조합론에서 여러 개의 합집합의 크기를 구할 때 사용하는 공식이다. 이산수학 및 확률론에서 중요하고 유용한 원리 중 하나이다.
비교적 친숙한 $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$, $|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |B \cap C| - |C \cap A| + |A \cap B \cap C|$ 등의 공식을 $n$개짜리 합집합으로 일반화했다고 생각할 수 있다. 이름의 유래는 $A$, $B$, ……에 속하는 원소들을 포함시키고(더하고), 두 번 세어준 $A \cap B$, ……의 원소들을 배제하고(빼고), 다시 $3$개짜리 교집합이 빠졌으므로 더해주고, ……의 아이디어에서 나왔다.

홀수 개의 교집합은 더하고, 짝수 개의 교집합을 뺀다는 식으로 기억하면 된다. 다음과 같은 여집합 형태도 많이 등장하는데 ($I=\emptyset$일 때는 전체집합을 더하는 것으로 간주) 이 경우에는 부호가 반대가 된다.

사실 원소의 개수가 가장 생각하기 쉽지만 집합의 크기를 재는 어떤 함수이건 측도라던가 적용할 수 있다. 확률론에서의 다음 버전도 많이 쓰인다.

원소의 개수를 다룬 버전을 서술한다. 일반적인 확률 및 측도 버전은 비슷하게 접근하면 된다. (합 및 개수를 확률/측도로 바꾼다던지 등등)

전체집합 $U$의 원소들은 $A_i$에 속하냐, 속하지 않냐 두 가지의 기준으로 나눌 수 있다. 어떤 원소 $x \in U$가 $i=i_1,~i_2, \cdots \cdots,~i_k$에 대해선 $x \in A_i$이고 나머지에 대해선 $x \notin A_i$라 하자. $J = \{ i_1, \cdots \cdots,~i_k \}$라고 놓자. 이제 임의의 $I$에 대해서 $\displaystyle \bigcap_{i \in I} A_i$가 $x$를 포함할 필요충분조건은 $I \subset J$가 되고, 따라서 공식의 우변에서 $x$가 세어지는 횟수는 $\displaystyle \sum_{\emptyset \ne I \subset J} \left( -1 \right)^{|I|-1}$가 된다. 만약 $J$가 공집합이라면 그런 $I$는 없으므로 횟수는 $0$번이 된다. $J$가 공집합이 아니라면 저 횟수는

(이항정리를 활용한다) 이 되어 1번 세어진다. 이상을 종합하면 우변의 식은 $\cup A_i$의 원소들을 한 번씩만 센다고 할 수 있다.

교과과정에선 다음과 비슷한 문제로 이 원리가 등장하곤 한다.

두 합집합의 원소의 수가 $(25+18)-9=34$이므로 이 여집합이므로 답은 $6$명이다. 간간히 집합이 3개인 경우도 나오는 듯하다.

조합론 중 특히 enumerative combinatorics 계열에선 집합의 개수가 $n$개인 경우 각 잡고 제대로 쓴다면 꽤나 강력한 도구가 되는데, 예로 다음과 같은 문제들에 포함·배제의 원리를 적용할 수 있다.

일반적으로 여러 개의 제약조건이 복합적으로 작용할 때, 보통 이들의 교집합을 생각하는 건 쉽지만 합집합 및 여집합을 생각하는 건 어려울 때가 많은데, 이럴 때 이 포함 배제의 원리를 범용적으로 쓸 수 있다.

한편 확률론에선 다음 부등식 버전의 포함배제의 원리를 생각하기도 한다.

예를 들어서 $n=3$이면

등이 성립하는 식. 교집합의 개수가 많은 항의 기여도가 비교적 작고 계산이 더러울 때, 몇 번째 교집합까지만 더해서 근사를 하고 싶은 상황에서 이 부등식을 활용할 수 있다. 예로 $nx \ll 1$일 때 확률 $x$로 일어나는 $n$개의 독립사건의 합집합 왜인지 던파확률의 법칙에 나와있는거 같다 의 확률을 위 부등식에 근거해 다음처럼 근사할 수 있다.