[[분류:비초등함수]][[분류:수학 용어]][[분류:한자어]][[분류:나무위키 수학 프로젝트]] [include(틀:특수함수의 목록)] [목차] == 개요 == {{{+1 infinite power tower function ・ [[無]][[限]] [[指]][[數]] [[塔]] [[函]][[數]]}}} {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( y=x^{x^{x^{x^{.^{.^.}} }} }\!\!\!=x\uparrow\uparrow\infty)]}}} 위와 같은 함수를 '''무한 지수 탑 함수'''라고 한다. [math(x)]를 밑으로 하여 무한히 [math(x)]제곱을 하는 함수로서, [[지수함수]]이며 [[비초등함수]]이다. [math(x)]에 무한대의 [[테트레이션]]을 취한다고도 할 수 있으므로 '''무한 테트레이션'''이라고도 한다. 이 함수는 일반적인 방법으로 함숫값을 기술하기가 까다로우며, [[복소해석학|해석적 확장]][* 쉽게 말하자면 실수에서 발산하는 부분을 복소수로 빙 돌아가서 값을 구하는 과정을 말하는데, 대표적인 예로 모든 자연수의 합을 [math(-1/12)]로 계산하는 [[라마누잔합]]이 있다.][* [[https://www.youtube.com/watch?v=oy_kPyTstqk|해석적 확장을 쓰지 않고 정의역을 [math([1/e^{e},\,\sqrt[e]{e}\;\!])]로 제한해서 정의하는 방법]]도 있다.]을 통해 다음과 같이 [[람베르트 W 함수]]와 [[복소로그함수]]로 표현해야 한다. [[http://www.albertgural.com/math/theory/infinite-power-towers/|유도 과정 보기]] {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(y=-\dfrac{W(-\operatorname{Log}{x})}{{\operatorname{Log}{x} }})]}}} 해석적 확장을 이용하기 때문에 이 함수는 모든 '''[[복소수]]'''에서 수렴하며, [[실수(수학)|[math(\Im(y)=0)]]]을 만족시키는 실수의 정의역은 [math(x \in (0,\,1) \cup (1,\,\sqrt[e]{e}\;\!])][* 이 집합은 밑이 같은 [[지수함수]]와 [[로그함수]]가 [[교점]]을 갖는 밑의 집합이기도 하다.]이다. == 알려진 함숫값 == ||<tablealign=center><tablebgcolor=#ffffff,#000000><rowbgcolor=#f2f2f2,#555555> [math(\boldsymbol x)] || [math(\boldsymbol y)] || '''비고''' || || [math(0)] || [math(0)] ||[[로피탈의 정리]] 필요[* 그대로 계산할 경우 [math(\dfrac{\infty}{\infty})]의 [[부정형]]이 된다. [[0의 0제곱#s-2.3]] 참고.], 가장 작은 실숫값, 해석적 확장 || || [math(\dfrac{1}{4^4})] || [math(\dfrac{1}{4})] ||해석적 확장 || || [math(\dfrac{1}{\pi^{\pi}})] || [math(\dfrac{1}{\pi})] ||해석적 확장 || || [math(\dfrac{1}{3^3})] || [math(\dfrac{1}{3})] ||해석적 확장 || || [math(\dfrac{1}{e^e})] || [math(\dfrac{1}{e})] || || || [math(\dfrac1{2^2})] || [math(\dfrac12)] || || || [math(\dfrac{1}{e})] || [[오메가 상수|[math(\Omega)]]] || || || [[오메가 상수|[math(\Omega)]]] || [math(e^{\Omega}W(\Omega))][* 약 [math(0.68)]] || || || [math(1)] || [math(1)] ||[[로피탈의 정리]] 필요[* 그대로 계산할 경우 [math(\dfrac00)]의 [[부정형]]이 된다.] || || [math(\sqrt2)] || [math(2)] || || || [math(\sqrt[e]{e})] || [math(e)] ||가장 큰 실숫값 || || [math(-1)] || [math(\dfrac{W(-\pi i)}{\pi}i)][* 약 [math(0.266 \cdots +0.2943 \cdots i)]] ||해석적 확장 || || [math(e)] || [math(-W(-1))][* 약 [math(0.3181\cdots - 1.3372\cdots i)]] ||해석적 확장 || || [math(\sqrt{e^{\pi}})] || [math(-i)] ||해석적 확장 || || [math(i)] || [math(e^{-W(i\pi/2)})][* 약 [math(0.4383\cdots - 0.3606\cdots i)]] || || 아래는 [math(y: {\mathbb R}\mapsto {\mathbb C})]에 대응하는 그래프이다. 파란색은 [math(\Re(y))], 보라색은 [math(\Im(y))]이다. [[파일:inf_pwr_twr_1.png|width=300&align=center]] 한편 위 표에서 보듯 특이한 성질이 있는데, [math(1/(x\uparrow\uparrow 2))] 꼴의 수는 함숫값이 [math(1/x)]이 된다. == [[도함수]] == 우선, 본 함수는 [math(x)]제곱을 무한히 많이 취하는 함수이므로 다음과 같이 나타낼 수 있다.[* 일명 [[힐베르트의 호텔]].] {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(y={\color{red}x^{x^{x^{x^{.^{.^.}} }} }}\rightarrow\quad y=x^\color{red}{x^{x^{x^{.^{.^.}} }} })]}}} 이에 [math(y=x^\color{red} y)]이고, 양변에 [[자연로그]]를 취하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\ln y=\ln{x^y}=y \ln{x})]}}} 양 끝의 식을 [math(x)]에 대하여 미분하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\begin{aligned} \dfrac1y \dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}&=y\dfrac1x+\ln{x}\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}\end{aligned})]}}} 계산의 편의를 위하여 양변에 [math(xy)]를 곱하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\begin{aligned} x\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}&=y^2+xy\ln{x}\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}\\ \therefore \dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}&=\dfrac{y^2}{x-xy\ln x} \quad (x \neq xy\ln x) \end{aligned})]}}} 이 도함수는 상기했듯 복소함수로 나타낼 수 있으며, [[매끄러움|매끄러운]] 함수이면서 [[테일러 급수|테일러 전개]]가 가능한 정칙 함수임이 알려져 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=\dfrac{[W(-\operatorname{Log}{x}) ]^2}{ x \operatorname{Log}^{2}{x} [W(-\operatorname{Log}{x}) + 1 ] } )]}}} == [[역도함수]] == 반면, 도함수와는 달리 역도함수는 현 시점에선 알려진 바가 없다. 고작 지수가 하나만 있는 [math(y=x^x)]만 해도 [[2학년의 꿈]]이라는 특수해만 알 뿐 일반화된 해법이 없는 실정인데, 무한 지수 탑 함수에 대한 역도함수가 있을 리가 없다. 다만 [[병리적 함수]]는 아니므로 [[수치해석]]을 이용한 [[정적분]]은 가능하다. [[https://www.wolframalpha.com/input/?i=int_0%5E%28e%5E%281%2Fe%29%29+%28-%28LambertW%28-ln+x%29%29%2F%28ln+x%29%29+dx|[math((0,\,\sqrt[e]{e}\;\!])] 구간 정적분]]