분류
1. 개요
2. 볼록 정다포체의 조건
모든 차원의 볼록 정다포체의 경우, 한 ridge에[2] 두 개의 포가 모여야 하며, 하나의 peak에서 만나는 3개 이상의 포들이 이루는 이포각의[3] 합이 360°를 넘지 않아야 한다.
- 2차원 : 무수히 많은 볼록 정다각형을 만들 수 있다.
- 3차원 : 5가지의 볼록 정다면체가 존재한다.
- 정삼각형은 한 내각이 60°이고, 60°×6=360°이므로 6개 이상이 모이는 볼록 정다면체를 만들 수 없다.
- 정사각형은 한 내각이 90°이고, 90°×4=360°이므로 4개 이상이 모이는 볼록 정다면체를 만들 수 없다.
- 정육면체 : 정사각형 3개를 한 꼭짓점에 모아 만든다. 한 꼭짓점에서의 내각의 합 = 90°×3 = 270°
- 정오각형은 한 내각이 108°이고, 108°×4=432°이므로 4개 이상이 모이는 볼록 정다면체를 만들 수 없다.
- 정십이면체 : 정오각형 3개를 한 꼭짓점에 모아 만든다. 한 꼭짓점에서의 내각의 합 = 108°×3 = 324°
- 4차원 : 6가지의 볼록 정다포체가 존재한다.
- 정사면체는 한 이면각이 [math(cos^{-1}dfrac{1}{3})] ≈ 70.53°이고, 70.53°×6 = 423.18°이므로 6개 이상이 한 모서리에 모이는 볼록 정다포체를 만들 수 없다.
- 정육면체는 한 이면각이 90º이고, 90°×4=360°이므로 4개 이상이 한 모서리에 모이는 볼록 정다포체를 만들 수 없다.
- 정팔포체 : 정육면체 3개를 한 모서리에 모아 만든다. 한 모서리에서의 이면각의 합 = 90°×3 = 270°
- 정팔면체는 한 이면각이 [math(cos^{-1}left(-dfrac{1}{3}right))] ≈ 109.47°이고, 109.47°×4 = 437.88°이므로 4개 이상이 한 모서리에 모이는 볼록 정다포체를 만들 수 없다.
- 정이십사포체 : 정팔면체 3개를 한 모서리에 모아 만든다. 한 모서리에서의 이면각의 합 ≈ 109.47°×3 = 328.41°
- 정십이면체는 한 이면각이 [math(cos^{-1}left(-dfrac{1}{sqrt5}right))] ≈ 116.56°이고, 116.56°×4 = 466.24°이므로 4개 이상이 한 모서리에 모이는 볼록 정다포체를 만들 수 없다.
- 정백이십포체 : 정십이면체 3개를 한 모서리에 모아 만든다. 한 모서리에서의 이면각의 합 ≈ 116.56°×3 = 349.68°
- 정이십면체의 한 이면각은 [math(cos^{-1}left(-dfrac{sqrt5}{3}right))] ≈ 138.19º이므로, 138.19°×3 = 414.57°로 360°를 초과한다. 따라서 정이십면체로는 볼록 정다포체를 만들 수 없다.
- 5차원 이상 : 3가지의 볼록 정다포체가 존재한다.
- 정오포체의 한 이포각은 [math(cos^{-1}dfrac{1}{4})] ≈ 75.52°이고, 75.52°×5 = 377.6°이므로 5개 이상이 한 면에 모이는 볼록 정다포체를 만들 수 없다.
- 정팔포체의 경우 한 이포각은 90°이고, 90°×4=360°이므로 4개 이상이 한 면에 모이는 볼록 정다포체를 만들 수 없다. 4개가 모이는 허니컴은 {4, 3, 3, 4}으로 역시나 정사각형 테셀레이션이나 정육면체 허니컴처럼 자기쌍대.
- 정십육포체와 정이십사포체의 경우, 한 이포각이 120°이므로 3개가 한 면에 모이면 360°가 되므로 이들로 5차원 이상의 정다포체를 만들 수 없는 대신 정팔포체 4개가 모이는 것처럼 4차원 허니컴이 된다. 슐레플리 기호는 각각 {3, 3, 4, 3}과 {3, 4, 3, 3}.
- 정백이십포체의 한 이포각은 144°, 정육백포체의 이포각은 [math(dfrac{pi}{3} + cos^{-1}left(-dfrac{1}{4}right))] ≈ 164.47°이므로 이들로는 5차원 이상의 정다포체를 만들 수 없다.
- 6차원 이상의 n-단체의 이포각은 72°를 초과하고 90° 미만이다. 따라서 (n-1)-단체 3개 또는 4개를 모아 n-단체와 n-정축체를 만들 수 있다. n-초입방체의 경우 이포각이 무조건 90°이므로, 3개만 모을 수 있다.(4개가 모이면 무조건 허니컴이 된다). 따라서 5차원과 그 이상의 경우, 다음의 세 정다포체만이 존재한다.
- n-단체 = n차원 정(n+1)포체
- n-초입방체 = n차원 정(2n)포체
- n-정축체 = n차원 정2n포체