Magnetic field intensity

전기장에서 물질의 효과를 고려한 전기 변위장을 도입했듯, 자기장에서도 자화 물질의 효과를 고려한 새로운 장을 생각할 필요가 있어 나오게 된 물리량이다.

매질의 자화와 관계없이 정의할 수 있으며 매질 외부에서 실험적으로 조절하는 것이 간단하다. 실험적 편의 때문인지 전기 변위장과는 비교도 할 수 없을 만큼 자주 언급된다.

기호로는 [math(mathbf{H})]로 나타내며, 단위는 [math(textrm{A/m})]가 된다. [math(mathbf{B} = mu mathbf{H})]라는 관계가 성립한다. (단, [math(mu)]는 매질의 투자율, [math(mathbf{B})]는 자기장이다.)

[math(mathbf{H})]라는 표기는 1873년 맥스웰의 저서 《전기자기론(A Treatise on Electricity and Magnetism)》에서 유래하였다.

로마자 기호를 따라 '[math(mathbf{H})]-field'라고 부르기도 한다. 마찬가지로 다른 주요장인 자기장, 전기장, 전기 변위장도 편하게 [math(mathbf{B})]-field, [math(mathbf{E})]-field, [math(mathbf{D})]-field라고 부르기도 한다.

명칭에 대한 논쟁이 있다. [math(mathbf{B})]-field를 자기장이라 부르는 사람과 [math(mathbf{B})]-field 대신 [math(mathbf{H})]-field를 자기장이라 부르는 사람이 있다. [math(mathbf{H})]-field를 자기장이라 부르는 사람들은 [math(mathbf{B})]-field를 '자속밀도'나 '자기 유도'라 표현한다. 맥스웰도 《전기자기론》에서 [math(mathbf{B})]-field를 자기 유도(magnetic induction)라 부르고 [math(mathbf{H})]-field를 자기장(magnetic field)이라고 불렀다. 반대로 [math(mathbf{B})]-field만을 자기장이라 부르는 게 타당하고 [math(mathbf{H})]-field는 다르게 불러야 한다고 주장하는 사람들은 [math(mathbf{B})]-field를 '자속밀도'나 '자기 유도'라 부르는 것을 매우 싫어한다. 해당 표현들은 이미 다른 의미로도 사용되고 있기 때문이다.

일반적으로는 [math(mathbf{B})]-field와 [math(mathbf{H})]-field 둘 모두를 자기장이라고 통용해서 부른다. 이 때문에 위키피디아에서도 Magnetic field를 검색하면 [math(mathbf{B})]-field와 [math(mathbf{H})]-field를 모두 서술하고 있다. 어쨌든 [math(mathbf{B})]-field와 [math(mathbf{H})]-field는 서로 다른 물리량이며, 용어의 혼선이 있을 수 있기 때문에 주의하여야 한다. 심지어 이 용어의 혼선 때문에 맥스웰조차도 계산 실수를 한 적이 있다!

[math(mathbf{H})]-field에 대해 한국어로는 '자기 강도', '자계 강도', '자계 세기', '보조장' 등으로, 원어도 'Magnetic field intensity', 'Magnetic field strength', 'Auxiliary magnetic field', 'Magnetic field'[1] 등으로 다양한 명칭이 쓰이고 있다. 여기서는 가장 통용되는 'Magnetic field intensity'를 택했으며, 번역명은 한국물리학회가 2016년에 발행한 용어집에 따랐다.

별 말이 없는 이상 이 문서는 정자기학의 자기장 세기를 다룬다.

어떤 물질에 자화가 일어나면, 물질 내에 있는 자기 쌍극자는 외부 자기장 방향[2]으로 정렬하게 된다. 따라서 단위 부피 당 들어있는 자기 쌍극자 [math(mathbf{m})]을 나타내는 자화 밀도(Magnetization) [math(mathbf{M})]을 도입한다. 따라서

로 쓸 수 있고, 이것을 일반적인 상황에 대해 쓰면,

가 된다.

자화 물질이 자화가 되면 물질 내부엔 자기 쌍극자가 정렬하게 된다고 하였다. 이때, 자기 쌍극자에선 전류가 흐르므로 자화가 되면 물질 내부엔 자화 전류가 흐른다. 이때, 부피와 관련된 자화 전류 밀도를 [math(mathbf{J}_{m})], 면적과 관련된 자화 전류 밀도를 [math(mathbf{K}_{m})]이라 한다.

