1. 개요
에르미트 함수(Hermite function) 혹은 에르미트 다항식(Hermite polynomial)은 아래의 에르미트의 미분 방정식
[math(displaystyle frac{d^{2}y}{dx^{2}}-2x frac{dy}{dx}+2n y=0 )]
을 만족시키는 함수를 말한다. 함수의 이름은 프랑스의 수학자 에르미트(Charles Hermite; 1822 - 1901)의 이름이 붙여졌다.
단, 에르미트 함수에는 두 가지 버전이 있는데 하나는 물리학에서 사용되는 것이고, 다른 하나는 통계학에서 사용되는 것인데, 이 문서에서는 물리학에서 사용되는 에르미트 함수을 다룬다. 통계학에서 다루는 에르미트 함수에 대한 내용은 이곳(영어)을 참조한다.
[math(displaystyle frac{d^{2}y}{dx^{2}}-2x frac{dy}{dx}+2n y=0 )]
을 만족시키는 함수를 말한다. 함수의 이름은 프랑스의 수학자 에르미트(Charles Hermite; 1822 - 1901)의 이름이 붙여졌다.
단, 에르미트 함수에는 두 가지 버전이 있는데 하나는 물리학에서 사용되는 것이고, 다른 하나는 통계학에서 사용되는 것인데, 이 문서에서는 물리학에서 사용되는 에르미트 함수을 다룬다. 통계학에서 다루는 에르미트 함수에 대한 내용은 이곳(영어)을 참조한다.
2. 상세
해당 미분 방정식은 급수해 해법으로 풀 수 있으며, 위 방정식의 해를 다음의 꼴로 가정하는 것 부터 시작한다.
[math(displaystyle y=sum_{m=0}^{infty} a_{m}x^{m} )]
이것을 위 방정식에 대입하면,
[math(displaystyle begin{aligned} sum_{m=2}^{infty} m(m-1)a_{m}x^{m-2}-2sum_{m=1}^{infty}m a_{m} x^{m}+2n sum_{m=0}^{infty} a_{m}x^{m}&=0 \ sum_{m=0}^{infty} (m+1)(m+2)a_{m+2}x^{m}-2sum_{m=1}^{infty}m a_{m} x^{m}+2n sum_{m=0}^{infty} a_{m}x^{m}&=0 end{aligned})]
로 바꿀 수 있고, 각 항의 계수를 비교함으로써 계수에 대한 점화식
[math(displaystyle a_{m+2}=-frac{2(n-m)}{(m+2)(m+1)}a_{m} )]
따라서 위 방정식의 해는
[math(displaystyle y=A_{1}y_{0}+A_{2}y_{1} )]
으로 쓸 수 있으며,
[math(displaystyle begin{aligned} y_{0}& equiv a_{0} left[1-frac{2n}{2!}x^{2}+frac{4n(n-2)}{4!}x^{4}-frac{8n(n-2)(n-4)}{6!}x^{6}+ cdots right] \ y_{1}& equiv a_{1} left[x-frac{2(n-1)}{3!}x^{3}+frac{4(n-1)(n-3)}{5!}x^{5}-frac{8(n-1)(n-3)(n-5)}{7!}x^{7}+ cdots right] end{aligned})]
이다.
이때, [math(n)]이 0을 포함한 자연수라면, [math(y_{0})] 혹은 [math(y_{1})]은 다항함수 꼴로 남게 되는데 해당 다항함수에 상수를 붙인 다항식을 에르미트 함수이라 하고, 기호로 [math(H_{n}(x))]로 나타낸다.
