하강 계승 또는 상승 계승을 급수 표기로 나타냈을 때의 각 계수로 정의되는 수로, 제임스 스털링이 1730년에 도입하였다. 부호 없는 제1종 스털링 수 $\begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix}$[주의]와 부호 있는 제1종 스털링 수 $s(n,\,k) = (-1)^{n-k} \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix}$로 나뉘며 $0 \le k \le n \le 10$ 범위에서[2][3] $\begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix}$ 값은 다음과 같다. 아래 테이블에서 배경이 어두운 칸은 $s(n,\,k)$의 부호가 $(-)$임을 의미한다.

$x$의 $n$승 하강 계승 $x^{\underline n}$을 $x$의 $n$차식으로 나타냈을 때 $x^k$의 계수를 제1종 스털링 수 $s(n,\,k)$로 정의한다. 즉

한편, $x$의 $n$승 상승 계승 $x^{\overline n}$을 이용해서도 나타낼 수 있는데, 이 경우 제1종 스털링 수에 절댓값 기호가 붙는다.

$\left| s(n,\,k) \right|$는 종종 $c(n,\,k)$또는 $\begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix}$로 나타내기도 하는데, 이를 부호 없는(unsigned) 제1종 스털링 수라고 한다.
각 하강 계승, 상승 계승을 이용한 정의식으로부터 다음과 같은 관계를 알 수 있다.

참고로 제2종 스털링 수는 $s$를 대문자로 쓴 $S(n,\,k)$이다.

$k=0$일 때는 상수항의 계수를 의미하며 값이 두 가지 경우로 나뉜다. $n \ge 1$이면 상수항이 없는 곱셈식이 되므로 $s(n,\,0) = 0$이지만, $n=0$이면 순열과의 관계로부터 $x^{\underline 0} = {}_x {\rm P}_0 = \dfrac{x!}{x!} = 1$이므로 편의상 $s(0,\,0)=1$로 정의한다. 또 부호 없는 제1종 스털링 수의 정의식에 $x=1$을 대입하면 다음과 같은 관계식을 유도할 수 있다.

즉, 부호 없는 제1종 스털링 수의 합은 팩토리얼과 같다.

부호 없는 제1종 스털링 수는 조합론으로도 정의할 수 있는데, 원소의 개수가 $n$인 집합을 구분되지 않는 $k$개의 순환[4]으로 분할하는 방법의 수이다.
예를 들어 $a$, $b$, $c$, $d$를 원소로 갖는 집합을 $2$개의 순환으로 분할해보면
$\begin{pmatrix} a \end{pmatrix},\,\begin{pmatrix} b & c & d \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} a \end{pmatrix},\,\begin{pmatrix} b & d & c \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} b \end{pmatrix},\,\begin{pmatrix} a & c & d \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} b \end{pmatrix},\,\begin{pmatrix} a & d & c \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} c \end{pmatrix},\,\begin{pmatrix} a & b & d \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} c \end{pmatrix},\,\begin{pmatrix} a & d & b \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} d \end{pmatrix},\,\begin{pmatrix} a & b & c \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} d \end{pmatrix},\,\begin{pmatrix} a & c & b \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix},\,\begin{pmatrix} c & d \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} a & c \end{pmatrix},\,\begin{pmatrix} b & d \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} a & d \end{pmatrix},\,\begin{pmatrix} b & c \end{pmatrix}$
로 $11$가지가 얻어지며 $\begin{bmatrix} 4 \\ 2 \end{bmatrix} = 11$이다.
위의 두 정의가 왜 동치인지 직관적으로 와닿지 않을 수도 있는데, 각 정의를 바탕으로 점화식을 써보면 완전히 똑같은 식이 유도된다(후술).

$x$의 $n$승 상승 계승식에 $(x+n)$을 곱해서 나타내보면 바로 위의 식이 튀어나온다.

맨 우변에 주목했을 때, $x \cdot x^{\overline n}$에서 $x^{k+1}$의 계수는 $x^{\overline n}$의 $x^k$차항 계수와 같으며 이는 $\begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix}$에 해당한다. 제2항에서 $x^{k+1}$의 계수는 $x^{\overline n}$의 $x^{k+1}$차항 계수이며 이는 $\begin{bmatrix} n \\ k+1 \end{bmatrix}$와 같다. 맨 좌변에서 $x^{k+1}$의 계수는 $\begin{bmatrix} n+1 \\ k+1 \end{bmatrix}$이므로 정리하면 위의 식이 얻어진다.

조합론을 이용한 증명의 경우, $n$개 원소를 분할한 경우에서 $(n+1)$번째 원소를 끼워넣는 방법을 고려해서 유도할 수 있는데, $(n+1)$번째 원소를 길이가 $1$인 순환으로 남기는 방법과 다른 순환에 포함시키는 방법으로 나누어서 생각할 수 있다. 전자의 경우 $(n+1)$번째 원소 자체가 $1$개의 순환이므로 $n$개의 원소를 $k$개의 순환으로 분할한 경우의 수 $\begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix}$가 그대로 쓰인다. 후자의 경우, $n$개의 원소를 $(k+1)$개의 순환으로 분할한 것을 대칭군 표기법으로 나열한 뒤, 각 순환의 원소에서 맨 앞, 사이 사이, 맨 뒤에 끼워넣어보면 되는데, 예를 들어 순환의 길이가 $m$이라고 하면 $(n+1)$번째 원소가 들어갈 자리의 수는 $(m+1)$이지만 맨 앞과 맨 뒤에 끼워넣는 경우는 같은 순환이므로 결과적으로 각 순환에서 원소 하나를 끼워넣어서 새로운 순환이 생길 경우의 수는 순환의 길이 $m$과 같다. 각 순환의 길이를 모두 합한 값은 원소의 총 개수 $n$과 같으므로 경우의 수는 $\begin{bmatrix} n \\ k+1 \end{bmatrix}$에 $n$을 곱한 값 $n \begin{bmatrix} n \\ k+1 \end{bmatrix}$이 된다.

또한 $s(n,\,k) = (-1)^{n-k} \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix}$였으므로 이를 대입해서 정리하면

제1종 스털링 수 특성상 $n<k$이면 $s(n,\,k) = \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix} = 0$이므로 아래와 같이 축약된 식으로 많이 나타낸다.

증명에는 이항급수 $\displaystyle (1+x)^r = \sum_{n=0}^\infty \binom rn x^n$을 이용한다. 테일러 급수의 예에 설명되어있듯이 이항급수에서 조합 기호는 $\displaystyle \binom rn = \frac 1{n!} \prod_{i=0}^{n-1}(r-i)$로 재정의되고 하강 계승의 정의에 따라 $\displaystyle \prod_{i=0}^{n-1}(r-i) = r^{\underline n}$이므로 이항급수는 다음과 같이 고쳐 쓸 수 있다.

위 유도 과정에서 $r$에 $-r$을, $x$에 $-x$를 대입하면 다음과 같이 부호 없는 제1종 스털링 수의 생성함수로 바뀐다.