이 수열 자체에 대해서는 그다지 많이 알려지지 않았지만
tan x \tan x tan x ,
cot x \cot x cot x ,
tanh x \tanh x tanh x ,
coth x \coth x coth x 등 다수의 삼각함수, 쌍곡선 함수의 테일러 급수에
B 2 n B_{2n} B 2 n 이라는 형태로 자리를 차지하고 있어 미친 존재감을 자랑한다.
B n B_n B n 이 아닌
B 2 n B_{2n} B 2 n 을 쓰는 이유는
B 2 n + 1 = 0 ( n ≥ 1 ) B_{2n+1} = 0~ (n\ge1) B 2 n + 1 = 0 ( n ≥ 1 ) , 즉
제3 \bf3 3 0 \bf0 0 이라는 독특한 성질이 있기 때문이다.
제
1 1 1 항에 대해서도 간혹
B 1 = 1 2 B_1 = \dfrac12 B 1 = 2 1 라 나타내는 문헌이 존재하는데 이것은 베르누이 수열이
( − 1 ) n B n (-1)^nB_n ( − 1 ) n B n 로 정의되었기 때문이다.
혼동을 피하기 위해 일반적인 베르누이 수열을
B n − B^-_n B n − 로,
( − 1 ) n (-1)^n ( − 1 ) n 을 곱한 베르누이 수열을
B n + B^+_n B n + 로 표기하기도 한다. 대략 제
18 18 18 항까지의 값은 다음과 같다.
− 691 2730 -\dfrac{691}{2730} − 2730 691 − 3617 510 -\dfrac{3617}{510} − 510 3617 43867 798 \dfrac{43867}{798} 798 43867
역사적으로는 다음과 같은 거듭제곱 합의 계수에 대한 연구에서 시작되었다.
∑ k = 1 n k = 1 2 n 2 + 1 2 n ∑ k = 1 n k 2 = 1 3 n 3 + 1 2 n 2 + 1 6 n ∑ k = 1 n k 3 = 1 4 n 4 + 1 2 n 3 + 1 4 n 2 ∑ k = 1 n k 4 = 1 5 n 5 + 1 2 n 4 + 1 3 n 3 − 1 30 n \displaystyle\begin{aligned} \sum_{k=1}^n k &= \frac12n^2 + \frac12n \\ \sum_{k=1}^n k^2 &= \frac13n^3 + \frac12n^2 + \frac16n \\ \sum_{k=1}^n k^3 &= \frac14n^4 + \frac12n^3 + \frac14n^2 \\ \sum_{k=1}^n k^4 &= \frac15n^5 + \frac12n^4 + \frac13n^3 - \frac1{30}n \end{aligned} k = 1 ∑ n k k = 1 ∑ n k 2 k = 1 ∑ n k 3 k = 1 ∑ n k 4 = 2 1 n 2 + 2 1 n = 3 1 n 3 + 2 1 n 2 + 6 1 n = 4 1 n 4 + 2 1 n 3 + 4 1 n 2 = 5 1 n 5 + 2 1 n 4 + 3 1 n 3 − 30 1 n
훗날
야코프 베르누이 가
n n n 의 거듭제곱에 붙은 계수들에 대해 일반항을 제시하기 전까지, 이 공식에 대해 열심히 연구하던 당대 수학자들
중, 요한 파울하버(Johann Faulhaber)가 무려
k 17 k^{17} k 17 에 대한 합의 공식까지 제시하여 빼어난 기록을 남겼기에 오늘날에도 이 거듭제곱 합의 공식은
파울하버의 공식 으로 알려져 있으나, 일반식을 제시한 건 베르누이이기 때문에 종종
베르누이의 공식 , 또는 단순히
거듭제곱 합의 공식 이라고도 불린다. 자세한 것은 해당 문서 참조.
이와는 별개로 일본의
세키 다카카즈 가 그의 저서 《괄요산법》(括要算法, 1712)에서
n = 12 n=12 n = 12 까지에 대해 구체적인 값을 제시하였으나 일반식을 제시한 건 아니기에 수열 이름에 포함될 정도의 업적으로 보지는 않는 듯 하다.
x e x − 1 = x 2 ( c o t h x 2 − 1 ) = ∑ n = 0 ∞ B n n ! x n \displaystyle\frac x{e^x -1} = \frac x2 \left( {\rm coth}\,\frac x2 - 1 \right) = \sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!}x^n e x − 1 x = 2 x ( coth 2 x − 1 ) = n = 0 ∑ ∞ n ! B n x n
B 1 = 1 2 B_1 = \dfrac12 B 1 = 2 1 인
B n + B^+_n B n + 의 경우, 위의 테일러 급수에서
x x x 만큼을 더한 급수의 계수에 해당하므로
x e x − 1 + x = x e x e x − 1 = x 1 − e − x = x 2 ( coth x 2 + 1 ) = ∑ n = 0 ∞ B n + n ! x n \displaystyle\frac x{e^x -1} + x = \frac{xe^x}{e^x - 1} = \frac x{1 - e^{-x}} = \frac x2 \left( \coth\,\frac x2 + 1 \right) = \sum_{n=0}^\infty \frac{B^+_n}{n!}x^n e x − 1 x + x = e x − 1 x e x = 1 − e − x x = 2 x ( coth 2 x + 1 ) = n = 0 ∑ ∞ n ! B n + x n
으로 정의된다.
물론 위 식들을 직접 미분하고
x = 0 x=0 x = 0 을 대입하는 미친짓(……)으로 값을 계산하진 않고, 각 식의 역수들이 테일러 급수식으로 용이하게 나타낼 수 있다는 점을 이용, 점화식을 유도하여 계산하는 것이 일반적이다. 예를 들어
B n B_n B n 의 경우 양변에
e x − 1 x = 1 x ( ∑ n = 0 ∞ x n n ! − 1 ) = 1 x ∑ n = 1 ∞ ( x n n ! ) = ∑ n = 1 ∞ ( x n − 1 n ! ) = ∑ n = 0 ∞ { x n ( n + 1 ) ! } = 1 + x 2 ! + x 2 3 ! + x 3 4 ! + ⋯ ⋯ \displaystyle\begin{aligned} \frac{e^x -1}x &= \frac1x \left(\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} -1 \right) = \frac1x \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{x^n}{n!} \right) = \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{x^{n-1}}{n!} \right) = \sum_{n=0}^\infty \left\{ \frac{x^n}{(n+1)!} \right\} \\ &= 1 + \frac x{2!} + \frac{x^2}{3!} + \frac{x^3}{4!} + \cdots\cdots \end{aligned} x e x − 1 = x 1 ( n = 0 ∑ ∞ n ! x n − 1 ) = x 1 n = 1 ∑ ∞ ( n ! x n ) = n = 1 ∑ ∞ ( n ! x n − 1 ) = n = 0 ∑ ∞ { ( n + 1 )! x n } = 1 + 2 ! x + 3 ! x 2 + 4 ! x 3 + ⋯⋯
를 곱하면 우변이
1 1 1 이 되므로 좌변의 급수식을 적절하게 변형해주면 점화식이 얻어진다.