[math(displaystyle y=sum_{m=0}^{infty} a_{m}x^{m} )]
이것을 위 방정식에 대입하면,
[math(displaystyle begin{aligned} sum_{m=2}^{infty} m(m-1)a_{m}x^{m-2}-2sum_{m=1}^{infty}m a_{m} x^{m}+2n sum_{m=0}^{infty} a_{m}x^{m}&=0 \ sum_{m=0}^{infty} (m+1)(m+2)a_{m+2}x^{m}-2sum_{m=1}^{infty}m a_{m} x^{m}+2n sum_{m=0}^{infty} a_{m}x^{m}&=0 end{aligned})]
로 바꿀 수 있고, 각 항의 계수를 비교함으로써 계수에 대한 점화식
[math(displaystyle a_{m+2}=-frac{2(n-m)}{(m+2)(m+1)}a_{m} )]
따라서 위 방정식의 해는
[math(displaystyle y=A_{1}y_{0}+A_{2}y_{1} )]
으로 쓸 수 있으며,
[math(displaystyle begin{aligned} y_{0}& equiv a_{0} left[1-frac{2n}{2!}x^{2}+frac{4n(n-2)}{4!}x^{4}-frac{8n(n-2)(n-4)}{6!}x^{6}+ cdots right] \ y_{1}& equiv a_{1} left[x-frac{2(n-1)}{3!}x^{3}+frac{4(n-1)(n-3)}{5!}x^{5}-frac{8(n-1)(n-3)(n-5)}{7!}x^{7}+ cdots right] end{aligned})]
이다.
이때, [math(n)]이 0을 포함한 자연수라면, [math(y_{0})] 혹은 [math(y_{1})]은 다항함수 꼴로 남게 되는데 해당 다항함수에 상수를 붙인 다항식을 에르미트 함수이라 하고, 기호로 [math(H_{n}(x))]로 나타낸다.
3. 분석
3.1. 종류
다음은 몇몇 에르미트 함수의 목록을 나타낸 것이다.
[math(displaystyle begin{aligned}
H_0(x) &= 1 \
H_1(x) &= 2x \
H_2(x) &= 4x^2 - 2 \
H_3(x) &= 8x^3 - 12x \
H_4(x) &= 16x^4 - 48x^2 + 12 \
H_5(x) &= 32x^5 - 160x^3 + 120x \
H_6(x) &= 64x^6 - 480x^4 + 720x^2 - 120 \
H_7(x) &= 128x^7 - 1344x^5 + 3360x^3 - 1680x \
H_8(x) &= 256x^8 - 3584x^6 + 13440x^4 - 13440x^2 + 1680 \
H_9(x) &= 512x^9 - 9216x^7 + 48384x^5 - 80640x^3 + 30240x \
H_{10}(x) &= 1024x^{10} - 23040x^8 + 161280x^6 - 403200x^4 + 302400x^2 - 30240
end{aligned} )]
[math(displaystyle begin{aligned}
H_0(x) &= 1 \
H_1(x) &= 2x \
H_2(x) &= 4x^2 - 2 \
H_3(x) &= 8x^3 - 12x \
H_4(x) &= 16x^4 - 48x^2 + 12 \
H_5(x) &= 32x^5 - 160x^3 + 120x \
H_6(x) &= 64x^6 - 480x^4 + 720x^2 - 120 \
H_7(x) &= 128x^7 - 1344x^5 + 3360x^3 - 1680x \
H_8(x) &= 256x^8 - 3584x^6 + 13440x^4 - 13440x^2 + 1680 \
H_9(x) &= 512x^9 - 9216x^7 + 48384x^5 - 80640x^3 + 30240x \
H_{10}(x) &= 1024x^{10} - 23040x^8 + 161280x^6 - 403200x^4 + 302400x^2 - 30240
end{aligned} )]
3.2. 그래프
아래의 그래프는 [math([-2,,2])] 구간에서 몇몇 에르미트 함수의 그래프를 나타낸 것이다.
파일:Plot of Hermite Function_NEW_NEW.png
위 그래프에서 볼 수 있듯, 홀수차항의 에르미트 함수는 항상 원점을 지나며, 짝수차항의 에르미트 함수는 [math(x=0)] 위의 미분 계수는 0이 된다.
[math(y)]축 위의 함숫값은 아래와 같다.
