac{1}{2}acsin{B} \&=dfrac{1}{2}ac sqrt{1-left(frac{a^2+c^2-b^{2}}{2ac} right)^{2}} \&= dfrac{1}{4}sqrt{4a^{2}c^{2}-(a^2+c^2-b^{2})^{2}}\&= dfrac{1}{4}sqrt{[ (a+c)^{2}-b^{2} ] [ b^{2}-(a-c)^{2} ]} \&= dfrac{1}{4}sqrt{ (a+b+c)(a+c-b) (a+b-c)(b+c-a) } end{aligned} )]
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근호 안의 항은 피타고라스 정리를 사용하여 유도했을 때 봤던 것이므로 [math(16s(s-a)(s-b)(s-c))]이다.
[math(displaystyle begin{aligned} therefore triangle {rm ABC}=sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} end{aligned} )]
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3. 변형 공식
세 변의 길이 중 일부 혹은 전체에 근호가 포함되는 등 위에서 유도한 공식을 사용하기 어려울 경우 다음과 같은 변형 공식을 사용하면 좋다. 유도는 헤론의 공식에서 [math(s=(a+b+c)/2)]를 대입하고, 전개하고, 식을 유도하면 된다.
[math(displaystyle begin{aligned} triangle {rm ABC} &=dfrac{sqrt{2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}{4} \&=dfrac{sqrt{4(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^2+b^2+c^2)^2}}{4}\&=dfrac{sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}{4} \&=dfrac{ sqrt{4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}} }{4} end{aligned} )]
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위에서 밝혔듯, 각 변의 길이의 대입 순서는 고려하지 않아도 된다.
4. 기타
- 고등수학에서 제2코사인 법칙을 다루면서 이 공식을 보게 된다.
- 평행선 공준이 참일 때에만 성립한다. 바꿔 말하면 타원 공간, 쌍곡 공간 등에서는 성립하지 않는다. 가령 구면삼각형은 각 변의 합의 절반보다 넓이가 항상 크며[3], 반대로 쌍곡삼각형은 각 변의 합의 절반보다 넓이가 항상 작다.