1. 개요2. [[무한등비급수]] [math(\dfrac 1{1-x})]
2.1. 활용
3. 이항급수 [math( \left(1+x\right)^\alpha )]4. [[삼각함수]]5. [[역삼각함수]]6. 지수함수 [math( e^x )]7. [[쌍곡선함수]]8. 로그함수 [math(\ln\left(1+x\right))]8.1. 증명
9. [[람베르트 W 함수]] [math(W(x))]10. [[프레넬 적분 함수]]11. [[브링 근호]] [math(\mathrm{BR}(-x))]12. [[타원/타원 적분|타원 적분]]1. 개요
2. 무한등비급수 [math(dfrac 1{1-x})]
[math(displaystyle frac 1{1-x} = sum_{n=0}^infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + cdotscdots, (|x|<1))]
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그래프 보기
[math(k)]값이 커질수록 테일러 급수는 원래 함수와 닮아가지만, 수렴구간(정의역) [math(|x|<1)]외에서는 갑자기 원래 함수의 형태와 동떨어진 형태를 보인다.
[math(k)]값이 커질수록 테일러 급수는 원래 함수와 닮아가지만, 수렴구간(정의역) [math(|x|<1)]외에서는 갑자기 원래 함수의 형태와 동떨어진 형태를 보인다.
2.1. 활용
3. 이항급수 [math( left(1+xright)^alpha )]
[math(displaystyle left(1+xright)^alpha = sum_{n=0}^infty binomalpha n x^n = 1 + fracalpha{1!} x + frac{alpha left(alpha - 1right)}{2!} x^2 + cdotscdots + frac{displaystyle prod_{r=0}^{n-1} left(alpha - r right)}{n!} x^n + cdotscdots )]
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3.1. 증명
구하고자 하는 무한급수의 계수를 미지수로 놓는다.
[math(displaystyle y=left( 1+x right)^alpha=a_0+a_1 x+a_2 x^2+cdotscdots = sum_{n=0}^infty a_n x^n)]
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양 변을 미분하면
[math(displaystyle y' = alpha left( 1+x right)^{alpha-1}=a_1+2a_2 x+3a_3 x^2+cdotscdots = sum_{n=0}^infty left( n+1 right)a_{n+1}x^n)]
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위 두 식을 이용하여 미분방정식을 세울 수 있다.
[math(alpha left( 1+x right)^alpha = alpha y = left( 1+x right)y' \ therefore y'=alpha y-xy')]
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여기서 [math(xy')]의 무한급수는
[math(displaystyle xy'=0+a_1 x+2a_2 x^2+cdotscdots =sum_{n=0}^infty na_n x^n)]
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이므로 미분방정식에서 각 항의 계수를 견주면 점화식이 나온다.
[math(displaystyle begin{aligned} sum_{n=0}^infty left( n+1 right)a_{n+1} x^n &= alpha sum_{n=0}^infty a_n x^n- sum_{n=0}^infty na_n x^n \ &= sum_{n=0}^infty left(alpha - n right) a_n x^n end{aligned} \ left( n+1 right)a_{n+1} = left( alpha-n right)a_n, a_0=1 \ begin{aligned} a_{n+1} &= frac{alpha - n}{n+1}a_n = frac{left( alpha - n right) left( alpha -n+1 right)}{left(n+1 right) n} a_{n-1} = frac{left( alpha -n right) left( alpha -n+1 right) left( alpha -n+2 right)}{left( n+1 right) n left( n-1 right)} a_{n-2} = cdotscdots \ &= frac 1{(n+1)!} prod_{i=0}^n left( alpha -n+i right) a_0 = frac 1{(n+1)!} prod_{i=0}^n left( alpha -i right) = frac{alpha left(alpha -1 right) left(alpha -2 right) cdotscdots left(alpha -n+1 right) left(alpha -n right)}{(n+1)!} \ &= binomalpha{n+1} end{aligned})]
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3.2. 활용
4. 삼각함수
4.1. sin 함수, cos 함수
[math(displaystyle sin x = sum_{n=0}^infty frac{left(-1right)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} - frac{x^7}{7!} + cdotscdots + left(-1right)^n frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + cdotscdots)]
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[math(displaystyle cos x = sum_{n=0}^infty frac{left(-1right)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - frac{x^2}{2!} + frac{x^4}{4!} - frac{x^6}{6!} + cdotscdots + left(-1right)^n frac{x^{2n}}{(2n)!} + cdotscdots )]
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4.1.1. 증명
사인과 코사인의 [math(n)]계도함수는 일반적으로 다음과 같다.