[math(displaystyle H_{n}(0)=begin{cases}
0 & text{ for odd } n \
(-2)^{n/2}(n-1)!! & text{ for even } n
end{cases} )]
파일:Plot of Hermite Function_NEW_NEW.png
위 그래프에서 볼 수 있듯, 홀수차항의 에르미트 함수는 항상 원점을 지나며, 짝수차항의 에르미트 함수는 [math(x=0)] 위의 미분 계수는 0이 된다.
[math(y)]축 위의 함숫값은 아래와 같다.
[math(displaystyle H_{n}(0)=begin{cases}
0 & text{ for odd } n \
(-2)^{n/2}(n-1)!! & text{ for even } n
end{cases} )]
3.3. 생성 함수
에르미트 함수의 생성 함수는 다음과 같다.
[math(displaystyle e^{2tx-t^{2}}=sum_{n=0}^{infty} frac{H_{n}(x)}{n!}t^{n} )]
[math(displaystyle e^{2tx-t^{2}}=sum_{n=0}^{infty} frac{H_{n}(x)}{n!}t^{n} )]
3.4. 로드리게스 공식
에르미트 함수는
[math(displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n} e^{x^{2}}frac{d^{n}}{dx^{n}}e^{-x^{2}} )]
의 형태로 쓸 수 있는데, 이것을 에르미트 함수에 대한 로드게리스 공식(Rodrigues' formula)라 한다.
[math(displaystyle y=e^{-x^{2}} )]에서 양변을 미분하면,
[math(displaystyle y'=-2x e^{-x^{2}}=-2xy ;to ;y'+2xy=0 )]
으로 쓸 수 있다. 이것을 다시 미분하면,
[math(displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n} e^{x^{2}}frac{d^{n}}{dx^{n}}e^{-x^{2}} )]
의 형태로 쓸 수 있는데, 이것을 에르미트 함수에 대한 로드게리스 공식(Rodrigues' formula)라 한다.
[math(displaystyle y=e^{-x^{2}} )]에서 양변을 미분하면,
[math(displaystyle y'=-2x e^{-x^{2}}=-2xy ;to ;y'+2xy=0 )]
으로 쓸 수 있다. 이것을 다시 미분하면,
[math(displaystyle y''+2y+2xy'=0 )]
이것을 [math(x)]에 대하여 [math(n)]번 미분하면
[math(displaystyle y^{(n+2)}+y^{(n+1)}+2sum_{k=0} binom{n}{k} x^{(k)}y^{(n-k+1)}=0 )]
이때, [math(f^{(k)}=d^{k}f/dx^{k})], [math( binom{n}{k}={}_{n}mathrm{C}_{k})]임을 참고하고, 이 결과는
[math(displaystyle y^{(n+1)}+2xy^{(n+1)}+2(n+1) y^{(n)}=0 )]
이때, [math(y^{(n)} equiv u)]이라 놓으면,
[math(displaystyle frac{d^{2}u}{dx^{2}}+2x frac{du}{dx}+2(n+1)u=0 )]
함수 [math(displaystyle u(x)=(-1)^{n} e^{-x^{2}}f(x) )]를 고려하자.
[math(displaystyle begin{aligned} frac{du}{dx}&=(-1)^{n} e^{-x^{2}} left( -2xf+ frac{df}{dx} right) \ frac{d^{2}u}{dx^{2}}&=(-1)^{n} e^{-x^{2}} left[ (4x^2-2)f-4x frac{df}{dx}+frac{d^{2}f}{dx^{2}} right] end{aligned} )]
임을 고려하면,
[math(displaystyle begin{aligned} left[ (4x^2-2)f-4x frac{df}{dx}+frac{d^{2}f}{dx^{2}} right]+2x left( -2xf+ frac{df}{dx} right)+2(n+1) f&=0 \ frac{d^{2}f}{dx^{2}}-2xfrac{df}{dx}+2nf&=0 end{aligned} )]
으로 정리되고, 이것은 명백한 에르미트의 미분 방정식이다. 따라서
[math(displaystyle frac{d^{n}}{dx^{n}}e^{-x^{2}}=(-1)^{n} e^{-x^{2}}H_{n}(x) ; to ; H_{n}(x)=(-1)^{n} e^{x^{2}} frac{d^{n}}{dx^{n}}e^{-x^{2}} )]
으로 쓸 수 있다. 다만, 다른 특수 함수와 같이 상수를 고려하는 과정은 거치지 않았는데, 그 이유는 에르미트 함수의 로드리게스 공식의 상수는 1이기 때문이다.