자기 쌍극자 문서에서 자기 쌍극자의 자기 퍼텐셜은 아래와 같이 주어짐을 보았다.

자화 밀도 [math(mathbf{M})]을 도입하면,

이때, 분리 벡터 [math(boldsymbol{xi} equiv mathbf{r-r'})]를 도입하면,

가 된다. [math(V)]는 자화 물질에 해당하는 부피 영역이다. 이때,

를 고려하자. 프라임은 원천 지점([math(mathbf{r'})])을 기준으로 연산을 취한다는 뜻에서 붙였다. 따라서 위 식은

벡터 항등식

을 사용하면,

아래 식은 Green 항등식을 사용하면, 아래와 같은 꼴로 쓸 수 있다.

이때, 자화 전류 밀도가 존재한다면,

이 만족해야 하므로 아래를 얻는다.

따라서 위 관계식을 이용하면, 자화 전류 밀도를 찾을 수 있다.

윗 문단에서 논의했던 벡터 퍼텐셜

에 관측지점([math(mathbf{r})])에 대한 회전 연산을 취하면, 자기장은 결정된다. 즉,

이고, 벡터 항등식을 사용하면,

이때, 우변의 제 1항은

이 되고, 여기서 [math(delta(boldsymbol{xi}))]는 디랙 델타 함수이다. 또한, 제 2항은 좀 더 유용한 꼴로 바꿀 수 있으며,

우변의 제 2항은 없어지므로

가 된다. 최종적으로

이때, 그레이디언트 연산은 적분과 독립적이므로 적분 안으로 나올 수 있으므로 위 항들은 아래와 같이 정리되게 된다.

따라서 자화 물질에 의한 자기 스칼라 퍼텐셜은

이 나오게 된다. 따라서

로 쓸 수 있다. 후술하겠지만, 이러한 자기 스칼라 퍼텐셜은 자유 전류 밀도가 없는 곳에서만 정의될 수 있고, 자화 물질 자체의 퍼텐셜을 셈했으므로 이러한 조건에 맞게 퍼텐셜을 구했으므로 이 방법은 유효하다.


더 나아가서 퍼텐셜의 형태를 보면,

로, 전기 변위장 문서에서 편극성 물질의 스칼라 퍼텐셜을 구했을 때와 동일한 형태라는 것을 알 수 있다. 따라서 이 퍼텐셜 또한 전기 변위장 문서의 방법에 따라 분해할 수 있고,

가 된다. 여기서

으로 자화 전하 밀도가 나오게 되는데, 중요한 것은 이 항은 수학적 처리를 하면서 얻어진 항이라는 점을 명심해야 한다. 멀리 나갈 필요 없이 자기장은 홀극이 존재하지 않는데도 위에선 마치 자기장 문제를 정전기학의 '전하'의 개념을 빌려서 퍼텐셜을 구할 수 있을 것처럼 서술되어 있는 것에서 유추할 수 있다.[3] 하지만 이러한 것은 유용하게 작용하게 되는데, 자기장은 전기장에 비해 직관적 이해가 어렵다. 하지만 정전기학과 유사한 '전하'의 개념을 빌려 마치 극이 있는 마냥 문제를 바라보고 풀면 쉽게 문제를 풀 수 있고, 명백히 스칼라 퍼텐셜 기법은 벡터 퍼텐셜 기법보다 연산 면에서도 더 쉽다. 서술했듯, 자기 홀극은 존재하지 않으므로

임이 성립하여야 하고, 수학적으로도 이게 성립한다는 것은 쉽게 보일 수 있다. 이상을 종합하여, 자화 물질에서 자기장은 아래와 같이 주어진다.

어떤 물질에 자화가 되었다면 자화 전류가 흐른다. 그러나, 외부 자기장이 가해졌다면, 자유 전류가 흐를 수 있다. 따라서 물질 속에서는 자화 부피 전류 밀도 [math(mathbf{J}_{m})]과 자유 부피 전류 밀도 [math(mathbf{J}_{f})] 모두 존재할 수 있으므로 앙페르 법칙은 아래와 같이 쓸 수 있다.

이때, 윗윗 문단에서 [math(mathbf{J}_{m}=boldsymbol{nabla} times mathbf{M})]이었으므로

이것을 다시쓰면,

꼴로 쓸 수 있고, 여기서 나온 항

을 자기장 세기라 한다. 개요 문단에서도 언급했지만, 가장 큰 특징은 매질에 상관없는 장이라는 점이다. 따라서

로 쓸 수 있고, 양변을 적분하면,

여기서 우변은 자유 전류 [math(I_{f})]이고, 좌변은 스토크스 정리를 사용하면,

로 쓸 수 있다.

