분류
파일:external/upload.wikimedia.org/Schlegel_wireframe_600-cell_vertex-centered.png
정육백포체
파일:external/upload.wikimedia.org/600-cell.gif
회전하는 정육백포체의 3차원 투영 모습.[1]
1. 개요
正六百胞體/600-cell, 또는 Regular hexacosichoron(복수는 -chora)
한 개의 모서리에 다섯 개의 정사면체가 만나고, 총 육백 개의 정사면체로 이루어진 정다포체. 볼록한 4차원 정다포체 중에서 가장 많은 수의 입체로 이루어져있다. 정사면체의 이웃한 두 면이 이루는 각이 [math(cos^{-1}dfrac{1}{3}approx70.53^circ)]인데, 정사면체 5개가 한 모서리에 만날 때 약 70.53º×5 = 352.65º로 360º 이하이기 때문에 볼록 정다포체를 만들 수 있으나, 정사면체 6개가 한 모서리에 만난다고 가정하면 70.53º×6 = 423.18º로 360º를 초과하기 때문에 볼록 정다포체를 만들 수 없다. 7개 이상의 정사면체가 한 모서리에 만나는 볼록한 정다포체 또한 한 모서리에 모이는 정다면체의 각의 합이 이보다 크기 때문에 당연히 만들 수 없다. 따라서 정육백포체는 정사면체로 만들 수 있는 4차원 볼록 정다포체들 중 구성 입체의 수가 가장 많다. 이렇게 구성 입체가 많이 필요한 이유는 정사면체 5개가 한 모서리에 모였을 때 남는 틈이 7.35º로 작아서[2] 4차원 방향으로 접었을 때 굴곡이 약간밖에 생기지 않기 때문이다.
한 개의 모서리에 다섯 개의 정사면체가 만나고, 총 육백 개의 정사면체로 이루어진 정다포체. 볼록한 4차원 정다포체 중에서 가장 많은 수의 입체로 이루어져있다. 정사면체의 이웃한 두 면이 이루는 각이 [math(cos^{-1}dfrac{1}{3}approx70.53^circ)]인데, 정사면체 5개가 한 모서리에 만날 때 약 70.53º×5 = 352.65º로 360º 이하이기 때문에 볼록 정다포체를 만들 수 있으나, 정사면체 6개가 한 모서리에 만난다고 가정하면 70.53º×6 = 423.18º로 360º를 초과하기 때문에 볼록 정다포체를 만들 수 없다. 7개 이상의 정사면체가 한 모서리에 만나는 볼록한 정다포체 또한 한 모서리에 모이는 정다면체의 각의 합이 이보다 크기 때문에 당연히 만들 수 없다. 따라서 정육백포체는 정사면체로 만들 수 있는 4차원 볼록 정다포체들 중 구성 입체의 수가 가장 많다. 이렇게 구성 입체가 많이 필요한 이유는 정사면체 5개가 한 모서리에 모였을 때 남는 틈이 7.35º로 작아서[2] 4차원 방향으로 접었을 때 굴곡이 약간밖에 생기지 않기 때문이다.
2. 정보
{3,3,5}
| |
꼭짓점(vertex, 0차원)
| 120개
|
모서리(edge, 1차원)
| 720개
|
면(face, 2차원)
| 정삼각형 1200개
|
포(cell, 3차원)
| 정사면체 600개
|
쌍대
| |
이포각
| [math(dfrac{pi}{3} + cos^{-1}(-dfrac{1}{4}))]
(약 164.4775˚) |
포함 관계
또는 다른 이름 |
한 변의 길이가 [math(a)]인 정육백포체가 있을 때
총 모서리 길이(total edge length) = [math(720a)]
총 면적(total surface area) = [math(300sqrt{3}a^2)]
겉부피(surcell volume) = [math(50sqrt{2}a^3)]
초부피(bulk) = [math(dfrac{25}{4}(2+sqrt{5})a^4)]