Quantum harmonic oscillator · 量子調和振動子 이 문서에서는 양자 단순
조화 진동자 를 양자역학적으로 분석하는 방법을 주로 다룰 것이다.
이러한 양자 조화 진동자를 다루는 기법에는 대표적으로 '대수적 기법'과 '급수해 기법'이 있다. 이 문서에서는 두 가지 방법 모두 수록했으며, 양자 조화 진동자의 이론적 체계는 대수적 기법에만 다루고, 급수해 해법은 고유함수를 찾는 과정만 수록했으니 참고하기 바란다.
양자 조화 진동자를 분석하기 전 아래의
소멸 연산자(Annihilation operator) 를 도입하고자 한다.
a ^ : = β 2 ( x ^ + i p ^ m ω ) \displaystyle \hat{a}:= \frac{\beta}{\sqrt{2}}\left( \hat{x}+i\frac{\hat{p}}{m\omega} \right) a ^ := 2 β ( x ^ + i mω p ^ ) 여기서
β 2 : = m ω / ℏ \displaystyle \beta^{2} := {m \omega}/{\hbar} β 2 := mω / ℏ 으로 정의되는 상수이며,
m m m 은 질량,
ω \omega ω 는 조화 진동자의 각진동수이며,
ω 2 : = k / m \omega^{2} := k/m ω 2 := k / m 이다. 또한,
k k k 는 힘 상수이며, 용수철 진자라면, 용수철 상수가 될 것이다. 위의 연산자에 Hermitian adjoint를 취하면,
a ^ † = β 2 ( x ^ − i p ^ m ω ) \displaystyle \hat{a}^{\dagger}= \frac{\beta}{\sqrt{2}}\left( \hat{x}-i\frac{\hat{p}}{m\omega} \right) a ^ † = 2 β ( x ^ − i mω p ^ ) 가 되고 이 연산자를
생성 연산자(Creation operator) 라 한다. 이때,
a ^ ≠ a ^ † \hat{a} \neq \hat{a}^{\dagger} a ^ = a ^ † 이므로
a ^ \hat{a} a ^ 는 Hermitian operator가 아니며, 따라서 두 연산자는 관측가능한 물리량을 내놓지 않는다. 그렇다면
위키러 들은 이러한 쓸모 없는 연산자를 왜 분석하고 있는지 이해가 되지 않을 것이다. 하지만 이 연산자의 정체를 알아내고 나서는 매우 유용하고 편리한 연산자라는 것을 깨달을 수 있으며, 그 작업을 위해 우선적으로 두 연산자의 교환자 관계를 조사하고자 한다.
[ a ^ , a ^ † ] = [ β 2 ( x ^ + i p ^ m ω ) , β 2 ( x ^ − i p ^ m ω ) ] \displaystyle [\hat{a},\,\hat{a}^{\dagger}] = \left[ \frac{\beta}{\sqrt{2}}\left( \hat{x}+i\frac{\hat{p}}{m\omega} \right) , \, \frac{\beta}{\sqrt{2}}\left( \hat{x}-i\frac{\hat{p}}{m\omega} \right) \right] [ a ^ , a ^ † ] = [ 2 β ( x ^ + i mω p ^ ) , 2 β ( x ^ − i mω p ^ ) ] 이때,
정준 교환 관계 [ x ^ , p ^ ] = i ℏ [\hat{x},\,\hat{p}]=i \hbar [ x ^ , p ^ ] = i ℏ 를 이용하면 아래와 같은 결과를 얻을 수 있다.
[ a ^ , a ^ † ] = a ^ a ^ † − a ^ † a ^ = 1 \displaystyle [\hat{a},\,\hat{a}^{\dagger}]=\hat{a}\hat{a}^{\dagger}-\hat{a}^{\dagger}\hat{a} =1 [ a ^ , a ^ † ] = a ^ a ^ † − a ^ † a ^ = 1 이러한 성질은 앞으로 꽤 유용하게 쓰이므로 암기하는 것이 나을 것이다.
다음과 같은 연산자를 하나 정의하고자 한다.
a ^ † a ^ : = N ^ \displaystyle \hat{a}^{\dagger}\hat{a} := \hat{N} a ^ † a ^ := N ^ 이 연산자는 우선적으로 상태가
n n n 인 고유함수
φ n \varphi_{n} φ n 에 결합하여 교윳값으로 상태
n n n 을 내놓는다고 가정하자. 예를 들어,
N ^ φ n = n φ n \displaystyle \hat{N}\varphi_{n}=n\varphi_{n} N ^ φ n = n φ n 이다. 이제 소멸 연산자와 생성 연산자의 역할을 조사하기 위해 위 연산자의
a ^ φ n \hat{a}\varphi_{n} a ^ φ n 의 고윳값을 조사해보자.
N ^ ( a ^ φ n ) = a ^ † a ^ a ^ φ n = ( a ^ a ^ † − 1 ) a ^ φ n = a ^ ( a ^ a ^ † − 1 ) φ n = a ^ ( N ^ − 1 ) φ n = ( n − 1 ) ( a ^ φ n ) \displaystyle \begin{aligned} \hat{N}(\hat{a}\varphi_{n})&=\hat{a}^{\dagger}\hat{a}\hat{a}\varphi_{n} \\&=(\hat{a}\hat{a}^{\dagger}-1)\hat{a}\varphi_{n} \\ &=\hat{a}(\hat{a}\hat{a}^{\dagger}-1)\varphi_{n} \\ &=\hat{a}(\hat{N}-1)\varphi_{n} \\&=(n-1)(\hat{a}\varphi_{n}) \end{aligned} N ^ ( a ^ φ n ) = a ^ † a ^ a ^ φ n = ( a ^ a ^ † − 1 ) a ^ φ n = a ^ ( a ^ a ^ † − 1 ) φ n = a ^ ( N ^ − 1 ) φ n = ( n − 1 ) ( a ^ φ n ) 따라서 위 연산자의
a ^ φ n \hat{a}\varphi_{n} a ^ φ n 의 교윳값은
n − 1 n-1 n − 1 임을 알 수 있다. 위에서
N ^ \hat{N} N ^ 을 어떻게 정의되었는지 다시 상기해보면,
a ^ φ n ∝ φ n − 1 \displaystyle \hat{a}\varphi_{n} \propto \varphi_{n-1} a ^ φ n ∝ φ n − 1 로 상태를 한 단계 낮춰준다는 사실을 알 수 있다. 다만, 비례 표시(
∝ \propto ∝ )로 나타내는 것은 아직 소멸 연산자의 고윳값은 구하지 않았기 때문이다. 같은 논법으로, 생성 연산자에 대해 하면,
N ^ ( a ^ † φ n ) = a ^ † a ^ a ^ † φ n = a ^ † ( a ^ † a ^ + 1 ) φ n = a ^ † ( N ^ + 1 ) φ n = ( n + 1 ) ( a ^ † φ n ) \displaystyle \begin{aligned} \hat{N}(\hat{a}^{\dagger}\varphi_{n})&=\hat{a}^{\dagger}\hat{a}\hat{a}^{\dagger}\varphi_{n} \\&=\hat{a}^{\dagger}(\hat{a}^{\dagger}\hat{a}+1)\varphi_{n} \\ &=\hat{a}^{\dagger}(\hat{N}+1)\varphi_{n} \\&=(n+1)(\hat{a}^{\dagger}\varphi_{n}) \end{aligned} N ^ ( a ^ † φ n ) = a ^ † a ^ a ^ † φ n = a ^ † ( a ^ † a ^ + 1 ) φ n = a ^ † ( N ^ + 1 ) φ n = ( n + 1 ) ( a ^ † φ n ) 따라서 같은 논법으로,
a ^ † φ n ∝ φ n + 1 \displaystyle \hat{a}^{\dagger}\varphi_{n} \propto \varphi_{n+1} a ^ † φ n ∝ φ n + 1 임을 알 수 있다. 즉, 생성 연산자는 상태를 한 단계 올려준다는 사실을 알 수 있다. 이러한 성질 때문에 두 연산자를
사다리 연산자(Ladder operator) 라 한다. 그 이유는 위에서 살펴 보았듯, 고윳값으로 물리적 가측량을 주는 것이 아닌 단지 어떤 상태를 올리거나 내려주기만 하기 때문이다.
