문서:자기 퍼텐셜/자기 벡터 퍼텐셜/관련 예제

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1. 예제 12. 예제 23. 예제 3

1. 예제 1[편집]

[문제]
진공에서 축이 zz축, 중심이 원점이고, 전하 QQ로 균일하게 표면이 대전된 반지름 RR인 구가 ω=ω0z^\boldsymbol{\omega}=\omega_{0} \hat{\mathbf{z}}의 각속도로 축을 중심으로 회전할 때, 구 내부의 자기 벡터 퍼텐셜을 구하시오.

[풀이 보기]

이 상황에서 구는 표면 전하 밀도 σ=Q/(4πR2)\sigma=Q/(4 \pi R^{2}) 으로 대전되었으므로, 표면 전류 밀도는

\displaystyle \mathbf{K}=\sigma \mathbf{v}=\frac{Q \omega_{0}}{4 \pi R}\sin{\theta} \hat\boldsymbol{\phi}

이다. 따라서 구하는 벡터 퍼텐셜은

A(r)=μ04π∫K(r′)∣r−r′∣ da′ \displaystyle \mathbf{A(r)}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \int \frac{\mathbf{K(r')}}{\left| \mathbf{r-r'} \right|}\,da '

이다. 이때, \mathbf{r'}=R \hat \mathbf{r}이고, 구면 좌표계에서 다중극 전개를 이용하자. 또한, 이 영역에서는 r′>rr'>r이므로

1∣r−r′∣=∑l=0∞∑m=−ll4π2l+1rlRl+1Ylm(θ, ϕ)Ylm∗(θ′, ϕ′) \displaystyle \frac{1}{\left| \mathbf{r-r'} \right|}=\sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l} \frac{4\pi}{2l+1} \frac{r^{l}}{R^{l+1}}Y_{l}^{m}(\theta,\, \phi)Y_{l}^{m \ast}(\theta ',\, \phi ')

으로 전개할 수 있다. Ylm(θ, ϕ)Y_{l}^{m}(\theta,\, \phi)는 구면조화함수(Spherical harmonics)이다. 따라서 적분은

A(r)=μ04π∫K(r′)∣r−r′∣ da′=μ04π∫K(r′)∑l=0∞∑m=−ll4π2l+1rlRl+1Ylm(θ, ϕ)Ylm∗(θ′, ϕ′) da′=μ04π∑l=0∞∑m=−ll4π2l+1rlRl+1Ylm(θ, ϕ)∫K(r′)Ylm∗(θ′, ϕ′) da′\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{A(r)}&=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \int \frac{\mathbf{K(r')}}{\left| \mathbf{r-r'} \right|}\,da ' \\ &=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \int \mathbf{K(r')} \sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l} \frac{4\pi}{2l+1} \frac{r^{l}}{R^{l+1}}Y_{l}^{m}(\theta,\, \phi)Y_{l}^{m \ast}(\theta ',\, \phi ') \,da ' \\ &=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l} \frac{4\pi}{2l+1} \frac{r^{l}}{R^{l+1}}Y_{l}^{m}(\theta,\, \phi) \int \mathbf{K(r')} Y_{l}^{m \ast}(\theta ',\, \phi ') \,da ' \end{aligned}

으로 바뀐다. 또한,

Y1−1(θ, ϕ)=1232πsin⁡θ(cos⁡ϕ−isin⁡ϕ)Y11(θ, ϕ)=−1232πsin⁡θ(cos⁡ϕ+isin⁡ϕ)\displaystyle \begin{aligned} Y_{1}^{-1}(\theta,\,\phi)&=\frac{1}{2}\sqrt{ \frac{3}{2 \pi} } \sin{\theta}(\cos{\phi}-i\sin{\phi}) \\ Y_{1}^{1}(\theta,\,\phi)&=-\frac{1}{2}\sqrt{ \frac{3}{2 \pi} } \sin{\theta}(\cos{\phi}+i\sin{\phi})\end{aligned}

를 이용하면, 표면 전류 밀도

K(r′)=σsin⁡θ′(−sin⁡ϕ′x^+cos⁡ϕ′y^)=σi2π3[Y1−1(θ′, ϕ′)+Y11(θ′, ϕ′)]x^+σ2π3[Y1−1(θ′, ϕ′)−Y11(θ′, ϕ′)]y^\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{K(r')}&=\sigma \sin{\theta '}(-\sin{\phi '} \hat{\mathbf{x}}+\cos{\phi '} \hat{\mathbf{y}}) \\ &=\frac{\sigma}{i} \sqrt{\frac{2\pi}{3}} \left[ Y_{1}^{-1}(\theta ',\, \phi ')+Y_{1}^{1}(\theta ',\, \phi ') \right] \hat{\mathbf{x}}+\sigma \sqrt{\frac{2\pi}{3}} \left[ Y_{1}^{-1}(\theta ',\, \phi ')-Y_{1}^{1}(\theta ',\, \phi ') \right] \hat{\mathbf{y}} \end{aligned}

