1. 개요
Separation vector
위치 벡터에서 근원 벡터(source vector)를 뺀 벡터이다.[1]
전자기학에서 두 가지 위치를 약속하고 내용을 전개한다. 하나는 전하나 전류가 존재하는 지점으로 [math(mathbf{r'})]으로 쓴다. 다른 한 지점은 전기장이나 자기장 등을 측정하는 지점으로서 [math(mathbf{r})]으로 쓴다. 이 때, 분리 벡터는 아래와 같이 정의된다.
[math(displaystyle boldsymbol{xi} equiv mathbf{r-r'} )]
분리 벡터를 나타내는 기호로는 [math(boldsymbol{Re})], [math(boldsymbol{eta})] 등을 사용하기도 하며, 그냥 [math( mathbf{r-r'} )]로만 쓰기도 한다.[2] 나무위키 전자기학 관련 문서에서는 [math(boldsymbol{xi})]가 많이 쓰임에 따라 이것을 채택하였다.
위치 벡터에서 근원 벡터(source vector)를 뺀 벡터이다.[1]
전자기학에서 두 가지 위치를 약속하고 내용을 전개한다. 하나는 전하나 전류가 존재하는 지점으로 [math(mathbf{r'})]으로 쓴다. 다른 한 지점은 전기장이나 자기장 등을 측정하는 지점으로서 [math(mathbf{r})]으로 쓴다. 이 때, 분리 벡터는 아래와 같이 정의된다.
[math(displaystyle boldsymbol{xi} equiv mathbf{r-r'} )]
분리 벡터를 나타내는 기호로는 [math(boldsymbol{Re})], [math(boldsymbol{eta})] 등을 사용하기도 하며, 그냥 [math( mathbf{r-r'} )]로만 쓰기도 한다.[2] 나무위키 전자기학 관련 문서에서는 [math(boldsymbol{xi})]가 많이 쓰임에 따라 이것을 채택하였다.
2. 그레이디언트 연산
원천과 관측 지점 두 가지가 있기 때문에 델 연산도 엄밀히 말해서 두 가지로 나누어진다. 예를 들어, 직교 좌표계라면,
[math(displaystyle boldsymbol{nabla}=left({partial over partial x}, ,{partial over partial y}, ,{partial over partial z} right) qquad qquad boldsymbol{nabla'}=left({partial over partial x'},, {partial over partial y'}, ,{partial over partial z'} right) )]
위 두 연산자의 차이는 관측자의 위치가 변하는지, 혹은 원천의 위치가 변하는지를 나타낸다. 관측자의 위치인 [math(x, , y, , z)]가 미분 대상이라면 원천의 위치인 [math(x' , ,y' , ,z')]는 상수로 취급된다. 즉, 편미분을 확장한 셈이다.
그렇기 때문에 분리 벡터 크기의 역수에 그레이디언트를 취햤을 때, 어디를 기준으로 하여 연산하느냐에 따라 그 결과는 다르게 나온다. 이것의 대표적인 예는 [math(xi^{-1})]의 그레이디언트를 취했을 때 볼 수 있다. 아래를 참고하자:
[math(displaystyle boldsymbol{nabla} !left( frac{1}{xi} right)=-frac{hat{boldsymbol{xi} }}{xi^{2}} qquad qquad boldsymbol{nabla'} !left( frac{1}{xi} right)=+frac{hat{boldsymbol{xi} }}{xi^{2}} )]
[math(displaystyle boldsymbol{nabla}=left({partial over partial x}, ,{partial over partial y}, ,{partial over partial z} right) qquad qquad boldsymbol{nabla'}=left({partial over partial x'},, {partial over partial y'}, ,{partial over partial z'} right) )]
위 두 연산자의 차이는 관측자의 위치가 변하는지, 혹은 원천의 위치가 변하는지를 나타낸다. 관측자의 위치인 [math(x, , y, , z)]가 미분 대상이라면 원천의 위치인 [math(x' , ,y' , ,z')]는 상수로 취급된다. 즉, 편미분을 확장한 셈이다.
그렇기 때문에 분리 벡터 크기의 역수에 그레이디언트를 취햤을 때, 어디를 기준으로 하여 연산하느냐에 따라 그 결과는 다르게 나온다. 이것의 대표적인 예는 [math(xi^{-1})]의 그레이디언트를 취했을 때 볼 수 있다. 아래를 참고하자:
[math(displaystyle boldsymbol{nabla} !left( frac{1}{xi} right)=-frac{hat{boldsymbol{xi} }}{xi^{2}} qquad qquad boldsymbol{nabla'} !left( frac{1}{xi} right)=+frac{hat{boldsymbol{xi} }}{xi^{2}} )]
3. 관련 문서
[1] David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4th ed., Pearson, 2013.[2] 특히 그리피스의 전자기학 책에서는 필기체 r을 쓰는데, LaTeX 기본 폰트에 없는 글자라서 입력하기 난감한 걸로 유명하다.