신발끈 공식 관련 틀 |
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1. 개요
shoelace formula
좌표평면 상 점의 좌표를 이용하여 볼록 및 오목 다각형의 넓이를 계산하는 공식으로, [math(n)]각형의 각 꼭짓점을 시계 반대 방향 순서대로 [math({rm P_{1}}(x_{1},,y_{1}))], [math({rm P_{2}}(x_{2},,y_{2}))], [math({rm P_{3}}(x_{3},,y_{3}))], [math(cdots)], [math({rm P}_{n}(x_{n},,y_{n}))]이라 할 때, 그 넓이는 아래와 같다.
[math(displaystyle frac{1}{2} begin{vmatrix} x_{1}~ &x_{2}~ &x_{3}~&cdots~&x_{n}~&x_{1} \ y_{1}~ &y_{2}~ &y_{3}~&cdots~&y_{n}~&y_{1} end{vmatrix} )]
신발끈 공식은 1769년에 마이스터 알베르트 루드비히 프레드리히(Meister Albrecht Ludwig Friedrich, 1724~1788)가 발견했으며, 1795년에 카를 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss, 1777~1855) 또한 독자적으로 발견하였다.
좌표평면 상 점의 좌표를 이용하여 볼록 및 오목 다각형의 넓이를 계산하는 공식으로, [math(n)]각형의 각 꼭짓점을 시계 반대 방향 순서대로 [math({rm P_{1}}(x_{1},,y_{1}))], [math({rm P_{2}}(x_{2},,y_{2}))], [math({rm P_{3}}(x_{3},,y_{3}))], [math(cdots)], [math({rm P}_{n}(x_{n},,y_{n}))]이라 할 때, 그 넓이는 아래와 같다.
[math(displaystyle frac{1}{2} begin{vmatrix} x_{1}~ &x_{2}~ &x_{3}~&cdots~&x_{n}~&x_{1} \ y_{1}~ &y_{2}~ &y_{3}~&cdots~&y_{n}~&y_{1} end{vmatrix} )]
신발끈 공식은 1769년에 마이스터 알베르트 루드비히 프레드리히(Meister Albrecht Ludwig Friedrich, 1724~1788)가 발견했으며, 1795년에 카를 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss, 1777~1855) 또한 독자적으로 발견하였다.
2. 계산법
[math(displaystyle begin{aligned} frac{1}{2} begin{vmatrix} x_{1}~ &x_{2}~ &x_{3}~&cdots~&x_{n}~&x_{1} \ y_{1}~ &y_{2}~ &y_{3}~&cdots~&y_{n}~&y_{1} end{vmatrix} =frac{1}{2}|(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+cdots+x_{n-1}y_{n}+x_{n}y_{1})-(x_{2}y_{1}+x_{3}y_{2}+cdots+x_{n}y_{n-1}+x_{1}y_{n})| end{aligned} )]
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어디선가 많이 본 형태라면 정답이다. 이 식은 다름아닌 외적[1])임에 주의. 이는 Outer product와 Cross product를 똑같이 '외적'으로 옮겼기 때문.]으로, [math(x_{1})], [math(x_{2})], [math(cdots)]를 벡터 [math(bold x)]로, [math(y_{1})], [math(y_{2})], [math(cdots)]를 벡터 [math(bold y)]로 합치면 아래와 같이 된다.[2]), 기하학적인 의미로 쓰인 벡터는 화살표([math(overrightarrow{rm AB})])로 표기한다.]
[math(dfrac{1}{2}|{bold x}times{bold y} |)]
특히 삼각형에 대한 신발끈 공식을 많이 사용하게 되는데 이는 아래와 같다.
[math(displaystyle begin{aligned} frac{1}{2} begin{vmatrix} x_{1}~ &x_{2}~ &x_{3}~ &x_{1} \ y_{1}~ &y_{2}~ &y_{3}~ &y_{1} end{vmatrix} =frac{1}{2}|(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1})-(x_{2}y_{1}+x_{3}y_{2}+x_{1}y_{3})| end{aligned} )]
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3. 주의점
- 각 변이 교차하는 다각형의 경우에는 사용할 수 없다.
- 한 점을 [math({rm P_{1}})]으로 잡고, 해당 점부터 시계 방향 또는 반시계 방향으로 [math({rm P_{2}})], [math({rm P_{3}})], [math(cdots)], [math({rm P}_{n})]을 정해주어야 한다. 아래의 그림은 육각형을 예로 든 것이다.
