1. 개요
2. 자기 벡터 퍼텐셜
자기장은 일반적으로 발산이 0인 비발산장이다. 즉,
[math( displaystyle boldsymbol{nabla} boldsymbol{cdot} mathbf{B}=0 )]
이때, 자기장은 어떤 벡터의 회전이라 가정할 수 있다. 그 벡터를 [math(mathbf A)]라 하면
[math( displaystyle mathbf{B}=boldsymbol{nabla} times mathbf{A} )]
이며, 이것을 처음 식의 발산 연산에 대입하면 이것 또한 0인 것에서 그 타당성을 생각해볼 수 있다. 따라서 여기서 나온 벡터 [math(mathbf A)]를 "자기 벡터 퍼텐셜"이라 하며, 줄여서 "벡터 퍼텐셜"이라 하기도 한다.
[math( displaystyle boldsymbol{nabla} boldsymbol{cdot} mathbf{B}=0 )]
이때, 자기장은 어떤 벡터의 회전이라 가정할 수 있다. 그 벡터를 [math(mathbf A)]라 하면
[math( displaystyle mathbf{B}=boldsymbol{nabla} times mathbf{A} )]
이며, 이것을 처음 식의 발산 연산에 대입하면 이것 또한 0인 것에서 그 타당성을 생각해볼 수 있다. 따라서 여기서 나온 벡터 [math(mathbf A)]를 "자기 벡터 퍼텐셜"이라 하며, 줄여서 "벡터 퍼텐셜"이라 하기도 한다.
2.1. 유일성 여부
이때, 어떤 스칼라 [math(Phi)]에 그레이디언트 연산을 취했을 때,
[math( displaystyle mathbf{A'} equiv mathbf{A}+boldsymbol{nabla} Phi )]
를 고려하자. 이때, 양변에 회전 연산을 취하면,
[math( displaystyle boldsymbol{nabla} times mathbf{A'} =boldsymbol{nabla} times mathbf{A}+boldsymbol{nabla} times(boldsymbol{nabla} Phi) )]
벡터 해석학적으로 우변의 제2항은 0이 되므로
[math( displaystyle boldsymbol{nabla} times mathbf{A'} =boldsymbol{nabla} times mathbf{A} )]
이 되고, 두 퍼텐셜 [math(mathbf A)], [math(mathbf{A'})]은 같은 장을 기술하는 퍼텐셜임을 알 수 있다. 이 논의를 통해, 어떤 자기장을 기술하는 자기 벡터 퍼텐셜은 여러 개 존재한다는 사실을 알 수 있다. 즉, 한 장을 기술하는 자기 벡터 퍼텐셜은 유일하지 않다.
[math( displaystyle mathbf{A'} equiv mathbf{A}+boldsymbol{nabla} Phi )]
를 고려하자. 이때, 양변에 회전 연산을 취하면,
[math( displaystyle boldsymbol{nabla} times mathbf{A'} =boldsymbol{nabla} times mathbf{A}+boldsymbol{nabla} times(boldsymbol{nabla} Phi) )]
벡터 해석학적으로 우변의 제2항은 0이 되므로
[math( displaystyle boldsymbol{nabla} times mathbf{A'} =boldsymbol{nabla} times mathbf{A} )]
이 되고, 두 퍼텐셜 [math(mathbf A)], [math(mathbf{A'})]은 같은 장을 기술하는 퍼텐셜임을 알 수 있다. 이 논의를 통해, 어떤 자기장을 기술하는 자기 벡터 퍼텐셜은 여러 개 존재한다는 사실을 알 수 있다. 즉, 한 장을 기술하는 자기 벡터 퍼텐셜은 유일하지 않다.
2.2. 방정식
앙페르 법칙에서
[math( displaystyle boldsymbol{nabla} times mathbf{B} = mu_{0} mathbf{J} )]
임을 알 수 있었고, 자기 벡터 퍼텐셜을 이용하면
[math( displaystyle boldsymbol{nabla} times (boldsymbol{nabla} times mathbf{A} ) = mu_{0} mathbf{J} )]
로 쓸 수 있다. 이때, 벡터 항등식을 사용하면
[math( displaystyle nabla^{2} mathbf{A}- boldsymbol{nabla}(boldsymbol{nabla} boldsymbol{cdot} mathbf{A}) = -mu_{0} mathbf{J} )]
로 쓸 수 있다. 이때, 정자기학에서는 쿨롱 게이지(Coulomb gauge)를 도입하여 [math(boldsymbol{nabla} boldsymbol{cdot} mathbf{A}=0)]으로 둔다. 따라서 다음과 같은 식으로 정리된다.