x e x − 1 e x − 1 x = ( B 0 + B 1 1 ! x + B 2 2 ! x 2 + B 3 3 ! x 3 + ⋯ ⋯ ) ( 1 + x 2 ! + x 2 3 ! + x 3 4 ! + ⋯ ⋯ ) = ∑ n = 0 ∞ ∑ r = 0 n B r x r r ! x n − r ( n − r + 1 ) ! = ∑ n = 0 ∞ ∑ r = 0 n B r x n r ! ( n − r + 1 ) ! = ∑ n = 0 ∞ ∑ r = 0 n ( n + 1 ) ! r ! ( n − r + 1 ) ! B r x n ( n + 1 ) ! = ∑ n = 0 ∞ 1 ( n + 1 ) ! ∑ r = 0 n ( n + 1 r ) B r x n = B 0 + 1 2 ! ∑ r = 0 1 ( 2 r ) B r x + 1 3 ! ∑ r = 0 2 ( 3 r ) B r x 2 + 1 4 ! ∑ r = 0 3 ( 4 r ) B r x 3 + ⋯ ⋯ = 1 \displaystyle\begin{aligned} \frac x{e^x -1}\frac{e^x -1}x &= \left( {B_0} + \frac{B_1}{1!}x + \frac{B_2}{2!}x^2 + \frac{B_3}{3!}x^3 + \cdots\cdots \right) \left( 1 + \frac x{2!} + \frac{x^2}{3!} + \frac{x^3}{4!} + \cdots\cdots \right) \\ &= \sum_{n=0}^\infty \sum_{r=0}^n \frac{B_rx^r}{r!} \frac{x^{n-r}}{(n-r+1)!} = \sum_{n=0}^\infty \sum_{r=0}^n \frac{B_r x^n}{r!(n-r+1)!} = \sum_{n=0}^\infty \sum_{r=0}^n \frac{(n+1)!}{r!(n-r+1)!} \frac{B_r x^n}{(n+1)!} \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac1{(n+1)!} \sum_{r=0}^n \binom{n+1}r B_rx^n \\ &= B_0 + \frac1{2!} \sum_{r=0}^1 \binom2rB_rx + \frac1{3!} \sum_{r=0}^2 \binom3rB_rx^2 + \frac1{4!} \sum_{r=0}^3 \binom4rB_rx^3 + \cdots\cdots \\ &= 1 \end{aligned} e x − 1 x x e x − 1 = ( B 0 + 1 ! B 1 x + 2 ! B 2 x 2 + 3 ! B 3 x 3 + ⋯⋯ ) ( 1 + 2 ! x + 3 ! x 2 + 4 ! x 3 + ⋯⋯ ) = n = 0 ∑ ∞ r = 0 ∑ n r ! B r x r ( n − r + 1 )! x n − r = n = 0 ∑ ∞ r = 0 ∑ n r ! ( n − r + 1 )! B r x n = n = 0 ∑ ∞ r = 0 ∑ n r ! ( n − r + 1 )! ( n + 1 )! ( n + 1 )! B r x n = n = 0 ∑ ∞ ( n + 1 )! 1 r = 0 ∑ n ( r n + 1 ) B r x n = B 0 + 2 ! 1 r = 0 ∑ 1 ( r 2 ) B r x + 3 ! 1 r = 0 ∑ 2 ( r 3 ) B r x 2 + 4 ! 1 r = 0 ∑ 3 ( r 4 ) B r x 3 + ⋯⋯ = 1
항등식이므로
∑ r = 0 n ( n + 1 r ) B r = δ 0 , n \displaystyle\sum_{r=0}^n \binom{n+1}rB_r = \delta_{0,\,n} r = 0 ∑ n ( r n + 1 ) B r = δ 0 , n 이며(단,
δ 0 , n \delta_{0,\,n} δ 0 , n 은
크로네커 델타 ) 이 식으로부터 점화식이 얻어진다.
∑ r = 0 n ( n + 1 r ) B r = ( n + 1 ) B n + ∑ r = 0 n − 1 ( n + 1 r ) B r = δ 0 , n ∴ B n = δ 0 , n − 1 n + 1 ∑ r = 0 n − 1 ( n + 1 r ) B r \displaystyle\sum_{r=0}^n \binom{n+1}rB_r = (n+1)B_n + \sum_{r=0}^{n-1} \binom{n+1}rB_r = \delta_{0,\,n} \\ \therefore B_n = \delta_{0,\,n} - \frac1{n+1} \sum_{r=0}^{n-1} \binom{n+1}rB_r r = 0 ∑ n ( r n + 1 ) B r = ( n + 1 ) B n + r = 0 ∑ n − 1 ( r n + 1 ) B r = δ 0 , n ∴ B n = δ 0 , n − n + 1 1 r = 0 ∑ n − 1 ( r n + 1 ) B r
제1항이
δ 0 , n n + 1 \dfrac{\delta_{0,\,n}}{n+1} n + 1 δ 0 , n 이 아닌 이유는,
n = 0 n=0 n = 0 이면
1 1 1 이고
n ≥ 1 n\ge1 n ≥ 1 이면
0 0 0 이므로 사실상 값이 같기 때문이다. 보통은
n ≥ 1 n\ge1 n ≥ 1 이라는 조건을 붙이지만 공합(empty sum)
을
0 0 0 으로 약속하는 일반적인 정의에 따르면 위 식은 음이 아닌 정수에 대해 성립한다.
한편,
coth x \coth x coth x 는 정의에 따라 다음과 같이 나타내어지는데, 바로 위의
생성함수 를 이용하여 표현할 수 있다.
