[include(틀:전자기학)] [목차] == 개요 == {{{+1 '''Magnetic potential'''}}} [[전기장]]에서 퍼텐셜을 도입하였듯, 비슷하게 [[자기장]]에서도 퍼텐셜을 도입한 것이다. 이 문서에서는 정자기학 조건에서의 자기 퍼텐셜을 다루며, 정자기학에서 자기 퍼텐셜을 언급하면 거의 "자기 벡터 퍼텐셜"'을 말하며, 그 외에도 특정한 조건에서 정의되는 "자기 스칼라 퍼텐셜" 두 가지가 있다. == 자기 벡터 퍼텐셜 == [[자기장]]은 일반적으로 발산이 0인 비발산장이다. 즉, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{B}=0 )] }}} 이때, 자기장은 어떤 벡터의 회전이라 가정할 수 있다. 그 벡터를 [math(\mathbf A)]라 하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \mathbf{B}=\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A} )] }}} 이며, 이것을 처음 식의 발산 연산에 대입하면 이것 또한 0인 것에서 그 타당성을 생각해볼 수 있다. 따라서 여기서 나온 벡터 [math(\mathbf A)]를 "자기 벡터 퍼텐셜"이라 하며, 줄여서 "벡터 퍼텐셜"이라 하기도 한다. === 유일성 여부 === 이때, 어떤 스칼라 [math(\Phi)]에 그레이디언트 연산을 취했을 때, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \mathbf{A'} \equiv \mathbf{A}+\boldsymbol{\nabla} \Phi )] }}} 를 고려하자. 이때, 양변에 회전 연산을 취하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A'} =\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}+\boldsymbol{\nabla} \times(\boldsymbol{\nabla} \Phi) )] }}} 벡터 해석학적으로 우변의 제2항은 0이 되므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A'} =\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A} )] }}} 이 되고, 두 퍼텐셜 [math(\mathbf A)], [math(\mathbf{A'})]은 같은 장을 기술하는 퍼텐셜임을 알 수 있다. 이 논의를 통해, 어떤 자기장을 기술하는 자기 벡터 퍼텐셜은 여러 개 존재한다는 사실을 알 수 있다. '''즉, 한 장을 기술하는 자기 벡터 퍼텐셜은 유일하지 않다.''' === 방정식 === [[앙페르 법칙]]에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B} = \mu_{0} \mathbf{J} )] }}} 임을 알 수 있었고, 자기 벡터 퍼텐셜을 이용하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A} ) = \mu_{0} \mathbf{J} )] }}} 로 쓸 수 있다. 이때, 벡터 항등식을 사용하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \nabla^{2} \mathbf{A}- \boldsymbol{\nabla}(\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}) = -\mu_{0} \mathbf{J} )] }}} 로 쓸 수 있다. 이때, 정자기학에서는 '''쿨롱 게이지(Coulomb gauge)'''를 도입하여 [math(\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}=0)]으로 둔다. 따라서 다음과 같은 식으로 정리된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \nabla^{2} \mathbf{A(r)}= -\mu_{0} \mathbf{J(r)} )] }}} 이때, 직교 좌표계에서 위 식은 아래와 같이 푸아송 방정식으로 나온다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \nabla^{2} A_{i}(\mathbf{r})= -\mu_{0} J_{i}(\mathbf{r}) \qquad (i=x,\,y,\,z) )] }}} 이것은 [[전기 퍼텐셜]]을 기술하는 푸아송 방정식과 모양이 유사하므로 이것의 해는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle A_{i}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \int \frac{J_{i}(\mathbf{r'})}{\xi}\,dV ' \qquad (i=x,\,y,\,z) )] }}} 로 정리된다. 이때, [math(\xi)]는 [[분리 벡터]]의 크기이다. 또한, 각 성분의 합으로 아래와 같이 쓸 수 있음을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \mathbf{A(r)}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \int \frac{\mathbf{J(r')}}{\xi}\,dV ' )] }}} 따라서, 위 방정식을 이용하면 자기 벡터 퍼텐셜을 구할 수 있다. 또한, '''자기 벡터 퍼텐셜의 방향은 전류 밀도 방향과 같다는 것을 알 수 있다.''' === 자기 선속과의 관계 === 어떤 면적 [math(S)]를 지나가는 자기 선속(Magnetic flux) [math(F)]는 아래와 같이 구할 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle F=\iint_{S} \mathbf{B} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a} )] }}} 이때, 자기 벡터 퍼텐셜을 이용하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle F=\iint_{S} (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}) \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a} )] }}} 이고, [[스토크스 정리]]를 사용하면, [math(S)]를 둘러싸는 폐곡선 [math(C)]에 대한 적분으로 바뀌고, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle F=\oint_{C} \mathbf{A} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{l} )] }}} 로 쓸 수 있음을 구할 수 있다. 