3.5. 재귀 관계
에르미트 함수의 재귀 관계는 아래와 같다.
- [math(dfrac{dH_{n}(x)}{dx}=2nH_{n-1}(x))]
- [math(H_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x))]
3.6. 직교성
에르미트 함수는 가중함수 [math(e^{-x^{2}})]에 대하여 실수 전체 구간에 대해 다음의 직교성을 가진다.
[math(displaystyle int_{-infty}^{infty} e^{-x^{2}} H_{n}(x)H_{m}(x),dx=2^{n} n! sqrt{pi} delta_{nm} )]
여기서 [math(delta_{nm})]은 크로네커 델타이다.
이것을 증명하기 위해 [math(n neq m)]일 때를 우선적으로 증명하자. [math(H_{n}(x))], [math(H_{m}(x))]이 각각 만족하는 미분 방정식에 각각 [math(e^{-x^{2}}H_{m}(x))], [math(e^{-x^{2}}H_{n}(x))]을 곱한 뒤 빼면,
[math(displaystyle e^{-x^{2}}H_{m}(x)left[ frac{d^{2}H_{n}(x)}{dx^{2}}-2x frac{dH_{n}}{dx} right]-e^{-x^{2}}H_{n}(x)left[ frac{d^{2}H_{m}(x)}{dx^{2}}-2x frac{dH_{m}}{dx} right]+2(n-m)e^{-x^{2}} H_{n}(x)H_{m}(x)=0 )]
이것은 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(displaystyle frac{d}{dx}left[ e^{-x^{2}} left(frac{dH_{n}(x)}{dx}H_{m}(x)-H_{n}(x) frac{dH_{m}(x)}{dx} right) right]+2(n-m)e^{-x^{2}} H_{n}(x)H_{m}(x)=0 )]
양변을 실수 전체에 대해 적분하면,
[math(displaystyle left[ e^{-x^{2}} left(frac{dH_{n}(x)}{dx}H_{m}(x)-H_{n}(x) frac{dH_{m}(x)}{dx} right) right]_{-infty}^{infty}+2(n-m) int_{-infty}^{infty}e^{-x^{2}} H_{n}(x)H_{m}(x),dx=0 )]
이때, [math(x to infty)], [math(x to -infty)]에서 [math(e^{-x^{2}} to 0)]임을 상기하면, 좌변의 제 1항은 0이 되고, [math(n neq m)]임을 상기하면,
[math(displaystyle int_{-infty}^{infty} e^{-x^{2}} H_{n}(x)H_{m}(x),dx =0 quad (n neq m) )]
임을 얻을 수 있다.
