제2종 스털링 수

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1. 개요2. 정의3. 성질
3.1. 점화식3.2. 제1종 스털링 수와의 관계3.3. 일반항3.4. 생성함수
4. 관련 문서

Stirling numbers of the second kind

1. 개요[편집]

xnx^n을 하강 계승 xk‾x^{\underline k}[1]의 급수로 나타낼 때 각 항에 곱해지는 계수로 정의되며, {nk}\begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} 혹은 S(n, k)S(n,\,k)로 나타낸다. 1730년에 제임스 스털링이 도입하였다. 이 수의 합이 벨 수와 관련이 있고, 공교롭게도 벨 수와 똑같은 기호를 쓰는 베르누이 수와도 연관[2]이 있다. 0≤k≤n≤100 \le k \le n \le 10 범위에서[3][4] {nk}\begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} 값은 다음과 같다.
n\kn \Big\backslash k
00
11
22
33
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55
66
77
88
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33
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66
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1515
2525
1010
11
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66
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3131
9090
6565
1515
11
00
77
11
6363
301301
350350
140140
2121
11
00
88
11
127127
966966
17011701
10501050
266266
2828
11
00
99
11
255255
30253025
77707770
69516951
26462646
462462
3636
11
00
1010
11
511511
93309330
3410534105
4252542525
2282722827
58805880
750750
4545
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2. 정의[편집]

xn=∑k=0nS(n, k)xk‾\displaystyle x^n = \sum_{k=0}^n S(n,\,k)x^{\underline k}
부호 없는 제1종 스털링 수와 비슷하게 S(n, k)S(n,\,k)는 종종 {nk}\begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix}로 표기되곤 한다. xk‾=xPk=k!(xk)x^{\underline k} = {}_x{\rm P}_k = k! \dbinom xk의 관계에 있으므로 위 식은 다음과 같이 나타낼 수도 있다.
xn=∑k=0nk!S(n, k)(xk)\displaystyle x^n = \sum_{k=0}^n k! S(n,\,k) \binom xk
이를테면 n=3n=3일 때, x0‾=1x^{\underline 0} = 1, x1‾=xx^{\underline 1} = x, x2‾=x(x−1)=x2−xx^{\underline 2} = x(x-1) = x^2 - x, x3‾=x(x−1)(x−2)=x3−3x2+2xx^{\underline 3} = x(x-1)(x-2) = x^3 - 3x^2 + 2x이므로
x3=0⋅1+1⋅x+3⋅(x2−x)+1⋅(x3−3x2+2x)x^3 = 0 \cdot 1 + 1 \cdot x + 3 \cdot (x^2 - x) + 1 \cdot \left( x^3 - 3x^2 + 2x \right)
로부터 {30}=0\begin{Bmatrix} 3 \\ 0 \end{Bmatrix} = 0, {31}=1\begin{Bmatrix} 3 \\ 1 \end{Bmatrix} = 1, {32}=3\begin{Bmatrix} 3 \\ 2 \end{Bmatrix} = 3, {33}=1\begin{Bmatrix} 3 \\ 3 \end{Bmatrix} = 1이다.

제1종 스털링 수와 마찬가지로 조합론을 이용해서도 정의할 수 있는데, 원소의 개수가 nn인 집합을 구분되지 않는 kk개의 부분 집합으로 분할하는 방법의 수가 된다. 예를 들어 어느 대학교에서 MT를 nn명이 갔는데 방을 kk개 잡았고 각 방에는 적어도 11명이 들어가야 한다고 할 때 가능한 경우의 수가 S(n, k)S (n,\,k)이다.
각 정의에 입각해서 점화식을 써보면 두 경우 모두 완전히 같은 식이 유도가 되어 동치임을 알 수 있다.

참고로 제1종 스털링 수의 기호는 SS를 소문자로 바꾸어 쓴 s(n, k)s(n,\,k)이다.

