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1. 개요
Faulhaber's Formula
자연수 [math(k)]에 대한 거듭제곱 [math(k^c)]의 합
자연수 [math(k)]에 대한 거듭제곱 [math(k^c)]의 합
[math(displaystyle sum_{k=1}^n k^c = 1^c + 2^c + 3^c + cdotscdots + left(n-1 right)^c + n^c)]
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2. 상세
일반식은 다음과 같이 주어진다.
[math(displaystyle begin{aligned} sum_{k=1}^n k^c &= sum_{k=0}^c frac{left( -1 right)^k}{c+1} binom{c+1}k B_k n^{c+1-k} \ &= frac 1{c+1} B_0 n^{c+1} - B_1 n^c + frac c2 B_2 n^{c-1} - frac{c left(c-1 right)}6 B_3 n^{c-2} + cdotscdots + frac{left( -1 right)^{c-1} c}2 B_{c-1} n^2 + left( -1 right)^c B_c n \ &= frac 1{c+1} n^{c+1} + frac 12 n^c + frac c{12} n^{c-1} + cdotscdots + frac{left( -1 right)^{c-1} c}2 B_{c-1} n^2 + left( -1 right)^c B_c n end{aligned})]
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여기서 [math(B_k)]는 베르누이 수열로 자세한 것은 해당 문서 참조. [math(k=1)]일 때 [math(B_1 ^+ = dfrac 12)]이 되는 베르누이 수열 [math(B_k ^+)]를 사용할 경우 [math(B_k ^+ = left( -1 right)^k B_k)]이므로 식 형태는 좀 더 깔끔해진다.[2]라 정의했다. 오늘날에는 생성함수를 통해 더 엄밀하게 정의할 수 있기 때문에 [math(B_1 = -dfrac 12)]이 되는 베르누이 수열을 [math(B_k)]라고 정의한다.]
식 자체는 복잡해보이지만 [math(B_k = b^k)]로 치환하면 위의 식은 이항정리를 풀어서 쓴 형태와 유사하다는 걸 알 수 있다.
식 자체는 복잡해보이지만 [math(B_k = b^k)]로 치환하면 위의 식은 이항정리를 풀어서 쓴 형태와 유사하다는 걸 알 수 있다.
[math(displaystyle sum_{k=0}^c frac{left( -1 right)^k}{c+1} binom{c+1}k B_k n^{c+1-k} = sum_{k=0}^c frac 1{c+1} binom{c+1}k left( -b right)^k n^{c+1-k} = frac{left( n-b right)^{c+1} - left( -b right)^{c+1}}{c+1})]
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파울하버는 베르누이가 공식을 발견하기 전에 [math(c)]가 홀수일 경우에 대한 규칙성을 발견하고 [math(c=17)]까지의 식을 제시한 인물로 공식 자체를 증명한 사람은 아니지만, 이와 관련이 있는 '파울하버 다항식'을 먼저 발견한 업적이 있어서인지 파울하버의 이름이 붙은 쪽이 더 유명하다.[3]
2.1. 간략화
베르누이 수열 문서에도 나와있듯이 [math(k ne 1)]인 홀수이면 [math(B_k = 0)]이라는 성질이 있고 [math(k=1)]일 때의 항은 수식 구조상 반드시 [math(dfrac 12 n^c)]가 나오기 때문에 [math(c)]가 홀수일 경우와 짝수일 경우에 따라 다음과 같이 간략화할 수 있다. 자연수 [math(m)]에 대해
[math(c = 2m-1)]이면 [math(B_{c+2} = 0)]이고 항은 [math(k=c-1=2m-2)]까지 존재하므로
[math(c = 2m-1)]이면 [math(B_{c+2} = 0)]이고 항은 [math(k=c-1=2m-2)]까지 존재하므로
[math(displaystyle sum_{k=1}^n k^{2m-1} = frac 12 n^{2m-1} + sum_{k=0}^{m-1} frac 1{2m} binom{2m}{2k} B_{2k} n^{2 left(m-kright)})]
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[math(c = 2m-2)]이면 [math(B_c ne 0)]이므로
[math(displaystyle sum_{k=1}^n k^{2m-2} = frac{1-delta_{1, m}}2 n^{2m-2} + sum_{k=0}^m frac 1{2m-1} binom{2m-1}{2k} B_{2k} n^{2 left( m-k right)-1})]
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[math(delta_{1, m})]은 크로네커 델타이다. [math(m=1)], 즉 [math(c=0)]인 경우 따로 분리시켰던 [math(k=1)]일 때의 항을 제거하기 위해 덧붙인 함수이다.