조화 진동자의
해밀토니안 은 고전적으로 아래와 같이 주어진다.
H = p 2 2 m + 1 2 k x 2 = p 2 2 m + 1 2 m ω 2 x 2 \displaystyle \begin{aligned} \mathcal{H}&=\frac{p^{2}}{2m}+\frac{1}{2}kx^{2} \\ &=\frac{p^{2}}{2m}+\frac{1}{2}m \omega^{2} x^{2} \end{aligned} H = 2 m p 2 + 2 1 k x 2 = 2 m p 2 + 2 1 m ω 2 x 2 따라서 양자 조화 진동자에서 해밀토니안 연산자는
H ^ = p ^ 2 2 m + 1 2 m ω 2 x ^ 2 \displaystyle \hat{\mathcal{H}}=\frac{\hat{p}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}m \omega^{2}\hat{x}^{2} H ^ = 2 m p ^ 2 + 2 1 m ω 2 x ^ 2 위에서 정의했던 생성·소멸 연산자에서
x ^ = a ^ + a ^ † 2 β p ^ = m ω i a ^ − a ^ † 2 β \displaystyle \hat{x}=\frac{\hat{a}+\hat{a}^{\dagger}}{\sqrt{2} \beta} \qquad \qquad \hat{p}=\frac{m \omega}{i}\frac{\hat{a}-\hat{a}^{\dagger}}{\sqrt{2} \beta} x ^ = 2 β a ^ + a ^ † p ^ = i mω 2 β a ^ − a ^ † 를 이용하자. 이것을 위 식에 대입하면,
H ^ = ℏ ω ( a ^ † a ^ + 1 2 ) \displaystyle \hat{\mathcal{H}}=\hbar \omega \left(\hat{a}^{\dagger}\hat{a}+\frac{1}{2} \right) H ^ = ℏ ω ( a ^ † a ^ + 2 1 ) 임을 쉽게 증명할 수 있다. 따라서 에너지의 고윳값을 구할 수 있게 되었고, 상태
n n n 의 고유함수
φ n \varphi_{n} φ n 을 이용하면,
H ^ φ n = ℏ ω ( a ^ † a ^ + 1 2 ) φ n = ℏ ω ( N ^ + 1 2 ) φ n = ℏ ω ( n + 1 2 ) φ n \displaystyle \begin{aligned} \hat{\mathcal{H}}\varphi_{n}&=\hbar \omega \left(\hat{a}^{\dagger}\hat{a}+\frac{1}{2} \right)\varphi_{n} \\&=\hbar \omega \left(\hat{N}+\frac{1}{2} \right)\varphi_{n} \\&=\hbar \omega \left(n+\frac{1}{2} \right)\varphi_{n} \end{aligned} H ^ φ n = ℏ ω ( a ^ † a ^ + 2 1 ) φ n = ℏ ω ( N ^ + 2 1 ) φ n = ℏ ω ( n + 2 1 ) φ n 따라서 에너지 고윳값은
E n = ℏ ω ( n + 1 2 ) \displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+\frac{1}{2} \right) E n = ℏ ω ( n + 2 1 ) 이 된다. 그러나 한 가지의 부가조건을 더 생각해야 한다. 양자 조화 진동자의 해밀토니안 연산자는 Hermitian operator의 제곱이 선형 결합되어 있는 연산자이므로 에너지 평균값은 양수여야만 한다. 따라서 우리는
⟨ H ⟩ ≥ 0 \displaystyle \langle \mathcal{H} \rangle \geq 0 ⟨ H ⟩ ≥ 0 을 만족해야 한다. 양자역학적 고유함수의 직교성에 따라 고유함수의 내적
⟨ φ n ∣ φ m ⟩ = δ n m \langle \varphi_{n} |\varphi_{m} \rangle=\delta_{nm} ⟨ φ n ∣ φ m ⟩ = δ nm 을 이용하면,
⟨ H ⟩ = ⟨ φ n ∣ H ^ ∣ φ n ⟩ = ℏ ω ( n + 1 2 ) ⟨ φ n ∣ φ n ⟩ = ℏ ω ( n + 1 2 ) \displaystyle \begin{aligned} \langle \mathcal{H} \rangle &=\langle \varphi_{n} | \hat{\mathcal{H}}|\varphi_{n} \rangle \\ &=\hbar \omega \left(n+\frac{1}{2} \right)\langle \varphi_{n} |\varphi_{n} \rangle \\ &=\hbar \omega \left(n+\frac{1}{2} \right) \end{aligned} ⟨ H ⟩ = ⟨ φ n ∣ H ^ ∣ φ n ⟩ = ℏ ω ( n + 2 1 ) ⟨ φ n ∣ φ n ⟩ = ℏ ω ( n + 2 1 ) 따라서 위의 부가조건을 만족시키기 위해서는
n ≥ − 1 2 \displaystyle n \geq -\frac{1}{2} n ≥ − 2 1 이어야 한다. 따라서
n < − 1 / 2 n<-1/2 n < − 1/2 인 상태는 정의되지 않는다. 따라서 이 조건을 명시할 수 있는
a ^ φ 0 = 0 \displaystyle \hat{a}\varphi_{0}=0 a ^ φ 0 = 0 를 덧붙일 것이다. 따라서 에너지 고윳값은 최저 상태를
n = 0 n=0 n = 0 이라 두었기 때문에
E n = ℏ ω ( n + 1 2 ) ( n = 0 , 1 , 2 , ⋯ ) \displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+\frac{1}{2} \right) \qquad (n=0,\,1,\,2,\,\cdots) E n = ℏ ω ( n + 2 1 ) ( n = 0 , 1 , 2 , ⋯ ) 위는 중요한 두 가지의 결론을 얻는다.
다음과 같은 무차원의 변수로 치환하자.
β 2 x 2 = m ω ℏ x 2 : = ξ 2 \displaystyle \beta^{2}x^{2} = \frac{m \omega}{\hbar}x^{2} := \xi^{2} β 2 x 2 = ℏ mω x 2 := ξ 2 이를 이용해서, 생성·소멸 연산자를 아래와 같이 쓸 수 있다.