물질이 선형적이고, 등방적이라면, 자화 물질의 자화 밀도는 다음과 같은 꼴로 나타내어질 수 있다.

따라서,

로 쓸 수 있다. 계속해서 [math(1+chi equiv kappa_{m})], [math(mu_{0}kappa_{m} equiv mu)]라 정의하면,

로 쓸 수 있다. 이때, [math(kappa_{m})]은 '자기 감수율(Magnetic susceptibility)'이고, [math(mu)]는 그 물질의 투자율이다.

자기장은 비발산장으로, [math(boldsymbol{nabla} cdot mathbf{B}=0)]이 성립함을 자기장 문서에서 보았다. 다만, 우리가 다루는 '자기장 세기'는

가 되어, 일반적으로

가 되므로 주의하여야 한다.

기존의 맥스웰 방정식중 하나인 앙페르의 법칙은 진공에서 정의되었다. 가장 일반적으로 이 법칙에 따르면

이제 진공이 아닌 물체가 공간을 꽉꽉 체우고 있다고 생각한다. 이 공간에 임의의 자유 전류 [math(I_f)]를 흘려보낸다. 이 전류는 자기장을 일으키며, 이 자기장은 물체를 이루고 있는 원자들에게 영향을 미친다. 하지만 원자들은 자기 모멘트를 지니고 있다! 자기 모멘트는 전류 폐곡선과 수학적으로 동일하며, 외부로부터 자기장이 걸릴시 자기 모멘트는 이 외부 자기장과 똑같은 방향으로 정렬하려고 할 것이다. 앞에서 말했듯이 자기 모멘트는 전류 폐곡선과 동치인데, 이렇게 작은 전류 폐곡선들을 자기장과 정렬되면 [math(I_{text{enc}})]가 바뀐다. 이 변화량을 [math(I_i)]라하면 앙페르의 법칙은

일일이 [math(I_i)]를 고려하기엔 너무 골치가 아프다. 그래서 우항의 [math(I_i)]를 좌항의 자기장과 '합체'시켜 새로운 장을 정의하자.

일단 폐곡선인 [math(l)]의 미소 길이을 둘러싼 작은 미소 폐곡선 [math(Delta S)]를 고려하자. 폐곡선을 새로 뚫는 유도 전류는 전부 폐곡선 바로 근처에 있다. 따라서 폐곡선의 길이당 전류는 [math({(I_a cdot A)}/{Delta A})]다. 여기서 [math(I_a)]가 미소부피 안에 있는 폐곡선 전류량[4], [math(A)]는 미소 폐곡선 내부의 넓이이다. 이제 이 물리량을 폐곡선 전체에 대해 선미분하면 [math(I_i)]가 주어진다. 하지만 여기서 [math(I_a cdot A)]는 미소 부피 안에있는 작은 자기장 모멘트 [math(mathbf{m})]와 같다. 이제 정리하면

우항을 '자하 밀도'라 정하고, [math(mathbf{M})]이라 칭한다. 방향은 오른손 법칙으로 정의한다.[5] 자유 전류가 일직선이라고 잠시 상상해보자.[6] 이 전류는 주위를 "맴도는" 자기장을 만든다.[7] 이 자기장의 회전 방향으로 앙페르 폐곡선을 만든다. 이 폐곡선의 방향과 자기장 모멘트 벡터들의 방향이 일치하면, 자기장 모멘트와 동치인 자화 전류들이, 기존의 자유 전류와 똑같은 방향으로 이 폐곡선을 관통한다. 그래서 간단한 벡터 선적분으로 위에 관계를 '벡터화' 시킬 수 있다.

예를 들어 모든 자기 모멘트가 폐곡선과 직각을 이룬다면, 선적분은 0이다. 직각이면 자화 전류가 폐곡선과 똑같은 평면에 있으니[8] 물리적으로 [math(I_i)]가 0인게 말이 된다. 이제 위에서 두번째 식에 있는 앙페르 법칙에서 [math(I_i)]를 좌항으로 옮기면

그냥 간단한 진공에서의 앙페르 법칙과 유사하지 않은가? 더 이상 식에 직접적으로 자화 전류는 나타나지 않는다. 이제 마지막으로 자기장 세기를 정의한다.