coth x = cosh x sinh x = e x + e − x 2 e x − e − x 2 = e x + e − x e x − e − x = e 2 x + 1 e 2 x − 1 = 1 + 2 e 2 x − 1 = 1 + 1 x 2 x e 2 x − 1 = 1 + 1 x ∑ n = 0 ∞ B n n ! ( 2 x ) n = 1 + ∑ n = 0 ∞ 2 n B n n ! x n − 1 \displaystyle\begin{aligned} \coth x &= \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac{\dfrac{e^x + e^{-x}}2}{\dfrac{e^x - e^{-x}}2} = \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1}{e^{2x} - 1} = 1 + \frac2{e^{2x} - 1} = 1 + \frac1x \frac{2x}{e^{2x} - 1} \\ &= 1 + \frac1x \sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!}(2x)^n \\ &= 1 + \sum_{n=0}^\infty \frac{2^n B_n}{n!}x^{n-1} \end{aligned} coth x = sinh x cosh x = 2 e x − e − x 2 e x + e − x = e x − e − x e x + e − x = e 2 x − 1 e 2 x + 1 = 1 + e 2 x − 1 2 = 1 + x 1 e 2 x − 1 2 x = 1 + x 1 n = 0 ∑ ∞ n ! B n ( 2 x ) n = 1 + n = 0 ∑ ∞ n ! 2 n B n x n − 1
쌍곡선 함수를 복소평면으로 확장시키면 cosh i x = cos x \cosh ix = \cos x cosh i x = cos x ,
sinh i x = i sin x \sinh ix = i \sin x sinh i x = i sin x 의 관계가 있음을 알 수 있고, 이로부터
coth i x = − i cot x \coth ix = -i\cot x coth i x = − i cot x 임을 알 수 있으므로 위의 테일러 전개식에
i x ix i x 를 대입하면
coth i x = 1 + ∑ n = 0 ∞ 2 n B n n ! ( i x ) n − 1 = 1 + 2 ∑ n = 0 ∞ ( 2 i ) n − 1 B n n ! x n − 1 = 1 + 2 { ∑ n = 0 ∞ ( 2 i ) 2 n − 1 B 2 n ( 2 n ) ! x 2 n − 1 + ∑ n = 0 ∞ ( 2 i ) 2 n B 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n } = { 1 + 2 ∑ n = 0 ∞ ( − 4 ) n B 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n } − i { ∑ n = 0 ∞ ( − 4 ) n B 2 n ( 2 n ) ! x 2 n − 1 } = − i cot x \displaystyle\begin{aligned} \coth ix &= 1 + \sum_{n=0}^\infty \frac{2^nB_n}{n!}(ix)^{n-1} = 1 + 2\sum_{n=0}^\infty \frac{(2i)^{n-1}B_n}{n!}x^{n-1} \\ &= 1 + 2 \left\{ \sum_{n=0}^\infty \frac{(2i)^{2n-1}B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} + \sum_{n=0}^\infty \frac{(2i)^{2n}B_{2n+1}}{(2n+1)!}x^{2n} \right\} \\ &= \left\{ 1 + 2\sum_{n=0}^\infty \frac{(-4)^nB_{2n+1}}{(2n+1)!}x^{2n} \right\} - i\left\{ \sum_{n=0}^\infty \frac{(-4)^nB_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} \right\} \\ &= -i\cot x \end{aligned} coth i x = 1 + n = 0 ∑ ∞ n ! 2 n B n ( i x ) n − 1 = 1 + 2 n = 0 ∑ ∞ n ! ( 2 i ) n − 1 B n x n − 1 = 1 + 2 { n = 0 ∑ ∞ ( 2 n )! ( 2 i ) 2 n − 1 B 2 n x 2 n − 1 + n = 0 ∑ ∞ ( 2 n + 1 )! ( 2 i ) 2 n B 2 n + 1 x 2 n } = { 1 + 2 n = 0 ∑ ∞ ( 2 n + 1 )! ( − 4 ) n B 2 n + 1 x 2 n } − i { n = 0 ∑ ∞ ( 2 n )! ( − 4 ) n B 2 n x 2 n − 1 } = − i cot x
실수부가
0 0 0 이 되어야하며 허수부의 급수가 곧
cot x \cot x cot x 의 테일러 급수가 된다. 위 식의 실수부에 대해
1 + 2 ∑ n = 0 ∞ ( − 4 ) n B 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n = 1 + 2 B 1 + ∑ n = 1 ∞ ( − 4 ) n B 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n = 0 \displaystyle1 + 2\sum_{n=0}^\infty \frac{(-4)^nB_{2n+1}}{(2n+1)!}x^{2n} = 1 + 2B_1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{(-4)^nB_{2n+1}}{(2n+1)!}x^{2n} = 0 1 + 2 n = 0 ∑ ∞ ( 2 n + 1 )! ( − 4 ) n B 2 n + 1 x 2 n = 1 + 2 B 1 + n = 1 ∑ ∞ ( 2 n + 1 )! ( − 4 ) n B 2 n + 1 x 2 n = 0
이므로
B 2 n + 1 = − 1 2 δ 0 , n B_{2n+1} = -\dfrac12\delta_{0,\,n} B 2 n + 1 = − 2 1 δ 0 , n 이 얻어지며 이 식으로부터
3 3 3 이상의 홀수항은
0 0 0 이 된다는 것을 알 수 있다.
이 사실을 이용하면 전술했던 베르누이 수열의 점화식도 다음과 같이 축약시킬 수 있게 된다.
B 2 n = δ 0 , n − 1 2 n + 1 ∑ r = 0 2 n − 1 ( 2 n + 1 r ) B r = δ 0 , n + 1 2 ( 1 − δ 0 , n ) − 1 2 n + 1 ∑ r = 0 n − 1 ( 2 n + 1 2 r ) B 2 r = 1 + δ 0 , n 2 − 1 2 n + 1 ∑ r = 0 n − 1 ( 2 n + 1 2 r ) B 2 r \displaystyle\begin{aligned} B_{2n} &= \delta_{0,\,n} - \frac1{2n+1} \sum_{r=0}^{2n-1} \binom{2n+1}rB_r = \delta_{0,\,n} + \frac12(1 - \delta_{0,\,n}) - \frac1{2n+1} \sum_{r=0}^{n-1} \binom{2n+1}{2r}B_{2r} \\ &= \frac{1 + \delta_{0,\,n}}2 - \frac1{2n+1} \sum_{r=0}^{n-1} \binom{2n+1}{2r}B_{2r} \end{aligned} B 2 n = δ 0 , n − 2 n + 1 1 r = 0 ∑ 2 n − 1 ( r 2 n + 1 ) B r = δ 0 , n + 2 1 ( 1 − δ 0 , n ) − 2 n + 1 1 r = 0 ∑ n − 1 ( 2 r 2 n + 1 ) B 2 r = 2 1 + δ 0 , n − 2 n + 1 1 r = 0 ∑ n − 1 ( 2 r 2 n + 1 ) B 2 r
1 2 ( 1 − δ 0 , n ) \dfrac12(1-\delta_{0,\,n}) 2 1 ( 1 − δ 0 , n ) 은 합의 기호 부분에서
r = 1 r=1 r = 1 일 때, 즉
B 1 B_1 B 1 이 곱해진 항을 계산하여 빼낸 부분인데,
n = 0 n=0 n = 0 이면
r = 1 r=1 r = 1 인 항이 존재하지 않으므로 해당 항이
0 0 0 이 되면서
n ≥ 1 n\ge1 n ≥ 1 이면
1 2 \dfrac12 2 1 로 남아있도록 변형한 것이다. 이를 정리하면
∴ B n { B 2 n = 1 + δ 0 , n 2 − 1 2 n + 1 ∑ r = 0 n − 1 ( 2 n + 1 2 r ) B 2 r B 2 n + 1 = − 1 2 δ 0 , n \displaystyle\therefore B_n \begin{cases} \begin{aligned} B_{2n} &= \frac{1 + \delta_{0,\,n}}2 - \frac1{2n+1} \sum_{r=0}^{n-1} \binom{2n+1}{2r}B_{2r} \\ B_{2n+1} &= -\frac12\delta_{0,\,n} \end{aligned} \end{cases} ∴ B n ⎩ ⎨ ⎧ B 2 n B 2 n + 1 = 2 1 + δ 0 , n − 2 n + 1 1 r = 0 ∑ n − 1 ( 2 r 2 n + 1 ) B 2 r = − 2 1 δ 0 , n
B n = ∑ k = 0 n 1 k + 1 ∑ r = 0 k ( k r ) ( − 1 ) r r n \displaystyle B_n = \sum_{k=0}^n \frac1{k+1} \sum_{r=0}^k \binom kr(-1)^rr^n B n = k = 0 ∑ n k + 1 1 r = 0 ∑ k ( r k ) ( − 1 ) r r n
식이 복잡해 보이지만 두 번째 합의 식은
제2종 스털링 수 의 일반항에서 유래했다. 즉, 제2종 스털링 수 표기를 이용해서 나타내면 다음과 같다.