a ^ = β 2 ( x ^ + i p ^ m ω ) = β 2 ( x + ℏ m ω ∂ ∂ x ) = 1 2 ( β x + ∂ ∂ ( β x ) ) = 1 2 ( ξ + ∂ ∂ ξ ) \displaystyle \begin{aligned} \hat{a} &= \frac{\beta}{\sqrt{2}}\left( \hat{x}+i\frac{\hat{p}}{m\omega} \right) \\ &= \frac{\beta}{\sqrt{2}} \left( x+\frac{\hbar}{m\omega} \frac{\partial}{\partial x} \right) \\ &=\frac{1}{\sqrt{2}} \left( \beta x+ \frac{\partial}{\partial (\beta x)} \right) \\&=\frac{1}{\sqrt{2}} \left( \xi+ \frac{\partial}{\partial \xi} \right) \end{aligned} a ^ = 2 β ( x ^ + i mω p ^ ) = 2 β ( x + mω ℏ ∂ x ∂ ) = 2 1 ( β x + ∂ ( β x ) ∂ ) = 2 1 ( ξ + ∂ ξ ∂ ) 마찬가지의 논법으로
a ^ † = 1 2 ( ξ − ∂ ∂ ξ ) \displaystyle \hat{a}^{\dagger}=\frac{1}{\sqrt{2}} \left( \xi- \frac{\partial}{\partial \xi} \right) a ^ † = 2 1 ( ξ − ∂ ξ ∂ ) 으로 쓸 수 있다. 윗문단을 통해 양자 조화 진동자의 최저 상태의 고유 함수는
φ 0 \varphi_{0} φ 0 이라 했고, 위에서
a ^ φ 0 = 0 \displaystyle \hat{a}\varphi_{0}=0 a ^ φ 0 = 0 의 부가조건을 설정한 것을 상기하면,
1 2 ( ξ + ∂ ∂ ξ ) φ 0 = 0 \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \xi+ \frac{\partial}{\partial \xi} \right)\varphi_{0}=0 2 1 ( ξ + ∂ ξ ∂ ) φ 0 = 0 이 방정식의 해는 다음과 같다.
φ 0 = A 0 exp ( − ξ 2 2 ) \displaystyle \varphi_{0}=A_{0}\exp{\left( -\frac{\xi^{2}}{2} \right)} φ 0 = A 0 exp ( − 2 ξ 2 ) 이때,
A 0 A_{0} A 0 은 규격화 상수로
⟨ φ 0 ∣ φ 0 ⟩ = 1 \langle \varphi_{0} |\varphi_{0} \rangle=1 ⟨ φ 0 ∣ φ 0 ⟩ = 1 로 결정할 수 있다. 따라서 최저 상태의 고유함수는
정규분포 곡선 모양임을 알 수 있다. 이제 최저 모드의 고유함수가 결정되었기 때문에 생성 연산자를 이용하면 쉽게 다른 상태 또한 결정할 수 있다. 그 중 한 가지의 예만 보고가고자 한다.
φ 1 ∝ a ^ † φ 0 ∝ ( ξ − ∂ ∂ ξ ) exp ( − ξ 2 2 ) = 2 x exp ( − ξ 2 2 ) \displaystyle \begin{aligned} \varphi_{1}&\propto \hat{a}^{\dagger} \varphi_{0} \\ & \propto \left( \xi- \frac{\partial}{\partial \xi} \right) \exp{\left( -\frac{\xi^{2}}{2} \right)} \\ &=2x\exp{\left( -\frac{\xi^{2}}{2} \right)} \end{aligned} φ 1 ∝ a ^ † φ 0 ∝ ( ξ − ∂ ξ ∂ ) exp ( − 2 ξ 2 ) = 2 x exp ( − 2 ξ 2 ) 따라서 규격화 상수를
A 1 A_{1} A 1 이라 두면,
φ 1 = 2 A 1 x exp ( − ξ 2 2 ) \displaystyle \varphi_{1}=2A_{1}x\exp{\left( -\frac{\xi^{2}}{2} \right)} φ 1 = 2 A 1 x exp ( − 2 ξ 2 ) 이와 같은 논법으로
φ n \varphi_{n} φ n 을 구하려면, 생성 연산자를
n n n 번 최저 상태 고유함수에 적용하면 된다.
φ n = A n ( ξ + ∂ ∂ ξ ) n exp ( − ξ 2 2 ) \displaystyle \varphi_{n} =A_{n} \left( \xi+ \frac{\partial}{\partial \xi} \right)^{n}\exp{\left( -\frac{\xi^{2}}{2} \right)} φ n = A n ( ξ + ∂ ξ ∂ ) n exp ( − 2 ξ 2 ) 따라서 다음과 같이 양자 조화 진동자의 고유함수와 고윳값을 얻는다.
φ n ( ξ ) = A n H n ( ξ ) exp ( − ξ 2 2 ) E n = ℏ ω ( n + 1 2 ) ( n = 0 , 1 , 2 , ⋯ ) \displaystyle \begin{aligned} \varphi_{n}(\xi)&=A_{n}H_{n}(\xi)\exp{\left( -\frac{\xi^{2}}{2} \right)} \\ E_{n}&=\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right) \qquad (n=0,\,1,\,2,\,\cdots) \end{aligned} φ n ( ξ ) E n = A n H n ( ξ ) exp ( − 2 ξ 2 ) = ℏ ω ( n + 2 1 ) ( n = 0 , 1 , 2 , ⋯ ) 위에서
H n ( ξ ) H_{n}(\xi) H n ( ξ ) 는
에르미트 다항식 이며, 규격화 상수
A n = 1 2 n n ! π \displaystyle A_{n}=\sqrt{\frac{1}{2^{n}n! \sqrt{\pi} } } A n = 2 n n ! π 1 로 결정된다. 아래는 몇 가지 고유함수들을 나타낸 것이다.
파일:나무_양자조화진동자_고유함수.png 눈썰미가 좋은 사람은 양자 조화 진동자의 고유함수가
기함수와 우함수 가 반복된다는 것을 알 수 있을 것이다.
양자 조화 진동자는 속박되어있는 예이므로 고유함수의 절댓값 제곱은 확률밀도함수이다. 몇 가지의 확률밀도함수를 나타내면 아래와 같다.
파일:나무_양자조화진동자_확률밀도.png 위 그림에서는 고전역학적으로 전환점
이후의 영역에서 상태는 허용되지 않는 것과 대비되게 전환점 이후에도 입자가 존재할 수 있는 것을 알 수 있다.
이 문단은 다음 문단의 평균값과
불확정성 원리 가 양자 조화 진동자에서 성립하는 지 알아보기 위해 알아봐야할 문단이다. 맨 처음 문단에서 생성 혹은 소멸 연산자가 물리적 가측량 값을 주지 않고, 상태를 내리거나 올리기만 하는 연산자임을 알아보았다. 이제는 해당 연산자들의 고윳값을 알아봐야할 차례이다.
이제부터 고유함수
φ n \varphi_{n} φ n 을 ket-vector
∣ n ⟩ | n \rangle ∣ n ⟩ 으로 간단히 나타낼 것이다. 우선 소멸 연산자의 고윳값을
C n C_{n} C n 이라 놓자. 그러면,
a ^ ∣ n ⟩ = C n ∣ n − 1 ⟩ \displaystyle \hat{a}| n \rangle=C_{n} | n-1 \rangle a ^ ∣ n ⟩ = C n ∣ n − 1 ⟩ 양변에 복소 공액을 취하면,
⟨ a ^ n ∣ = ⟨ n − 1 ∣ C n ∗ \displaystyle \langle \hat{a} n | =\langle n-1 | C_{n}^{\ast} ⟨ a ^ n ∣ = ⟨ n − 1∣ C n ∗ 이것은 다음과 같이 쓸 수 있다.