3. 역사
당초 베르누이 자신의 표기법은 다음과 같았는데, 재미있는 것은 그가 죽고 난 뒤 출판된 《추측술》(Ars Conjectandi, 1713)이란 저서에 공식만 덩그러니 놓여있었을 뿐 증명이 같이 실려있지 않았다(……)는 점이다. 엄밀한 증명은 후대에 야코비에 의해 이루어졌다.
[math(displaystyle sum_{k=1}^n k^c = frac{n^{c+1}}{c+1} + frac 12 n^c + sum_{k=2}^c frac{B_k}{k!} c^{underline{k-1}} n^{c+1-k})]
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여기서 [math(c^{underline{k-1}})]은 하강 계승으로 [math(c^{underline{k-1}} = dfrac{c!}{(c-k+1)!})]이며, 이 관계를 이용하면 [math(c^{underline{-1}} = dfrac 1{c+1})], [math(c^{underline 0} = 1)]이므로 거듭제곱 합의 공식은 더 간략하게
[math(displaystyle sum_{k=1}^n k^c = sum_{k=0}^c frac{B_k}{k!} c^{underline{k-1}} n^{c+1-k})]
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로 나타낼 수 있다. 오늘날 생성 함수를 이용해서 정의된 베르누이 수열을 기준으로 따지면 이 식의 베르누이 수열은 [math(B_k^-)]가 아닌 [math(B_k^+)]에 해당하므로
[math(displaystyle begin{aligned} sum_{k=1}^n k^c &= sum_{k=0}^c frac{B_k^+}{k!} c^{underline{k-1}} n^{c+1-k} = sum_{k=0}^c frac{left( -1 right)^k B_k}{k!} c^{underline{k-1}} n^{c+1-k} = sum_{k=0}^c left( -1 right)^k B_k frac{c!}{k! left( c-k+1 right) !} n^{c+1-k} \ &= sum_{k=0}^c frac{left( -1 right)^k}{c+1} binom{c+1}k B_k n^{c+1-k} end{aligned})]
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4. 유도
[math(displaystyle begin{aligned} sum_{k=1}^n left( e^x right)^k &= frac {e^x left(e^{nx}-1 right)}{e^x-1} = frac{e^{nx}-1}{1 - e^{-x}} = frac{e^{nx}-1}x frac x{1 - e^{-x}} = frac 1x left{ sum_{c=0}^infty frac{left( nx right)^c}{c!} - 1 right} sum_{k=0}^infty frac{B_k^+ x^k}{k!} = sum_{c=1}^infty frac{n^c x^{c-1}}{c!} sum_{k=0}^infty frac{B_k^+ x^k}{k!} \ &= sum_{c=0}^infty frac{n^{c+1} x^c}{(c+1)!} sum_{k=0}^infty frac{B_k^+ x^k}{k!} = sum_{c=0}^infty sum_{k=0}^c frac{B_k^+ x^k}{k!} frac{n^{c-k+1} x^{c-k}}{(c-k+1)!} = sum_{c=0}^infty sum_{k=0}^c frac{(c+1)!}{k! left( c-k+1 right)!} frac{B_k^+ n^{c+1-k} x^c}{(c+1)!} \ &= sum_{c=0}^infty sum_{k=0}^c binom{c+1}k frac{B_k^+ n^{c+1-k}}{c+1} frac{x^c}{c!} = sum_{c=0}^infty left{sum_{k=0}^c frac{left( -1 right)^k}{c+1} binom{c+1}k B_k n^{c+1-k} right} frac{x^c}{c!} end{aligned})]
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한편
[math(displaystyle sum_{k=1}^n left( e^x right)^k = sum_{k=1}^n e^{kx} = sum_{k=1}^n sum_{c=0}^infty frac{left( kx right)^c}{c!} = sum_{c=0}^infty sum_{k=1}^n k^c frac{x^c}{c!} = sum_{c=0}^infty left(sum_{k=1}^n k^c right) frac{x^c}{c!})]
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위 두 식이 같아야하므로 [math(displaystyle sum_{k=1}^n k^c = sum_{k=0}^c frac{left( -1 right)^k}{c+1} binom{c+1}k B_k n^{c+1-k})]가 얻어진다.