- [math(left( sin x right)^{(n)} = sin left(x+dfrac{npi}2right))]
- [math(left( cos x right)^{(n)} = cos left(x+dfrac{npi}2right))]
[math(x=0)], [math(n=1, 2, 3, cdotscdots)]을 차례대로 대입하면 무한급수를 도출할 수 있다.
4.1.2. 극한값
[math(displaystyle lim_{x to 0} frac{sin x}x = 1)]
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[math(displaystyle sin x = x - frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} - frac{x^7}{7!} + cdotscdots + left(-1right)^n frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + cdotscdots)]
에서 양변을 [math(x)]로 나누면
[math(displaystyle frac{sin x}x = 1 - frac{x^2}{3!} + frac{x^4}{5!} - frac{x^6}{7!} + cdotscdots + left(-1right)^n frac{x^{2n}}{(2n+1)!} + cdotscdots)]
이 되는데 [math(x to 0)] 일 때 이차항부터는 모두 [math(0)]이 되어 사라진다.귀찮으면 로피탈 써도 된다.
노가다(수학) 문서에서 제시한 [math(dfrac{sin x}x)]를 적분해보라는 문단도 이 매클로린 급수를 적분함으로써 해결이 가능하다.
이러한 사실로부터 [math(|x| ll 1)] 이면 [math(sin x approx x)]라는 근사를 얻을 수 있다. 이 근사 역시 과학, 공학 분야에서 많이 쓰이는데, 대표적으로는 진자의 운동을 기술할 때 사용한다.
에서 양변을 [math(x)]로 나누면
[math(displaystyle frac{sin x}x = 1 - frac{x^2}{3!} + frac{x^4}{5!} - frac{x^6}{7!} + cdotscdots + left(-1right)^n frac{x^{2n}}{(2n+1)!} + cdotscdots)]
이 되는데 [math(x to 0)] 일 때 이차항부터는 모두 [math(0)]이 되어 사라진다.
노가다(수학) 문서에서 제시한 [math(dfrac{sin x}x)]를 적분해보라는 문단도 이 매클로린 급수를 적분함으로써 해결이 가능하다.
이러한 사실로부터 [math(|x| ll 1)] 이면 [math(sin x approx x)]라는 근사를 얻을 수 있다. 이 근사 역시 과학, 공학 분야에서 많이 쓰이는데, 대표적으로는 진자의 운동을 기술할 때 사용한다.
4.2. 나머지 함수들
[math(tan x)], [math(csc x)], [math(cot x)]는 조금 다른 방식으로 정의된다. 사실 이들 함수의 테일러 급수는 삼각함수 자체의 성질에서 유도되었다기보다는 아래에서 설명할 오일러의 공식을 통해 복소평면에서 지수함수로 나타낼 수 있다는 사실에 기반하여 유도된 식[3], [math(tanh x)], [math(mathrm{csch}, x)]의 테일러 급수를 먼저 구하고 [math(x)]에 복소수 [math(ix)]를 대입하여 얻어진 식이다.]이라 일반항이 복잡하고 베르누이 수열([math(B_n)])이라는 특이한 수열을 매개로 정의된다. 심지어 [math(sec x)]는 베르누이 수열로도 간단하게 정의가 안 돼서 오일러 수열([math(E_n)])이라는 또 다른 수열을 이용하는데, 테일러 급수 말고도 거듭제곱 합의 공식에도 쓰이는 베르누이 수열과는 달리 오일러 수열은 오로지 [math(sec x)]와 [math(mathrm{sech}, x)]만을 나타내기 위해 쓰인다.안습 각 일반항의 유도 과정은 베르누이 수열, 오일러 수열 문서 참조
[math(displaystyle begin{aligned} tan x &= sum_{n=1}^infty frac{ left{ left( -4 right)^n - left( -16 right)^n right}B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} = x + frac 13 x^3 + frac 2{15}x^5 + frac{17}{315}x^7 + cdotscdots \ csc x &= sum_{n=0}^infty frac{ left{ 2 left( -1 right)^n - left( -4 right)^n right}B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} = frac 1x + frac 16 x + frac 7{360}x^3 + frac{31}{15120}x^5 + cdotscdots \ cot x &= sum_{n=0}^infty frac{ left( -4 right)^n B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} = frac 1x - frac 13 x - frac 1{45}x^3 - frac 2{945}x^5 - cdotscdots \ sec x &= sum_{n=0}^infty frac{ left( -1 right)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} = 1 + frac 12 x^2 + frac 5{24}x^4 + frac{61}{720}x^6 + cdotscdots end{aligned})]
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5. 역삼각함수
[math(displaystyle begin{aligned} arcsin x &= sum_{n=0}^infty frac{(-1)^n}{2n+1} binom{-frac 12}n x^{2n+1} = sum_{n=0}^infty frac{(2n+1)!!}{(2n)!! left( 2n+1 right)}x^{2n+1} = sum_{n=0}^infty frac{(2n)!}{4^n left( n! right)^2 left( 2n+1 right)}x^{2n+1} \ &= x + frac 16 x^3 + frac 3{40}x^5 + frac 5{112}x^7 + cdotscdots (|x| le 1) end{aligned})]
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[math(!!)]은 이중계승 기호로 [math(2)]씩 빼서 곱하라는 뜻이다. 즉 [math((2n)!! = 2n cdot left( 2n-2 right) cdot left( 2n-4 right) cdotscdots 4 cdot 2)]이다.