B n = ∑ k = 0 n k ! ( − 1 ) k k + 1 S ( n , k ) \displaystyle B_n = \sum_{k=0}^n \frac{k!(-1)^k}{k+1} S(n,\,k) B n = k = 0 ∑ n k + 1 k ! ( − 1 ) k S ( n , k )
베르누이 수열의 일반항은 조금 특이한 과정을 거쳐서 구해진다. 우선 각 생성함수를 다음과 같은 조건 하에 치환을 거쳐 식을 변형해준다.
i ) {\rm i}) i ) x 1 − e − x = ∑ n = 0 ∞ B n + x n n ! = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n B n x n n ! \displaystyle\frac x{1 - e^{-x}} = \sum_{n=0}^\infty B_n^+\frac{x^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^nB_n\frac{x^n}{n!} 1 − e − x x = n = 0 ∑ ∞ B n + n ! x n = n = 0 ∑ ∞ ( − 1 ) n B n n ! x n 에서
1 − e − x = t 1 - e^{-x} = t 1 − e − x = t 로 치환하면
x = − ln ( 1 − t ) x = -\ln(1-t) x = − ln ( 1 − t ) 가 되는데
x > 0 x>0 x > 0 일 때,
0 < t < 1 0<t<1 0 < t < 1 이므로 해당 식에 대해 매클로린 급수를 적용할 수 있다. 따라서
x 1 − e − x = − ln ( 1 − t ) t = 1 t ∫ d t 1 − t = 1 t ∫ ∑ k = 0 ∞ t k d t = 1 t ∑ k = 0 ∞ t k + 1 k + 1 = ∑ k = 0 ∞ t k k + 1 = ∑ k = 0 ∞ ( 1 − e − x ) k k + 1 = ∑ k = 0 ∞ ( e − x − 1 ) k k ! k ! ( − 1 ) k k + 1 \displaystyle\begin{aligned} \frac x{1 - e^{-x}} &= \frac{-\ln(1 - t)}t = \frac1t \int \frac{{\rm d}t}{1-t} = \frac 1t \int \sum_{k=0}^\infty t^k\,{\rm d}t = \frac1t \sum_{k=0}^\infty \frac{t^{k+1}}{k+1} = \sum_{k=0}^\infty \frac{t^k}{k+1} \\ &= \sum_{k=0}^\infty \frac{(1 - e^{-x})^k}{k+1} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(e^{-x} - 1)^k}{k!} \frac{k!(-1)^k}{k+1} \end{aligned} 1 − e − x x = t − ln ( 1 − t ) = t 1 ∫ 1 − t d t = t 1 ∫ k = 0 ∑ ∞ t k d t = t 1 k = 0 ∑ ∞ k + 1 t k + 1 = k = 0 ∑ ∞ k + 1 t k = k = 0 ∑ ∞ k + 1 ( 1 − e − x ) k = k = 0 ∑ ∞ k ! ( e − x − 1 ) k k + 1 k ! ( − 1 ) k
( e − x − 1 ) k k ! \dfrac{(e^{-x} - 1)^k}{k!} k ! ( e − x − 1 ) k 는
제2종 스털링 수 의 생성함수이므로 생성함수 식으로 바꾼 뒤 일반항을 대입한다.
x 1 − e − x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n B n x n n ! = ∑ k = 0 ∞ ( e − x − 1 ) k k ! k ! ( − 1 ) k k + 1 = ∑ k = 0 ∞ ∑ n = 0 ∞ { n k } ( − x ) n n ! k ! ( − 1 ) k k + 1 = ∑ n = 0 ∞ ∑ k = 0 n { n k } ( − x ) n n ! k ! ( − 1 ) k k + 1 = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n { ∑ k = 0 n { n k } k ! ( − 1 ) k k + 1 } x n n ! = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n { ∑ k = 0 n 1 k ! ∑ r = 0 k ( k r ) ( − 1 ) k − r r n k ! ( − 1 ) k k + 1 } x n n ! = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n { ∑ k = 0 n 1 k + 1 ∑ r = 0 k ( k r ) ( − 1 ) r r n } x n n ! ∴ B n = ∑ k = 0 n 1 k + 1 ∑ r = 0 k ( k r ) ( − 1 ) r r n \displaystyle \begin{aligned} \frac x{1 - e^{-x}} &= {\color{blue}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n}{\color{red}B_n}{\color{blue}\frac{x^n}{n!}} \\ &= \sum_{k=0}^\infty \frac{(e^{-x} - 1)^k}{k!} \frac{k!(-1)^k}{k+1} = \sum_{k=0}^\infty \sum_{n=0}^\infty \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} \frac{(-x)^n}{n!} \frac{k!(-1)^k}{k+1} = \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} \frac{(-x)^n}{n!} \frac{k!(-1)^k}{k+1} \\ &= \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \left\{ \sum_{k=0}^n \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} \frac{ k!(-1)^k}{k+1} \right\} \frac{x^n}{n!} \\ &= \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \left\{ \sum_{k=0}^n \frac 1{\cancel{k!}} \sum_{r=0}^k \binom kr(-1)^{k-r} r^n \frac{\cancel{k!}(-1)^k}{k+1} \right\} \frac{x^n}{n!} \\ &= {\color{blue}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n}{\color{red}\left\{ \sum_{k=0}^n \frac1{k+1} \sum_{r=0}^k \binom kr(-1)^rr^n \right\}}{\color{blue}\frac{x^n}{n!}} \end{aligned} \\ \therefore B_n = \sum_{k=0}^n \frac 1{k+1} \sum_{r=0}^k \binom kr(-1)^rr^n 1 − e − x x = n = 0 ∑ ∞ ( − 1 ) n B n n ! x n = k = 0 ∑ ∞ k ! ( e − x − 1 ) k k + 1 k ! ( − 1 ) k = k = 0 ∑ ∞ n = 0 ∑ ∞ { n k } n ! ( − x ) n k + 1 k ! ( − 1 ) k = n = 0 ∑ ∞ k = 0 ∑ n { n k } n ! ( − x ) n k + 1 k ! ( − 1 ) k = n = 0 ∑ ∞ ( − 1 ) n { k = 0 ∑ n { n k } k + 1 k ! ( − 1 ) k } n ! x n = n = 0 ∑ ∞ ( − 1 ) n { k = 0 ∑ n k ! 1 r = 0 ∑ k ( r k ) ( − 1 ) k − r r n k + 1 k ! ( − 1 ) k } n ! x n = n = 0 ∑ ∞ ( − 1 ) n { k = 0 ∑ n k + 1 1 r = 0 ∑ k ( r k ) ( − 1 ) r r n } n ! x n ∴ B n = k = 0 ∑ n k + 1 1 r = 0 ∑ k ( r k ) ( − 1 ) r r n
i i ) {\rm ii}) ii ) x e x − 1 = ∑ n = 0 ∞ B n x n n ! \displaystyle\frac x{e^x - 1} = \sum_{n=0}^\infty B_n\frac{x^n}{n!} e x − 1 x = n = 0 ∑ ∞ B n n ! x n 에서
e x − 1 = t e^x - 1 = t e x − 1 = t 로 치환하면
x = ln ( 1 + t ) x = \ln(1+t) x = ln ( 1 + t ) 가 되는데
x < 0 x<0 x < 0 일 때,
− 1 < t < 0 -1<t<0 − 1 < t < 0 이므로 마찬가지로 매클로린 급수를 적용한다.