⟨ n ∣ a ^ † = ⟨ n − 1 ∣ C n ∗ \displaystyle \langle n | \hat{a}^{\dagger} =\langle n-1 | C_{n}^{\ast} ⟨ n ∣ a ^ † = ⟨ n − 1∣ C n ∗ 이 결과를 맨 처음 식의 ket-vector에 곱하면,
⟨ n ∣ a ^ † a ^ ∣ n ⟩ = ⟨ n − 1 ∣ C n ∗ C n ∣ n − 1 ⟩ ⟨ n ∣ N ^ ∣ n ⟩ = ∣ C n ∣ 2 ⟨ n − 1 ∣ n − 1 ⟩ n ⟨ n ∣ n ⟩ = ∣ C n ∣ 2 ⟨ n − 1 ∣ n − 1 ⟩ \displaystyle \begin{aligned} \langle n | \hat{a}^{\dagger} \hat{a}| n \rangle&=\langle n-1 | C_{n}^{\ast}C_{n} | n-1 \rangle \\ \langle n | \hat{N}| n \rangle&=\left| C_{n} \right|^{2}\langle n-1 | n-1 \rangle \\ n \langle n | n \rangle&=\left| C_{n} \right|^{2}\langle n-1 | n-1 \rangle \end{aligned} ⟨ n ∣ a ^ † a ^ ∣ n ⟩ ⟨ n ∣ N ^ ∣ n ⟩ n ⟨ n ∣ n ⟩ = ⟨ n − 1∣ C n ∗ C n ∣ n − 1 ⟩ = ∣ C n ∣ 2 ⟨ n − 1∣ n − 1 ⟩ = ∣ C n ∣ 2 ⟨ n − 1∣ n − 1 ⟩ 고유함수의 직교성에 의해
n = ∣ C n ∣ 2 → C n = n \displaystyle n=\left| C_{n} \right|^{2} \, \rightarrow \, C_{n}=\sqrt{n} n = ∣ C n ∣ 2 → C n = n 이상에서
a ^ ∣ n ⟩ = n ∣ n − 1 ⟩ \displaystyle \hat{a}| n \rangle=\sqrt{n} | n-1 \rangle a ^ ∣ n ⟩ = n ∣ n − 1 ⟩ 임을 알 수 있다. 생성 연산자도 똑같은 논법으로 증명할 수 있다. 다만, 이것을 증명할 때는 두 연산자의 교환자 관계를 이용해야 할 것이다. 이에 생성 연산자는
a ^ † ∣ n ⟩ = n + 1 ∣ n + 1 ⟩ \displaystyle \hat{a}^{\dagger}| n \rangle=\sqrt{n+1} | n+1 \rangle a ^ † ∣ n ⟩ = n + 1 ∣ n + 1 ⟩ 임을 쉽게 증명할 수 있다.
이번에는 최저 상태를
n = 0 n=0 n = 0 으로 둔 것에 대한 타당성을 검증해보도록 하자.
n = ⟨ n ∣ N ^ ∣ n ⟩ = ⟨ n ∣ a ^ † a ^ ∣ n ⟩ = ( ⟨ a ^ n ∣ ) ( a ^ ∣ n ⟩ ) = ( a ^ ∣ n ⟩ ) ∗ ( a ^ ∣ n ⟩ ) \displaystyle \begin{aligned} n&=\langle n | \hat{N}| n \rangle \\ &=\langle n | \hat{a}^{\dagger} \hat{a}| n \rangle \\ &=(\langle \hat{a} n |)( \hat{a}| n \rangle) \\ &=( \hat{a}| n \rangle)^{\ast}( \hat{a}| n \rangle) \end{aligned} n = ⟨ n ∣ N ^ ∣ n ⟩ = ⟨ n ∣ a ^ † a ^ ∣ n ⟩ = (⟨ a ^ n ∣ ) ( a ^ ∣ n ⟩) = ( a ^ ∣ n ⟩ ) ∗ ( a ^ ∣ n ⟩) 따라서 위의 결과는
n n n 이 0 이상의 양의 실수만 될 수 있다는 것만을 보여준다. 따라서 최저 상태로 택한
n = 0 n=0 n = 0 은 타당하다는 것을 알 수 있다.
불확정성 원리 에 따르면,
Δ x Δ p ≥ ℏ 2 \displaystyle \Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} Δ x Δ p ≥ 2 ℏ 를 만족해야 한다. 이것을 검증하기 위해
Δ x : = ⟨ x 2 ⟩ − ⟨ x ⟩ 2 Δ p : = ⟨ p 2 ⟩ − ⟨ p ⟩ 2 \displaystyle \Delta x := \sqrt{\langle x^2 \rangle-\langle x \rangle^{2}} \qquad \qquad \Delta p := \sqrt{\langle p^2 \rangle-\langle p \rangle^{2}} Δ x := ⟨ x 2 ⟩ − ⟨ x ⟩ 2 Δ p := ⟨ p 2 ⟩ − ⟨ p ⟩ 2 임을 이용하면 된다.
⟨ x ⟩ \langle x \rangle ⟨ x ⟩ 와
⟨ p ⟩ \langle p \rangle ⟨ p ⟩ 는 비교적 쉽게 구할 수 있다.
⟨ x ⟩ = ⟨ n ∣ x ^ ∣ n ⟩ = ⟨ n ∣ a ^ + a ^ † 2 β ∣ n ⟩ = 0 ⟨ p ⟩ = ⟨ n ∣ p ^ ∣ n ⟩ = ⟨ n ∣ m ω i a ^ − a ^ † 2 β ∣ n ⟩ = 0 \displaystyle \begin{aligned} \langle x \rangle&=\langle n |\hat{x}|n \rangle \\ &=\left \langle n \left|\frac{\hat{a}+\hat{a}^{\dagger}}{\sqrt{2} \beta} \right|n \right \rangle \\ &=0 \\ \langle p \rangle&=\langle n |\hat{p}|n \rangle \\ &=\left \langle n \left|\frac{m \omega}{i}\frac{\hat{a}-\hat{a}^{\dagger}}{\sqrt{2} \beta} \right|n \right \rangle \\ &=0 \end{aligned} ⟨ x ⟩ ⟨ p ⟩ = ⟨ n ∣ x ^ ∣ n ⟩ = ⟨ n 2 β a ^ + a ^ † n ⟩ = 0 = ⟨ n ∣ p ^ ∣ n ⟩ = ⟨ n i mω 2 β a ^ − a ^ † n ⟩ = 0 소멸·생성 연산자와 고유함수의 직교성을 이해했다면, 연산을 하지 않더라도 쉽게 위의 결과를 받아들일 수 있다. 소멸·생성 연산자는 상태를 올리거나 내려준다고 했다. 그런데 위와 같은 연산에서는 결국 다른 상태끼리의 고유함수 내적 연산만이 남게 되고, 결국 이것은 0이 될 수밖에 없는 것이다.
이제
⟨ x 2 ⟩ \langle x^{2} \rangle ⟨ x 2 ⟩ 을 구하자.
