분류
1. 개요
1학년의 꿈(Freshman's Dream)은 곱셈 공식을 쓸 때 가장 자주 하는 실수를 이론적으로 정리한 것이다.
2. 설명
1과 가까운 두 수인 0, 2로 예를 들면
- [math((x+y)^0 neq x^0+y^0 Leftrightarrow 1 neq 2)]
- [math((x+y)^2 neq x^2+y^2 Leftrightarrow x^2 + 2xy + y^2 neq x^2+y^2)]
- [math(dfrac{1}{x+y} neq dfrac{1}{x} + dfrac{1}{y} Leftrightarrow (x+y)^{-1} neq x^{-1} + y^{-1})]
- [math(sqrt{x+y} neq sqrt{x}+sqrt{y} Leftrightarrow (x+y)^{1/2} neq x^{1/2} + y^{1/2})]
이것을 모든 실수[3] 같은 경우는 따로 증명해야 하지만.]로 확장해서 자명한 해인 [math(n =1)] 혹은 [math(x+y=0,,xy=0)]이 성립하는 수 이외에는 없음이 증명되어 있다.
그럼 복소수는 어떨까? 드 무아브르 공식의 존재로 안 된다. 복소수 지수는 [math(e^{itheta} = cos theta + i sin theta)]로 정의되는데, [math(left(e^{itheta}right)^n = cos n theta + i sin ntheta neq [cos theta]^n + i [sin theta]^n)]이므로 복소수에서조차 일반적으로 등식이 성립되지 않는다.
2.1. 성립되는 예외적 조건
충격적이게도 자명하지 않은 조건에서 이게 성립하는 경우가 있다. [math(p in mathbb{P})]인 [math(p)]가 표수[4]에 대하여, [math(F)]의 곱셈의 항등원 [math(1_{F})]을 유한번 더했을 경우, 덧셈의 항등원 [math(0_{F})]이 나온다면, 더해진 [math(1_{F})]의 최소 개수를 [math(F)]의 표수(characteristic)라고 한다. [math(1_{F})]을 아무리 더해도 [math(0_{F})]이 나오지 않으면, [math(F)]의 표수를 0으로 정의한다. [math(F)]의 표수가 [math(p>0)]이면 [math(p)]는 소수임이 알려져 있다. 참고로 자연수, 정수, 유리수, 실수, 복소수 같은 '일반적'인 수 체계는 무한집합이므로 이들의 표수는 0이다.]인 체에서 <math>p</math>제곱을 하는 경우에 성립한다. 이항정리에 의하여
[math(displaystyle sum_{r=0}^{p}binom{p}{r}a^{r}b^{p-r} )]
이 성립하는데, 이 때, [math(displaystylebinom{p}{r})]는 항상 자연수이다. 그런데,
[math(displaystylebinom{p}{r}=frac{p!}{r!(p-r)!} )]
이고, 위의 우변에서 [math(0<r<p)]이면, 분모는 소수 [math(p)]보다 작은 수들의 곱이므로 인수로 [math(p)]를 가질 수 없다. 그래서, [math(displaystylebinom{p}{r})]은 [math(p)]의 배수가 되어서, 어떤 자연수 [math(m)]에 대하여
[math(displaystylebinom{p}{r}=pm=(1_{F}+cdots+1_{F})m=0_{F}cdot m=0_{F} )]
이 성립한다. 정리하면, 체 [math(F)]의 표수가 [math(p>0)]이면,
[math(displaystyle begin{aligned} (a+b)^{p}&=a^{p}+displaystylesum_{r=1}^{p-1}binom{p}{r}a^{r}b^{p-r}+b^{p}\&=a^{p}+left(sum_{r=1}^{p-1}0_{F}cdot a^{r}b^{p-r}right)+b^{p}=a^{p}+b^{p} end{aligned} )]
가 성립한다.
[math(displaystyle sum_{r=0}^{p}binom{p}{r}a^{r}b^{p-r} )]
이 성립하는데, 이 때, [math(displaystylebinom{p}{r})]는 항상 자연수이다. 그런데,
[math(displaystylebinom{p}{r}=frac{p!}{r!(p-r)!} )]
이고, 위의 우변에서 [math(0<r<p)]이면, 분모는 소수 [math(p)]보다 작은 수들의 곱이므로 인수로 [math(p)]를 가질 수 없다. 그래서, [math(displaystylebinom{p}{r})]은 [math(p)]의 배수가 되어서, 어떤 자연수 [math(m)]에 대하여
[math(displaystylebinom{p}{r}=pm=(1_{F}+cdots+1_{F})m=0_{F}cdot m=0_{F} )]
이 성립한다. 정리하면, 체 [math(F)]의 표수가 [math(p>0)]이면,
[math(displaystyle begin{aligned} (a+b)^{p}&=a^{p}+displaystylesum_{r=1}^{p-1}binom{p}{r}a^{r}b^{p-r}+b^{p}\&=a^{p}+left(sum_{r=1}^{p-1}0_{F}cdot a^{r}b^{p-r}right)+b^{p}=a^{p}+b^{p} end{aligned} )]
가 성립한다.
3. 여담
자매품으로 해석학 및 미적분학 계열의 2학년의 꿈이 있다. 참고로 2학년의 꿈은 옳다. 아쉽게도 3학년의 꿈은 없다.