3. 성질[편집]

3.1. 점화식[편집]

{n+1k+1}={nk}+(k+1){nk+1}\begin{Bmatrix} n+1 \\ k+1 \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} + (k+1) \begin{Bmatrix} n \\ k+1 \end{Bmatrix}
급수를 이용한 증명에서는 하강 계승을 변형시켜서 유도해줄 수 있다.
xn+1=∑k=0n+1{n+1k}xk‾=x⋅xn=x∑k=0n{nk}xk‾=∑k=0n{nk}x⋅xk‾\displaystyle \begin{aligned} x^{n+1} &= \sum_{k=0}^{n+1} \begin{Bmatrix} n+1 \\ k \end{Bmatrix} x^{\underline k} \\ &= x \cdot x^n = x \sum_{k=0}^n \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} x^{\underline k} = \sum_{k=0}^n \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} x \cdot x^{\underline k} \end{aligned}
첫 번째 식에서 {n+1k+1}\begin{Bmatrix} n+1 \\ k+1 \end{Bmatrix}는 xk+1‾x^{\underline{k+1}}의 계수이다. 따라서 x⋅xnx \cdot x^n에 관한 식에서는 x⋅xk‾x \cdot x^{\underline k}를 변형해서 xk+1‾x^{\underline{k+1}}이 나오도록 하면 된다.
xk‾=x!(x−k)!=x!(x−k−1)!(x−k)=xk+1‾x−kx^{\underline k} = \dfrac{x!}{(x-k)!} = \dfrac{x!}{(x-k-1)!(x-k)} = \dfrac{x^{\underline{k+1}}}{x-k}
이므로
x⋅xk‾=xk+1‾+k⋅xk‾x \cdot x^{\underline k} = x^{\underline{k+1}} + k \cdot x^{\underline k}
이다. 한편, 이 관계식의 kk에 (k+1)(k+1)을 대입한
x⋅xk+1‾=xk+2‾+(k+1)⋅xk+1‾x \cdot x^{\underline{k+1}} = x^{\underline{k+2}} + (k+1) \cdot x^{\underline{k+1}}
에서도 xk+1‾x^{\underline{k+1}}항이 얻어지므로 이를 x⋅xnx \cdot x^n에 관한 등식에 대입한다.
{nk}x⋅xk‾+{nk+1}x⋅xk+1‾={nk}(xk+1‾+k⋅xk‾)+{nk+1}{xk+2‾+(k+1)⋅xk+1‾}={nk}k⋅xk‾+[{nk}+(k+1){nk+1}]xk+1‾+{nk+1}xk+2‾\begin{aligned} \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} x \cdot x^{\underline k} + \begin{Bmatrix} n \\ k+1 \end{Bmatrix} x \cdot x^{\underline{k+1}} &= \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} \left( x^{\underline{k+1}} + k \cdot x^{\underline k} \right) + \begin{Bmatrix} n \\ k+1 \end{Bmatrix} \left\{ x^{\underline{k+2}} + (k+1) \cdot x^{\underline{k+1}} \right\} \\ &= \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} k \cdot x^{\underline k} + \left[\begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} + (k+1) \begin{Bmatrix} n \\ k+1 \end{Bmatrix} \right] x^{\underline{k+1}} + \begin{Bmatrix} n \\ k+1 \end{Bmatrix} x^{\underline{k+2}} \end{aligned}
대괄호 부분이 xn+1x^{n+1}의 전개식에서 {n+1k+1}\begin{Bmatrix} n+1 \\ k+1 \end{Bmatrix}에 해당한다.

조합론의 경우는 훨씬 더 간단하게 증명이 된다. 위의 MT를 예시로 들면, (n+1)(n+1)번째 사람이 추가로 MT에 참가해서 방을 (k+1)(k+1)개로 늘린다고 할 때, 독방을 쓰는 경우와 다른 사람이 들어가 있는 방에 포함되는 경우로 나눌 수 있다. 독방을 쓴다고 하면 nn명이었을 때의 kk개 방으로 나눈 경우 {nk}\begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix}가 그대로 쓰인다. 한편, 다른 사람이 있는 방에 들어간다고 하면 nn명이었을 때 (k+1)(k+1)개 방으로 나눈 경우에서 각 방에 들어가는 모든 경우가 포함되므로 (k+1){nk+1}(k+1) \begin{Bmatrix} n \\ k+1 \end{Bmatrix}가 된다. 정리하면 위의 식이 얻어진다.