[math(n=m)]일 때를 증명하자. 적분
[math(displaystyle int_{-infty}^{infty} e^{-x^{2}} [H_{n}(x) ]^{2},dx equiv C_{n} )]
이라 놓자. 재귀 관계를 이용하면,
[math(displaystyle begin{aligned} C_{n}&=int_{-infty}^{infty} e^{-x^{2}} H_{n}(x)[2xH_{n-1}(x)-2(n-1)H_{n-2}(x) ],dx \&=int_{-infty}^{infty} e^{-x^{2}}cdot 2xH_{n}(x) H_{n-1}(x),dx \
&=int_{-infty}^{infty}e^{-x^{2}} [H_{n+1}(x)+2nH_{n-1}(x) ] H_{n}(x) H_{n-1}(x),dx \
&=2n int_{-infty}^{infty}e^{-x^{2}} [H_{n-1}(x) ]^{2},dx \ &=2nC_{n-1}end{aligned} )]
이에 [math(displaystyle C_{n+1}=2(n+1)C_{n} ; to ; C_{n}=2^{n}n! C_{0} )]을 얻고,
[math(displaystyle C_{0}=int_{-infty}^{infty} e^{-x^{2}},dx=sqrt{pi} )]
로 가우스 적분 문서의 결과를 참고하여 적을 수 있으므로
[math(displaystyle int_{-infty}^{infty} e^{-x^{2}} [H_{n}(x) ]^{2},dx=2^{n} n! sqrt{pi} quad (n=m) )]
의 결과를 얻는다.
[math(displaystyle int_{-infty}^{infty} e^{-x^{2}} H_{n}(x)H_{m}(x),dx=2^{n} n! sqrt{pi} delta_{nm} )]
여기서 [math(delta_{nm})]은 크로네커 델타이다.
이것을 증명하기 위해 [math(n neq m)]일 때를 우선적으로 증명하자. [math(H_{n}(x))], [math(H_{m}(x))]이 각각 만족하는 미분 방정식에 각각 [math(e^{-x^{2}}H_{m}(x))], [math(e^{-x^{2}}H_{n}(x))]을 곱한 뒤 빼면,
[math(displaystyle e^{-x^{2}}H_{m}(x)left[ frac{d^{2}H_{n}(x)}{dx^{2}}-2x frac{dH_{n}}{dx} right]-e^{-x^{2}}H_{n}(x)left[ frac{d^{2}H_{m}(x)}{dx^{2}}-2x frac{dH_{m}}{dx} right]+2(n-m)e^{-x^{2}} H_{n}(x)H_{m}(x)=0 )]
이것은 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(displaystyle frac{d}{dx}left[ e^{-x^{2}} left(frac{dH_{n}(x)}{dx}H_{m}(x)-H_{n}(x) frac{dH_{m}(x)}{dx} right) right]+2(n-m)e^{-x^{2}} H_{n}(x)H_{m}(x)=0 )]
양변을 실수 전체에 대해 적분하면,
[math(displaystyle left[ e^{-x^{2}} left(frac{dH_{n}(x)}{dx}H_{m}(x)-H_{n}(x) frac{dH_{m}(x)}{dx} right) right]_{-infty}^{infty}+2(n-m) int_{-infty}^{infty}e^{-x^{2}} H_{n}(x)H_{m}(x),dx=0 )]
이때, [math(x to infty)], [math(x to -infty)]에서 [math(e^{-x^{2}} to 0)]임을 상기하면, 좌변의 제 1항은 0이 되고, [math(n neq m)]임을 상기하면,
[math(displaystyle int_{-infty}^{infty} e^{-x^{2}} H_{n}(x)H_{m}(x),dx =0 quad (n neq m) )]
임을 얻을 수 있다.
[math(n=m)]일 때를 증명하자. 적분
[math(displaystyle int_{-infty}^{infty} e^{-x^{2}} [H_{n}(x) ]^{2},dx equiv C_{n} )]
이라 놓자. 재귀 관계를 이용하면,
[math(displaystyle begin{aligned} C_{n}&=int_{-infty}^{infty} e^{-x^{2}} H_{n}(x)[2xH_{n-1}(x)-2(n-1)H_{n-2}(x) ],dx \&=int_{-infty}^{infty} e^{-x^{2}}cdot 2xH_{n}(x) H_{n-1}(x),dx \
&=int_{-infty}^{infty}e^{-x^{2}} [H_{n+1}(x)+2nH_{n-1}(x) ] H_{n}(x) H_{n-1}(x),dx \
&=2n int_{-infty}^{infty}e^{-x^{2}} [H_{n-1}(x) ]^{2},dx \ &=2nC_{n-1}end{aligned} )]
이에 [math(displaystyle C_{n+1}=2(n+1)C_{n} ; to ; C_{n}=2^{n}n! C_{0} )]을 얻고,
[math(displaystyle C_{0}=int_{-infty}^{infty} e^{-x^{2}},dx=sqrt{pi} )]
로 가우스 적분 문서의 결과를 참고하여 적을 수 있으므로
[math(displaystyle int_{-infty}^{infty} e^{-x^{2}} [H_{n}(x) ]^{2},dx=2^{n} n! sqrt{pi} quad (n=m) )]
의 결과를 얻는다.