⟨ x 2 ⟩ = ⟨ n ∣ x ^ 2 ∣ n ⟩ = ⟨ n ∣ ( a ^ + a ^ † 2 β ) 2 ∣ n ⟩ = 1 2 β 2 ⟨ n ∣ a ^ a ^ + a ^ a ^ † + a ^ † a ^ + a ^ † a ^ † ∣ n ⟩ \displaystyle \begin{aligned} \langle x^{2} \rangle&=\langle n |\hat{x}^{2}|n \rangle \\ &=\left \langle n \left| \left(\frac{\hat{a}+\hat{a}^{\dagger}}{\sqrt{2} \beta} \right)^{2} \right|n \right \rangle \\ &=\frac{1}{2\beta^{2}}\langle n | \hat{a}\hat{a}+\hat{a}\hat{a}^{\dagger}+\hat{a}^{\dagger}\hat{a}+\hat{a}^{\dagger}\hat{a}^{\dagger} |n \rangle \end{aligned} ⟨ x 2 ⟩ = ⟨ n ∣ x ^ 2 ∣ n ⟩ = ⟨ n ( 2 β a ^ + a ^ † ) 2 n ⟩ = 2 β 2 1 ⟨ n ∣ a ^ a ^ + a ^ a ^ † + a ^ † a ^ + a ^ † a ^ † ∣ n ⟩ 따라서 항은 총 4개로 분리될 것이다. 그런데 1, 4항은 서로 다른 상태끼리의 고유함수의 내적이 포함되므로 연산에 기여하지 않는다. 따라서
⟨ x 2 ⟩ = 1 2 β 2 ⟨ n ∣ a ^ a ^ † + a ^ † a ^ ∣ n ⟩ = 1 2 β 2 ⟨ n ∣ ( a ^ † a ^ + 1 ) + a ^ † a ^ ∣ n ⟩ = 1 2 β 2 ⟨ n ∣ 2 a ^ † a ^ − 1 ∣ n ⟩ = 1 2 β 2 ⟨ n ∣ 2 N ^ + 1 ∣ n ⟩ = ℏ m ω ( n + 1 2 ) \displaystyle \begin{aligned} \langle x^{2} \rangle &=\frac{1}{2\beta^{2}}\langle n |\hat{a}\hat{a}^{\dagger}+\hat{a}^{\dagger}\hat{a} |n \rangle \\&=\frac{1}{2\beta^{2}}\langle n |(\hat{a}^{\dagger}\hat{a}+1)+\hat{a}^{\dagger}\hat{a} |n \rangle \\ &=\frac{1}{2\beta^{2}}\langle n |2\hat{a}^{\dagger}\hat{a}-1 |n \rangle \\&=\frac{1}{2\beta^{2}}\langle n |2\hat{N}+1 |n \rangle \\ &=\frac{\hbar}{m \omega} \left( n+\frac{1}{2} \right) \end{aligned} ⟨ x 2 ⟩ = 2 β 2 1 ⟨ n ∣ a ^ a ^ † + a ^ † a ^ ∣ n ⟩ = 2 β 2 1 ⟨ n ∣ ( a ^ † a ^ + 1 ) + a ^ † a ^ ∣ n ⟩ = 2 β 2 1 ⟨ n ∣2 a ^ † a ^ − 1∣ n ⟩ = 2 β 2 1 ⟨ n ∣2 N ^ + 1∣ n ⟩ = mω ℏ ( n + 2 1 ) 가 된다.
마지막으로,
⟨ p 2 ⟩ \langle p^{2} \rangle ⟨ p 2 ⟩ 을 구해보도록 하자.
⟨ p 2 ⟩ = ⟨ n ∣ p ^ 2 ∣ n ⟩ = ⟨ n ∣ ( m ω i a ^ − a ^ † 2 β ) 2 ∣ n ⟩ = − m 2 ω 2 2 β 2 ⟨ n ∣ a ^ a ^ − a ^ a ^ † − a ^ † a ^ + a ^ † a ^ † ∣ n ⟩ = m 2 ω 2 2 β 2 ⟨ n ∣ a ^ a ^ † + a ^ † a ^ ∣ n ⟩ \displaystyle \begin{aligned} \langle p^{2} \rangle&=\langle n |\hat{p}^{2}|n \rangle \\ &=\left \langle n \left| \left(\frac{m \omega}{i}\frac{\hat{a}-\hat{a}^{\dagger}}{\sqrt{2} \beta} \right)^{2} \right|n \right \rangle \\ &=- \frac{m^{2} \omega^{2}}{2\beta^{2}}\langle n | \hat{a}\hat{a}-\hat{a}\hat{a}^{\dagger}-\hat{a}^{\dagger}\hat{a}+\hat{a}^{\dagger}\hat{a}^{\dagger} |n \rangle \\ &=\frac{m^{2} \omega^{2}}{2\beta^{2}}\langle n | \hat{a}\hat{a}^{\dagger}+\hat{a}^{\dagger}\hat{a} |n \rangle \end{aligned} ⟨ p 2 ⟩ = ⟨ n ∣ p ^ 2 ∣ n ⟩ = ⟨ n ( i mω 2 β a ^ − a ^ † ) 2 n ⟩ = − 2 β 2 m 2 ω 2 ⟨ n ∣ a ^ a ^ − a ^ a ^ † − a ^ † a ^ + a ^ † a ^ † ∣ n ⟩ = 2 β 2 m 2 ω 2 ⟨ n ∣ a ^ a ^ † + a ^ † a ^ ∣ n ⟩ 이런 꼴은 이미
⟨ x 2 ⟩ \langle x^{2} \rangle ⟨ x 2 ⟩ 을 계산하면서 보았던 꼴이다. 따라서
⟨ p 2 ⟩ = m ω ℏ ( n + 1 2 ) \displaystyle \langle p^{2} \rangle=m \omega \hbar \left( n+\frac{1}{2} \right) ⟨ p 2 ⟩ = mω ℏ ( n + 2 1 ) 이상에서
Δ x = ℏ m ω ( n + 1 2 ) Δ p = m ω ℏ ( n + 1 2 ) \displaystyle \Delta x=\sqrt{\frac{\hbar}{m \omega} \left( n+\frac{1}{2} \right)} \qquad \qquad \Delta p=\sqrt{m \omega \hbar \left( n+\frac{1}{2} \right)} Δ x = mω ℏ ( n + 2 1 ) Δ p = mω ℏ ( n + 2 1 ) 이고,
Δ x Δ p = ℏ ( n + 1 2 ) ≥ ℏ 2 \displaystyle \Delta x \Delta p=\hbar \left( n+\frac{1}{2} \right) \geq \frac{\hbar}{2} Δ x Δ p = ℏ ( n + 2 1 ) ≥ 2 ℏ 이므로
불확정성 원리 를 만족한다는 것을 알 수 있다.
이번엔 양자 조화 진동자의 평균 에너지
⟨ E ⟩ \langle E \rangle ⟨ E ⟩ 에 대해 논해보자.
⟨ E ⟩ = ⟨ T ⟩ + ⟨ V ⟩ \displaystyle \langle E \rangle=\langle T \rangle+\langle V \rangle ⟨ E ⟩ = ⟨ T ⟩ + ⟨ V ⟩ 이때,
⟨ T ⟩ \langle T \rangle ⟨ T ⟩ 는 운동 에너지 평균값,
⟨ V ⟩ \langle V \rangle ⟨ V ⟩ 는 퍼텐셜 에너지 평균값이다. 각각의 평균값은 아래와 같이 주어진다.
⟨ T ⟩ = ⟨ p 2 ⟩ 2 m ⟨ V ⟩ = 1 2 k ⟨ x 2 ⟩ = 1 2 m ω 2 ⟨ x 2 ⟩ \displaystyle \langle T \rangle=\frac{\langle p^{2} \rangle}{2m} \qquad \qquad \langle V \rangle=\frac{1}{2}k\langle x^{2} \rangle=\frac{1}{2}m \omega^{2} \langle x^{2} \rangle ⟨ T ⟩ = 2 m ⟨ p 2 ⟩ ⟨ V ⟩ = 2 1 k ⟨ x 2 ⟩ = 2 1 m ω 2 ⟨ x 2 ⟩ 그런데,
⟨ x 2 ⟩ \langle x^{2} \rangle ⟨ x 2 ⟩ ,
⟨ p 2 ⟩ \langle p^{2} \rangle ⟨ p 2 ⟩ 는 위에서 각각 구하였다. 따라서 그 결과를 이용하면,
⟨ T ⟩ = ⟨ V ⟩ = 1 2 ℏ ω ( n + 1 2 ) \displaystyle \langle T \rangle= \langle V \rangle=\frac{1}{2}\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right) ⟨ T ⟩ = ⟨ V ⟩ = 2 1 ℏ ω ( n + 2 1 ) 임을 알 수 있다. 따라서 운동 에너지 및 퍼텐셜 에너지의 평균값은 동일하다. 이상에서
⟨ E ⟩ = 2 ⟨ T ⟩ = 2 ⟨ V ⟩ \displaystyle \langle E \rangle=2\langle T \rangle=2\langle V \rangle ⟨ E ⟩ = 2 ⟨ T ⟩ = 2 ⟨ V ⟩ 이 성립함에 따라 맨 위에서 구했던 결과
⟨ E ⟩ = ℏ ω ( n + 1 2 ) \displaystyle \langle E \rangle=\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right) ⟨ E ⟩ = ℏ ω ( n + 2 1 ) 를 얻는다.