x e x − 1 = ∑ n = 0 ∞ B n x n n ! = ln ( 1 + t ) t = 1 t ∫ d t 1 + t = 1 t ∫ ∑ k = 0 ∞ ( − t ) k d t = 1 t ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k t k + 1 k + 1 = ∑ k = 0 ∞ t k ( − 1 ) k k + 1 = ∑ k = 0 ∞ ( e x − 1 ) k ( − 1 ) k k + 1 = ∑ k = 0 ∞ ( e x − 1 ) k k ! k ! ( − 1 ) k k + 1 = ∑ k = 0 ∞ ∑ n = 0 ∞ { n k } x n n ! k ! ( − 1 ) k k + 1 = ∑ n = 0 ∞ ∑ k = 0 n { n k } x n n ! k ! ( − 1 ) k k + 1 = ∑ n = 0 ∞ { ∑ k = 0 n { n k } k ! ( − 1 ) k k + 1 } x n n ! = ∑ n = 0 ∞ { ∑ k = 0 n 1 k ! ∑ r = 0 k ( k r ) ( − 1 ) k − r r n k ! ( − 1 ) k k + 1 } x n n ! = ∑ n = 0 ∞ { ∑ k = 0 n 1 k + 1 ∑ r = 0 k ( k r ) ( − 1 ) r r n } x n n ! ∴ B n = ∑ k = 0 n 1 k + 1 ∑ r = 0 k ( k r ) ( − 1 ) r r n \displaystyle\begin{aligned} \frac x{e^x - 1} &= {\color{blue}\sum_{n=0}^\infty}{\color{red}B_n}{\color{blue}\frac{x^n}{n!}} \\ &= \frac{\ln(1+t)}t = \frac1t \int \frac{{\rm d}t}{1+t} = \frac1t \int \sum_{k=0}^\infty (-t)^k\,{\rm d}t = \frac1t \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^kt^{k+1}}{k+1} = \sum_{k=0}^\infty t^k\frac{(-1)^k}{k+1} \\ &= \sum_{k=0}^\infty (e^x - 1)^k\frac{(-1)^k}{k+1} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(e^x - 1)^k}{k!} \frac{k!(-1)^k}{k+1} \\ &= \sum_{k=0}^\infty \sum_{n=0}^\infty \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} \frac{x^n}{n!} \frac{k!(-1)^k}{k+1} = \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} \frac{x^n}{n!} \frac{k!(-1)^k}{k+1} \\ &= \sum_{n=0}^\infty \left\{ \sum_{k=0}^n \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} \frac{k!(-1)^k}{k+1} \right\} \frac{x^n}{n!} \\ &= \sum_{n=0}^\infty \left\{ \sum_{k=0}^n \frac1{\cancel{k!}} \sum_{r=0}^k \binom kr(-1)^{k-r}r^n \frac{\cancel{k!}(-1)^k}{k+1} \right\} \frac{x^n}{n!} \\ &= {\color{blue}\sum_{n=0}^\infty}{\color{red}\left\{\sum_{k=0}^n \frac1{k+1} \sum_{r=0}^k \binom kr(-1)^rr^n \right\}}{\color{blue}\frac{x^n}{n!}} \end{aligned} \\ \therefore B_n = \sum_{k=0}^n \frac1{k+1} \sum_{r=0}^k \binom kr(-1)^rr^n e x − 1 x = n = 0 ∑ ∞ B n n ! x n = t ln ( 1 + t ) = t 1 ∫ 1 + t d t = t 1 ∫ k = 0 ∑ ∞ ( − t ) k d t = t 1 k = 0 ∑ ∞ k + 1 ( − 1 ) k t k + 1 = k = 0 ∑ ∞ t k k + 1 ( − 1 ) k = k = 0 ∑ ∞ ( e x − 1 ) k k + 1 ( − 1 ) k = k = 0 ∑ ∞ k ! ( e x − 1 ) k k + 1 k ! ( − 1 ) k = k = 0 ∑ ∞ n = 0 ∑ ∞ { n k } n ! x n k + 1 k ! ( − 1 ) k = n = 0 ∑ ∞ k = 0 ∑ n { n k } n ! x n k + 1 k ! ( − 1 ) k = n = 0 ∑ ∞ { k = 0 ∑ n { n k } k + 1 k ! ( − 1 ) k } n ! x n = n = 0 ∑ ∞ { k = 0 ∑ n k ! 1 r = 0 ∑ k ( r k ) ( − 1 ) k − r r n k + 1 k ! ( − 1 ) k } n ! x n = n = 0 ∑ ∞ { k = 0 ∑ n k + 1 1 r = 0 ∑ k ( r k ) ( − 1 ) r r n } n ! x n ∴ B n = k = 0 ∑ n k + 1 1 r = 0 ∑ k ( r k ) ( − 1 ) r r n
B n + B_n^+ B n + 의 경우
생성함수 식
x 1 − e − x = ∑ n = 0 ∞ B n + x n n ! \displaystyle \frac x{1 - e^{-x}} = \sum_{n=0}^\infty B^+_n \frac{x^n}{n!} 1 − e − x x = n = 0 ∑ ∞ B n + n ! x n 에서 좌변의 식은
x e x − 1 e x \dfrac x{e^x -1}e^x e x − 1 x e x 와 같다. 즉 같은 방식으로 식을 전개해나가면 제2종 스털링 수의 생성함수 식이
e x ( e x − 1 ) k k ! \dfrac{e^x(e^x - 1)^k}{k!} k ! e x ( e x − 1 ) k 로 주어지고
e x ( e x − 1 ) k k ! = ∑ n = 0 ∞ { n + 1 k + 1 } x n n ! \displaystyle \frac{e^x(e^x - 1)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \begin{Bmatrix} n+1 \\ k+1 \end{Bmatrix} \frac{x^n}{n!} k ! e x ( e x − 1 ) k = n = 0 ∑ ∞ { n + 1 k + 1 } n ! x n 이므로
B n + = ∑ k = 0 n { n + 1 k + 1 } k ! ( − 1 ) k k + 1 = ∑ k = 0 n 1 k + 1 ∑ r = 0 k ( k r ) ( − 1 ) r ( r + 1 ) n \displaystyle\begin{aligned} B^+_n &= \sum_{k=0}^n \begin{Bmatrix} n+1 \\ k+1 \end{Bmatrix} \frac{k!(-1)^k}{k+1} \\ &=\sum_{k=0}^n \frac1{k+1} \sum_{r=0}^k \binom kr(-1)^r(r+1)^n \end{aligned} B n + = k = 0 ∑ n { n + 1 k + 1 } k + 1 k ! ( − 1 ) k = k = 0 ∑ n k + 1 1 r = 0 ∑ k ( r k ) ( − 1 ) r ( r + 1 ) n
주로
테일러 급수 에서 많이 쓰이고, 전술한대로 거듭제곱 합의 공식에도 쓰인다. 아래 목록에 없는
sec x \sec x sec x 와
s e c h x {\rm sech}\, x sech x 는
오일러 수열 을 이용해서 표현한다. 베르누이 수열이
오일러 수열 과 서로 합연산
관계에 있기는 하나(후술) 이걸 이용해서 두 급수를 표현하려면 식이 엄청 복잡해진다. 자세한 것은 항목 참조.