파일:namu-신발끈공식_점배치법.svg
4. 유도
우선 이 공식을 유도하기 전 꼭짓점이 [math({rm A}(x_{1},,y_{1}))], [math({rm B}(x_{2},,y_{2}))], [math({rm C}(x_{3},,y_{3}))]인 삼각형의 넓이를 구하는 방법을 고찰해볼 필요가 있다. [math({rm A}(x_{1},,y_{1}))]를 시점으로 하는 두 벡터 [math(overrightarrow{rm AB})], [math(overrightarrow{rm AC})]의 외적의 크기의 절반이 해당 삼각형의 넓이가 된다. 즉,
[math(displaystyle triangle {rm ABC}=frac{1}{2}|overrightarrow{rm AB} times overrightarrow{rm AC} | )]
파일:namu-신발끈공식_유도.svg
위의 정보를 이용하여 다각형 [math({rm P}_{1}{rm P}_{2}{rm P}_{3} cdots {rm P}_{n})]의 넓이 [math(S)]는 육각형을 예시로 든 위 그림과 같이 점 [math(rm P_{1})]을 기준으로 잡아 해당 다각형을 삼각형 [math({rm P_{1}}{rm P}_{k-1}{rm P}_{k} , (k geq 3, ,k in mathbb{Z}))]으로 모두 분할한 후 해당 삼각형의 넓이를 모두 합한 값이다. 다만, 분할된 영역의 넓이는 전체 넓이에 대하여 양의 기여를 하기도 하고, 음의 기여(위 그림에서 [math(triangle rm{P_{1}P_{3}P_{4}})])를 하기도 한다. 따라서 분할된 영역의 넓이를 구할 때는 절댓값을 취하지 않는다. 즉,
[math(displaystyle [triangle {rm P_{1}}{rm P}_{k-1}{rm P}_{k}]=frac{1}{2}overrightarrow{ {rm P_{1}}{rm P}_{k-1}} times overrightarrow{{rm P_{1}}{rm P}_{k}} )]
대괄호를 씌운 것은 일반적으로 넓이 구하는 법과 차이가 있음을 강조하기 위함이다. 따라서 이것을 모두 합한 뒤 절댓값을 취하면 [math(S)]가 된다. 이때, 점을 반시계 방향으로 명명하였고, 벡터의 외적 연산을 사용하기 때문에 오목한 영역과 볼록한 영역의 경우의 넓이는 서로 다른 부호의 기여를 한다. 이에 기여분에 대한 부호는 자동적으로 계산되므로 신경쓰지 않아도 된다.
[math(displaystyle triangle {rm ABC}=frac{1}{2}|overrightarrow{rm AB} times overrightarrow{rm AC} | )]
파일:namu-신발끈공식_유도.svg
위의 정보를 이용하여 다각형 [math({rm P}_{1}{rm P}_{2}{rm P}_{3} cdots {rm P}_{n})]의 넓이 [math(S)]는 육각형을 예시로 든 위 그림과 같이 점 [math(rm P_{1})]을 기준으로 잡아 해당 다각형을 삼각형 [math({rm P_{1}}{rm P}_{k-1}{rm P}_{k} , (k geq 3, ,k in mathbb{Z}))]으로 모두 분할한 후 해당 삼각형의 넓이를 모두 합한 값이다. 다만, 분할된 영역의 넓이는 전체 넓이에 대하여 양의 기여를 하기도 하고, 음의 기여(위 그림에서 [math(triangle rm{P_{1}P_{3}P_{4}})])를 하기도 한다. 따라서 분할된 영역의 넓이를 구할 때는 절댓값을 취하지 않는다. 즉,
[math(displaystyle [triangle {rm P_{1}}{rm P}_{k-1}{rm P}_{k}]=frac{1}{2}overrightarrow{ {rm P_{1}}{rm P}_{k-1}} times overrightarrow{{rm P_{1}}{rm P}_{k}} )]
대괄호를 씌운 것은 일반적으로 넓이 구하는 법과 차이가 있음을 강조하기 위함이다. 따라서 이것을 모두 합한 뒤 절댓값을 취하면 [math(S)]가 된다. 이때, 점을 반시계 방향으로 명명하였고, 벡터의 외적 연산을 사용하기 때문에 오목한 영역과 볼록한 영역의 경우의 넓이는 서로 다른 부호의 기여를 한다. 이에 기여분에 대한 부호는 자동적으로 계산되므로 신경쓰지 않아도 된다.