양자역학적 결론에서 양자수가 극히 커짐에 따라 고전역학적 결과에 접근해가서 대응되게 되는 것을
대응원리(Correspondence principle) 라 한다. 이제부터 양자 조화 진동자의 대응원리를 알아보고자 한다.
양자역학적으로 입자가
x x x ,
x + d x x+dx x + d x 사이에서 발견될 확률
P Q M P_{\mathrm{QM}} P QM 은 알다시피, 고유함수의 절댓값 제곱으로 주어진다. 즉,
P Q M = ∣ φ ( x ) ∣ 2 \displaystyle P_{\mathrm{QM}}=\left| \varphi(x) \right|^{2} P QM = ∣ φ ( x ) ∣ 2 그렇다면, 고전적으로
x x x ,
x + d x x+dx x + d x 사이에서 입자가 발견될 확률
P C M P_{\mathrm{CM}} P CM 은 얼마인가? 이제부터 이것이 포인트가 될 것이다. 고전적으로 해당 확률은 운동의 주기
T T T 과 극히 짧은 시간 간격
d t dt d t 의 비로 보았다. 즉,
P C M d x = d t T \displaystyle P_{\mathrm{CM}}\,dx=\frac{dt}{T} P CM d x = T d t 이 된다. 이때,
T = 2 π / ω T=2\pi/\omega T = 2 π / ω 가 되므로 윗 식은
d t T = 2 π ω d t \displaystyle \frac{dt}{T}=\frac{2\pi}{\omega}\,dt T d t = ω 2 π d t 으로 쓸 수 있다. 연쇄 법칙에 의하여,
ω 2 π d t = ω 2 π d t d x d x = 2 π ω 1 x ˙ d x \displaystyle \frac{\omega}{2\pi}\,dt=\frac{\omega}{2\pi}\,\frac{dt}{dx}dx=\frac{2\pi}{\omega}\frac{1}{\dot{x}}dx 2 π ω d t = 2 π ω d x d t d x = ω 2 π x ˙ 1 d x 으로 쓸 수 있다.
x ˙ : = d x / d t \dot{x}:= dx/dt x ˙ := d x / d t 로 속도를 의미한다. 이미 진폭
x 0 x_{0} x 0 인 조화진동자의 변위와 속도는 다음과 같이 주어짐을 안다.
x = x 0 sin ω t x ˙ = x 0 ω cos ω t \displaystyle \begin{aligned} x&=x_{0}\sin{\omega t} \\ \dot{x}&=x_{0}\omega \cos{\omega t} \end{aligned} x x ˙ = x 0 sin ω t = x 0 ω cos ω t 이때, 다음과 같이 쓸 수 있다.
x ˙ = ω x 0 2 − x 2 \displaystyle \dot{x}=\omega \sqrt{x_{0}^{2}-x^{2}} x ˙ = ω x 0 2 − x 2 이상에서
ω 2 π d t d x d x = 2 π ω 1 x ˙ d x = 1 2 π x 0 2 − x 2 d x \displaystyle \frac{\omega}{2\pi}\,\frac{dt}{dx}dx=\frac{2\pi}{\omega}\frac{1}{\dot{x}}dx=\frac{1}{2\pi \sqrt{x_{0}^{2}-x^{2} } }\,dx 2 π ω d x d t d x = ω 2 π x ˙ 1 d x = 2 π x 0 2 − x 2 1 d x 로 쓸 수 있고, 이상의 결과를 종합하면,
P C M = A 2 π x 0 2 − x 2 \displaystyle P_{\mathrm{CM}}=\frac{A}{2\pi \sqrt{x_{0}^{2}-x^{2} } } P CM = 2 π x 0 2 − x 2 A 로 쓸 수 있다.
A A A 를 붙인 이유는 아직 규격화를 해주지 않았기 때문이다.
∫ − x 0 x 0 A 2 π x 0 2 − x 2 d x = 1 → A = 2 \displaystyle \int_{-x_{0}}^{x_{0}}\frac{A}{2\pi \sqrt{x_{0}^{2}-x^{2} } }\,dx=1 \, \rightarrow \, A=2 ∫ − x 0 x 0 2 π x 0 2 − x 2 A d x = 1 → A = 2 이상에서 찾는 고전적인 확률은
P C M = 1 π x 0 2 − x 2 \displaystyle P_{\mathrm{CM}}=\frac{1}{\pi \sqrt{x_{0}^{2}-x^{2} } } P CM = π x 0 2 − x 2 1 임을 알 수 있다.
아래의 그림은
n = 50 n=50 n = 50 일 때의
P Q M P_{\mathrm{QM}} P QM 과
P C M P_{\mathrm{CM}} P CM 을 같이 나타낸 것이다. 아래의 그림처럼 양자수가 높아지면, 고전적인 확률과 같은 경향을 띠면서 따라간다는 것을 알 수 있다.
파일:나무_양자조화진동자_대응원리.png 퍼텐셜이
V ( x ) = 1 2 k x 2 = 1 2 m ω 2 x 2 \displaystyle V(x)=\frac{1}{2}kx^{2}=\frac{1}{2}m \omega^{2}x^{2} V ( x ) = 2 1 k x 2 = 2 1 m ω 2 x 2 의 꼴인 경우 양자 조화 진동자를 기술하는 슈뢰딩거 방정식은
H ^ φ = E φ \displaystyle \hat{\mathcal{H}}\varphi=E \varphi H ^ φ = E φ 에서
− ℏ 2 2 m d 2 φ d x 2 + 1 2 m ω 2 x 2 φ = E φ \displaystyle -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2} \varphi}{dx^{2}}+\frac{1}{2}m \omega^{2}x^{2} \varphi =E\varphi − 2 m ℏ 2 d x 2 d 2 φ + 2 1 m ω 2 x 2 φ = E φ 가 된다. 다음과 같이 변수를 무차원화 시키면,
x : = ℏ m ω ξ ϵ : = 2 E ℏ ω \displaystyle x:= \sqrt{\frac{\hbar}{m \omega}}\,\xi \qquad \qquad \epsilon := \frac{2E}{\hbar \omega} x := mω ℏ ξ ϵ := ℏ ω 2 E 이것을 방정식에 대입하면, 아래와 같이 간단한 꼴로 주어지게 된다.
d 2 φ d ξ 2 + ( ϵ − ξ 2 ) φ = 0 \displaystyle \frac{d^{2} \varphi}{d\xi^{2}}+(\epsilon-\xi^{2})\varphi=0 d ξ 2 d 2 φ + ( ϵ − ξ 2 ) φ = 0 이제 기본적으로 이 방정식의 해의 꼴을 찾기 위해 점근해를 찾고자 한다.