3.2. 제1종 스털링 수와의 관계[편집]

  • {nk}=[−k−n]\begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} -k \\ -n \end{bmatrix}
    두 성분을 교환하고 각 성분의 부호를 모두 바꿔주면 스털링 수의 종류가 바뀐다. 위 관계는 점화식을 이용해서 간단하게 증명이 가능하다. 우변의 부호 없는 제1종 스털링 수에 점화식을 적용하면
    [−k−n]=[−k−1−n−1]−(k+1)[−k−1−n]\begin{bmatrix} -k \\ -n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -k-1 \\ -n-1 \end{bmatrix} - (k+1) \begin{bmatrix} -k-1 \\ -n \end{bmatrix}
    이 되는데, 우변의 제2항을 이항하면
    [−k−1−n−1]=[−k−n]+(k+1)[−k−1−n]\begin{bmatrix} -k-1 \\ -n-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -k \\ -n \end{bmatrix} + (k+1) \begin{bmatrix} -k-1 \\ -n \end{bmatrix}
    이제 각 성분을 교환하고 −1-1을 곱해주면 제2종 스털링 수의 점화식 꼴이 된다.
    {n+1k+1}={nk}+(k+1){nk+1}\begin{Bmatrix} n+1 \\ k+1 \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} + (k+1) \begin{Bmatrix} n \\ k+1 \end{Bmatrix}
  • ∑r=kns(n, r)S(r, k)=∑r=knS(n, r)s(r, k)=δn, k\displaystyle \sum_{r=k}^n s(n,\,r) S(r,\,k) = \sum_{r=k}^n S(n,\,r) s(r,\,k) = \delta_{n,\,k}
    δn, k\delta_{n,\,k}는 크로네커 델타이다. 두 식 모두 라흐 수의 정의처럼 각 스털링 수의 정의를 연달아 적용함으로써 도출된다.
    xn‾=∑r=0ns(n, r)xr=∑r=0ns(n, r)∑k=0rS(r, k)xk‾=∑r=0n∑k=0rs(n, r)S(r, k)xk‾=∑k=0n∑r=0ns(n, r)S(r, k)xk‾=∑k=0n(∑r=0ns(n, r)S(r, k))xk‾∴∑r=0ns(n, r)S(r, k)=∑r=kns(n, r)S(r, k)=δn, kxn=∑r=0nS(n, r)xr‾=∑r=0nS(n, r)∑k=0rs(r, k)xk=∑r=0n∑k=0rS(n, r)s(r, k)xk=∑k=0n∑r=0nS(n, r)s(r, k)xk=∑k=0n(∑r=0nS(n, r)s(r, k))xk∴∑r=0nS(n, r)s(r, k)=∑r=knS(n, r)s(r, k)=δn, k\displaystyle \begin{aligned} x^{\underline n} &= \sum_{r=0}^n s(n,\,r) x^r = \sum_{r=0}^n s(n,\,r) \sum_{k=0}^r S(r,\,k) x^{\underline k} = \sum_{r=0}^n \sum_{k=0}^r s(n,\,r) S(r,\,k) x^{\underline k} \\ &= \sum_{k=0}^n \sum_{r=0}^n s(n,\,r) S(r,\,k) x^{\underline k} = \sum_{k=0}^n \left( \sum_{r=0}^n s(n,\,r) S(r,\,k) \right) x^{\underline k} \end{aligned} \\ \therefore \sum_{r=0}^n s(n,\,r) S(r,\,k) = \sum_{r=k}^n s(n,\,r) S(r,\,k) = \delta_{n,\,k} \\ \begin{aligned} x^n &= \sum_{r=0}^n S(n,\,r) x^{\underline r} = \sum_{r=0}^n S(n,\,r) \sum_{k=0}^r s(r,\,k) x^k = \sum_{r=0}^n \sum_{k=0}^r S(n,\,r) s(r,\,k) x^k \\ &= \sum_{k=0}^n \sum_{r=0}^n S(n,\,r) s(r,\,k) x^k = \sum_{k=0}^n \left( \sum_{r=0}^n S(n,\,r) s(r,\,k) \right) x^k \end{aligned} \\ \therefore \sum_{r=0}^n S(n,\,r) s(r,\,k) = \sum_{r=k}^n S(n,\,r) s(r,\,k) = \delta_{n,\,k}
    부호 없는 스털링 수, 그러니까 s(n, k)=(−1)n−k[nk]s(n,\,k) = (-1)^{n-k} \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix}표기를 이용하면 다음과 같이 된다.
    ∑r=kn(−1)r[nr]{rk}=(−1)nδn, k∑r=kn(−1)r{nr}[rk]=(−1)kδn, k\displaystyle \begin{aligned} \sum_{r=k}^n (-1)^r \begin{bmatrix} n \\ r \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} r \\ k \end{Bmatrix} &= (-1)^n \delta_{n,\,k} \\ \sum_{r=k}^n (-1)^r \begin{Bmatrix} n \\ r \end{Bmatrix} \begin{bmatrix} r \\ k \end{bmatrix} &= (-1)^k \delta_{n,\,k} \end{aligned}
    두 식에서 우변의 −1-1의 지수가 다르지만 사실 둘 다 (−1)n(-1)^n을 쓰든 (−1)k(-1)^k를 쓰든 상관 없다. 어차피 부호가 제 역할을 하는 경우는 δn, k=1\delta_{n,\,k} = 1, 즉 n=kn=k일 때 뿐이며, 좌변에서 n=kn=k란 곧 (−1)k[kk]{kk}=(−1)k=(−1)n(-1)^k \begin{bmatrix} k \\ k \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} k \\ k \end{Bmatrix} = (-1)^k = (-1)^n을 의미하기 때문이다.