따라서 자기 선속을 이용해서도 자기 벡터 퍼텐셜은 구할 수 있다. === 경계 조건 === [[파일:벡터퍼텐셜_경계 조건.png|width=210&align=center]] 위 그림과 같이 매질 I, II를 고려하자. 정자기학에서 쿨롱 게이지 조건 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}=0 )] }}} 을 만족하므로 이것은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \oiint_{S} \mathbf{A} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a}=0 )] }}} 을 만족한다는 것과 동치이다. 따라서 [math(S)]를 윗면과 아랫면 모두 면적 [math(A)]이고 높이 [math(h)]인 원기둥으로 잡자. 이때, [math(h \rightarrow 0)]일 때, 옆면에 해당하는 영역의 적분 값은 상쇄된다. 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \oiint_{S} \mathbf{A} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a}=[\mathbf{A_{2}}\boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{n}}-\mathbf{A_{1}}\boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{n}}]\,l=0 )] }}} 이다. [math(\hat{\mathbf{n}})]은 영역 I에서 II를 향하며, 경계면에 수직한 벡터이다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \mathbf{A_{1}}\boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{n}}=\mathbf{A_{2}}\boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{n}} )] }}} 로 경계면을 가로지를 때, 자기 벡터 퍼텐셜의 수직 성분은 연속임을 알 수 있다. 이번엔 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle F=\oint_{C} \mathbf{A} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{l} )] }}} 를 이용하자. 선적분 영역을 위 그림과 같이 잡고, [math(h \rightarrow 0)]일 때를 고려하자. 이 경우, 경계면을 가로지르는 영역에 대한 선적분 값은 상쇄된다. 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \oint_{C} \mathbf{A} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{l}=[\mathbf{A_{2}}\boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{t}}-\mathbf{A_{1}}\boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{t}}]\,l )] }}} 이 된다. 이때, [math(\hat{\mathbf{t}})]는 경계면에 접하는 단위 벡터이다. 그런데, [math(h \rightarrow 0)]이라는 점에서 해당 폐곡선 안을 통과하는 자기 선속은 면적이 0으로 수렴하기 때문에, 적분 값은 0으로 수렴한다. 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \mathbf{A_{2}}\boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{t}}-\mathbf{A_{1}}\boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{t}}=0 )] }}} 에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \mathbf{A_{1}}\boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{t}}=\mathbf{A_{2}}\boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{t}} )] }}} 로 경계면을 가로지를 때, 자기 벡터 퍼텐셜의 접선 성분은 연속임을 알 수 있다. 따라서 두 성분이 모두 연속이므로, 위의 논의는 경계면을 가로지를 때 자기 벡터 퍼텐셜은 연속이어야 함을 얻는다. 즉, 경계면을 가로지를 때 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \mathbf{A_{1}}=\mathbf{A_{2}} )] }}} 를 만족하여야 한다. === [[자기 쌍극자]]의 자기 벡터 퍼텐셜 === [include(틀:상세 내용, 문서명=자기 쌍극자 모멘트)] === [[자기 퍼텐셜/자기 벡터 퍼텐셜/관련 예제|관련 예제]] === [include(틀:상세 내용, 문서명=자기 퍼텐셜/자기 벡터 퍼텐셜/관련 예제)] == 자기 스칼라 퍼텐셜 == 위의 자기 벡터 퍼텐셜은 자기장이 비발산장이기 때문에 정의될 수 있었다. 그러나 자기장도 특정한 조건에서는 비회전장을 만족하기 때문에 [[전기장]]처럼 스칼라 퍼텐셜을 도입할 수 있다. [[앙페르 법칙]] {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B} = \mu_{0} \mathbf{J} )] }}} 에서 전류 밀도 [math(\mathbf{J}=0)]이 성립하는 영역에 한해선 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B} =0 )] }}} 으로 [[자기장]] 또한 비회전장이 된다. 따라서 장을 어떤 스칼라의 그레이디언트를 취하여 기술할 수 있다. 즉, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \mathbf{B} =-\mu_{0} \boldsymbol{\nabla} \Phi_{m} )] }}} 의 형태[* 앞에 붙은 [math(\mu_{0})]는 [[자기장 세기#s-4.2]] 문서를 읽어보면 알 수 있다.]로 기술할 수 있으며, 여기서 나온 스칼라 [math(\Phi_{m})]를 "자기 스칼라 퍼텐셜"이라 한다. == 관련 문서 == * [[물리학 관련 정보]] * [[자기장]] * [[벡터 퍼텐셜]] * [[전기 퍼텐셜]] - 전기 퍼텐셜과 비교해보는 것도 좋은 공부 방법이다. [[분류:물리학]][[분류:전자기학]]