ξ ≫ 1 \xi \gg 1 ξ ≫ 1 영역에서 위의 방정식은
d 2 φ d ξ 2 − ξ 2 φ = 0 \displaystyle \frac{d^{2} \varphi}{d\xi^{2}}-\xi^{2}\varphi=0 d ξ 2 d 2 φ − ξ 2 φ = 0 으로 주어지고, 이 방정식의 해는
φ ( ξ ) ∝ exp ( ± ξ 2 2 ) \displaystyle \varphi(\xi) \propto \exp{\left(\pm \frac{\xi^{2}}{2} \right)} φ ( ξ ) ∝ exp ( ± 2 ξ 2 ) 으로 주어진다. 그런데, 양자 조화 진동자는 퍼텐셜에 속박된 경우이므로 고유함수는 규격화가 가능해야 한다. 따라서 지수가 양인 해는
ξ ≫ 1 \xi \gg 1 ξ ≫ 1 영역에서 발산하므로 적절한 해가 되지 못한다. 따라서
φ ( ξ ) ∝ exp ( − ξ 2 2 ) \displaystyle \varphi(\xi) \propto \exp{\left(- \frac{\xi^{2}}{2} \right)} φ ( ξ ) ∝ exp ( − 2 ξ 2 ) 가 물리적으로 적절한 해이다. 따라서 해의 꼴을 다음과 같은 형태로 가정할 수 있다.
φ ( ξ ) ∝ H ( ξ ) exp ( − ξ 2 2 ) \displaystyle \varphi(\xi) \propto H(\xi) \exp{\left(- \frac{\xi^{2}}{2} \right)} φ ( ξ ) ∝ H ( ξ ) exp ( − 2 ξ 2 ) H ( ξ ) H(\xi) H ( ξ ) 는 아직 정체가 밝혀지지 않은
ξ \xi ξ 에 관한 함수이다. 이것을 본래의 방정식에 넣으면,
d 2 H ( ξ ) d ξ 2 − 2 ξ d H ( ξ ) d ξ + ( ϵ − 1 ) H ( ξ ) = 0 \displaystyle \frac{d^{2}H(\xi)}{d \xi^{2}}-2\xi \frac{dH(\xi)}{d \xi}+( \epsilon-1)H(\xi)=0 d ξ 2 d 2 H ( ξ ) − 2 ξ d ξ d H ( ξ ) + ( ϵ − 1 ) H ( ξ ) = 0 의 방정식이 나오게 된다. 찾는 함수
H ( ξ ) H(\xi) H ( ξ ) 를 다음과 같은 형태로 가정하자.
H ( ξ ) : = ∑ n = 0 ∞ a n ξ n \displaystyle H(\xi) := \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\xi^{n} H ( ξ ) := n = 0 ∑ ∞ a n ξ n 이것을 위 방정식에 대입하면,
∑ k = 2 ∞ k ( k − 1 ) a n ξ n − 2 − 2 ξ ∑ k = 1 ∞ k a k ξ k − 1 + ( ϵ − 1 ) ∑ k = 0 ∞ a k ξ k = 0 \displaystyle \sum_{k=2}^{\infty} k(k-1)a_{n}\xi^{n-2}-2 \xi \sum_{k=1}^{\infty} ka_{k}\xi^{k-1}+( \epsilon-1)\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\xi^{k}=0 k = 2 ∑ ∞ k ( k − 1 ) a n ξ n − 2 − 2 ξ k = 1 ∑ ∞ k a k ξ k − 1 + ( ϵ − 1 ) k = 0 ∑ ∞ a k ξ k = 0 좌변의 제 1항에 대해
k → k + 2 k \to k+2 k → k + 2 로 하면,
∑ k = 0 ∞ ( k + 1 ) ( k − 2 ) a k + 2 ξ k − 2 ∑ k = 1 ∞ k a k ξ k + ( ϵ − 1 ) ∑ k = 0 ∞ a k ξ k = 0 \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} (k+1)(k-2)a_{k+2}\xi^{k}-2 \sum_{k=1}^{\infty} ka_{k}\xi^{k}+( \epsilon-1)\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\xi^{k}=0 k = 0 ∑ ∞ ( k + 1 ) ( k − 2 ) a k + 2 ξ k − 2 k = 1 ∑ ∞ k a k ξ k + ( ϵ − 1 ) k = 0 ∑ ∞ a k ξ k = 0 따라서 같은 차수에 대한 계수를 조사해보면, 아래를 얻는다.
a k + 2 = 2 k + 1 − ϵ ( k + 1 ) ( k + 2 ) a k \displaystyle a_{k+2}=\frac{2k+1-\epsilon}{(k+1)(k+2)}a_{k} a k + 2 = ( k + 1 ) ( k + 2 ) 2 k + 1 − ϵ a k 참고적으로 위 관계는
n = 0 n=0 n = 0 일 때도 성립한다. 따라서 모든
a k a_{k} a k 는
a 0 a_{0} a 0 ,
a 1 a_{1} a 1 으로 표기할 수 있고, 이를 이용하면,
H ( ξ ) = a 0 [ 1 + 1 − ϵ 2 ξ 2 + ( 5 − ϵ ) ( 1 − ϵ ) 24 ξ 4 + ⋯ ] + a 1 [ ξ + 3 − ϵ 6 ξ 3 + ( 7 − ϵ ) ( 3 − ϵ ) 120 ξ 5 + ⋯ ] \displaystyle H(\xi)=a_{0}\left[ 1+\frac{1-\epsilon}{2}\xi^{2}+\frac{(5-\epsilon)(1-\epsilon)}{24}\xi^{4}+\cdots \right]+a_{1} \left[ \xi+\frac{3-\epsilon}{6}\xi^{3}+\frac{(7-\epsilon)(3-\epsilon)}{120}\xi^{5}+\cdots \right] H ( ξ ) = a 0 [ 1 + 2 1 − ϵ ξ 2 + 24 ( 5 − ϵ ) ( 1 − ϵ ) ξ 4 + ⋯ ] + a 1 [ ξ + 6 3 − ϵ ξ 3 + 120 ( 7 − ϵ ) ( 3 − ϵ ) ξ 5 + ⋯ ] 으로 쓸 수 있다. 그런데 위 급수 또한
ξ ≫ 1 \xi \gg 1 ξ ≫ 1 영역에서 발산한다. 따라서
k = n k=n k = n 일 때, 급수의 항이 더 더해지지 않고, 끊어지게 할 수 있다면, 급수는 발산하지 않고, 다항식으로 남을 수 있다. 해당 조건은
a n + 2 = 2 n + 1 − ϵ ( n + 1 ) ( n + 2 ) a n = 0 \displaystyle a_{n+2}=\frac{2n+1-\epsilon}{(n+1)(n+2)}a_{n}=0 a n + 2 = ( n + 1 ) ( n + 2 ) 2 n + 1 − ϵ a n = 0 을 만족시키면 된다. 단,
a n ≠ 0 a_{n} \neq 0 a n = 0 이다. 따라서
ϵ n = 2 n + 1 ( n = 0 , 1 , 2 , 3 , ⋯ ) \displaystyle \epsilon_{n}=2n+1 \quad (n=0,\,1,\,2,\,3,\cdots) ϵ n = 2 n + 1 ( n = 0 , 1 , 2 , 3 , ⋯ ) 이때
ϵ n = 2 E n / ℏ ω \displaystyle \epsilon_{n} = 2E_{n}/\hbar\omega ϵ n = 2 E n /ℏ ω 이므로 이를 대입하면
2 E n ℏ ω = 2 n + 1 \displaystyle \dfrac{2E_{n}}{\hbar\omega}=2n+1 ℏ ω 2 E n = 2 n + 1 E n = ℏ ω ( n + 1 2 ) ( n = 0 , 1 , 2 , 3 , ⋯ ) \displaystyle E_{n}=\hbar\omega \left( n+\dfrac{1}{2} \right) \quad (n=0,\,1,\,2,\,3,\cdots) E n = ℏ ω ( n + 2 1 ) ( n = 0 , 1 , 2 , 3 , ⋯ ) 임을 알 수 있다. 따라서 이 조건일 때, 미분 방정식은
d 2 H ( ξ ) d ξ 2 − 2 ξ d H ( ξ ) d ξ + 2 n H ( ξ ) = 0 \displaystyle \frac{d^{2}H(\xi)}{d \xi^{2}}-2\xi \frac{dH(\xi)}{d \xi}+2nH(\xi)=0 d ξ 2 d 2 H ( ξ ) − 2 ξ d ξ d H ( ξ ) + 2 n H ( ξ ) = 0 이며 이 방정식을 만족하는 해는
에르미트 다항식 H n ( ξ ) H_{n}(\xi) H n ( ξ ) 이다.