으로 구면조화함수의 합으로 전개할 수 있다. 따라서

Ax(r)=μ0σR24π1i2π3∑l=0∞∑m=−ll4π2l+1rlRl+1Ylm(θ, ϕ)∫02π∫0π[Y1−1(θ′, ϕ′)+Y11(θ′, ϕ′)]Ylm∗(θ′, ϕ′) dΩ′ \displaystyle A_{x}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0} \sigma R^{2}}{4 \pi} \frac{1}{i} \sqrt{\frac{2\pi}{3}} \sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l} \frac{4\pi}{2l+1} \frac{r^{l}}{R^{l+1}}Y_{l}^{m}(\theta,\, \phi) \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \left[ Y_{1}^{-1}(\theta ',\, \phi ')+Y_{1}^{1}(\theta ',\, \phi ') \right] Y_{l}^{m \ast}(\theta ',\, \phi ') \,d {\Omega} '

이 된다. Ω′\Omega'는 원천 점(Source point)의 입체각(Solid angle)이며, dΩ′=sin⁡θ′ dθ′dϕ′d {\Omega}'=\sin{\theta'} \,d\theta' d \phi'이다. 이때, 구면조화함수의 규격화 조건에 의해

∫02π∫0πYlm(θ′, ϕ′)Yts∗(θ′, ϕ′) dΩ′=δltδms \displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi} Y_{l}^{m}(\theta',\, \phi')Y_{t}^{s \ast}(\theta ',\, \phi ')\,d \Omega '=\delta_{l t}\delta_{m s}

를 만족한다. 위에서 δij\delta_{ij}는 크로네커 델타이다. 따라서 이것을 이용하면, 위 적분의 결과는

Ax(r)=μ0σR24π1i2π3∑l=0∞∑m=−ll4π2l+1rlRl+1[δ1lδ−1m+δ1lδ1m]Ylm(θ, ϕ)=μ0σR24π4π3rR2[1i2π3[Y1−1(θ, ϕ)+Y11(θ, ϕ)]]=μ0σ3r(−sin⁡θsin⁡ϕ)\displaystyle \begin{aligned} A_{x}(\mathbf{r})&=\frac{\mu_{0} \sigma R^{2}}{4 \pi} \frac{1}{i} \sqrt{\frac{2\pi}{3}} \sum_{l=0}^{\infty} \sum_{m=-l}^{l}\frac{4\pi}{2l+1} \frac{r^{l}}{R^{l+1}} [\delta_{1l}\delta_{-1m}+\delta_{1l}\delta_{1m}] Y_{l}^{m}(\theta,\, \phi) \\ &=\frac{\mu_{0} \sigma R^{2}}{4 \pi} \frac{4\pi}{3} \frac{r}{R^{2}} \left[ \frac{1}{i} \sqrt{\frac{2\pi}{3}} [ Y_{1}^{-1}(\theta ,\, \phi )+Y_{1}^{1}(\theta ,\, \phi ) ] \right] \\ &=\frac{\mu_{0} \sigma }{3} {r} (-\sin{\theta} \sin{\phi}) \end{aligned}

로 구할 수 있고, 동일한 방법으로,

Ay(r)=μ0σ3rR2(sin⁡θcos⁡ϕ) \displaystyle A_{y}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0} \sigma }{3} \frac{r}{R^{2}} (\sin{\theta} \cos{\phi})

이상에서 구하는 자기 벡터 퍼텐셜은 아래와 같이 결정된다.

A(r)=[μ0Q12πR2rsin⁡θ]ϕ^(r<R) \displaystyle \mathbf{A(r)} =\left[ \frac{ \mu_{0} Q }{12 \pi R^{2}} {r} \sin{\theta} \right] \hat{\boldsymbol{\phi}}\qquad (r<R)

[추가 문제]
예제 1에서 구 외부의 자기 벡터 퍼텐셜을 구하시오.

[풀이 보기]

구의 외부도 같은 방법으로 구할 수 있으며, 이때는 r′<rr'<r이므로 다중극 전개한 항 중

rlRl+1→Rlrl+1 \displaystyle \frac{r^{l}}{R^{l+1}} \rightarrow \frac{R^{l}}{r^{l+1}}

로 바뀌면서

A(r)=[μ0Q12πRr2sin⁡θ]ϕ^(r>R) \displaystyle \mathbf{A(r)} =\left[ \frac{ \mu_{0} Q }{12 \pi} \frac{R}{r^{2}} \sin{\theta} \right] \hat{\boldsymbol{\phi}}\qquad (r>R)

이 된다.

2. 예제 2[편집]

[문제]
진공에서 zz축으로 놓인 무한한 도선에 전류 II가 z^\hat{\mathbf{z}} 방향으로 흐르고 있을 때, 자기 벡터 퍼텐셜을 구하시오.