3.3. 일반항[편집]

S(n, k)=1k!∑r=0k(kr)(−1)r(k−r)n\displaystyle S(n,\,k) = \frac 1{k!} \sum_{r=0}^k \binom kr (-1)^r (k-r)^n
조합론을 이용한 정의에서, kk개의 각 부분 집합에는 공집합이 없어야하는 것이 포인트이다. 즉, 공집합을 허용하도록 분할하는 모든 경우의 수에서 공집합이 적어도 하나 있는 모든 경우를 빼면 S(n, k)S(n,\,k)가 얻어진다.
MT를 예로, 먼저 빈 방이 생기는 걸 허용하여 nn명을 kk개의 호실에 배정하는 경우의 수는 nn명이 동등한 kk개의 선택권을 갖는 경우와 같으므로 knk^n가지가 된다. 다음으로 빈 방이 rr개만 생기도록 하는 경우의 수는, (kk개의 방에서 rr개를 임의로 골라낸 경우의 수)×(k−r)\times(k-r)개의 방에 차례로 배정하는 경우의 수)이므로 (kr)(k−r)n\dbinom kr (k-r)^n이 된다. 이제, 포함·배제의 원리에 따라 빈 방 없이 배정하는 경우를 구하면
kn−[(k1)(k−1)n−{(k2)(k−2)n−((k3)(k−3)n−⋯⋯ )}]=kn−(k1)(k−1)n+(k2)(k−2)n−(k3)(k−3)n+⋯⋯+(−1)k(kk)(k−k)n=∑r=0k(−1)r(kr)(k−r)n\displaystyle k^n - \left[ \binom k1 (k-1)^n - \left\{ \binom k2 (k-2)^n - \left( \binom k3 (k-3)^n -\cdots\cdots \right) \right\} \right] \\ = k^n - \binom k1 (k-1)^n + \binom k2 (k-2)^n - \binom k3 (k-3)^n +\cdots\cdots + (-1)^k \binom kk (k-k)^n \\ = \sum_{r=0}^k (-1)^r \binom kr (k-r)^n
위 식은 각 방에 차례로 배정하는 경우(즉, 각 부분집합이 구분되는 경우)와 같으므로 이를 k!k!로 나눠서 구분되지 않는 부분 집합으로 만들어주면 된다. 즉
S(n, k)=1k!∑r=0k(−1)r(kr)(k−r)n\displaystyle S(n,\,k) = \frac 1{k!} \sum_{r=0}^k (-1)^r \binom kr (k-r)^n
가 된다. (kr)=(kk−r)\dbinom kr = \dbinom k{k-r}라는 성질을 이용하여
S(n, k)=1k!∑r=0k(−1)k−r(kr)rn=(−1)kk!∑r=0k(−1)r(kr)rn\displaystyle \begin{aligned} S(n,\,k) &= \frac 1{k!} \sum_{r=0}^k (-1)^{k-r} \binom kr r^n \\ &= \frac{(-1)^k }{k!} \sum_{r=0}^k (-1)^r \binom kr r^n \end{aligned}
로 나타내기도 한다. 위 식과 제1종 스털링 수와의 관계로부터 중요한 특징이 유도되는데, 바로 n\boldsymbol n을 음의 정수로까지 확장시킬 수 있다는 것이다.[5] 베르누이 수열 중 Bn−B_n ^-의 일반항을 구할 때 위 식이 쓰이기도 한다.