위의 논의로 거시적인 정자기학의 방정식은 아래와 같이 요약된다고 할 수 있다.

이번에는 이들 장이 어떤 경계 조건을 가지는 지 살펴보자.

파일:namu_Magnetic_Potential_NEW_NEW.png

위 그림과 같이 각각의 자화 밀도가 각각 [math(mathbf{M}_{1})], [math(mathbf{M}_{2})]인 매질 1, 매질 2를 고려하자.

에서 위 그림과 같이 밑면의 면적이 [math(A)]이고, 높이가 [math(h)]인 원기둥의 표면 [math(S)]에 대하여,

을 만족하고, [math(h rightarrow 0)]의 극한을 취하면, 원기둥의 옆면에 기여하는 자기 선속은 상쇄된다. 매질 I에서 매질 II로 향하고, 경계면에 수직으로 향하는 벡터를 [math(hatmathbf{n})]으로 정하면,

이 되므로 다음을 얻는다.

따라서 자기장의 수직 성분은 경계면을 가로지를 때 연속이 된다. 또한 [math(mathbf{B}=mu_{0}(mathbf{H}+mathbf{M}))]임을 이용하면,

임을 쉽게 알 수 있다.

이번에는 [math(boldsymbol{nabla} times mathbf{H}=mathbf{J}_{f})]임을 이용하자. 맨 위 그림과 같은 사각 경로를 잡고, [math(h rightarrow 0)]의 극한을 취하면, 경계면을 가로지르는 부분에 대한 적분 값은 기여하지 않으므로

이 된다. 여기서 벡터 [math(hat{mathbf{t}})]는 경계면에 평행한 벡터이다. 이때, 이 값은 자유 전류가 되고, [math(h rightarrow 0)]의 극한을 취하므로 해당 폐곡선에 통과하는 자유 전류는 자유 표면 전류 밀도에 의한 표면 전류가 된다. 즉,

따라서 결과를 종합하면,

이 되고, 만약 자유 표면 전류 밀도가 존재하지 않는다면, 자기장 세기의 경계면과 접하는 성분은 연속이 됨을 쉽게 알 수 있다. 이것은 아래와 같이 좀 더 유용한 꼴로 바꿀 수 있다.

따라서 장의 경계 조건은 아래와 같이 요약할 수 있다.

이번에는 퍼텐셜의 경계 조건을 알아보도록 하자.

파일:나무_자기세기_경계조건_장3.png

위 그림과 같이 폐곡선을 잡도록 하자. 자기 선속(Magnetic flux)은

으로 자기 벡터 퍼텐셜을 이용하여 표현할 수 있다. 따라서 위 폐곡선 중 [math(h rightarrow 0)]의 극한을 취하면, 폐곡선을 둘러싸는 영역의 넓이는 0에 수렴하게 되고, 장 자체는 무한할 수 없으므로 [math(F rightarrow 0)]이 된다. 또한, 경계면을 가로지르는 부분에 대한 적분 값은 없으므로

이 만족하게 된다. 따라서 위의 결과로

로, 자기 벡터 퍼텐셜의 경계면의 접선 성분은 연속이 됨을 알 수 있다. 또한, 수직 성분 또한 경계면을 가로지를 때, 연속이 되는데 이것은 쿨롱 게이지 [math(boldsymbol{nabla} cdot mathbf{A}=0)]을 이용하면 쉽게 증명할 수 있다. 자기 퍼텐셜 문서를 참고하라.

이상의 조건을 종합하면,

를 만족해야 한다는 것이다.


자기 스칼라 퍼텐셜은 위에서 다뤘듯이,

이 성립하므로

이 된다. 따라서 위 그림에서 [math(textrm{a} rightarrow textrm{b})]로 갈 때,

이고, [math(r rightarrow 0)]의 극한을 취했을 때, [math(mathbf{H})]는 무한할 수는 없으므로

이상에서 다음을 얻는다.

다만, 주의해야할 것은 자기 스칼라 퍼텐셜은 자유 전류가 없을 때만 가능하며, 경계에 자유 전류가 존재할 경우엔 자기 스칼라 퍼텐셜이 정의되지 않는 부분이 생기므로 꼭 연속이라고 말할 수 없다.

다음을 고려하자.