[math( displaystyle nabla^{2} mathbf{A(r)}= -mu_{0} mathbf{J(r)} )]
이때, 직교 좌표계에서 위 식은 아래와 같이 푸아송 방정식으로 나온다.
[math( displaystyle nabla^{2} A_{i}(mathbf{r})= -mu_{0} J_{i}(mathbf{r}) qquad (i=x,,y,,z) )]
이것은 전기 퍼텐셜을 기술하는 푸아송 방정식과 모양이 유사하므로 이것의 해는
[math( displaystyle A_{i}(mathbf{r})=frac{mu_{0}}{4 pi} int frac{J_{i}(mathbf{r'})}{xi},dV ' qquad (i=x,,y,,z) )]
로 정리된다. 이때, [math(xi)]는 분리 벡터의 크기이다. 또한, 각 성분의 합으로 아래와 같이 쓸 수 있음을 얻는다.
[math( displaystyle mathbf{A(r)}=frac{mu_{0}}{4 pi} int frac{mathbf{J(r')}}{xi},dV ' )]
따라서, 위 방정식을 이용하면 자기 벡터 퍼텐셜을 구할 수 있다. 또한, 자기 벡터 퍼텐셜의 방향은 전류 밀도 방향과 같다는 것을 알 수 있다.
[math( displaystyle boldsymbol{nabla} times mathbf{B} = mu_{0} mathbf{J} )]
임을 알 수 있었고, 자기 벡터 퍼텐셜을 이용하면
[math( displaystyle boldsymbol{nabla} times (boldsymbol{nabla} times mathbf{A} ) = mu_{0} mathbf{J} )]
로 쓸 수 있다. 이때, 벡터 항등식을 사용하면
[math( displaystyle nabla^{2} mathbf{A}- boldsymbol{nabla}(boldsymbol{nabla} boldsymbol{cdot} mathbf{A}) = -mu_{0} mathbf{J} )]
로 쓸 수 있다. 이때, 정자기학에서는 쿨롱 게이지(Coulomb gauge)를 도입하여 [math(boldsymbol{nabla} boldsymbol{cdot} mathbf{A}=0)]으로 둔다. 따라서 다음과 같은 식으로 정리된다.
[math( displaystyle nabla^{2} mathbf{A(r)}= -mu_{0} mathbf{J(r)} )]
이때, 직교 좌표계에서 위 식은 아래와 같이 푸아송 방정식으로 나온다.
[math( displaystyle nabla^{2} A_{i}(mathbf{r})= -mu_{0} J_{i}(mathbf{r}) qquad (i=x,,y,,z) )]
이것은 전기 퍼텐셜을 기술하는 푸아송 방정식과 모양이 유사하므로 이것의 해는
[math( displaystyle A_{i}(mathbf{r})=frac{mu_{0}}{4 pi} int frac{J_{i}(mathbf{r'})}{xi},dV ' qquad (i=x,,y,,z) )]
로 정리된다. 이때, [math(xi)]는 분리 벡터의 크기이다. 또한, 각 성분의 합으로 아래와 같이 쓸 수 있음을 얻는다.
[math( displaystyle mathbf{A(r)}=frac{mu_{0}}{4 pi} int frac{mathbf{J(r')}}{xi},dV ' )]
따라서, 위 방정식을 이용하면 자기 벡터 퍼텐셜을 구할 수 있다. 또한, 자기 벡터 퍼텐셜의 방향은 전류 밀도 방향과 같다는 것을 알 수 있다.
2.3. 자기 선속과의 관계
어떤 면적 [math(S)]를 지나가는 자기 선속(Magnetic flux) [math(F)]는 아래와 같이 구할 수 있다.
[math( displaystyle F=iint_{S} mathbf{B} boldsymbol{cdot} d mathbf{a} )]
이때, 자기 벡터 퍼텐셜을 이용하면
[math( displaystyle F=iint_{S} (boldsymbol{nabla} times mathbf{A}) boldsymbol{cdot} d mathbf{a} )]
이고, 스토크스 정리를 사용하면, [math(S)]를 둘러싸는 폐곡선 [math(C)]에 대한 적분으로 바뀌고,
[math( displaystyle F=oint_{C} mathbf{A} boldsymbol{cdot} d mathbf{l} )]
로 쓸 수 있음을 구할 수 있다. 따라서 자기 선속을 이용해서도 자기 벡터 퍼텐셜은 구할 수 있다.