[math(displaystyle begin{aligned} arccos x &= frac pi2 - arcsin x = frac pi2 - sum_{n=0}^infty frac{(2n)!}{4^n left( n! right)^2 left( 2n+1 right)}x^{2n+1} \ &= frac pi2 - x - frac 16 x^3 - frac 3{40}x^5 - frac 5{112}x^7 - cdotscdots (|x| le 1) \ arctan x &= sum_{n=0}^infty frac{left(-1right)^n x^{2n+1}}{2n+1} = x - frac{x^3}3 + frac{x^5}5 - frac{x^7}7 + cdotscdots (|x| le 1) end{aligned})]
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5.1. 증명
기본적으로 미분한 결과가 이항급수의 꼴이기 때문에 역삼각함수의 미분에 대해 테일러 급수를 적용한 뒤 적분하면 된다. 이후엔 이항급수 부분을 전개해서 적절하게 정리해주면 된다.
[math(displaystyle begin{aligned} frac {mathrm{d}}{mathrm{d}x} arcsin x &= frac 1{sqrt{1-x^2}} = left( 1 - x^2 right)^{-frac 12} = sum_{n=0}^infty binom {-frac 12}n left( -x^2 right)^n \ therefore arcsin x &= int_0^x sum_{n=0}^infty binom{-frac 12}n left( -t^2 right)^n mathrm{d}t = sum_{n=0}^infty frac{(-1)^n}{2n+1} binom{-frac 12}n x^{2n+1} end{aligned})]
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[math(displaystyle arcsin x + arccos x = frac pi2 \ therefore arccos x = frac pi2 - arcsin x)]
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[math(displaystyle arctan x=int_0^x frac{mathrm{d}t}{1+t^2} = int_0^x sum_{n=0}^infty left(-t^2 right)^n mathrm{d}t = sum_{n=0}^infty frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1})]
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5.1.1. 원주율 [math(pi)] 구하기
위의 역삼각함수의 급수식을 이용하는 방법으로, [math(arcsin 1 = dfrac pi2)] 및 [math(arctan 1=dfrac pi4)]를 이용하는 것이다.
[math(displaystyle begin{aligned} frac pi2 &= 1 + frac 16 + frac 3{40} + frac 5{112} + frac{35}{1152} + cdotscdots \ therefore pi &= 2 + frac 13 + frac 3{20} + frac 5{56} + frac{35}{576} + cdotscdots end{aligned})]
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또는
[math( displaystyle begin{aligned} frac pi4 &= sum_{n=0}^infty frac{left(-1right)^n}{2n+1} = 1 - frac 13 + frac 15 - frac 17 + cdotscdots \ therefore pi &= 4 - frac 43 + frac 45 - frac 47 + frac 49 - cdotscdots = 4-frac 8{3cdot 5} - frac 8{7cdot 9} - frac 8{11cdot 13} - cdotscdots end{aligned})]
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그러나 두 급수 모두 실제 계산에서 쓸모가 별로 없다. 저 공식을 대입해서 계산하면 수렴 속도가 매우 느리기 때문이다.[4]이 된다.] 아크탄젠트의 성질을 이용하여 공식을 변형할 수 있는데, 그 변형된 공식이 바로
[math(arctandfrac{a_1}{b_1} + arctandfrac{a_2}{b_2} = arctandfrac{a_1 b_2 + a_2 b_1}{b_1 b_2 - a_1 a_2})]
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(단, 위 값이 [math(dfrac pi2)]보다 작아야 성립)
이를 이용하면 아래와 같은 마친 공식을 이끌어낼 수 있다. 그리고 이 공식에 아크탄젠트의 무한급수를 대입하면 참값에 훨씬 빠르게 수렴함을 알 수 있다.