이때, 벡터 퍼텐셜과 자기장의 관계에 의해


이고, 벡터 항등식을 사용하면,


으로 놓을 수 있고, 정자기학에서는 쿨롱 게이지(Coulomb Gauge) 조건


을 도입할 수 있으므로


가 나오게 된다. 이때, 직교 좌표계를 사용하면,


의 각 성분 마다의 푸아송 방정식을 얻는다.

자기장 세기에 대하여,

로 쓸 수 있음을 위해서 보았다. 그런데, [math(mathbf{J}_{f}=0)]인 구역에서


으로 [math(mathbf{H})]는 비회전장이 된다. 따라서 이때 자기 스칼라 퍼텐셜 도입이 가능해진다. 따라서


형태로 쓸 수 있고[9],


임을 이용하면,


로 푸아송 방정식이 얻어지고, 이것은 정전기학에서 다뤘던 것과 유사하다. 또한, [math(rho_{m}=0)]인 곳에서는 라플라스 방정식


이 된다. 학부 수준에서는 선형 물질을 다루기 때문에 [math(rho_{m}=0)]인 경우가 많으므로 이 방법으로 문제를 해결하는 것이 더 쉽다. 다만, 선형 물질이 아니더라도 [math(rho_{m}=0)]을 만족하는 경우가 몇몇 존재하기 때문에 반드시 이것을 구해보고 이 방법을 적용하는 게 현명하다.

전기장 문서에서 정전기적 평형 상태에서 도체 내부의 전기장이 0이 됨을 논의했다. 따라서 전기장 차폐의 경우 도체로만 둘러싸이게 하면, 쉽게 차폐할 수 있다.

다만, 자기장의 경우엔 현실적으로 완벽히 차폐할 수 없다. 그러나, 상대적으로 높은 투자율을 가진 물질 예로 들면, 금속에 둘러싸이게 하면, 어느정도 차폐가 되는 효과를 보인다. 아래의 예를 참고하라.

파일:나무_전자기차폐_구.png

위 그림과 같이 내부와 외부의 반지름이 [math(R_{1})], [math(R_{2})]인 구각(Spherical shell)을 고려하자. 구각의 투자율은 [math(mu_{1})]이고, 그 외 영역은 [math(mu_{2})]이다. 또한 외부에선 자기장 세기 [math(mathbf{H_{0}}=H_{0}hat{mathbf{z}})]를 걸어주고 있다. 외부에서 전류가 없는 상황이므로 자기 스칼라 퍼텐셜을 사용할 수 있고, 물질이 모두 선형적이라고 가정하면,

을 만족한다. 외부 자기장 세기에 의한 자기 퍼텐셜 [math(Phi_{0})]은

로 구할 수 있고, [math(d mathbf{r}=d mathbf{z})]로 택하면,

로 구해진다.[10] 또한, 해당 상황은 구면좌표계를 사용할 시 [math(phi)]에 대해서는 대칭성이 존재하므로 자기 퍼텐셜은 아래와 같은 꼴로 주어진다.

그런데 외부 자기장 세기에 의한 자기 퍼텐셜 항이 cosine 항에 비례하므로 편미분 방정식 해는 대칭성에 따라 cosine 항만 나오게 되므로 각 영역에 대한 퍼텐셜은

이때, [math(B)]가 존재하면, [math(r rightarrow 0)]일 때, [math(Phi_{1} rightarrow infty)]이므로 [math(B=0)]을 만족해야 한다. 또한, 자기장 세기 문서에서 논의했던 '정자기학의 경계조건'을 참고하면 아래와 같은 경계 조건을 만족해야 한다.

위 중 세, 네 번째는 자기장의 수직 성분이 경계면을 가로지를 때, 연속임을 이용한 것이다. 자세한 것은 자기장 세기 문서를 참고하라. 위 경계 조건을 만족하는 연립 방정식은

이 된다.[11]

이제부터는 관심있는 영역인 구각 내부([math(r<R_{1})]) 영역만을 살펴보기로 하자. 위의 방정식을 풀면,

와

를 얻을 수 있고, [math(mathbf{H} = -boldsymbol{nabla} Phi_{m})]을 이용하면,

임을 알 수 있다. 이때, [math(mu_{1} gg mu_{2})]일때, 상황을 고려하자. 위 자기장 세기는

이 되고, [math(mu_{1} gg mu_{2})]이므로 [math((mu_{2}/mu_{1}) , rightarrow ,0)]이 됨에 따라

으로 차폐가 일어남을 쉽게 보일 수 있다.