[풀이 보기]

이 경우에 zz축을 제외하곤 전류 밀도는 0임을 이용한다. 또한, 전류 밀도의 방향이 z^\hat{\mathbf{z}} 방향이므로 자기 벡터 퍼텐셜은 z^\hat{\mathbf{z}} 방향이다. 또한, ρ\rho를 제외하곤 모두 대칭성을 이루므로 자기 벡터 퍼텐셜은

A=Az(ρ) z^ \displaystyle \mathbf{A}= A_{z}(\rho) \,\hat{\mathbf{z}}

으로 주어질 것이다. 따라서

∇2Az(ρ)=1ρ∂∂ρ(∂Az(ρ)∂ρ)=0 \displaystyle \nabla^{2}A_{z}(\rho)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho} \left( \frac{\partial A_{z}(\rho)}{\partial \rho} \right)=0

을 만족하고, 이 방정식의 해는

Az(ρ)=Cln⁡ρ \displaystyle A_{z}(\rho)=C\ln{\rho}

로 주어짐을 쉽게 확인할 수 있다. CC는 상수이다. 상수항은 퍼텐셜 특성 상 무시할 수 있으므로 무시했다. 이때, 자기장 B=∇×A \displaystyle \mathbf{B}=\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A} 이므로

B=−Cρϕ^ \displaystyle \mathbf{B}=-\frac{C}{\rho} \hat{\boldsymbol{\phi}}

이고, 반지름이 ρ\rho인 원에서 앙페르 법칙을 적용하면

∮B⋅dl=I → −Cρ⋅2πρ=μ0I → C=−μ0I2π \displaystyle \oint \mathbf{B} \cdot d \mathbf{l}=I \, \rightarrow \, -\frac{C}{\rho}\cdot 2 \pi \rho=\mu_{0}I \, \rightarrow \, C=-\frac{\mu_{0}I}{2 \pi}

이상에서 구하는 자기 벡터 퍼텐셜은

A=[−μ0I2πln⁡ρ]z^ \displaystyle \mathbf{A}=\left[ -\frac{\mu_{0}I}{2 \pi}\ln{\rho} \right]\hat{\mathbf{z}}

가 된다.

3. 예제 3[편집]

[문제]
진공에서 단위 길이당 NN번 감긴 zz축으로 놓이고 반지름의 길이가 ρ0\rho_{0}인 무한한 길이의 솔레노이드에 전류 II가 반시계 방향으로 흐르고 있을 때, 자기 벡터 퍼텐셜을 구하시오.

[풀이 보기]

이 상황에서 솔레노이드 내부에 형성되는 자기장은

B=μ0NIz^ \displaystyle \mathbf{B}=\mu_{0} NI \hat{\mathbf{z}}

임을 이용하자.


(ⅰ) 솔레노이드 내부의 퍼텐셜
중심이 zz축 위에 있고 반지름 ρ (ρ<ρ0)\rho \,(\rho<\rho_{0})인 원을 통과하는 자기 선속은

F=∫B⋅da=μ0πρ2NI\displaystyle F=\int \mathbf{B} \cdot d \mathbf{a}=\mu_{0} \pi \rho^{2} NI

이고,

F=∮CA⋅dl \displaystyle F=\oint_{C} \mathbf{A} \cdot d \mathbf{l}

를 이용하면

Aϕ⋅2πρ=μ0πρ2NI \displaystyle A_{\phi} \cdot 2\pi \rho=\mu_{0} \pi \rho^{2} NI

가 되므로 자기 벡터 퍼텐셜은

A=μ0NI2ρϕ^(ρ<ρ0) \displaystyle \mathbf{A}=\frac{\mu_{0}NI}{2} \rho \hat{\boldsymbol{\phi}} \qquad (\rho<\rho_{0})

이 된다.

(ⅱ) 솔레노이드 외부의 퍼텐셜
중심이 zz축 위에 있고, 반지름 ρ (ρ>ρ0)\rho \,(\rho>\rho_{0})인 원을 통과하는 자기 선속은

F=∫B⋅da=μ0πρ02NI\displaystyle F=\int \mathbf{B} \cdot d \mathbf{a}=\mu_{0} \pi \rho_{0}^{2} NI

위에서 했던 것과 마찬가지로

Aϕ⋅2πρ=μ0πρ02NI \displaystyle A_{\phi} \cdot 2\pi \rho=\mu_{0} \pi \rho_{0}^{2} NI

가 되므로 자기 벡터 퍼텐셜은

A=μ0NI2ρ02ρϕ^(ρ>ρ0) \displaystyle \mathbf{A}=\frac{\mu_{0}NI}{2} \frac{\rho_{0}^{2}}{\rho} \hat{\boldsymbol{\phi}} \quad (\rho>\rho_{0})

가 된다.


이때, ρ→ρ0\rho \rightarrow \rho_{0}일 때, 내·외부의 자기 벡터 퍼텐셜은 연속이 되므로 상수항을 추가할 필요는 없으므로 구하는 자기 벡터 퍼텐셜은

A={[μ0NI2ρ]ϕ^(ρ<ρ0)[μ0NI2ρ02ρ]ϕ^(ρ>ρ0) \displaystyle \mathbf{A}=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \left[ \frac{\mu_{0}NI}{2} \rho \right] \hat{\boldsymbol{\phi}} &\quad (\rho<\rho_{0})\\ \\ \displaystyle \left[ \frac{\mu_{0}NI}{2} \frac{\rho_{0}^{2}}{\rho} \right] \hat{\boldsymbol{\phi}} &\quad (\rho>\rho_{0})\end{array}\right.

이 된다.