따라서 대수적 기법과 동일하게 고유함수, 고윳값을 아래와 같이 얻는다.
φ n = 1 2 n n ! π H n ( ξ ) exp ( − ξ 2 2 ) ( ξ : = m ω ℏ x ) E n = ℏ ω ( n + 1 2 ) ( n = 0 , 1 , 2 , ⋯ ) \displaystyle \begin{aligned} \varphi_{n}&=\sqrt{\frac{1}{2^{n}n! \sqrt{\pi} } }H_{n}(\xi)\exp{\left( -\frac{\xi^{2}}{2} \right)} \qquad \biggl(\xi:= \sqrt{\frac{m \omega}{\hbar}}\,x \biggr)\\ E_{n}&=\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right) \qquad (n=0,\,1,\,2,\,\cdots) \end{aligned} φ n E n = 2 n n ! π 1 H n ( ξ ) exp ( − 2 ξ 2 ) ( ξ := ℏ mω x ) = ℏ ω ( n + 2 1 ) ( n = 0 , 1 , 2 , ⋯ ) 퍼텐셜이
V ( r ) = 1 2 m ω 2 r 2 = 1 2 m ω 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) \displaystyle \begin{aligned} V(r)&=\frac{1}{2} m\omega^2 r^2 \\ &= \frac{1}{2} m \omega^2 (x^2+y^2+z^2) \end{aligned} V ( r ) = 2 1 m ω 2 r 2 = 2 1 m ω 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) 일 경우에도 비슷한 방법으로 풀 수 있다. 이때 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식을 쓰면 다음과 같다.
− ℏ 2 m ( ∂ 2 ψ ∂ x 2 + ∂ 2 ψ ∂ y 2 + ∂ 2 ψ ∂ z 2 ) + 1 2 m ω 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) ψ = E ψ \displaystyle -\frac{\hbar}{2m} \left( \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2} \right) + \frac{1}{2} m \omega^2 (x^2+y^2+z^2) \psi = E \psi − 2 m ℏ ( ∂ x 2 ∂ 2 ψ + ∂ y 2 ∂ 2 ψ + ∂ z 2 ∂ 2 ψ ) + 2 1 m ω 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) ψ = E ψ 이때
ψ ( x , y , z ) = X ( x ) Y ( y ) Z ( z ) \psi(x,\,y,\,z) = X(x) Y(y) Z(z) ψ ( x , y , z ) = X ( x ) Y ( y ) Z ( z ) 로 두고 양변을
X Y Z XYZ X Y Z 로 나누면 다음과 같다.
( − ℏ 2 m 1 X ∂ 2 X ∂ x 2 + 1 2 m ω 2 x 2 ) + ( − ℏ 2 m 1 Y ∂ 2 Y ∂ y 2 + 1 2 m ω 2 y 2 ) + ( − ℏ 2 m 1 Z ∂ 2 Z ∂ z 2 + 1 2 m ω 2 z 2 ) = E \displaystyle \left( -\frac{\hbar}{2m} \frac{1}{X} \frac{\partial^2 X}{\partial x^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 \right) + \left( -\frac{\hbar}{2m} \frac{1}{Y} \frac{\partial^2 Y}{\partial y^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 y^2 \right) + \left( -\frac{\hbar}{2m} \frac{1}{Z} \frac{\partial^2 Z}{\partial z^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 z^2 \right) = E ( − 2 m ℏ X 1 ∂ x 2 ∂ 2 X + 2 1 m ω 2 x 2 ) + ( − 2 m ℏ Y 1 ∂ y 2 ∂ 2 Y + 2 1 m ω 2 y 2 ) + ( − 2 m ℏ Z 1 ∂ z 2 ∂ 2 Z + 2 1 m ω 2 z 2 ) = E 이때 좌변의 항들은 각각
x , y , z x,y,z x , y , z 만의 함수이므로, 세 항 모두 상수여야 한다. 이를 각각
E x , E y , E z E_x, E_y, E_z E x , E y , E z 로 놓고
E x + E y + E z = E E_x + E_y + E_z = E E x + E y + E z = E 라고 하면 이는 1차원 조화 진동자와 똑같은 문제가 된다. 따라서 각각의 해는
E x = ℏ ω ( n x + 1 2 ) E y = ℏ ω ( n y + 1 2 ) E z = ℏ ω ( n z + 1 2 ) \displaystyle \begin{aligned} E_{x}&=\hbar \omega \left(n_x + \frac{1}{2} \right) \\ E_{y}&=\hbar \omega \left(n_y + \frac{1}{2} \right) \\ E_{z}&=\hbar \omega \left(n_z + \frac{1}{2} \right) \end{aligned} E x E y E z = ℏ ω ( n x + 2 1 ) = ℏ ω ( n y + 2 1 ) = ℏ ω ( n z + 2 1 ) 가 되고, 에너지는
E = E x + E y + E z = ( n x + n y + n z + 3 2 ) ℏ ω = ( n + 3 2 ) ℏ ω \displaystyle \begin{aligned} E &= E_{x} + E_y + E_z \\& = \left( n_x + n_y + n_z + \frac{3}{2} \right) \hbar \omega \\& = \left( n+\frac{3}{2} \right) \hbar \omega \end{aligned} E = E x + E y + E z = ( n x + n y + n z + 2 3 ) ℏ ω = ( n + 2 3 ) ℏ ω 이다. 같은 방법으로
k k k 차원 조화 진동자의 에너지는
( n + k / 2 ) ℏ ω \displaystyle \left( n + k/2 \right) \hbar \omega ( n + k /2 ) ℏ ω 이다.
양자 조화 진동자는 해석적으로 정확하게 풀리면서도 실제 물리적 상황을 이해하는 데 대단히 유용한 시스템이다. 예를 들어, 1차원 공간에서의 일반적인 퍼텐셜
V ( x ) V(x) V ( x ) 을 생각할 때, 이 퍼텐셜의 극솟값 주변
에서 테일러 전개를 하면,
V ( x ) ≃ V ( x 0 ) + V ′ ′ ( x 0 ) 2 ( x − x 0 ) 2 + O ( x 3 ) \displaystyle V(x) \simeq V(x_{0})+\frac{V''(x_{0})}{2}(x-x_{0})^2 + \mathcal{O}(x^3) V ( x ) ≃ V ( x 0 ) + 2 V ′′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) 2 + O ( x 3 ) 로 표현이 가능해서, 국소적으로 일반적인 퍼텐셜에서 극소점 부근의 물리를 단순 조화 진동자 문제로 근사시킬 수 있는 경우가 많다. 대표적으로 여러 개의 자유 보존은 여러개의 양자 조화 진동자와 같이 행동한다.
양자 조화 진동자가 실제 물리 현상을 설명하는 예를
고체 물리학 에서 접할 수 있다. 대표적으로 고체의 격자 진동의 에너지 양자
포논 을 분석할 때 쓰이게 된다.