[math( displaystyle F=iint_{S} mathbf{B} boldsymbol{cdot} d mathbf{a} )]
이때, 자기 벡터 퍼텐셜을 이용하면
[math( displaystyle F=iint_{S} (boldsymbol{nabla} times mathbf{A}) boldsymbol{cdot} d mathbf{a} )]
이고, 스토크스 정리를 사용하면, [math(S)]를 둘러싸는 폐곡선 [math(C)]에 대한 적분으로 바뀌고,
[math( displaystyle F=oint_{C} mathbf{A} boldsymbol{cdot} d mathbf{l} )]
로 쓸 수 있음을 구할 수 있다. 따라서 자기 선속을 이용해서도 자기 벡터 퍼텐셜은 구할 수 있다.
2.4. 경계 조건
파일:벡터퍼텐셜_경계 조건.png
위 그림과 같이 매질 I, II를 고려하자. 정자기학에서 쿨롱 게이지 조건
[math( displaystyle boldsymbol{nabla} boldsymbol{cdot} mathbf{A}=0 )]
을 만족하므로 이것은
[math( displaystyle oiint_{S} mathbf{A} boldsymbol{cdot} d mathbf{a}=0 )]
을 만족한다는 것과 동치이다. 따라서 [math(S)]를 윗면과 아랫면 모두 면적 [math(A)]이고 높이 [math(h)]인 원기둥으로 잡자. 이때, [math(h rightarrow 0)]일 때, 옆면에 해당하는 영역의 적분 값은 상쇄된다. 따라서
[math( displaystyle oiint_{S} mathbf{A} boldsymbol{cdot} d mathbf{a}=[mathbf{A_{2}}boldsymbol{cdot} hat{mathbf{n}}-mathbf{A_{1}}boldsymbol{cdot} hat{mathbf{n}}],l=0 )]
이다. [math(hat{mathbf{n}})]은 영역 I에서 II를 향하며, 경계면에 수직한 벡터이다.
[math( displaystyle mathbf{A_{1}}boldsymbol{cdot} hat{mathbf{n}}=mathbf{A_{2}}boldsymbol{cdot} hat{mathbf{n}} )]
로 경계면을 가로지를 때, 자기 벡터 퍼텐셜의 수직 성분은 연속임을 알 수 있다.
이번엔
[math( displaystyle F=oint_{C} mathbf{A} boldsymbol{cdot} d mathbf{l} )]
를 이용하자. 선적분 영역을 위 그림과 같이 잡고, [math(h rightarrow 0)]일 때를 고려하자. 이 경우, 경계면을 가로지르는 영역에 대한 선적분 값은 상쇄된다. 따라서
[math( displaystyle oint_{C} mathbf{A} boldsymbol{cdot} d mathbf{l}=[mathbf{A_{2}}boldsymbol{cdot} hat{mathbf{t}}-mathbf{A_{1}}boldsymbol{cdot} hat{mathbf{t}}],l )]
이 된다. 이때, [math(hat{mathbf{t}})]는 경계면에 접하는 단위 벡터이다. 그런데, [math(h rightarrow 0)]이라는 점에서 해당 폐곡선 안을 통과하는 자기 선속은 면적이 0으로 수렴하기 때문에, 적분 값은 0으로 수렴한다. 따라서
[math( displaystyle mathbf{A_{2}}boldsymbol{cdot} hat{mathbf{t}}-mathbf{A_{1}}boldsymbol{cdot} hat{mathbf{t}}=0 )]
에서
[math( displaystyle mathbf{A_{1}}boldsymbol{cdot} hat{mathbf{t}}=mathbf{A_{2}}boldsymbol{cdot} hat{mathbf{t}} )]
로 경계면을 가로지를 때, 자기 벡터 퍼텐셜의 접선 성분은 연속임을 알 수 있다.
따라서 두 성분이 모두 연속이므로, 위의 논의는 경계면을 가로지를 때 자기 벡터 퍼텐셜은 연속이어야 함을 얻는다. 즉, 경계면을 가로지를 때
[math( displaystyle mathbf{A_{1}}=mathbf{A_{2}} )]
를 만족하여야 한다.
위 그림과 같이 매질 I, II를 고려하자. 정자기학에서 쿨롱 게이지 조건
[math( displaystyle boldsymbol{nabla} boldsymbol{cdot} mathbf{A}=0 )]
을 만족하므로 이것은
[math( displaystyle oiint_{S} mathbf{A} boldsymbol{cdot} d mathbf{a}=0 )]
을 만족한다는 것과 동치이다. 따라서 [math(S)]를 윗면과 아랫면 모두 면적 [math(A)]이고 높이 [math(h)]인 원기둥으로 잡자. 이때, [math(h rightarrow 0)]일 때, 옆면에 해당하는 영역의 적분 값은 상쇄된다. 따라서
[math( displaystyle oiint_{S} mathbf{A} boldsymbol{cdot} d mathbf{a}=[mathbf{A_{2}}boldsymbol{cdot} hat{mathbf{n}}-mathbf{A_{1}}boldsymbol{cdot} hat{mathbf{n}}],l=0 )]
이다. [math(hat{mathbf{n}})]은 영역 I에서 II를 향하며, 경계면에 수직한 벡터이다.