[math(displaystyle begin{aligned} S&= left| sum_{k=3}^{n}[triangle {rm P_{1}}{rm P}_{k-1}{rm P}_{k}] right| \&=frac{1}{2} left| sum_{k=3}^{n} overrightarrow{ {rm P_{1}}{rm P}_{k-1}} times overrightarrow{{rm P_{1}}{rm P}_{k}}right| \&=frac{1}{2} left| sum_{k=3}^{n} (overrightarrow{ {rm O}{rm P}_{k-1}}-overrightarrow{ {rm O}{rm P}_{1}}) times (overrightarrow{ {rm O}{rm P}_{k}}-overrightarrow{ {rm O}{rm P}_{1}})right| \&=frac{1}{2} left| sum_{k=3}^{n} overrightarrow{ {rm O}{rm P}_{k-1}} times overrightarrow{ {rm O}{rm P}_{k}}+left{ overrightarrow{ {rm O}{rm P_{1} }} times sum_{k=3}^{n} (overrightarrow{ {rm O}{rm P}_{k-1}}-overrightarrow{{rm O}{rm P}_{k}}) right} right| \&=frac{1}{2} left| sum_{k=3}^{n} overrightarrow{ {rm O}{rm P}_{k-1}} times overrightarrow{ {rm O}{rm P}_{k}}+{overrightarrow{{rm O}{rm P}_{1}} times overrightarrow{{rm O}{rm P}_{2}}-overrightarrow{{rm O}{rm P}_{1}} times overrightarrow{{rm O}{rm P}_{n}} } right| \&=frac{1}{2} left| sum_{k=3}^{n} begin{vmatrix} x_{k-1}~ &y_{k-1} \ x_{k}~ &y_{k} end{vmatrix}+left{ begin{vmatrix} x_{1}~ &y_{1} \ x_{2}~ &y_{2} end{vmatrix} + begin{vmatrix} x_{1}~ &y_{1} \ x_{n}~ &y_{n} end{vmatrix} right}right| \ &=frac{1}{2} left| sum_{k=3}^{n}(x_{k-1}y_{k}-x_{k}y_{k-1})+{(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})-(x_{1}y_{n}-x_{n}y_{1}) } right| \&=frac{1}{2}|(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+cdots+x_{n-1}y_{n}+x_{n}y_{1})-(x_{2}y_{1}+x_{3}y_{2}+cdots+x_{n}y_{n-1}+x_{1}y_{n})|end{aligned} )]
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5. 변형 공식
5.1. 사루스 법칙
rule of Sarrus
위 공식을 [math(3 times 3)] 행렬에 적용한 것으로, [math(3 times 3)] 행렬의 1, 2열을 그대로 4, 5열에 각각 써서 [math(5 times 3)] 행렬로 변형한 뒤[3] 신발끈 공식을 적용한 것이다. 차이점은 일직선상의 세 개의 성분을 연달아서 이어야 한다는 점과 실수배를 하지 않는다는 점, 결괏값의 부호는 그대로 놔둔다는 점(절댓값을 취하지 않음), 그리고 2행의 양 끝 성분은 버려지는 점이 있다. [math(3 times 3)] 행렬이 아닐 경우 성립하지 않기 때문에 선형대수학에서는 사도 취급하지만[4] 같은 방식으로 약분하는 것 같은 취급을 당한다.], [math(3 times 3)] 행렬의 행렬식을 구하는 데 이것만큼 유용한 도구가 없다.
대표적인 사용례로 벡터장의 회전이 있다. 이는 아래와 같이 계산할 수 있다.
[math( boldsymbol{nabla} times bold{a} = begin{vmatrix} hat{bold{x}} & hat{bold{y}} & hat{bold{z}} & hat{bold{x}} & hat{bold{y}} \ dfrac{partial}{partial x} & dfrac{partial}{partial y} & dfrac{partial}{partial z} & dfrac{partial}{partial x} & dfrac{partial}{partial y} \ a_x & a_y & a_z & a_x & a_y end{vmatrix})]
위 공식을 [math(3 times 3)] 행렬에 적용한 것으로, [math(3 times 3)] 행렬의 1, 2열을 그대로 4, 5열에 각각 써서 [math(5 times 3)] 행렬로 변형한 뒤[3] 신발끈 공식을 적용한 것이다. 차이점은 일직선상의 세 개의 성분을 연달아서 이어야 한다는 점과 실수배를 하지 않는다는 점, 결괏값의 부호는 그대로 놔둔다는 점(절댓값을 취하지 않음), 그리고 2행의 양 끝 성분은 버려지는 점이 있다. [math(3 times 3)] 행렬이 아닐 경우 성립하지 않기 때문에 선형대수학에서는 사도 취급하지만[4] 같은 방식으로 약분하는 것 같은 취급을 당한다.], [math(3 times 3)] 행렬의 행렬식을 구하는 데 이것만큼 유용한 도구가 없다.
대표적인 사용례로 벡터장의 회전이 있다. 이는 아래와 같이 계산할 수 있다.
[math( boldsymbol{nabla} times bold{a} = begin{vmatrix} hat{bold{x}} & hat{bold{y}} & hat{bold{z}} & hat{bold{x}} & hat{bold{y}} \ dfrac{partial}{partial x} & dfrac{partial}{partial y} & dfrac{partial}{partial z} & dfrac{partial}{partial x} & dfrac{partial}{partial y} \ a_x & a_y & a_z & a_x & a_y end{vmatrix})]
6. 기타
- 공식을 계산할 때 나오는 특별한 방법이 마치 신발끈을 묶는 것과 같아 '신발끈 공식'이라 부르며, '사선 공식'이라고도 한다.
- 고등학교 수학에서 잘 써먹게 되는 공식이다.
7. 관련 문서
[1] Outer product([math(otimes)])가 아닌 Cross product([math(times)[2] 이 문서에서는 일반론적인 벡터는 볼드체([math(bold x)[3] 열 대신 행을 늘린 [math(3 times 5)] 행렬을 사용해도 무방하다.[4] 거의 [math(64/16 = cancel{6}4/1cancel{6} = 4)