[math(dfrac pi4 = arctandfrac 12 + arctandfrac 13 = 4arctandfrac 15 - arctandfrac 1{239})]
이를 이용하면 아래와 같은 마친 공식을 이끌어낼 수 있다. 그리고 이 공식에 아크탄젠트의 무한급수를 대입하면 참값에 훨씬 빠르게 수렴함을 알 수 있다.
[math(dfrac pi4 = arctandfrac 12 + arctandfrac 13 = 4arctandfrac 15 - arctandfrac 1{239})]
6. 지수함수 [math( e^x )]
[math(displaystyle e^x = sum_{n=0}^infty frac{x^n}{n!} = 1 + x + frac{x^2}{2!} + cdotscdots + frac{x^n}{n!} + cdotscdots)]
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6.1. 증명
6.2. 응용
6.2.1. 자연로그의 밑 [math(e)] 구하기
이 식에서 [math(x=1)]을 대입해 주면 아래와 같은 식을 얻는다.
[math(e = dfrac 1{0!} + dfrac 1{1!} + dfrac 1{2!} + dfrac 1{3!} + dfrac 1{4!} + cdotscdots)]
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이를 계산하면 [math(e)]의 값을 구할 수 있다. [math(n=4)]까지만 계산해 주어도 [math(dfrac{65}{24} = 2.708333cdotscdots)]가 되어 참값 [math(2.7182818284cdotscdots)]와의 오차가 약 [math(0.37%)]밖에 나지 않는다. 컴퓨터를 이용해 죽 계산해주면 금방 어마어마한 자리수의 근삿값을 구할 수 있다. 참고로 위 식은 극한으로 정의된 식에 대해 이항급수를 적용해서 유도할 수도 있다.
[math(displaystyle begin{aligned} e &= lim_{n to infty} left( 1 + frac 1n right)^n = lim_{n to infty} sum_{r=0}^n binom nr frac 1{n^r} = lim_{n to infty} left( frac{n!}{0!n!} frac 1{n^0} + sum_{r=1}^n binom nr frac 1{n^r} right) \ &= lim_{n to infty} left{ frac 1{0!} + sum_{r=1}^n frac{n left( n-1 right) left( n-2 right) cdotscdots left( n-r+2 right) left( n-r+1 right)}{r!} frac 1{n^r} right} \ &= lim_{n to infty} left{ frac 1{0!} + sum_{r=1}^n frac{ 1 cdot left( 1 - frac 1n right) left( 1 - frac 2n right) cdots cdots left( 1 - frac{r-2}n right) left( 1 - frac{r-1}n right)}{r!} right} \ &= lim_{n to infty} left{ frac 1{0!} + frac 1{1!} + frac 1{2!} left( 1- frac 1n right) + frac 1{3!}left( 1- frac 1n right) left( 1- frac 2n right) +cdotscdots + frac 1{n!} prod_{r=1}^n left( 1- frac{r-1}n right) right} \ &= sum_{n=0}^infty frac 1{n!} end{aligned})]
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하지만 위 증명의 마지막 부분은 엄밀하지 않다. 무한개가 더해져 있을 때는 시그마의 성질이 먹히지 않을 때가 있기 때문이다.