3.6.1. 푸리에-에르미트 급수
푸리에 급수로 주기 [math([0,,L])]인 함수 [math(f(x))]를 해당 구간에서 직교하는 삼각함수를 이용하여
[math(displaystyle f(x)=sum_{n=0}^{infty} a_{n} sin{frac{npi x}{L}}+b_{n} cos{frac{n pi x}{L}} )]
로 전개할 수 있었으며, 각 계수는 이들의 함수의 직교성으로 구할 수 있었다. 마찬가지로 실수 전체에서 정의된 함수 [math(f(x))]에 대하여
[math(displaystyle f(x)=sum_{n=0}^{infty} a_{n}H_{n}(x) )]
으로 전개할 수 있는데 이것을 푸리에-에르미트 급수(Fourier-Hermite series)'라 한다. 각 계수를 구하기 위해 [math(e^{-x^{2}}H_{m}(x))]를 곱한 뒤 실수 전체에 대해 적분하자.
[math(displaystyle int_{-infty}^{infty} e^{-x^{2}}f(x)H_{m}(x),dx= sum_{n=0}^{infty} a_{n} int_{-infty}^{infty} e^{-x^{2}} H_{n}(x)H_{m}(x),dx )]
에르미트 함수의 직교성에 따라
[math(displaystyle begin{aligned} int_{-infty}^{infty} e^{-x^{2}}f(x)H_{m}(x),dx&= sum_{n=0}^{infty} a_{n} 2^{n} n! sqrt{pi} delta_{nm} \ &=2^{n} n! sqrt{pi} a_{m} end{aligned} )]
이에 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.
[math(displaystyle a_{n}=frac{1}{2^{n} n! sqrt{pi}}int_{-infty}^{infty} e^{-x^{2}}f(x)H_{n}(x),dx )]
[math(displaystyle f(x)=sum_{n=0}^{infty} a_{n} sin{frac{npi x}{L}}+b_{n} cos{frac{n pi x}{L}} )]
로 전개할 수 있었으며, 각 계수는 이들의 함수의 직교성으로 구할 수 있었다. 마찬가지로 실수 전체에서 정의된 함수 [math(f(x))]에 대하여
[math(displaystyle f(x)=sum_{n=0}^{infty} a_{n}H_{n}(x) )]
으로 전개할 수 있는데 이것을 푸리에-에르미트 급수(Fourier-Hermite series)'라 한다. 각 계수를 구하기 위해 [math(e^{-x^{2}}H_{m}(x))]를 곱한 뒤 실수 전체에 대해 적분하자.
[math(displaystyle int_{-infty}^{infty} e^{-x^{2}}f(x)H_{m}(x),dx= sum_{n=0}^{infty} a_{n} int_{-infty}^{infty} e^{-x^{2}} H_{n}(x)H_{m}(x),dx )]
에르미트 함수의 직교성에 따라
[math(displaystyle begin{aligned} int_{-infty}^{infty} e^{-x^{2}}f(x)H_{m}(x),dx&= sum_{n=0}^{infty} a_{n} 2^{n} n! sqrt{pi} delta_{nm} \ &=2^{n} n! sqrt{pi} a_{m} end{aligned} )]
이에 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.
[math(displaystyle a_{n}=frac{1}{2^{n} n! sqrt{pi}}int_{-infty}^{infty} e^{-x^{2}}f(x)H_{n}(x),dx )]