∑ k = 1 n k c = ∑ k = 0 c ( − 1 ) k c + 1 ( c + 1 k ) B k n c + 1 − k \displaystyle\sum_{k=1}^n k^c = \sum_{k=0}^c \frac{(-1)^k}{c+1}\binom{c+1}kB_kn^{c+1-k} k = 1 ∑ n k c = k = 0 ∑ c c + 1 ( − 1 ) k ( k c + 1 ) B k n c + 1 − k
cot x = ∑ n = 0 ∞ ( − 4 ) n B 2 n ( 2 n ) ! x 2 n − 1 = 1 x − 1 3 x − 1 45 x 3 − 2 945 x 5 − ⋯ ⋯ \displaystyle\cot x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-4)^nB_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} = \frac1x - \frac13x - \frac1{45}x^3 - \frac2{945}x^5 - \cdots\cdots cot x = n = 0 ∑ ∞ ( 2 n )! ( − 4 ) n B 2 n x 2 n − 1 = x 1 − 3 1 x − 45 1 x 3 − 945 2 x 5 − ⋯⋯ tan x = ∑ n = 1 ∞ { ( − 4 ) n − ( − 16 ) n } B 2 n ( 2 n ) ! x 2 n − 1 = x + 1 3 x 3 + 2 15 x 5 + 17 315 x 7 + ⋯ ⋯ \displaystyle\tan x = \sum_{n=1}^\infty \frac{\{(-4)^n - (-16)^n\}B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} = x + \frac13x^3 + \frac2{15}x^5 + \frac{17}{315}x^7 + \cdots\cdots tan x = n = 1 ∑ ∞ ( 2 n )! {( − 4 ) n − ( − 16 ) n } B 2 n x 2 n − 1 = x + 3 1 x 3 + 15 2 x 5 + 315 17 x 7 + ⋯⋯
cot x − tan x = cos x sin x − sin x cos x = cos 2 x − sin 2 x sin x cos x = cos 2 x 1 2 sin 2 x = 2 cot 2 x \cot x - \tan x = \dfrac{\cos x}{\sin x} - \dfrac{\sin x}{\cos x} = \dfrac{\cos^2x - \sin^2x}{\sin x\cos x} = \dfrac{\cos2x}{\dfrac12\sin2x} = 2\cot2x cot x − tan x = sin x cos x − cos x sin x = sin x cos x cos 2 x − sin 2 x = 2 1 sin 2 x cos 2 x = 2 cot 2 x 에서
tan x = cot x − 2 cot 2 x \tan x = \cot x - 2\cot 2x tan x = cot x − 2 cot 2 x 라는 관계를 유도할 수 있어 위의 식이 자연스럽게 얻어진다.
csc x = ∑ n = 0 ∞ { 2 ( − 1 ) n − ( − 4 ) n } B 2 n ( 2 n ) ! x 2 n − 1 = 1 x + 1 6 x + 7 360 x 3 + 31 15120 x 5 + ⋯ ⋯ \displaystyle\csc x = \sum_{n=0}^\infty \frac{\{2(-1)^n - (-4)^n\}B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} = \frac1x + \frac16x + \frac7{360}x^3 + \frac{31}{15120}x^5 + \cdots\cdots csc x = n = 0 ∑ ∞ ( 2 n )! { 2 ( − 1 ) n − ( − 4 ) n } B 2 n x 2 n − 1 = x 1 + 6 1 x + 360 7 x 3 + 15120 31 x 5 + ⋯⋯
1 2 ( tan x + cot x ) = 1 2 ( cos x sin x + sin x cos x ) = cos 2 x + sin 2 x 2 sin x cos x = 1 sin 2 x = csc 2 x \dfrac12(\tan x + \cot x) = \dfrac12\left(\dfrac{\cos x}{\sin x} + \dfrac{\sin x}{\cos x}\right) = \dfrac{\cos^2x + \sin^2x}{2\sin x\cos x} = \dfrac1{\sin2x} = \csc 2x 2 1 ( tan x + cot x ) = 2 1 ( sin x cos x + cos x sin x ) = 2 sin x cos x cos 2 x + sin 2 x = sin 2 x 1 = csc 2 x 에서
csc x = 1 2 ( tan x 2 + cot x 2 ) \csc x = \dfrac12\left(\tan\dfrac x2 + \cot\dfrac x2\right) csc x = 2 1 ( tan 2 x + cot 2 x ) 를 이용하면 된다.
coth x = ∑ n = 0 ∞ 4 n B 2 n ( 2 n ) ! x 2 n − 1 = 1 x + 1 3 x − 1 45 x 3 + 2 945 x 5 − ⋯ ⋯ \displaystyle\coth x = \sum_{n=0}^\infty \frac{4^nB_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} = \frac1x + \frac13x - \frac1{45}x^3 + \frac2{945}x^5 - \cdots\cdots coth x = n = 0 ∑ ∞ ( 2 n )! 4 n B 2 n x 2 n − 1 = x 1 + 3 1 x − 45 1 x 3 + 945 2 x 5 − ⋯⋯
위에서 유도한 식의 형태와 조금 다른데, 베르누이 수열에서
3 3 3 이상의 홀수 항이
0 0 0 이 된다는 점을 적용해서 간략화시킨 형태이기 때문이다.
coth x = i cot i x \coth x = i\cot ix coth x = i cot i x 를 이용해서도 유도할 수 있다.
tanh x = ∑ n = 1 ∞ ( 16 n − 4 n ) B 2 n ( 2 n ) ! x 2 n − 1 = x − 1 3 x 3 + 2 15 x 5 − 17 315 x 7 + ⋯ ⋯ \displaystyle\tanh x = \sum_{n=1}^\infty \frac{(16^n - 4^n)B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} = x - \frac13x^3 + \frac2{15}x^5 - \frac{17}{315}x^7 + \cdots\cdots tanh x = n = 1 ∑ ∞ ( 2 n )! ( 1 6 n − 4 n ) B 2 n x 2 n − 1 = x − 3 1 x 3 + 15 2 x 5 − 315 17 x 7 + ⋯⋯
tanh x = − i tan i x \tanh x = -i \tan ix tanh x = − i tan i x 를 이용해서 유도할 수 있다.
c s c h x = ∑ n = 0 ∞ ( 2 − 4 n ) B 2 n ( 2 n ) ! x 2 n − 1 = 1 x − 1 6 x + 7 360 x 3 − 31 15120 x 5 + ⋯ ⋯ \displaystyle{\rm csch}\,x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(2 - 4^n)B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} = \frac1x - \frac16x + \frac7{360}x^3 - \frac{31}{15120}x^5 + \cdots\cdots csch x = n = 0 ∑ ∞ ( 2 n )! ( 2 − 4 n ) B 2 n x 2 n − 1 = x 1 − 6 1 x + 360 7 x 3 − 15120 31 x 5 + ⋯⋯
c s c h x = i csc i x {\rm csch}\,x = i \csc ix csch x = i csc i x 를 이용해서 유도할 수 있다.