재미있게도 {n+1k+1}\begin{Bmatrix} n+1 \\ k+1 \end{Bmatrix}을 일반항으로 나타내면
{n+1k+1}=(−1)k+1(k+1)!∑r=0k+1(−1)r(k+1r)rn+1\displaystyle \begin{Bmatrix} n+1 \\ k+1 \end{Bmatrix} = \frac{(-1)^{k+1}}{(k+1)!} \sum_{r=0}^{k+1} (-1)^r \binom{k+1}r r^{n+1}
이 되고 r=0r=0인 항은 생략할 수 있으므로 r=1r=1부터 더해주고 식을 변형해주면 다음과 같이 된다.
=(−1)k+1k!∑r=1k+1(−1)rk+1(k+1)!r!(k−r+1)!rn+1=(−1)k+1k!∑r=1k+1(−1)rk!(r−1)!(k−r+1)!rn=(−1)k+1k!∑r=1k+1(−1)r(kr−1)rn=(−1)k+1k!∑r=0k(−1)r+1(kr)(r+1)n=(−1)kk!∑r=0k(−1)r(kr)(r+1)n\displaystyle = \frac{(-1)^{k+1}}{k!} \sum_{r=1}^{k+1} \frac{(-1)^r}{k+1} \frac{(k+1)!}{r!(k-r+1)!} r^{n+1} = \frac{(-1)^{k+1}}{k!} \sum_{r=1}^{k+1} (-1)^r \frac{k!}{(r-1)!(k-r+1)!} r^n \\ = \frac{(-1)^{k+1}}{k!} \sum_{r=1}^{k+1} (-1)^r \binom k{r-1} r^n = \frac{(-1)^{k+1}}{k!} \sum_{r=0}^k (-1)^{r+1} \binom kr (r+1)^n \\ = \frac{(-1)^k}{k!} \sum_{r=0}^k (-1)^r \binom kr (r+1)^n
즉, nn과 kk가 모두 11씩 증가해도 일반항에서 rnr^n항만 변할 뿐이다. 참고로 k!{n+1k+1}=(−1)k∑r=0k(−1)r(kr)(r+1)n\displaystyle k! \begin{Bmatrix} n+1 \\ k+1 \end{Bmatrix} = (-1)^k \sum_{r=0}^k (-1)^r \binom kr (r+1)^n을 보르피츠퀴 수(Worpitzky number) Wn, kW_{n,\,k}라고 하며, 베르누이 수열 중 Bn+B_n ^+의 일반항을 구할 때 쓰인다.

3.4. 생성함수[편집]

(ex−1)kk!=∑n=0∞{nk}xnn!\displaystyle \frac{\left( e^x -1 \right)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} \frac{x^n}{n!}
제2종 스털링 수 특성상 n<kn<k이면 {nk}=0\begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} = 0이기 때문에 일반적으론 다음과 같은 축약식으로 나타낸다.
(ex−1)kk!=∑n=k∞{nk}xnn!\displaystyle \frac{\left( e^x -1 \right)^k}{k!} = \sum_{n=k}^\infty \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} \frac{x^n}{n!}
좌변의 식을 변형해서 정리해주면 제2종 스털링 수의 일반항이 튀어나오면서 간단하게 증명이 된다.
(ex−1)kk!=1k!∑r=0k(kr)(ex)r(−1)k−r=1k!∑r=0k(kr)(−1)k−r∑n=0∞(xr)nn!=∑n=0∞1k!∑r=0k(kr)(−1)k−rxnrnn!=∑n=0∞{1k!∑r=0k(kr)(−1)k−rrn}xnn!=∑n=0∞{nk}xnn!\displaystyle \begin{aligned} \frac{\left( e^x -1 \right)^k}{k!} &= \frac 1{k!} \sum_{r=0}^k \binom kr {\left( e^x \right)}^r (-1)^{k-r} \\ &= \frac 1{k!} \sum_{r=0}^k \binom kr (-1)^{k-r} \sum_{n=0}^\infty \frac{(xr)^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty \frac 1{k!} \sum_{r=0}^k \binom kr (-1)^{k-r} \frac{x^n r^n}{n!} \\ &= \sum_{n=0}^\infty \left\{ \frac 1{k!} \sum_{r=0}^k \binom kr (-1)^{k-r} r^n \right\} \frac{x^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} \frac{x^n}{n!} \end{aligned}