6.2.2. 오일러의 공식 [math(e^{ix}= cos x + i sin x)] 증명하기
상술한 [math(e^x)]에 [math(x)]대신 [math(ix)]를 대입해 보자.([math(i = sqrt{-1})])
[math(displaystyle e^{ix} = sum_{n=0}^infty frac{left(ixright)^n}{n!} = 1 + ix + frac{left(ixright)^2}{2!} + frac{left(ixright)^3}{3!} + frac{left(ixright)^4}{4!} + cdotscdots + frac{left(ixright)^n}{n!} + cdotscdots)]
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[math(i^2 = -1)], [math(i^3 = -i)], [math(i^4 = 1)]이므로,
[math(displaystyle begin{aligned} e^{ix} &= 1 + ix - frac{x^2}{2!} -i frac{x^3}{3!} + frac{x^4}{4!} + i frac{x^5}{5!} + cdotscdots \ &= left(1 - frac{x^2}{2!} + frac{x^4}{4!} - frac{x^6}{6!} + cdotscdots + left(-1right)^n frac{x^{2n}}{(2n)!} + cdotscdots right) + ileft(x - frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} - frac{x^7}{7!} + cdotscdots + left(-1right)^n frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + cdotscdots right) end{aligned})]
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따라서 아래 식을 보일 수 있다.
[math(displaystyle e^{ix} = sum_{n=0}^infty frac{left(-1right)^n x^{2n}}{(2n)!} + isum_{n=0}^infty frac{left(-1right)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = cos x+ isin x)]
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6.2.3. 오차함수(Error function)의 무한급수
확률, 통계나 미분방정식에서 나타나는 비초등함수의 대표적인 예로 오차함수([math(mathrm{erf} left(xright))])가 있다. 비록 특수함수이지만 마찬가지로 무한급수를 펼칠 수 있고, 이에 따라 근삿값을 얻을 수 있다.
[math(displaystyle mathrm{erf}left(xright)=frac 2{sqrtpi} int_0^x e^{-t^2} , dt)]
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피적분 함수를 무한급수로 전개할 수 있다.
[math(displaystyle e^{-t^2}= sum_{n=0}^infty frac{left(-1right)^n t^{2n}}{n!})]
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따라서 오차함수의 무한급수는 아래와 같이 나타난다.
[math(displaystyle mathrm{erf}left(xright)=frac 2{sqrtpi} sum_{n=0}^infty frac{left(-1right)^n x^{2n+1}}{n!left(2n+1right)})]
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정규분포표를 구할 때 쓰는 오차함수도 다음과 같이 쉽게 나타낼 수 있다.
[math(displaystyle frac 1{sqrt{2pi}} int_0^x e^{frac{-t^2}2} , dt = frac 1{sqrt{2pi}} sum_{n=0}^infty frac{left( -1 right)^n x^{2n+1}}{n! left( 2n+1 right) 2^n})]
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7. 쌍곡선함수
7.1. sinh 함수, cosh 함수
[math(y=sinh x)], [math(y=cosh x)]는 정의에 따라 무한급수를 도출할 수 있다.
먼저 쌍곡사인 함수는 [math(y=e^x)]의 무한급수의 홀수 번째 항들로 구성된다.
먼저 쌍곡사인 함수는 [math(y=e^x)]의 무한급수의 홀수 번째 항들로 구성된다.
[math(displaystyle sinh x = frac{e^x-e^{-x}}2 = frac 12 left{left(1+x+frac{x^2}{2!}+frac{x^3}{3!}+cdotscdots right)-left(1-x+frac{x^2}{2!}-frac{x^3}{3!}+cdotscdots right)right} = x+frac{x^3}{3!}+frac{x^5}{5!}+cdotscdots \ therefore sinh x=sum_{n=0}^infty frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!})]
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쌍곡코사인 함수는 짝수 번째 항들로 구성된다.