삼각함수 및 쌍곡선 함수가 각종 사칙연산을 통해 서로 연관되어있기 때문에, 베르누이 수열과 오일러 수열 역시 서로 무관하지는 않다. 다만, 아무래도 각 함수의 곱(즉, 테일러 급수끼리의 곱)이 반드시 포함되어 있기에 서로 합연산의 관계에 있어서 손계산이 그렇게 간단한 형태로 나오지는 않는다. 차라리 서로 점화식의 관계에 있다고 이해하는 편이 빠를 것이다.
s e c h x sinh x = tanh x {\rm sech}\,x\sinh x = \tanh x sech x sinh x = tanh x 이므로
{ ∑ n = 0 ∞ E 2 n ( 2 n ) ! x 2 n } { ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! } = ∑ n = 1 ∞ ( 16 n − 4 n ) B 2 n ( 2 n ) ! x 2 n − 1 ∑ n = 0 ∞ ∑ r = 0 n E 2 r x 2 r ( 2 r ) ! x 2 n − 2 r + 1 ( 2 n − 2 r + 1 ) ! = ∑ n = 0 ∞ ∑ r = 0 n 1 ( 2 n + 1 ) ! ( 2 n + 1 ) ! E 2 r ( 2 r ) ! ( 2 n − 2 r + 1 ) ! x 2 n + 1 = ∑ n = 0 ∞ ∑ r = 0 n 1 ( 2 n + 1 ) ! ( 2 n + 1 2 r ) E 2 r x 2 n + 1 = ∑ n = 1 ∞ ∑ r = 0 n − 1 1 ( 2 n − 1 ) ! ( 2 n − 1 2 r ) E 2 r x 2 n − 1 ( 16 n − 4 n ) B 2 n ( 2 n ) ! = ∑ r = 0 n − 1 1 ( 2 n − 1 ) ! ( 2 n − 1 2 r ) E 2 r ∴ B 2 n = 2 n 16 n − 4 n ∑ r = 0 n − 1 ( 2 n − 1 2 r ) E 2 r \displaystyle\begin{aligned} \left\{ \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2n}}{(2n)!}x^{2n} \right\}\left\{ \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \right\} &= {\color{blue}\sum_{n=1}^\infty}{\color{red}\frac{(16^n - 4^n)B_{2n}}{(2n)!}}{\color{blue}x^{2n-1}} \\ \sum_{n=0}^\infty \sum_{r=0}^n \frac{E_{2r}x^{2r}}{(2r)!} \frac{x^{2n-2r+1}}{(2n-2r+1)!} &= \sum_{n=0}^\infty \sum_{r=0}^n \frac 1{(2n+1)!} \frac{(2n+1)!E_{2r}}{(2r)!(2n-2r+1)!}x^{2n+1} = \sum_{n=0}^\infty \sum_{r=0}^n \frac 1{(2n+1)!} \binom{2n+1}{2r}E_{2r}x^{2n+1} \\ &= {\color{blue}\sum_{n=1}^\infty}{\color{red}\sum_{r=0}^{n-1} \frac 1{(2n-1)!} \binom{2n-1}{2r}E_{2r}}{\color{blue}x^{2n-1}} \end{aligned} \\ \frac{(16^n - 4^n)B_{2n}}{(2n)!} = \sum_{r=0}^{n-1} \frac 1{(2n-1)!} \binom{2n-1}{2r}E_{2r} \\ \therefore B_{2n} = \frac{2n}{16^n - 4^n}\sum_{r=0}^{n-1} \binom{2n-1}{2r}E_{2r} { n = 0 ∑ ∞ ( 2 n )! E 2 n x 2 n } { n = 0 ∑ ∞ ( 2 n + 1 )! x 2 n + 1 } n = 0 ∑ ∞ r = 0 ∑ n ( 2 r )! E 2 r x 2 r ( 2 n − 2 r + 1 )! x 2 n − 2 r + 1 = n = 1 ∑ ∞ ( 2 n )! ( 1 6 n − 4 n ) B 2 n x 2 n − 1 = n = 0 ∑ ∞ r = 0 ∑ n ( 2 n + 1 )! 1 ( 2 r )! ( 2 n − 2 r + 1 )! ( 2 n + 1 )! E 2 r x 2 n + 1 = n = 0 ∑ ∞ r = 0 ∑ n ( 2 n + 1 )! 1 ( 2 r 2 n + 1 ) E 2 r x 2 n + 1 = n = 1 ∑ ∞ r = 0 ∑ n − 1 ( 2 n − 1 )! 1 ( 2 r 2 n − 1 ) E 2 r x 2 n − 1 ( 2 n )! ( 1 6 n − 4 n ) B 2 n = r = 0 ∑ n − 1 ( 2 n − 1 )! 1 ( 2 r 2 n − 1 ) E 2 r ∴ B 2 n = 1 6 n − 4 n 2 n r = 0 ∑ n − 1 ( 2 r 2 n − 1 ) E 2 r
오일러 수열이 정수 수열이고 조합도 자연수이기 때문에 결과적으로 연산 자체는 정수의 사칙연산이 된다. 분수끼리 더하고 빼야하는 베르누이 수열의 점화식 계산보다는 훨씬 수월할 것이다.
cosh x − sinh x tanh x = s e c h x \cosh x - \sinh x\tanh x = {\rm sech}\,x cosh x − sinh x tanh x = sech x 이므로,
sinh x tanh x \sinh x\tanh x sinh x tanh x 부분에 대해
{ ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! } { ∑ n = 1 ∞ ( 16 n − 4 n ) B 2 n ( 2 n ) ! x 2 n − 1 } = ∑ n = 1 ∞ ∑ r = 1 n ( 16 r − 4 r ) B 2 r x 2 r − 1 ( 2 r ) ! x 2 n − 2 r + 1 ( 2 n − 2 r + 1 ) ! = ∑ n = 1 ∞ ∑ r = 1 n 16 r − 4 r ( 2 n + 1 ) ! ( 2 n + 1 ) ! B 2 r ( 2 r ) ! ( 2 n − 2 r + 1 ) ! x 2 n = ∑ n = 1 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) ! ∑ r = 1 n ( 16 r − 4 r ) ( 2 n + 1 2 r ) B 2 r x 2 n \displaystyle\begin{aligned}&\left\{ \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \right\} \left\{\sum_{n=1}^\infty \frac{(16^n - 4^n)B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} \right\} \\ &= \sum_{n=1}^\infty \sum_{r=1}^n \frac{(16^r - 4^r)B_{2r}x^{2r-1}}{(2r)!} \frac{x^{2n-2r+1}}{(2n-2r+1)!} = \sum_{n=1}^\infty \sum_{r=1}^n \frac{16^r - 4^r}{(2n+1)!} \frac{(2n+1)!B_{2r}}{(2r)!(2n-2r+1)!}x^{2n} \\ &= \sum_{n=1}^\infty \frac1{(2n+1)!}\sum_{r=1}^n (16^r - 4^r)\binom{2n+1}{2r}B_{2r}x^{2n}\end{aligned} { n = 0 ∑ ∞ ( 2 n + 1 )! x 2 n + 1 } { n = 1 ∑ ∞ ( 2 n )! ( 1 6 n − 4 n ) B 2 n x 2 n − 1 } = n = 1 ∑ ∞ r = 1 ∑ n ( 2 r )! ( 1 6 r − 4 r ) B 2 r x 2 r − 1 ( 2 n − 2 r + 1 )! x 2 n − 2 r + 1 = n = 1 ∑ ∞ r = 1 ∑ n ( 2 n + 1 )! 1 6 r − 4 r ( 2 r )! ( 2 n − 2 r + 1 )! ( 2 n + 1 )! B 2 r x 2 n = n = 1 ∑ ∞ ( 2 n + 1 )! 1 r = 1 ∑ n ( 1 6 r − 4 r ) ( 2 r 2 n + 1 ) B 2 r x 2 n