5. 예시
[math(displaystyle begin{aligned} sum_{k=1}^n k &= frac 12 left( B_0 n^2 - 2 B_1 n right) = frac 12 left( n^2 + n right) = frac{ n left( n+1 right)}2 \ sum_{k=1}^n k^2 &= frac 13 left( B_0 n^3 - 3 B_1 n^2 + 3 B_2n right) = frac 13 left( n^3 + frac 32 n^2 + frac 12 n right) = frac{2n^3 + 3n^2 + n}6 = frac{n left(n +1 right) left(2n + 1 right)}6 \ sum_{k=1}^n k^3 &= frac 14 left( B_0 n^4 - 4 B_1 n^3 + 6 B_2 n^2 right) = frac 14 left( n^4 + 2n^3 + n^2 right) = left{ frac{n left(n+1 right)}2 right}^2 \ sum_{k=1}^n k^4 &= frac 15 left( B_0 n^5 - 5 B_1 n^4 + 10 B_2 n^3 + 5 B_4 n right) = frac 15 left(n^5 + frac 52 n^4 + frac 53 n^3 - frac 16n right) = frac{6n^5 + 15n^4 + 10n^3 - n}{30} = frac{n left(n+1 right) left(2n+1 right) left(3n^2+3n-1 right)}{30} end{aligned})]
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6. 대한민국 교육과정
대한민국 고등학교 교육과정에서 수열의 합을 다룰 때 [math(cge4)] 범위는 안 다룬다. [math(c = 1,,2,,3)]일 때 공식을 유도하는 원리조차 다르며[4]을 [math(k=1)]부터 [math(k=n)]까지 모조리 더해서 [math(displaystyle (n+1)^c -1 = csum_{k=1}^n k^{c-1} + sum_{k=1}^nleft(sum_{i=0}^{c-2} binom cik^iright))]로 만들고, 이항하면 [math(displaystyle sum_{k=1}^n k^{c-1} = dfrac1cleft{(n+1)^c -1 -sum_{k=1}^nleft(sum_{i=0}^{c-2} binom cik^iright)right})]이 되므로 우변의 [math(displaystylesum_{k=1}^nleft(sum_{i=0}^{c-2} binom cik^iright))]에 대해 이미 알고있는 합의 공식들을 모두 대입해서 유도하는 방식을 쓴다.그야말로 개노가다 [math(k^{c-1} = k^2)] 또는 [math(k^3)] 즉 [math(c = 3,,4)]라면 이 방법으로 충분히 구할 수 있으나 [math(cge5)]가 되면 그야말로 개노가다의 산물이 된다. 한편, 본 문서에서 소개한 과정을 이해하려면 최소한 테일러 급수는 알고 있어야 하는데 이미 여기서부터 고등학교 범위를 한참 벗어났다.] 애초에 이 공식을 외운다 하더라도 베르누이 수열을 같이 외워두지 않으면 아무런 쓸모가 없으므로 자연수 거듭제곱의 합에 대해 이런 공식이 있다는 것 정도로만 알아두면 좋을 것이다.