[math(displaystyle cosh x = frac{e^x+e^{-x}}2 = frac 12 left{left(1+x+frac{x^2}{2!}+frac{x^3}{3!}+cdotscdots right)+left(1-x+frac{x^2}{2!}-frac{x^3}{3!}+ cdotscdots right)right} = 1+frac{x^2}{2!}+frac{x^4}{4!}+cdotscdots \ therefore cosh x=sum_{n=0}^infty frac{x^{2n}}{(2n)!})]
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7.2. 나머지 함수들
삼각함수 항목에서 전술한대로 [math(tanh x)], [math(mathrm{csch}, x)], [math(coth x)]는 조금 다른 방식으로 정의된다. 아래에 [math(tanh x)]에 대한 급수식이 맨 처음에 나오지만, 식의 길이를 보면 알 수 있듯이 사실 [math(coth x)]의 급수를 기반으로 나머지 두 식이 유도되는 관계에 있다.[6]를 이용해서 정의된다.] 역시 [math(mathrm{sech}, x)]는 오일러 수열([math(E_n)])을 이용해서 정의된다. 각 일반항의 유도 과정은 베르누이 수열, 오일러 수열 문서 참조
[math(displaystyle begin{aligned} tanh x &= sum_{n=1}^infty frac{ left( 16^n - 4^n right) B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} = x - frac 13 x^3 + frac 2{15}x^5 - frac{17}{315}x^7 + cdotscdots \ mathrm{csch}, x &= sum_{n=0}^infty frac{ left( 2 - 4^n right) B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} = frac 1x - frac 16x + frac 7{360}x^3 - frac{31}{15120}x^5 + cdotscdots \ coth x &= sum_{n=0}^infty frac{4^n B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} = frac 1x + frac 13x - frac 1{45}x^3 + frac 2{945}x^5 - cdotscdots \ mathrm{sech}, x &= sum_{n=0}^infty frac{E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} = 1 - frac 12x^2 + frac 5{24}x^4 - frac{61}{720}x^6 + cdotscdots end{aligned})]
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8. 로그함수 [math(lnleft(1+xright))]
[math(displaystyle lnleft(1+xright) = sum_{n=1}^infty frac{left(-1right)^{n+1}x^n}n = x - frac{x^2}2 + frac{x^3}3 - frac{x^4}4 + cdotscdots (-1<x leq 1))]
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[math(displaystyle ln x-ln left ( x-1 right )=sum_{n=1}^infty frac 1{nx^n} (x >1))]
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이것이다.
8.1. 증명
자연로그 함수는 유리함수의 적분으로 표현할 수 있다.
[math(displaystyle ln left(1+xright)=int_0^x frac {dt}{1+t})]
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피적분함수를 무한등비급수로 전개하면
[math(displaystyle left(1+tright)^{-1} = 1-t+t^2-t^3+cdotscdots = sum_{n=0}^infty left(-tright)^n)]
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따라서 이 무한급수를 적분하면 자연로그의 무한급수를 도출할 수 있다.
[math(displaystyle ln left(1+xright) = sum_{n=0}^infty frac{left(-1right)^n x^{n+1}}{n+1})]
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9. 람베르트 W 함수 [math(W(x))]
[math(begin{aligned} W(x) &= sum_{n=1}^infty frac{(-n)^{n-1}}{n!}x^n \ &= x - x^2 + frac32x^3 - frac83x^4 + frac{125}{24}x^5 - cdotsend{aligned})]
10. 프레넬 적분 함수
[math(displaystyle begin{aligned} S(x)&=sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^{n} pi^{2n+1} x^{4n+3}}{2^{2n+1}(2n+1)!cdot(4n+3)} \ C(x)&=sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^{n} pi^{2n} x^{4n+1}}{2^{2n}(2n)!cdot(4n+1)} end{aligned} )]
11. 브링 근호 [math(mathrm{BR}(-x))]
[math(displaystyle mathrm{BR}(-x) = sum_{k=0}^{infty} dbinom{5k}{k}frac{(-1)^{k} x^{4k+1}}{4x+1})]
12. 타원 적분
- [math(displaystyle K(k) =frac{pi}{2} left[1+ sum_{n=1}^{infty }left [ frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} right ]^{2}{k^{2n}} right]\ =frac{pi}{2} sum_{n=0}^{infty }left [ frac{(2n)!}{2^{2n}left(n!right)^{2}} right ]^{2}k^{2n})]
- [math(displaystyle E(k) =frac{pi}{2} left[1- sum_{n=1}^{infty }left [ frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} right ]^{2} frac{k^{2n}}{2n-1} right] )]
[1] 이때 팩토리얼 기호가 자연수에 한해서 정의된다는 성질 때문에 조합 기호는 [math(displaystyle binomalpha n = frac 1{n!} prod_{i=0}^{n-1} left(alpha -i right))[2] 복소수를 받을 수 있는 감마 함수를 쓰면 되지 않나? 싶지만 감마 함수는 정의 자체가 어렵게 되어 있어서 여기다 쓰기엔 배보다 배꼽이 더 크다.[3] 즉, 쌍곡선 함수와 삼각함수가 복소수를 통해 매개된다는 사실을 바탕으로, 쌍곡선 함수 [math(coth x)[4] 특히 아크탄젠트는 어느정도냐 하면 십만개의 항까지 계산해야 [math(3.1415mathbf{8}cdotscdots)[5] 사실 이건 테일러 급수 중 [math(a=0)[6] 애초에 식에 포함되는 베르누이 수열이 [math(coth x)