따라서
s e c h x {\rm sech}\, x sech x 에 관한 등식은 다음과 같이 되며
cosh x − sinh x tanh x = s e c h x = ∑ n = 0 ∞ x 2 n ( 2 n ) ! − { ∑ n = 1 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) ! ∑ r = 1 n ( 16 r − 4 r ) ( 2 n + 1 2 r ) B 2 r x 2 n } = ∑ n = 0 ∞ E 2 n ( 2 n ) ! x 2 n = 1 + ∑ n = 1 ∞ E 2 n ( 2 n ) ! x 2 n = 1 + ∑ n = 1 ∞ 1 ( 2 n ) ! x 2 n − { ∑ n = 1 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) ! ∑ r = 1 n ( 16 r − 4 r ) ( 2 n + 1 2 r ) B 2 r } x 2 n = 1 + ∑ n = 1 ∞ { 1 ( 2 n ) ! − 1 ( 2 n + 1 ) ! ∑ r = 1 n ( 16 r − 4 r ) ( 2 n + 1 2 r ) B 2 r } x 2 n 1 ( 2 n ) ! − 1 ( 2 n + 1 ) ! ∑ r = 1 n ( 16 r − 4 r ) ( 2 n + 1 2 r ) B 2 r = E 2 n ( 2 n ) ! ∴ E 2 n = 1 − 1 2 n + 1 ∑ r = 1 n ( 16 r − 4 r ) ( 2 n + 1 2 r ) B 2 r \displaystyle\begin{aligned}&\cosh x - \sinh x\tanh x = {\rm sech}\,x \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!} - \left\{ \sum_{n=1}^\infty \frac1{(2n+1)!}\sum_{r=1}^n (16^r - 4^r)\binom{2n+1}{2r}B_{2r}x^{2n}\right\} = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2n}}{(2n)!}x^{2n} = {\color{blue}1 + \sum_{n=1}^\infty}{\color{red}\frac{E_{2n}}{(2n)!}}{\color{blue}x^{2n}} \\ &= 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac1{(2n)!}x^{2n} - \left\{ \sum_{n=1}^\infty \frac1{(2n+1)!}\sum_{r=1}^n (16^r - 4^r)\binom{2n+1}{2r}B_{2r}\right\}x^{2n} \\ &= {\color{blue}1 + \sum_{n=1}^\infty}{\color{red}\left\{ \frac1{(2n)!} - \frac1{(2n+1)!} \sum_{r=1}^n (16^r - 4^r)\binom{2n+1}{2r}B_{2r} \right\}}{\color{blue}x^{2n}}\end{aligned} \\ \frac1{(2n)!} - \frac1{(2n+1)!} \sum_{r=1}^n (16^r - 4^r)\binom{2n+1}{2r}B_{2r} = \frac{E_{2n}}{(2n)!} \\ \therefore E_{2n} = 1 - \frac1{2n+1} \sum_{r=1}^n (16^r - 4^r)\binom{2n+1}{2r}B_{2r} cosh x − sinh x tanh x = sech x = n = 0 ∑ ∞ ( 2 n )! x 2 n − { n = 1 ∑ ∞ ( 2 n + 1 )! 1 r = 1 ∑ n ( 1 6 r − 4 r ) ( 2 r 2 n + 1 ) B 2 r x 2 n } = n = 0 ∑ ∞ ( 2 n )! E 2 n x 2 n = 1 + n = 1 ∑ ∞ ( 2 n )! E 2 n x 2 n = 1 + n = 1 ∑ ∞ ( 2 n )! 1 x 2 n − { n = 1 ∑ ∞ ( 2 n + 1 )! 1 r = 1 ∑ n ( 1 6 r − 4 r ) ( 2 r 2 n + 1 ) B 2 r } x 2 n = 1 + n = 1 ∑ ∞ { ( 2 n )! 1 − ( 2 n + 1 )! 1 r = 1 ∑ n ( 1 6 r − 4 r ) ( 2 r 2 n + 1 ) B 2 r } x 2 n ( 2 n )! 1 − ( 2 n + 1 )! 1 r = 1 ∑ n ( 1 6 r − 4 r ) ( 2 r 2 n + 1 ) B 2 r = ( 2 n )! E 2 n ∴ E 2 n = 1 − 2 n + 1 1 r = 1 ∑ n ( 1 6 r − 4 r ) ( 2 r 2 n + 1 ) B 2 r
r = 0 r=0 r = 0 이면
( 16 r − 4 r ) ( 2 n + 1 2 r ) B 2 r = 0 (16^r - 4^r)\dbinom{2n+1}{2r}B_{2r} = 0 ( 1 6 r − 4 r ) ( 2 r 2 n + 1 ) B 2 r = 0 이므로 합의 기호 부분은
r = 0 r=0 r = 0 부터 더해주는 것으로 바꿔도 무관하다. 즉
E 2 n = 1 + 1 2 n + 1 ∑ r = 0 n ( 4 r − 16 r ) ( 2 n + 1 2 r ) B 2 r \displaystyle E_{2n} = 1 + \dfrac1{2n+1} \sum_{r=0}^n (4^r - 16^r)\binom{2n+1}{2r}B_{2r} E 2 n = 1 + 2 n + 1 1 r = 0 ∑ n ( 4 r − 1 6 r ) ( 2 r 2 n + 1 ) B 2 r
한편
1 2 n + 1 ( 2 n + 1 2 r ) = 1 ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 1 ) ! ( 2 r ) ! ( 2 n − 2 r + 1 ) ! = ( 2 n ) ! ( 2 r ) ! ( 2 n − 2 r + 1 ) ( 2 n − 2 r ) ! = 1 2 n − 2 r + 1 ( 2 n 2 r ) \dfrac1{2n+1}\dbinom{2n+1}{2r} = \dfrac1{(2n+1)}\dfrac{(2n+1)!}{(2r)!(2n-2r+1)!} = \dfrac{(2n)!}{(2r)!(2n-2r+1)(2n-2r)!} = \dfrac1{2n-2r+1}\dbinom{2n}{2r} 2 n + 1 1 ( 2 r 2 n + 1 ) = ( 2 n + 1 ) 1 ( 2 r )! ( 2 n − 2 r + 1 )! ( 2 n + 1 )! = ( 2 r )! ( 2 n − 2 r + 1 ) ( 2 n − 2 r )! ( 2 n )! = 2 n − 2 r + 1 1 ( 2 r 2 n ) 이므로
E 2 n = 1 + ∑ r = 0 n 4 r − 16 r 2 n − 2 r + 1 ( 2 n 2 r ) B 2 r \displaystyle E_{2n} = 1 + \sum_{r=0}^n \frac{4^r - 16^r}{2n-2r+1}\binom{2n}{2r}B_{2r} E 2 n = 1 + r = 0 ∑ n 2 n − 2 r + 1 4 r − 1 6 r ( 2 r 2 n ) B 2 r
로도 나타낼 수 있다. 어느 식이든 베르누이 수열이 유리수 수열이기 때문에 오일러 수열로 나타낸 베르누이 수열과는 달리 이쪽은 오히려 계산이 복잡해진다.