[include(틀:차원)] [include(틀:정다면체)] [include(틀:4차원 볼록 정다포체)] [include(틀:정다포체)] [목차] == 개요 == '''정다포체'''([[正]][[多]][[胞]][[體]])는 [[기하학]]에 등장하는 [[도형]]의 일종이다. n차원 유클리드 초공간에서 이루고 있는 서로 합동이고 regular인 (n-1)차원 다포체가 포로 이루어져 있으며, 각각의 (n-3)차원 다포체(이하 peak)에서 만나는 포의 개수가 같은 n차원 다포체를 말한다.[* 참고로 (n-1)차원 다포체를 영어로 facet이라 하는데, 여기서는 포(胞)로 번역했다. [[세포]] 할 때의 포 자이다.] 2차원의 경우 정다각형, 3차원의 경우 정다면체, 4차원 이상의 경우 정다포체라고 부른다. == 볼록 정다포체의 조건 == 모든 차원의 볼록 정다포체의 경우, 한 ridge에[* (n-2)차원 다포체를 ridge라고 한다.] 두 개의 포가 모여야 하며, 하나의 peak에서 만나는 3개 이상의 포들이 이루는 이포각의[* 내각과 이면각을 임의 차원으로 확장한 것.] 합이 360°를 넘지 않아야 한다. * 2차원 : '''무수히 많은''' 볼록 정다각형을 만들 수 있다. * 3차원 : '''5가지'''의 볼록 정다면체가 존재한다. * 정삼각형은 한 내각이 60°이고, 60°×6=360°이므로 6개 이상이 모이는 볼록 정다면체를 만들 수 없다. * '''[[정사면체]]''' : 정삼각형 3개를 한 꼭짓점에 모아 만든다. 한 꼭짓점에서의 내각의 합 = 60°×3 = 180° * '''[[정팔면체]]''' : 정삼각형 4개를 한 꼭짓점에 모아 만든다. 한 꼭짓점에서의 내각의 합 = 60°×4 = 240° * '''[[정이십면체]]''' : 정삼각형 5개를 한 꼭짓점에 모아 만든다. 한 꼭짓점에서의 내각의 합 = 60°×5 = 300° * 정사각형은 한 내각이 90°이고, 90°×4=360°이므로 4개 이상이 모이는 볼록 정다면체를 만들 수 없다. * '''[[정육면체]]''' : 정사각형 3개를 한 꼭짓점에 모아 만든다. 한 꼭짓점에서의 내각의 합 = 90°×3 = 270° * 정오각형은 한 내각이 108°이고, 108°×4=432°이므로 4개 이상이 모이는 볼록 정다면체를 만들 수 없다. * '''[[정십이면체]]''' : 정오각형 3개를 한 꼭짓점에 모아 만든다. 한 꼭짓점에서의 내각의 합 = 108°×3 = 324° * 4차원 : '''6가지'''의 볼록 정다포체가 존재한다. * 정사면체는 한 이면각이 [math(\cos^{-1}\dfrac{1}{3})] ≈ 70.53°이고, 70.53°×6 = 423.18°이므로 6개 이상이 한 모서리에 모이는 볼록 정다포체를 만들 수 없다. * '''[[정오포체]]''' : 정사면체 3개를 한 모서리에 모아 만든다. 한 모서리에서의 이면각의 합 ≈ 70.53°×3 = 211.59° * '''[[정십육포체]]''' : 정사면체 4개를 한 모서리에 모아 만든다. 한 모서리에서의 이면각의 합 ≈ 70.53°×4 = 282.12° * '''[[정육백포체]]''' : 정사면체 5개를 한 모서리에 모아 만든다. 한 모서리에서의 이면각의 합 ≈ 70.53°×5 = 352.65° * 정육면체는 한 이면각이 90º이고, 90°×4=360°이므로 4개 이상이 한 모서리에 모이는 볼록 정다포체를 만들 수 없다. * '''[[정팔포체]]''' : 정육면체 3개를 한 모서리에 모아 만든다. 한 모서리에서의 이면각의 합 = 90°×3 = 270° * 정팔면체는 한 이면각이 [math(\cos^{-1}\left(-\dfrac{1}{3}\right))] ≈ 109.47°이고, 109.47°×4 = 437.88°이므로 4개 이상이 한 모서리에 모이는 볼록 정다포체를 만들 수 없다. * '''[[정이십사포체]]''' : 정팔면체 3개를 한 모서리에 모아 만든다. 한 모서리에서의 이면각의 합 ≈ 109.47°×3 = 328.41° * 정십이면체는 한 이면각이 [math(\cos^{-1}\left(-\dfrac{1}{\sqrt5}\right))] ≈ 116.56°이고, 116.56°×4 = 466.24°이므로 4개 이상이 한 모서리에 모이는 볼록 정다포체를 만들 수 없다. * '''[[정백이십포체]]''' : 정십이면체 3개를 한 모서리에 모아 만든다. 한 모서리에서의 이면각의 합 ≈ 116.56°×3 = 349.68° * 정이십면체의 한 이면각은 [math(\cos^{-1}\left(-\dfrac{\sqrt5}{3}\right))] ≈ 138.19º이므로, 138.19°×3 = 414.57°로 360°를 초과한다. 따라서 정이십면체로는 볼록 정다포체를 만들 수 없다. * 5차원 이상 : '''3가지'''의 볼록 정다포체가 존재한다. * 정오포체의 한 이포각은 [math(\cos^{-1}\dfrac{1}{4})] ≈ 75.52°이고, 75.52°×5 = 377.6°이므로 5개 이상이 한 면에 모이는 볼록 정다포체를 만들 수 없다. * 정팔포체의 경우 한 이포각은 90°이고, 90°×4=360°이므로 4개 이상이 한 면에 모이는 볼록 정다포체를 만들 수 없다. 4개가 모이는 허니컴은 {4, 3, 3, 4}으로 역시나 정사각형 테셀레이션이나 정육면체 허니컴처럼 자기쌍대. * 정십육포체와 정이십사포체의 경우, 한 이포각이 120°이므로 3개가 한 면에 모이면 360°가 되므로 이들로 5차원 이상의 정다포체를 만들 수 없는 대신 정팔포체 4개가 모이는 것처럼 4차원 허니컴이 된다. 슐레플리 기호는 각각 {3, 3, 4, 3}과 {3, 4, 3, 3}. * 정백이십포체의 한 이포각은 144°, 정육백포체의 이포각은 [math(\dfrac{\pi}{3} + \cos^{-1}\left(-\dfrac{1}{4}\right))] ≈ 164.47°이므로 이들로는 5차원 이상의 정다포체를 만들 수 없다. * 6차원 이상의 n-단체의 이포각은 72°를 초과하고 90° 미만이다. 따라서 (n-1)-단체 3개 또는 4개를 모아 n-단체와 n-정축체를 만들 수 있다. n-초입방체의 경우 이포각이 무조건 90°이므로, 3개만 모을 수 있다.(4개가 모이면 무조건 허니컴이 된다). 따라서 5차원과 그 이상의 경우, 다음의 세 정다포체만이 존재한다. * '''n-단체''' = n차원 정(n+1)포체 * '''n-초입방체''' = n차원 정(2n)포체 * '''n-정축체''' = n차원 정2^^n^^포체 == 관련 문서 == * [[다각형]] * [[정다면체]] * [[4차원 정다포체]] [[분류:기하학]]