[math( displaystyle mathbf{A_{1}}boldsymbol{cdot} hat{mathbf{n}}=mathbf{A_{2}}boldsymbol{cdot} hat{mathbf{n}} )]
로 경계면을 가로지를 때, 자기 벡터 퍼텐셜의 수직 성분은 연속임을 알 수 있다.
이번엔
[math( displaystyle F=oint_{C} mathbf{A} boldsymbol{cdot} d mathbf{l} )]
를 이용하자. 선적분 영역을 위 그림과 같이 잡고, [math(h rightarrow 0)]일 때를 고려하자. 이 경우, 경계면을 가로지르는 영역에 대한 선적분 값은 상쇄된다. 따라서
[math( displaystyle oint_{C} mathbf{A} boldsymbol{cdot} d mathbf{l}=[mathbf{A_{2}}boldsymbol{cdot} hat{mathbf{t}}-mathbf{A_{1}}boldsymbol{cdot} hat{mathbf{t}}],l )]
이 된다. 이때, [math(hat{mathbf{t}})]는 경계면에 접하는 단위 벡터이다. 그런데, [math(h rightarrow 0)]이라는 점에서 해당 폐곡선 안을 통과하는 자기 선속은 면적이 0으로 수렴하기 때문에, 적분 값은 0으로 수렴한다. 따라서
[math( displaystyle mathbf{A_{2}}boldsymbol{cdot} hat{mathbf{t}}-mathbf{A_{1}}boldsymbol{cdot} hat{mathbf{t}}=0 )]
에서
[math( displaystyle mathbf{A_{1}}boldsymbol{cdot} hat{mathbf{t}}=mathbf{A_{2}}boldsymbol{cdot} hat{mathbf{t}} )]
로 경계면을 가로지를 때, 자기 벡터 퍼텐셜의 접선 성분은 연속임을 알 수 있다.
따라서 두 성분이 모두 연속이므로, 위의 논의는 경계면을 가로지를 때 자기 벡터 퍼텐셜은 연속이어야 함을 얻는다. 즉, 경계면을 가로지를 때
[math( displaystyle mathbf{A_{1}}=mathbf{A_{2}} )]
를 만족하여야 한다.
2.5. 자기 쌍극자의 자기 벡터 퍼텐셜
2.6. 관련 예제
3. 자기 스칼라 퍼텐셜
위의 자기 벡터 퍼텐셜은 자기장이 비발산장이기 때문에 정의될 수 있었다. 그러나 자기장도 특정한 조건에서는 비회전장을 만족하기 때문에 전기장처럼 스칼라 퍼텐셜을 도입할 수 있다. 앙페르 법칙
[math( displaystyle boldsymbol{nabla} times mathbf{B} = mu_{0} mathbf{J} )]
에서 전류 밀도 [math(mathbf{J}=0)]이 성립하는 영역에 한해선
[math( displaystyle boldsymbol{nabla} times mathbf{B} =0 )]
으로 자기장 또한 비회전장이 된다. 따라서 장을 어떤 스칼라의 그레이디언트를 취하여 기술할 수 있다. 즉,
[math( displaystyle mathbf{B} =-mu_{0} boldsymbol{nabla} Phi_{m} )]
의 형태[1]는 자기장 세기 문서를 읽어보면 알 수 있다.]로 기술할 수 있으며, 여기서 나온 스칼라 [math(Phi_{m})]를 "자기 스칼라 퍼텐셜"이라 한다.
[math( displaystyle boldsymbol{nabla} times mathbf{B} = mu_{0} mathbf{J} )]
에서 전류 밀도 [math(mathbf{J}=0)]이 성립하는 영역에 한해선
[math( displaystyle boldsymbol{nabla} times mathbf{B} =0 )]
으로 자기장 또한 비회전장이 된다. 따라서 장을 어떤 스칼라의 그레이디언트를 취하여 기술할 수 있다. 즉,
[math( displaystyle mathbf{B} =-mu_{0} boldsymbol{nabla} Phi_{m} )]
의 형태[1]는 자기장 세기 문서를 읽어보면 알 수 있다.]로 기술할 수 있으며, 여기서 나온 스칼라 [math(Phi_{m})]를 "자기 스칼라 퍼텐셜"이라 한다.
4. 관련 문서
[1] 앞에 붙은 [math(mu_{0})