{nk}\begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix}대신에 {n+1k+1}\begin{Bmatrix} n+1 \\ k+1 \end{Bmatrix}를 대입할 경우 생성함수는 다음과 같이 된다.
∑n=0∞{n+1k+1}xnn!=∑n=0∞{1(k+1)!∑r=0k+1(k+1r)(−1)k−r+1rn+1}xnn!=∑n=0∞1(k+1)!∑r=1k+1(k+1r)(−1)k−r+1rxnrnn!=1(k+1)!∑r=1k+1(k+1)!r!(k−r+1)!(−1)k−r+1r∑n=0∞(xr)nn!=1k!∑r=1k+1k!(r−1)!(k−r+1)!(−1)k−r+1(ex)r=1k!∑r=1k+1(kr−1)(−1)k−r+1(ex)r=1k!∑r=0k(kr)(−1)k−r(ex)r+1=ex(ex−1)kk!\displaystyle \begin{aligned} \sum_{n=0}^\infty \begin{Bmatrix} n+1 \\ k+1 \end{Bmatrix} \frac{x^n}{n!} &= \sum_{n=0}^\infty \left\{ \frac 1{(k+1)!} \sum_{r=0}^{k+1} \binom{k+1}r (-1)^{k-r+1} r^{n+1} \right\} \frac{x^n}{n!} \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac 1{(k+1)!} \sum_{r=1}^{k+1} \binom{k+1}r (-1)^{k-r+1}r \frac{x^n r^n}{n!} = \frac 1{(k+1)!} \sum_{r=1}^{k+1} \frac{(k+1)!}{r!(k-r+1)!}(-1)^{k-r+1}r \sum_{n=0}^\infty \frac{(xr)^n}{n!} \\ &= \frac 1{k!} \sum_{r=1}^{k+1} \frac{k!}{(r-1)!(k-r+1)!}(-1)^{k-r+1}\left(e^x \right)^r = \frac 1{k!} \sum_{r=1}^{k+1} \binom k{r-1} (-1)^{k-r+1} \left( e^x \right)^r \\ &= \frac 1{k!} \sum_{r=0}^k \binom kr (-1)^{k-r} \left( e^x \right)^{r+1} \\ &= \frac{e^x \left( e^x -1 \right)^k}{k!} \end{aligned}
여기까지 읽다보면 대략 정신이 멍해진다

4. 관련 문서[편집]

[1] 순열 xPk{}_x{\rm P}_k과 동치이다.[2] 베르누이 수의 일반항을 나타낼 때 제2종 스털링 수의 일반항이 쓰인다.[3] 제1종 스털링 수와의 관계식에서 알 수 있듯이 n≥kn \ge k만 만족하면 두 수가 모두 음수여도 정의할 수 있다. 물론 엄밀히 따지면 이 값은 제2종 스털링 수가 아니라 제1종 스털링 수지만……덤으로 일반항 구조상 nn만 음수여도 정의할 수 있다. 다만 이는 본래 정의에 따른 값이라기보단 확장된 값에 가깝다.[4] n<kn<k이면 조합론 수준에서는 정의되지 않으나 대수적으로도 정의된다는 점 때문에 00인 것으로 약속한다.[5] n≥0n \ge 0, k<0k<0일 때는 아직 알려진 바가 없다. 일반항에서 음의 정수에 대한 팩토리얼이 정의되지 않기 때문